Eindeutige Analytische Funktionen

363 Pages·1936·12.33 MB·German

by  Dr. Rolf Nevanlinna (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W.BLASCHKE · F.K.SCHMIDT · B.L. VAN DER WAERDEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
BAND XLVI
EINDEUTIGE
ANALYTISCHE FUNKTIONEN
VON
ROLF NEVANLINNA
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1936
EINDEUTIGE
ANALYTISCHE FUNKTIONEN
VON
DR. ROLF NEVANLINNA
PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT HELSINKI
MIT 24 ABBILDUNGEN
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1936
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1936 BY Springer-Verlag Berlin Heidelberg
UrsprOnglich erschienen bei Julius Springer in Berlin 1936
ISBN 978-3-662-41664-8 ISBN 978-3-662-41799-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-41799-7
Vorwort.
In den wenigen Jahren, die seit dem Erscheinen meiner zusammen
fassenden Darstellung der neueren Theorie der ganzen und meromorphen
Funktionen (Gauthier-Villars, Paris 1929) verflossen sind, hat sich
die Lehre von der Wertverteilung der analytischen Funktionen durch
die Arbeiten verschiedener Forscher wesentlich weiter entwickelt. Die
Forschungen auf diesem funktionentheoretischen Gebiete sind keineswegs
zu einem Abschluß gebracht; die erzielten Fortschritte haben im Gegen
teil den Weg zu neuen ungelösten Fragen angebahnt. Andererseits
findet man unter den neueren Ergebnissen eine Menge von solchen, die
definitiven Charakters sind und die zu einer größeren Einheitlichkeit
in verschiedenen funktionentheoretischen Gebieten beigetragen haben.
Eine Darstellung der Hauptzüge der Theorie in dieser Sammlung erscheint
deshalb berechtigt.
Bei der Darstellung einer Lehre, die sich in steter Entwicklung
befindet, bietet eine zweckmäßige Abgrenzung gewisse Schwierig
keiten. Einige Bemerkungen über die Gesichtspunkte, welche bei der
Auswahl des Stoffes bestimmend gewesen sind, findet der Leser in der
nachstehenden Einleitung. Der Verfasser hat insofern Vollständigkeit
angestrebt, als die zur Anwendung kommenden Hilfsmittel, welche
außerhalb der Elemente der Funktionen- und Potentialtheorie, der
nichteuklidischen Geometrie oder der Topologie liegen, soweit als möglich
begründet werden. In vielen Fällen gelang dies im Zusammenhang
mit der Darstellung gewisser allgemeiner Prinzipien, die wegen ihrer
Bedeutung für verschiedene Fragen der Wertverteilung vollständig dar
gestellt werden. Eine Ausnahme bilden die fundamentalen Existenz
sätze der Theorie der konformen Abbildung, sowie die klassischen Sätze
über die Ränderzuordnung bei konformer Abbildung schlichter Gebiete;
diese Sätze mußten als bekannt vorausgesetzt werden. Überhaupt hätte
eine systematische Darstellung der Lehre von der Uniformisierung, von
den automorphen Funktionen und den diesen Funktionen zugeordneten,
regulär verzweigten RIEMANNschen Flächen der vorliegenden Arbeit,
die sich zum ganz wesentlichen Teil mit gewissen höheren Stufen jenes
Lehrgebäudes beschäftigt, vorausgehen müssen.
VI Vorwort.
Herrn Professor Dr. R. CoURANT, der mich zur Veröffentlichung
dieser Darstellung aufgefordert und meine Arbeit mit freundlichem
Interesse verfolgt hat, spreche ich hiermit meinen aufrichtigen Dank
aus. Mein Dank gilt auch der Verlagsbuchhandlung, die meinen Wünschen
mit Bereitwilligkeit entgegengekommen ist und die mit Präzision und
Schnelligkeit für die technische Herstellung der Arbeit Sorge getragen hat.
Herrn Professor Dr. L. AHLFORS bin ich für seinen wertvollen Beistand
bei der Abfassung des XII. Abschnittes zu Dank verpflichtet. Verschiedene
wichtige sachliche Bemerkungen verdanke ich Herrn Dr. E. ULLRICH,
der mir auch beim Lesen der Korrektur behilflich gewesen ist.
