Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in den Mathematikunterricht der

408 Pages·2007·7.4 MB·German

by  Filler Andreas

Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
in den Mathematikunterricht der Sekundarstufe II im
Stoffgebiet Analytische Geometrie
HAB I L I TAT I ON S S C H R I F T
zur Erlangung der Lehrbefähigung
für das Fach Didaktik der Mathematik
vorgelegt dem Rat der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Dr. rer. nat. Andreas Filler
geboren am 09.09.1963 in Roßwein
Präsident der Humboldt-Univer- Dekan der Mathematisch-Natur-
sität zu Berlin: wissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Christoph Markschies Prof. Dr. Wolfgang Coy
Gutachter:
1. Prof. Dr. Jürg Kramer
2. Priv.-Doz. Dr. Ingmar Lehmann
3. Prof. Dr. Konrad Polthier
4. Prof. Dr. Klaus Volkert
eingereicht am: 13. April 2006
Tag des öffentlichen Vortrags: 27. Februar 2007
ii
Vorwort
Die dreidimensionale Computergrafik übt auf viele Jugendliche einen großen
Reiz aus und weist zudem eine Reihe interessanter Bezüge zu den Inhalten
des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II auf. Auf der Grundla-
ge einer Diskussion von Zielen und Defiziten des Unterrichts im Stoffgebiet
Analytische Geometrie sowie einer zusammenfassenden Darstellung mathe-
matischer Grundlagen der 3D-Computergrafik werden Vorschläge für deren
Einbeziehung in den Unterricht unterbreitet.
DiezentraleZielstellungdervorliegendenArbeitbestehtdarin,Wegeaufzuzeigen,durch
die Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik den Unterricht in analytischer
Geometrie praxisnäher, anschaulicher und attraktiver zu gestalten. Dafür sprechen vor
allem folgende Gründe:
• Dreidimensionale computergrafische Darstellungen treten mittlerweile in den ver-
schiedensten Lebensbereichen auf und sind für viele Schülerinnen und Schüler1
sehr reizvoll.
• Die gegenwärtigen Curricula und der auf ihrer Grundlage durchgeführte Unter-
richtin analytischer Geometrie weisen gravierende Defizite auf. Dazu gehören eine
vielfach anzutreffende Dominanz des Abarbeitens von Kalkülen durch die Schüler
sowie eine Armut an geometrischen Formen, deren Ursache in der weitgehenden
Beschränkung auf lineare Objekte (Geraden und Ebenen) besteht. Der Unterricht
wird von Schülern dadurch oftmals als uninteressant empfunden.
• Wesentliche Grundlagen der 3D-Computergrafik basieren auf den im Stoffgebiet
Analytische Geometrie zu behandelnden Inhalten und können auf deren Grund-
lage verständlich werden; andererseits besteht die Möglichkeit, den Unterricht in
analytischer Geometrie durch die Nutzung von 3D-Grafiksoftware anschaulicher
zu gestalten, gewissermaßen zu „geometrisieren“.
• Die Anfertigung von dreidimensionalen Computergrafiken und -animationen mit-
hilfegeeigneterSoftwarekannSchülermotivieren,sichmitdafürbenötigtenInhal-
ten der analytischen Geometrie zu beschäftigen. Durch die Bearbeitung verhält-
nismäßig offen gestellter Aufgaben aus diesem Bereich ergeben sich Chancen, in
stärkerem Maße schülerbezogene Arbeitsformen in den Unterricht einzubeziehen.
1Im Folgenden werden für ‚Schülerinnen und Schüler‘ sowie ‚Lehrerinnen und Lehrer‘ aus Gründen
der besseren Lesbarkeit jeweils die abkürzenden Bezeichnungen ‚Schüler‘ bzw. ‚Lehrer‘ verwendet.
iii
iv Vorwort
• Die Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik erleichtert bzw. ermög-
licht erst die Herstellung von Bezügen zum Stoffgebiet Analysis sowie zu den
Fächern Physik, Informatik und Kunst.
Im Bereich des Computereinsatzes im Mathematikunterricht weist die 3D-Computer-
grafik die Besonderheit auf, dass sie sowohl als Unterrichtsgegenstand (Verstehen der
Funktionsweise der Computergrafik auf Grundlage der Begriffe und Methoden der ana-
lytischen Geometrie) als auch als Hilfsmittel (für die Visualisierung und für experimen-
telles Arbeiten) von Bedeutung ist.
