Ein Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung magnetoplasmadynamischer Erhaltungsgleichungen

129 Pages·2002·27.225 MB·German

by  Heiermann J.

Ein Finite{Volumen{Verfahren zur L(cid:127)osung
magnetoplasmadynamischer Erhaltungsgleichungen
Von der Fakult(cid:127)at Luft{ und Raumfahrttechnik und Geod(cid:127)asie
der Universit(cid:127)at Stuttgart zur Erlangung der Wu(cid:127)rde eines
Doktor{Ingenieurs (Dr.{Ing.) genehmigte Abhandlung
vorgelegt von
J(cid:127)org Heiermann
geb. in Du(cid:127)sseldorf
Hauptberichterin: Prof. Dr.{Ing. habil. Monika Auweter{Kurtz
Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. habil. Claus{Dieter Munz
Prof. Dr.{Ing. habil. Dr. h.c. Wolfgang Wendland
Tag der mu(cid:127)ndlichen Pru(cid:127)fung: 22. Oktober 2002
Institut fu(cid:127)r Raumfahrtsysteme
Universit(cid:127)at Stuttgart
2002
In memoriam 51{L.
Kurzfassung
Zur L(cid:127)osung der Erhaltungsgleichungen fu(cid:127)r Argonplasmastr(cid:127)omungen in magnetoplas-
madynamischen Eigenfeldbeschleunigern, die in der Raumfahrt aufgrund ihres hohen
spezifischen Impulses und ihrer hohen Schubdichte als Antriebe fu(cid:127)r interplanetare
Raumflugmissionen eingesetzt werden k(cid:127)onnen, wurde in dieser Arbeit ein Finite{
Volumen{Verfahren entwickelt.
Fu(cid:127)r verschiedene Du(cid:127)sengeometrien durchgefu(cid:127)hrte Berechnungen zeigen, da(cid:25) die Di(cid:11)usion
aufgrund des Elektronendrucks den Lichtbogen aus du(cid:127)senf(cid:127)ormigen Eigenfeldbeschleu-
nigern heraustreibt und den Lichtbogenansatz auf der Anode ma(cid:25)geblich bestimmt. In
U(cid:127)bereinstimmung mit dem Experiment kann gezeigt werden, da(cid:25) eine prim(cid:127)are Ursache
fu(cid:127)r Plasmainstabilit(cid:127)aten bei hohen Str(cid:127)omen die durch den Pinch{Effekt hervorgerufene
Dichte{ und Ladungstr(cid:127)agerverarmung vor der Anode ist.
Die berechneten Schu(cid:127)be stimmen mit experimentellen Werten gut u(cid:127)berein, soda(cid:25) das
neuentwickelte Verfahren zum Entwurf und zur Optimierung neuer Triebwerke benutzt
werden kann.
Abstract
A (cid:12)nite volume method has been developed in this work for solving the conservation
equations of argon plasma (cid:13)ows in magnetoplasmadynamic self{(cid:12)eld accelerators. These
accelerators can be used for interplanetary space(cid:13)ight missions because of their high
speci(cid:12)c impulse and high thrust density, .
Calculations for di(cid:11)erent nozzle geometries show that the di(cid:11)usion caused by the electron
pressure drives the arc out of nozzle{type self{(cid:12)eld accelerators and in(cid:13)uences the arc
attachment on the anode signi(cid:12)cantly. In agreement with the experiment it has been
found that a primary reason for plasma instabilities at high current settings is the
depletion of density and charge carriers in front of the anode because of the pinch e(cid:11)ect.
The calculated thrust data agree well with experimental values, so that the newly
developed method can be used for the design and optimization of new thrusters.
A summary in English is included at the end of this thesis.
3
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen des DFG{Schwerpunktprogramms Analysis
und Numerik von Erhaltungsgleichungen im Institut fu(cid:127)r Raumfahrtsysteme (IRS) der
Universit(cid:127)at Stuttgart.