Helsinki, im März 1936.
ROLF NEVANLINNA,
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung . . . . .
I. Konforme Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Gebiete. 4
§ 1. Konforme Abbildung durch lineare Transformationen. . 4
§ 2. Hauptsatz der konformen Abbildung. Abbildung der universellen
Überlagerungsfläche eines mehrfach zusammenhängenden Gebietes 8
§ 3. Fall der p-fach punktierten Ebene . . . . . . . . . . . . . 14
§ 4. Der allgemeine Fall eines p-fach zusammenhängenden Gebietes 20
II. Lösung des DIRICHLETschen Problems für ein schlichtes Gebiet 21
§ 1. Das PorssoNsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 2. Lösung der allgemeinen Randwertaufgabe . . . . . . . . 23
§ 3. Integraldarstellung der Lösung der Randwertaufgabe mittels des
harmonischen Maßes . . . . . . . . . . . . . 26
§ 4. GREENsehe Funktion und harmonisches Maß. . . . . . 28
§ 5. Über die Niveaulinien des harmonischen Maßes . . . . 33
111. Prinzip über das harmonische Maß und seine Anwendungen . 37
§ 1. Aufstellung und Begründung des Prinzips . . . . . . . 37
§ 2. Anwendungen auf den absoluten Betrag einer analytischen Funktion 41
§ 3. Prinzip vom hyperbolischen Maß . 45
§ 4. Sätze über Kreisgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 5. Sätze von LANDAU und ScHOTTKY . . . . . . . . . . . . . . 55
§ 6. Anwendungen zur Untersuchung der Grenz- und Häufungswerte
beschränkter Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
IV. Beziehungen zwischen nichteuklidischen und euklidischen Maßbestim-
mungen ............... . 62
§ 1. Allgemeine Bemerkungen. . . . . . . . . . 62
§ 2. CARLEMANs Prinzip der Gebietserweiterung . 63
§ 3. Abschätzung des hyperbolischen Maßes durch Gebietserweiterung 80
§ 4. Verzerrungssätze von AHLFORS . . . . 87
§ 5. Das Problem von CARLEMAN-MILLOUX 94
V. Punktmengen vom harmonischen Maß Null 106
§ 1. Definition der Punktmengen vom harmonischen Maß Null 106
§ 2. Punktmengen von der Kapazität Null. . . . . . . . . . 114
§ 3. GREENsehe Funktion und logarithmisches Potential. . . . 122
§ 4. Verhalten einer analytischen Funktion in der Umgebung einer
Punktmenge vom harmonischen Maß Null . . . . . . . . . . . 130
§ 5. Hmssätze über additive Mengenfunktionen. . . . . . . . . . . 136
§ 6. Metrische Eigenschaften einer Punktmenge vom harmonischen
Maß Null. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
VI. Erster Hauptsatz der Theorie der meromorphen Funktionen 153
§ 1. PorssoN-JENSENsehe Formel . . . . . . . . . . . . 153
§ 2. Die charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . 156
§ 3. Geometrische Deutung der charakteristischen Funktion . 163
§ 4. Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
VII. Beschränktartige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 174
§ 1. Quotientendarstellung einer Funktion von beschränkter Charak-
teristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 74
§ 2. PmssoN-STIELTJESsche Integraldarstellung einer beschränktartigen
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 3. Satz von FATOU ...................... 190
§ 4. Über die Randwertmenge einer beschränktartigen Funktion .. 197
§ 5. Anwendung auf die konforme Abbildung der universellen Über-
lagerungsfläche eines schlichten Gebietes. 201
VIII. Meromorphe Funktionen endlicher Ordnung . 206
§ 1. Ordnung einer meromorphen Funktion . 206
§ 2. Kanonische Darstellung einer meromorphen Funktion endlicher
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 3. Einige Eigenschaften der kanonischen Produkte . . . . 214