Grundlagen der in der vorliegenden Arbeit angestellten Überlegungen und unterbreite-
ten Vorschläge bilden zwei voneinander weitgehend unabhängige Themenbereiche:
• analytische Geometrie als schulischer Lerninhalt: Ziele, Inhalte und fundamentale
Ideen; Defizite der gegenwärtigen curricularen Situation und Unterrichtspraxis
sowie Vorschläge und Ansätze zu ihrer Weiterentwicklung (Kapitel 1);
• mathematische Grundlagen der 3D-Computergrafik und ihrer Anwendungen; Be-
züge zur Funktionsweise und Bedienung verschiedener Softwarekategorien zur Er-
stellung von 3D-Visualisierungen (Kapitel 2).
Basierend auf diesen beiden Aspekten werden in Kapitel 3 Potenzen und Ziele des
Einsatzes dreidimensionaler Grafiksoftware und der Thematisierung mathematischer
Grundlagen der Computergrafik im Stoffgebiet Analytische Geometrie herausgearbeitet
und es wird die Auswahl für die Nutzung im Unterricht geeigneter Software diskutiert.
InKapitel4erfolgteineKonkretisierungdieserÜberlegungenzuUnterrichtsvorschlägen
für die Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in das Stoffgebiet anhand
einer Reihe von Gegenstandsbereichen. Die dabei entwickelten Einzelvorschläge einbe-
ziehend, werden Gesamtkonzeptionen für den Aufbau des Stoffgebietes in Grund- und
Leistungskursen skizziert. Erfahrungen aus Unterrichtsprojekten, die auf der Grundlage
einiger der in Kapitel 4 entwickelten Konzepte durchgeführt wurden, sind Gegenstand
von Kapitel 5.2
Die vorliegende Arbeit entspricht im Wesentlichen der im April 2006 eingereichten
Fassung. Neben der Korrektur weniger kleinerer Fehler und der Aktualisierung eini-
ger Internet-Quellenangaben wurde in Einzelfällen auf mittlerweile verfügbare neue
Software-Versionen eingegangen.
Zu dieser Arbeit stehen zahlreiche elektronische Materialien (Beispieldateien, Mate-
rialien zu Unterrichtsversuchen, Arbeiten von Schülern und Studierenden u.a.) auf der
Internetseite http://www.afiller.de/habil zur Verfügung (siehe Anhang D, S. 365).
Andreas Filler, Mai 2007
2Die beschriebenen Unterrichtsversuche stellen lediglich eine Ergänzung der vorliegenden, haupt-
sächlich theoretisch-konzeptionell angelegten, Arbeit dar und sollen einige der unterbreiteten Vor-
schläge illustrieren. Sie können schon aufgrund ihres relativ geringen Umfangs nicht als fundierte
empirischeUntersuchungenangesehenwerden,sodassnureineDarlegungundqualitativeAuswertung
exemplarisch gesammelter Erfahrungen erfolgt.