Bei Prof. Dr.{Ing. habil. Monika Auweter{Kurtz bedanke ich mich herzlich fu(cid:127)r die
U(cid:127)bernahme des Hauptberichts. Ihr stetes Interesse und ihre tatkr(cid:127)aftige Unterstu(cid:127)tzung
unterstreichen ihre hervorragende Betreuung, bei der sie mir sehr gro(cid:25)eFreiheit gew(cid:127)ahrte.
Prof. Dr. rer. nat. habil. Claus{Dieter Munz und Prof. Dr.{Ing. habil. Dr. h.c. Wolfgang
Wendland danke ich fu(cid:127)r das gro(cid:25)e Interesse an meiner Arbeit und die U(cid:127)bernahme des
Mitberichts.
Fu(cid:127)r die Aufnahme als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut danke ich Prof. Dr. rer.
nat. Ernst Messerschmid.
Prof. Dr. Edgar Choueiri und Prof. Dr. Stephen Jardin (Princeton University, New
Jersey, USA), Prof. Dr. Gheorghe Moro(cid:24)sanu (A.I. Cuza Universit(cid:127)at, Ia(cid:24)si, Rum(cid:127)anien),
Prof. Dr. rer. nat. habil. Thomas Sonar (Universit(cid:127)at Braunschweig), Prof. Dr. rer. nat.
habil. Gerald Warnecke (Universit(cid:127)at Magdeburg), P.D. Dr. rer. nat. habil. Andreas
Meister (Universit(cid:127)at Lu(cid:127)beck), P.D. Dr.{Ing. habil. Christian Sleziona (IHI Charging
Systems International GmbH, Heidelberg), Dr.{Ing.Christian Boie (FEV Motorentechnik
GmbH, Aachen), Dr.{Ing. Albrecht Eberle (European Aeronautic Defence and Space
Company, Mu(cid:127)nchen), Dr. rer. nat. Uwe Iben (Robert Bosch GmbH, Stuttgart), Dr. Petr
Nikrityuk (TU Dresden) und M. Sc. Kameshwaran Sankaran (Princeton University, New
Jersey, USA) danke ich fu(cid:127)r die freundschaftliche und gewissenhafte Unterstu(cid:127)tzung und
Zusammenarbeit beim Verstehen mathematischer und physikalischer Zusammenh(cid:127)ange
und bei der Entwicklung der numerischen Verfahren.
Zu gro(cid:25)em Dank bin ich Hans Kaeppeler verpflichtet. Seine wertvollen Erfahrungen und
konstruktiven Hinweise haben diese Arbeit wesentlich gepr(cid:127)agt.
Besonderer Dank gilt Dr. rer. nat. Cristian Coclici (Universit(cid:127)at Kaiserslautern) fu(cid:127)r die
aufmerksame und sorgf(cid:127)altige Begleitung der Programmierarbeit und seine zahlreichen
mathematischen Anregungen.
Dr.{Ing. Stefan Laure, Dipl.{Ing. Torsten Laux, Dipl.{Ing. Michael Winter und Edgar
Schreiber danke ich fu(cid:127)r die experimentelle Unterstu(cid:127)tzung. Fu(cid:127)r die angenehme und
kreative Atmosph(cid:127)are bedanke ich mich bei allen Kolleginnen und Kollegen am IRS.
Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danke ich fu(cid:127)r die finanzielle F(cid:127)orderung.