§ 4. Das Geschlecht einer meromorphen Funktion . . . . . 222
IX. Zweiter Hauptsatz der Theorie der meromorphen Funktionen 226
§ 1. Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . 226
§ 2. Die Fundamentalbeziehung. . . . . . . . . . . . . . 233
§ 3. Hilfssatz über die logarithmische Ableitung. Zweiter Hauptsatz 237
§ 4. Direkter Beweis des zweiten Hauptsatzes mit Hilfe der Fundamental-
beziehung. . . . . . . . . . . . 242
X. Anwendungen des zweiten Hauptsatzes 249
§ 1. Der Satz von PICARD-BOREL. 249
§ 2. Die Defektrelationen. . . . . . . 254
§ 3. Sätze über verzweigte Werte. . . 265
XI. Die RIEMANNsche Fläche einer einwertigen Funktion 269
§ 1. Über die Singularitäten einwertiger Funktionen 269
§ 2. RIEMANNsche Flächen, deren Windungspunkte über endlich vielen
Punkten liegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
§ 3. RIEMANNsche Flächen mit endlich vielen Windungspunkten . . . 287
§ 4. Über den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer meromorphen
Funktion und der . kritischen Stellen der Umkehrfunktion . 292
XII. Der Typus einer RIEMANNschen Fläche . . . . 296
§ 1 . V erzweigtheit einer RIEMANNschen Fläche . . . . . . 296
§ 2. Defektrelationen und Verzweigtheit . . . . . . . . . 301
§ 3. Hinreichende Bedingungen für den parabolischen Fall 305
XIII. Die AHLFORSsche Theorie der Überlagerungsflächen 312
§ 1. Topologische Grundbegriffe. . . . . . . . . . 312
§ 2. Einführung einer Metrik . . . . . . . . . . 315
§ 3. Metrische Eigenschaften der Überlagerungsflächen 318
§ 4. Hauptsatz über endliche Überlagerungsflächen . . 323
§ 5. Umkehrung des Hauptsatzes . . . . . . . . . . 330
§ 6. Sätze über regulär ausschöpfbare offene Überlagerungsflächen 331
§ 7. Anwendungen auf die konforme Abbildung einfach zusammen-
hängender RIEMANNscher Flächen. . . . . . . . . . . . . . . 338
§ 8. Erweiterungen auf Abbildungen von beschränkter Exzentrizität 343
Literaturverzeichnis 346
Sachverzeichnis . . 351
Einleitung.
Die eindeutigen analytischen Funktionen können von verschiedenen
Gesichtspunkten aus untersucht werden. Die in der vorliegenden Arbeit
zur Darstellung gelangenden Fragen gruppieren sich um ein großes
Hauptproblem. Einige allgemeine Bemerkungen über diese zentrale Frage
stellung sollen hier vorausgeschickt werden.
Wir denken uns ein gegebenes analytisches Funktionselement unbe
schränkt fortgesetzt. Angenommen, daß die so entstehende analytische
Funktion w = w (z) eindeutig ist, existiert ein schlichtes Gebiet G. mit
nachstehenden Eigenschaften.
1. Jedem inneren Punkt z von G. entspricht ein und nur ein Element
von rationalem Charakter der Funktion w (z).
2. Jeder Randpunkt z* von G. ist eine wesentliche Singularität
von w(z).
Falls G. die ganze geschlossene Ebene umfaßt (elliptischer Fall),
so ist w (z) eine rationale Funktion. Schließt man diesen einfachsten
Sonderfall aus, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem G.
einfach oder mehrfach zusammenhängend ist. Wir beschränken uns
auf den erstgenannten Fall und haben dann weitere zwei Möglichkeiten
zu berücksichtigen: die Berandung Tz von G. ist entweder ein Punkt
(parabolischer Fall) oder ein Kontinuum (hyperbolischer Fall).
Das Gebiet G. wird durch die Funktion w = w (z) auf eine über der
w-Ebene ausgebreitete RIEMANNsche Fläche Gw konform abgebildet.
Die Umkehrfunktion Z=z(w) von w(z) ist eine auf dieser Fläche Gw
eindeutige und wegen der Eindeutigkeit von w (z) einwertige Funktion,
d. h. den Mittelpunkten von zwei verschiedenen Elementen von z (w)
sind stets zwei verschiedene Punkte z zugeordnet.