Inhaltsverzeichnis
1 Entwicklung, Ziele und Probleme des Unterrichts im Stoffgebiet
Analytische Geometrie 1
1.1 Zur Geschichte der analytischen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Klassische Koordinatengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Vektorielle analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Axiomatische Fundierung des Vektorraumbegriffs . . . . . . . . 5
1.1.4 Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Matrizen . . . . . . 7
1.1.5 Geometrische Abbildungen und Gruppen . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Analytische Geometrie im Mathematikunterricht – historischer Überblick 12
1.2.1 Die Meraner Reformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Einbeziehung der Vektorrechnung in den Mathematikunterricht 16
1.2.3 Axiomatisch begründete lineare Algebra – „Neue Mathematik“ . 18
1.2.4 Analytische Geometrie und lineare Algebra im Mathematikunter-
richt nach dem Scheitern der „Neuen Mathematik“ . . . . . . . 21
1.2.5 Zusammenfassung und einige Schlussfolgerungen . . . . . . . . . 23
1.3 Überblick über derzeitige Rahmenpläne für die analytische Geometrie . 25
1.4 Defizite des Unterrichts und Ansätze zu seiner Weiterentwicklung . . . 32
1.4.1 Analytische Geometrie und Allgemeinbildung . . . . . . . . . . 32
1.4.2 Kalkülorientierung und Dominanz von Routineaufgaben . . . . 34
1.4.3 Grundvorstellungen und fundamentale Ideen . . . . . . . . . . . 36
1.4.4 Anschauung und Raumvorstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.5 Vorschläge zur Überwindung der Formenarmut des Unterrichts in
analytischer Geometrie – ein Überblick . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.6 Anwendungsbezug und mathematische Modellierung . . . . . . 49
1.4.7 Vernetzungen zwischen analytischer Geometrie und Elementar-
geometrie sowie Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
v
vi Inhaltsverzeichnis
1.4.8 Unterrichtskultur und Unterrichtsmethoden . . . . . . . . . . . 54
1.5 Zur Computernutzung im Unterricht der analytischen Geometrie . . . . 56
1.5.1 Computereinsatz im Mathematikunterricht – didaktische Aspekte 56
1.5.2 Computernutzung im Stoffgebiet Analytische Geometrie . . . . 60
1.6 Zusammenfassung, Zwischenfazit und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . 61
1.6.1 Mögliche Entwicklungsrichtungen des Unterrichts in analytischer
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.6.2 ComputergrafikimUnterrichtderanalytischenGeometrie–Über-
blick über Potenzen und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Mathematische Grundlagen der 3D-Computergrafik und ihre Umset-
zung in Grafiksoftware 65
2.1 Grundlegende Verfahren der Computergrafik und der Bildbearbeitung . 67
2.1.1 Repräsentation und Verarbeitung von Bildern und Grafiken im
Computer – Raster- und Vektorgrafik . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1.2 Licht und Farben, mathematische Beschreibung von Farben . . 74
2.2 Überblick über die Funktionsweise der 3D-Computergrafik . . . . . . . 80
2.2.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.2 Arbeitsschritte der 3D-Computergrafik . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3 Modellierung geometrischer Objekte im Raum; geometrische Repräsen-
tationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3.1 Koordinatensysteme; kartesische und homogene Koordinaten . . 85
2.3.2 Körper und Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.3 Geometrische Grundkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.4 Constructive Solid Geometry (Boolesche Operationen) . . . . . 89
2.3.5 Beschreibung von Flächen durch Funktionsgleichungen, implizite
Gleichungen und Parameterdarstellungen . . . . . . . . . . . . . 90
2.3.6 Bézier- und Splinekurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3.7 Konstruktion von Flächen und Körpern aus Kurven . . . . . . . 104
2.3.8 Freiformflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3.9 Polygondarstellung von dreidimensionalen Objekten . . . . . . . 108
2.3.10 Diskretisierung des Raumes (Voxel) . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4 Transformationen und Sichtbarkeitsuntersuchungen . . . . . . . . . . . 113
2.4.1 Affine Abbildungen des Raumes auf sich . . . . . . . . . . . . . 113
2.4.2 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.4.3 Abbildungen in eine Ebene (Parallel- und Zentralprojektionen) . 118
Inhaltsverzeichnis vii
2.4.4 Clipping von Objekten außerhalb des Sichtvolumens . . . . . . . 119
2.4.5 Entfernung verdeckter Objekte und Facetten . . . . . . . . . . . 121
2.4.6 Texture-Mapping (Projektion von Bildern auf Flächen) . . . . . 124
