Eindeutige Analytische Funktionen

390 Pages·1953·22.13 MB·German

by  Dr. Rolf Nevanlinna (auth.)

Die Grundlehren
der mathematischen Wissenschaften
in Einzeldarstellungen
mit besonderer Berücksichtigung
der Anwendungsgebiete
Band 46
R. N evanlinna
Eindeutige
analytische
Funktionen
2. Auflage
Reprint
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1974
AMS-Subject Classifications (1970) 30 -02, 30A24, 30A26, 30A30,
30A36, 30A68, 30A88
ISBN 978-3-662-06843-4 ISBN 978-3-662-06842-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-06842-7
D." \X'erk "t urheberrecht loch ge,chutzt Die dadutth begrundeten Re,bte, 1IJ>h<"OI1<!c'" ,he der libe"etlung,
Je, N.I<hdruck" der Entnahme von Abbildungen, der Funk-endung, ,kr \X'lederg.lb,· auf fotome,h.llm,hem
oder ahnhchem \X'ego und der Speicherung m Datenvcr.lthcltung',lIll.igen bleiben, ,!U,h bel nur du"ug",','"cr
V<:rwt'ndun~, vorbehalten
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Ursprünglich erschienin bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1953
Softcover reprint ofthe hardcover Ist edition 1953
Llbrary of Congre,s Catalog Card Number 73-10720
DIE GRUND LEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERüCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· E. HOPF· H. HOPF· F. RELLICH
F.K.SCHMIDT· B.L.VAN DER WAERDEN
BAND XLVI
EINDEUTIGE
ANALYTISCHE FUNKTIONEN
VON
ROLF NEVANLINNA
ZWEITE AUFLAGE
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
19'3
EINDEUTIGE
ANALYTISCHE FUNKTIONEN
VON
DR. ROLFNEVANLINNA
FINNISCHE AKADEMIE
HONORARPROFESSOR AN DER UNIVERSITAT ZORICH
ZWEITE VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 24 ABBILDUNGEN
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
19 S3
Vorwort zur zweiten Auflage.
Im Laufe der Zeit, welche seit dem Erscheinen der ersten Auflage
dieser Monographie (1936) vergangen ist, hat die Theorie der eindeutigen
analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen wesentliche
neue Fortschritte erfahren, vor allem in der Richtung (Wertverteilungs
lehre, Zusammenhang der analytischen Eigenschaften einer Funktion
und der geometrischen Struktur der von ihr erzeugten RIEMANNschen
Fläche), die für meine ursprüngliche Darstellung maßgebend waren. In
der vorliegenden Neuauflage habe ich einen Teil derjenigen neuen
Ergebnisse mitgenommen, die mir besonders wichtig erscheinen und
sich organisch an den Aufbau des Werkes anschließen. Dabei habe ich
mich in erster Linie an solche Ergänzungen gehalten, die von prinzipiellem
Standpunkt Beachtung verdienen. Solcher Art sind z. B. das "Prinzip
der Anzahlfunktionen", das neuerdings von O. LEHTO aufgestellt
worden ist. Um den etwas komplizierten und undurchsichtigen Beweis
des zweiten Hauptsatzes der Wertverteilungstheorie leichter zugänglich
zu machen, habe ich zu den früheren Beweisanordnungen eine neue, von
K. I. VIRTANEN herrührende aufgenommen.
Von mehr in Einzelheiten gehenden Fragen sei hier noch die Theorie
der Kapazität ebener Punktmengen erwähnt. Die neueren Untersuchun
gen auf diesem Gebiet haben eine endgültige Klärung der metrischen
Struktur von Mengen der Kapazität Null herbeigeführt; diese neuen
Ergebnisse sind hier vollständig zur Darstellung gekommen. Der Ab
schnitt über quasikonforme Abbildungen ist neu redigiert und ergänzt
worden.
Im Anschluß an die Wertverteilungslehre hat sich die Theorie in den
letzten Jahren vor allem in zwei Richtungen entwickelt. Einerseits hat
man die Untersuchung der Umkehrung der zweiten Hauptungleichung
besonders an Hand besonderer Flächenklassen weitergeführt; die An
wendung von Streckenkomplexen hat sich hier nützlich erwiesen. Anderer
seits ist "das sogenannte Typenproblem Gegenstand zahlreicher Unter
suchungen gewesen, und eine Reihe von neuen Ergebnissen sind in dieser
Richtung erzielt worden; methodisch waren auch hier die Theorie der
Streckenkomplexe und die Methoden der quasikonformen Abbildungen
von Bedeutung. Bei diesen Einzelfragen habe ich mich mit Hinweisen auf
die wichtigsten Neuerscheinungen begnügen müssen.