Umgekehrt gilt nach dem Hauptsatz der Theorie der konformen
Abbildung, daß eine beliebige, über der w-Ebene liegende, einfach zu
sammenhängende RIEMANNsche Fläche stets auf eins der folgenden
drei schlichten Normalgebiete G. eineindeutig und konform bezogen
werden kann: 1. die Vo llebene (elliptischer Fall) ; 2. die punktierte
Ebene (parabolischer Fall); 3- den Einheitskreis oder, allgemeiner, ein
beliebiges, von einem Randkontinuum Tz begrenztes Gebiet (hyper
bolischer Fall).
Die Wertverteilungslehre der eindeutigen analytischen Funktionen
beschäftigt sich mit der Untersuchung des Systems (za) derjenigen
Nevanlinna, Analytische Funktionen.
2 Einleitung.
Punkte in Gz, wo die Funktion w(z) einen vorgegebenen Wert w=a
annimmt; sämtliche Werte a werden hierbei in Betracht gezogen. Das
klassische Resultat auf diesem Gebiet ist der berühmte Satz von PICARD,
nach welchem eine in der punktierten Ebene meromorphe, transzendente
Funktion sämtliche Werte a, mit Ausnahme von höchstens zwei Werten,
unendlich oft annimmt. Hieran schloß sich die Wertverteilungslehre
von HADAMARD, BoREL, JuuA u. a. Bei diesen weitgehenden Ver
allgemeinerungen und Verfeinerungen des PICARDschen Satzes spielten
die Gesichtspunkte der konformen Abbildung eine untergeordnete Rolle.
Aufstellung und Behandlung der Probleme geschah ohne Rücksicht auf
die RIEMANNsche Fläche Gw, auf welche die meromorphe Funktion die
punktierte Ebene Gz abbildet. Umgekehrt hatten die ersten Unter
suchungen über die RIEMANNsche Fläche einer ganzen oder meromorphen
Funktion (HURWITZ, BouTROUX, !VERSEN, GRoss u. a.) nur wenige
Berührungspunkte mit den Ergebnissen der Wertverteilungslehre.
Die Begründung der neueren Theorie der meromorphen Funktionen
hat eine Brücke zwischen den beiden Forschungsrichtungen geschlagen.
An Stelle der WEIERSTRASSschen kanonischen Darstellung einer ganzen
oder meromorphen Funktion treten funktionen-und potentialtheoretische
Hilfsmittel von größerer Tragweite. Auf der neuen Grundlage läßt sich
die HADAMARD-BORELsche Theorie einfach darstellen und verschärfen.
Allein der wichtigste Fortschritt besteht darin, daß die neuen ana
lytischen Begriffsbildungen zugleich eine geometrische Bedeutung be
sitzen. Die Fundamentalgrößen (Charakteristik, Defekte, Verzweigungs
indizes) setzen das asymptotische Verhalten einer eindeutigen ana
lytischen Funktion w (z) in Beziehung zu den Eigenschaften der RIEMANN
schen Fläche Gw, auf welche das schlichte Existenzgebiet Gz konform
abgebildet wird. Der PICARDsche Satz und seine Verallgemeinerungen
können auf diese Weise als Aussagen über den Verzweigungscharakter
der Überlagerungsfläche Gw aufgeiaßt werden. Diese neue Wendung
verlegt den Schwerpunkt der Wertverteilungslehre auf die Untersuchung
der Verzerrung der Abbildung Gz--+Gw im Innern und vor allem in der
Umgebung der Ränder dieser Flächen; es handelt sich also um eine
weitgehende Verallgemeinerung der klassischen Sätze über die Ver
zerrung und die Ränderzuordnung bei konformer Abbildung von
schlichten Gebieten.
Die Wertverteilungslehre ordnet sich so in die allgemeine Theorie
der konformen Abbildung ein. Als zentrale Frage jener Lehre erscheint
nach dieser Auffassung das Typenproblem, eine interessante und kompli
zierte Aufgabe, welche von der klassischen Uniformisierungstheorie offen
gelassen wird. Auf Grund der topalogisch-metrischen Eigenschaften einer
offenen Überlagerungsfläche gilt es zu entscheiden, ob der parabolische
oder der hyperbolische Fall vorliegt, d. h. ob die Fläche auf die punktierte
Ebene oder auf das Innere des Einheitskreises konform abbildbar ist.