2.5 Erzeugung fotorealistischer 3D-Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.1 Reflexion, Transparenz und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.2 LokaleBeleuchtungsmodelle,Beleuchtungskomponenten,Simula-
tion von Oberflächenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.5.3 Interpolation von Farben oder Oberflächennormalen . . . . . . . 136
2.5.4 Scanline Rendering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.5.5 Verfolgung von Lichtstrahlen (Raytracing) . . . . . . . . . . . . 140
2.5.6 Globale Beleuchtungsmodelle (Radiosity) . . . . . . . . . . . . . 145
2.5.7 Anti-Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.6 Animationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.6.1 Animationen auf der Grundlage von Parameterdarstellungen . . 151
2.6.2 Zeitabhängige Beschreibung von Transformationen . . . . . . . 153
2.6.3 Animierte Formen, Farben und Oberflächeneigenschaften . . . . 155
2.6.4 Keyframe- und Pfadanimationen, komplexere Techniken . . . . 156
2.6.5 3D-Animationen in Echtzeit, Interaktivität . . . . . . . . . . . . 158
2.7 Überblick über Software für die Erstellung dreidimensionaler computer-
grafischer Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.7.1 Architektur, Komponenten und Schnittstellen
von 3D-Grafiksoftware (Überblick) . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.7.2 Szenenbeschreibungssprachen und Raytracing-Software . . . . . 162
2.7.3 3D-Grafiksoftware mit grafischen Benutzeroberflächen . . . . . . 166
2.7.4 CAD-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.7.5 Computeralgebrasysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.7.6 Software für den Unterricht in analytischer Geometrie . . . . . . 175
2.7.7 DGS und Software für den Unterricht in Raumgeometrie . . . . 176
3 Grundsätzliche Überlegungen zur Einbeziehung von Elementen
der 3D-Computergrafik in das Stoffgebiet Analytische Geometrie 179
3.1 Überblick über Vorschläge zur Einbeziehung von Elementen der Compu-
tergrafik in den Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Exkurs: Kurse zur Einführung in die Computergrafik an Hochschulen . 186
3.2 Ziele und Herangehensweisen der Einbeziehung der 3D-Computergrafik 187
3.2.1 Übergreifende Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
viii Inhaltsverzeichnis
3.2.2 Aspekte und Herangehensweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.3 Sichtweisen auf zentrale Gegenstände der analytischen Geometrie im
Kontext der Einbeziehung von Elementen der Computergrafik . . . . . 191
3.3.1 Zur Einführung und Verwendung von Vektoren . . . . . . . . . 191
– Didaktische Positionen hinsichtlich des Vektorbegriffs . . . . . . 191
– Der Vektorbegriff in der Informatik, speziell der Computergrafik 194
– Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.3.2 Sichtweisen auf Parameterdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . 200
3.4 Auswahl geeigneter Software für den Unterricht . . . . . . . . . . . . . 203
3.4.1 Auswahlkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.4.2 Eignung verschiedener Softwarekategorien . . . . . . . . . . . . 204
3.4.3 Vor- und Nachteile von CAS und Raytracing-Software . . . . . . 207
3.5 Vorlagen und Anleitungen für die Nutzung von POV-Ray im Unterricht 211
4 Unterrichtsvorschläge und -konzepte zur Einbeziehung von Elementen
der 3D-Computergrafik in das Stoffgebiet Analytische Geometrie 215
4.1 Geometrische Modellierung mittels räumlicher Koordinaten als Einstieg
in das Stoffgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.1.1 Beschreibung einfacher Körper durch räumliche Koordinaten . . 217
4.1.2 Reduktion der zu berücksichtigenden Dimensionen durch die Be-
trachtung von Schnitten mit Koordinatenebenen . . . . . . . . . 220
4.1.3 Beschreibung einfacher geometrischer Objekte durch Gleichungen 221
4.1.4 Anwendung von Kreis- und Kugelgleichungen für die Lösung von
Positionierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.1.5 Fertigstellung der ersten Grafiken durch die Schüler; Verwendung
von Variablen, Berechnungen in POV-Ray . . . . . . . . . . . . 225
4.1.6 Fazit, Anmerkungen, Erfahrungen und einige Ergebnisse . . . . 227
4.1.7 Verwendung eines CAS für den beschriebenen Einstieg . . . . . 230
4.1.8 Mögliche Wege der Weiterführung des Unterrichts . . . . . . . . 231
4.2 Visualisierung einiger Standardinhalte des Stoffgebietes . . . . . . . . . 233
4.2.1 Veranschaulichung der Lage von Punkten im Koordinatensystem
sowie von Vektoren durch Pfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.2 Geraden im Raum und Lagebeziehungen zwischen ihnen . . . . 237
4.2.3 Darstellung von Ebenen; Schnittpunkte von Geraden und Ebenen 242
4.2.4 Schnittgeraden von Ebenen, Veranschaulichung linearer
Gleichungssysteme und des Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . 245