Auch war es nicht möglich, näher auf die schönen Anwendungen der
Wertverteilungstheorie auf Differentialgleichungen einzugehen, die man
VI Vorwort zur zweiten Auflage.
H. WITTICH verdankt. Raummangel hat mich ebenfalls gezwungen, auf
eine Darstellung der Theorie der meromorphen Kurven von H. und
J. WEYL zu verzichten.
Trotz dieser Einschränkungen hoffe ich, daß meine Monographie
in der jetzt vorliegenden Form auch weiterhin eine genügende Grund
lage für das Studium der modemen Funktionentheorie bieten wird.
Meine Arbeit ist durch wertvolle Hilfe mehrerer Kollegen erleichtert
worden. Dankend erwähne ,ich vor allem die Mitarbeit von Dr. K. I.
VIRTANEN und Dr. O. LEHTO; ich danke auch Prof. Dr. H. WITTICH für
verschiedene wichtige Ratschläge und Dr. H. KÜNZI für die Zusammen
stellung des Registers.
Helsinki, im März 1953. RoH Nevanlinna.
Vorwort zur ersten Auflage.
In den wenigen Jahren, die seit dem Erscheinen meiner zusammen
fassenden Darstellung der neueren Theorie der ganzen und meromorphen
Funktionen (Gauthier-Villars, Paris 1929) verflossen sind, hat sich
die Lehre von der Wertverteilung der analytischen Funktionen durch
die Arbeiten verschiedener Forscher wesentlich weiter entwickelt. Die
Forschungen auf diesem funktionentheoretischen Gebiete sind keineswegs
zu einem Abschluß gebracht; die erzielten Fortschritte haben im Gegen
teil den Weg zu neuen ungelösten Fragen angebahnt. Andererseits findet
man unter den neueren Ergebnissen eine Menge von solchen, die defini
tiven Charakters sind und die zu einer größeren Einheitlichkeit in ver
schiedenen funktionentheoretischen Gebieten beigetragen haben. Eine
Darstellung der Hauptzüge der Theorie in dieser Sammlung erscheint
deshalb berechtigt.
Bei der Darstellung einer Lehre, die sich in steter Entwicklung be
findet, bietet eine zweckmäßige Abgrenzung gewisse Schwierigkeiten.
Einige Bemerkungen über die Gesichtspunkte, welche bei der Auswahl
des Stoffes bestimmend gewesen sind, findet der Leser in der nach
stehenden Einleitung. Der Verfasser hat insofern Vollständigkeit an
gestrebt, als die zur Anwendung kommenden Hilfsmittel, welche außer
halb der Elemente der Funktionen- und Potentialtheorie, der nicht
euklidischen Geometrie oder der Topologie liegen, soweit als möglich
begründet werden. In vielen Fällen gelang dies im Zusammenhang
mit der Darstellung gewisser allgemeiner Prinzipien, die wegen ihrer
Bedeutung für verschiedene Fragen der Wertverteilung vollständig dar
gestellt werden. Eine Ausnahme bilden die fundamentalen Existenz
sätze der Theorie der konformen Abbildung sowie die klassischen Sätze
über die Ränderzuordnung bei konformer Abbildung schlichter Gebiete;
diese Sätze mußten als bekannt vorausgesetzt werden. Überhaupt hätte
eine systematische Darstellung der Lehre von der Uniformisierung, von
den automorphen Funktionen und den diesen Funktionen zugeordneten,
regulär verzweigten RIEMANNschen Flächen der vorliegenden Arbeit,
die sich zuIl}. ganz wesentlichen Teil mit gewissen höheren Stufen jenes
Lehrgebäudes beschäftigt, vorausgehen müssen.
Herrn Professor Dr. R. COURANT, der mich zur Veröffentlichung
dieser Darstellung aufgefordert und meine Arbeit mit freundlichem
Interesse verfolgt hat, spreche ich hiermit meinen aufrichtigen Dank
aus. Mein Dank gilt auch der Verlagsbuchhandlung, die meinen Wünschen
VIII Vorwort zur ersten Auflage.
mit Bereitwilligkeit entgegengekommen ist und die mit Präzision und
Schnelligkeit für die technische Herstellung der Arbeit Sorge getragen
hat.
Herrn Professor Dr. L. AHLFoRs bin ich für seinen wertvollen
Beistand bei der Abfassung des XII. Abschnittes zu Dank verpflichtet.
Verschiedene wichtige sachliche Bemerkungen verdanke ich Herrn
Dr. E. ULLRICH, der mir auch beim Lesen der Korrektur behilflich
gewesen ist.
Helsinki, im März 1936. Rolf Ne vanlinna.
Berichtigung.
Während der Drucklegung hat Herr W. K. HAYMAN mitgeteilt, daß
er ein Beispiel einer ganzen Funktion gefunden hat, für welche ein
defekter Wert nicht Zielwert ist. Dieses Resultat, das im .. Journal of
London Mathematical Society" veröffentlicht wird, löst endgültig die
Frage auf S. 272-273, wo irrtümlich Funktionen endlicher oder un
endlicher Ordnung besprochen werden statt ganzer oder beliebiger
meromorpher Funktionen.
Inhaltsverzeichnis.
Se!t~
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
I. Konforme Abbildung ein-' und mehrfach zusammenhängender Gebiete 4
§ 1. Konforme Abbildung durch lineare Transformationen. .. 4
§ 2. Hauptsatz der konformen Abbildung. Abbildung der univer
sellen Überlagerungs fläche eines mehrfach zusammenhängen-
den Gebietes .................. 8
§ 3. Fall der p-fach punktierten Ebene. . . . . . . . . 14
§ 4. Der allgemeine Fall eines p-fach zusammenhängenden Ge-
bietes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ll. Lösung des DIRICHLETschen Problems für ein schlichtes Gebiet 22
§ 1. Das P01SsoNsche Integral. . . . . . . . . . . . . 22
§ 2. Lösung der allgemeinen Randwertaufgabe . . . . . . 24-
§ 3. Integraldarstellung der Lösung der Randwertaufgabe mittels
des harmonischen Maßes . . . . . . . . . . 26
§ 4. GREEl\sche Funktion und harmonisches Maß. . 28
§ 5. Über die Niveaulinien de3 harmonischen Maßes. 33
Ill. Funktionentheoretische Majorantenprinzipien . . . . . 37
§ 1. Prinzip vom harmonischen Maß ...... 37
§ 2. Anwendungen auf den absoluten Betrag einer analytischen
Funktion . . . . . . . . . .. ..... 42
§ 3. Prinzip vom hyperbolischen Maß. ..... 45
§ 4. Prinzip der Anzahlfunktionen ., ...... 52
§ 5. Sätze über Kreisgebiete . . . ., ..... 57
§ 6. Sätze von LANDAU und SCHOTTKY . ..... 61
§ 7. Anwendungen zur Untersuchung der Grenz- und Häufungs-
werte beschränKter Funktionen . . . . . . . . . . . . 64
IV. Beziehungen zwischen nichteuklidischen und euklidischen MaBbestim-
mungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 1. Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 2. CARLEMANS Prinzip der Gebietserweiterung . . . . . . . 69
§ 3. Abschätzung des hyperbolisc~en Maßes durch Gebietser-
weiterung . . . . . . . . . . . . 86
§ 4. Verzerrungssätze von AHLFORS. . . 93
§ 5. Das Problem von CARLEMAN-MILLOUX 102
V. Punktmengen vom.harmonischen Maß Null. 114
§ 1. Definition der Punktmengen vom harmonischen Maß Null. 114
§ 2. Punktmengen von der Kapazität Null ......... 121
§ 3. GREENsehe Funktion und logarithmisches Potential. ... 129
§ 4. Verhalten einer analytischen Funktion in der Umgebung
einer Punktmenge vom harmonischen Maß Null ..... 137
§ 5. Hilfssätze über additive Mengenfunktionen . . . . . . . 142
§ 6. Metrische Eigenschaften einer Punktmenge vom harmoni-
schen Maß Null . . . . . . . . . . . . . . . 148
VI. Erster Hauptsatz der Theorie der meromorphen Funktionen 163
§ 1. POISSON-JENsENsehe Formel. . . . . . . . . . 163
§ 2. Die charakteristische Funktion. . . . . . . . . 166
§ 3. Geometrische Deutung der charakteristischen Funktion 173
§ 4. Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . .. 179