Inhaltsverzeichnis ix
4.3 ErstellungvonAnimationendurchdieparameterabhängigeBeschreibung
von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.3.1 Koordinatenbezogene Parameterdarstellungen von Kurven . . . 249
4.3.2 Vektorielle Parameterdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.3.3 Bestimmung von Bahngeschwindigkeiten auf gekrümmten Bewe-
gungsbahnen als Möglichkeit der theoretischen Vertiefung . . . . 254
4.4 Geometrische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.4.1 Stellenwert und Arten der Beschreibung von Transformationen
bei der Einbeziehung von Elementen der Computergrafik . . . . 255
4.4.2 Parallel- und Zentralprojektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.4.3 Translationen, Drehungen und Skalierungen . . . . . . . . . . . 257
4.4.4 Animationen durch zeitabhängige geometrische Transformationen 259
4.5 Visuell gestützte Untersuchung von Kegelschnitten, Flächen 2. Ordnung
und weiteren Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.5.1 Räumlich-visuelle Einführung der Kegelschnitte . . . . . . . . . 261
4.5.2 Flächen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.5.3 Flächen als Graphen von Funktionen zweier Variablen . . . . . . 269
4.5.4 Zugänge zu Parameterdarstellungen von Flächen . . . . . . . . . 270
4.5.5 Zusammenfassung und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 274
4.6 Einbeziehung mathematischer Grundlagen der 3D-Computergrafik bei
der Behandlung des Skalarproduktes und von Normalenvektoren . . . . 275
4.6.1 Das Reflexionsgesetz als Ausgangspunkt . . . . . . . . . . . . . 275
4.6.2 Zur Einführung des Skalarproduktes . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.6.3 Normalenvektoren von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.6.4 Aufgaben zum räumlichen Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . . . 281
4.6.5 Lokale Beleuchtungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.6.6 Kantenglättung durch Normaleninterpolation . . . . . . . . . . 286
4.7 Einbeziehung weiterer Inhalte und Anwendungen der Computergrafik . 289
4.8 Zusammenfassende Anmerkungen zur Berücksichtigung von Aspekten
der Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.9 Varianten für den Aufbau des Stoffgebietes Analytische Geometrie unter
Einbeziehung von Elementen der Computergrafik . . . . . . . . . . . . 292
4.9.1 Lehrgangsvarianten für Grundkurse . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.9.2 Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in den Un-
terricht von Leistungskursen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
– Bezüge zum Unterricht in Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 298
x Inhaltsverzeichnis
5 Unterrichtserfahrungen hinsichtlich der Einbeziehung von Elementen
der 3D-Computergrafik 299
5.1 Unterrichtsversuch in einem Grundkurs am Andreas-Gymnasium, Berlin 300
5.1.1 Rahmenbedingungen, Voraussetzungen der Schüler . . . . . . . 300
5.1.2 Planung und Verlauf der Unterrichtsreihe . . . . . . . . . . . . . 302
5.1.3 Abschlussbefragung der Schüler zur Einbeziehung von Elementen
der 3D-Computergrafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.1.4 Zusammenfassung und einige Schlussfolgerungen . . . . . . . . . 312
5.2 Unterrichtsversuch an der Internationalen Gesamtschule Heidelberg . . 314
5.3 Unterrichtsprojekt am Fürst-Pückler-Gymnasium, Cottbus . . . . . . . 318
5.4 Erfahrungen aus Seminaren mit Studierenden . . . . . . . . . . . . . . 322
5.5 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
A Anleitungen für Schüler, Vorlagen und Bibliotheken 329
Kurzanleitung für die Arbeit mit POV-Ray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Kurzanleitung: Transformationen, Boolesche Operationen, Prismen und Ro-
tationskörper in POV-Ray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Kurzanleitung: Darstellung von Punkten, Vektoren, Geraden und Ebenen . . 335
Kurzanleitung: Darstellung von Flächen, die durch Gleichungen oder Parame-
terdarstellungen gegeben sind (isosurface, parametric) . . . . . . . . . . 337
Kurzanleitung: Mit POV-Ray Videos erstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Vorbereitete Objekte für den Einstieg in POV-Ray (vorlage.inc) . . . . . . . 341
Makros für die Darstellung von Punkten, Strecken, Pfeilen, Geraden, Ebenen 343
B Farbige Abbildungen 349
Abbildungen zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Von Schülern angefertigte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Nachweis der Bildquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
C Notation 364
D Hinweise zu den Dateien auf der Internetseite zu dieser Arbeit 365
Literaturverzeichnis 384
Stichwortverzeichnis 398