J(cid:127)org Heiermann
4
Inhaltsverzeichnis
Kurzfassung 3
Abstract 3
Vorwort 4
Inhaltsverzeichnis 6
Abbildungsverzeichnis 7
Nomenklatur 10
1 Einleitung 16
2 Erhaltungsgleichungen 21
2.1 Grundannahmen fu(cid:127)r die Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Erhaltungsgleichungen fu(cid:127)r Masse, Impuls und Energie der Schwerteilchen . 22
2.3 Erhaltungsgleichung fu(cid:127)r die Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Erhaltungsgleichung fu(cid:127)r die Elektronenenergie . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Erhaltungsgleichung fu(cid:127)r das Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Ionisationsreaktionsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Transportkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Numerische Verfahren 47
3.1 Grundlagen der r(cid:127)aumlichen Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Flux Vector Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 WENO{Rekonstruktion 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Diskretisierung reibungsbehafteter Flu(cid:127)sse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Gradientenberechnung mit Least{Squares{Ansatz . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 FV{Diskretisierung der Schwerteilchenerhaltungsgleichungen . . . . . . . . 55
3.7 FV{Diskretisierung der Turbulenzerhaltungsgleichung . . . . . . . . . . . . 58
3.8 FV{Diskretisierung der Elektronenenergieerhaltungsgleichung . . . . . . . 59
3.9 FV{Diskretisierung der Magnetfelderhaltungsgleichung . . . . . . . . . . . 60
3.10 FV{Diskretisierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.11 Diskretisierung der Zeitintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.12 Fehlerabsch(cid:127)atzung und Gitteradaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5
4 Ergebnisse 73
4.1 Plasmabeschleuniger RD3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Du(cid:127)senf(cid:127)ormiges Triebwerk DT2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Triebwerk mit Hei(cid:25)er Anode HAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Zusammenfassung und Ausblick 114
Literaturverzeichnis 116
Summary 125
Lebenslauf 129
6
Abbildungsverzeichnis
1.1 Schematische Darstellung eines MPD{Eigenfeldtriebwerks . . . . . . . . . . 17
1.2 MPD{Triebwerk DT2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 MPD{Triebwerk HAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Plasmabeschleuniger RD3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Reaktionsraten k der Elektronensto(cid:25)ionisation . . . . . . . . . . . . . . . 33
f;i
2.2 Reaktionsraten k der Dreiersto(cid:25)rekombination . . . . . . . . . . . . . . . 33
b;i
2.3 Schwerteilchendichten und Elektronendichte im thermischen und Ionisati-
onsreaktions{Gleichgewicht (p = 10000Pa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 W(cid:127)armeleitf(cid:127)ahigkeit der Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Elektrische Leitf(cid:127)ahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Viskosit(cid:127)at der Schwerteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 W(cid:127)armeleitf(cid:127)ahigkeit der Schwerteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Reaktive W(cid:127)armeleitf(cid:127)ahigkeit der Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9 Diffusionskoeffizienten der Schwerteilchen (p = 10000Pa) . . . . . . . . . 41
2.10 W(cid:127)armeu(cid:127)bergang durch elastischen Energietransfer zwischen Elektronen
und Schwerteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1 Duale Zellen als Kontrollvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Duale Zellen am Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Gesamtansicht des adaptierten Prim(cid:127)argitters fu(cid:127)r den Plasmabeschleuniger
RD3 (12163 Gitterpunkte, 1500A, 2:4g=s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 TeilansichtdesadaptiertenPrim(cid:127)argittersfu(cid:127)rdenPlasmabeschleuniger RD3
(12163 Gitterpunkte, 1500A, 2:4g=s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 RD3: Stromverteilung (cid:9), 500A, 2:4g=s (100A zwischen 2 Isolinien) . . . . 76
4.4 RD3: Stromverteilung (cid:9), 1000A, 2:4g=s (100A zwischen 2 Isolinien) . . . 76
4.5 RD3: Stromverteilung (cid:9), 1500A, 2:4g=s (100A zwischen 2 Isolinien) . . . 77
4.6 RD3: Stromverteilung (cid:9), 2000A, 2:4g=s (100A zwischen 2 Isolinien) . . . 77
1
4.7 RD3: Stromverteilung (cid:9), 1000 A, 2:4 g=s, ohne den Term p im
e
en r
e
Ohm’schen Gesetz (100A zwischen 2 Isolinien) . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
4.8 RD3: Stromverteilung (cid:9), 2000 A, 2:4 g=s, ohne den Term p im
e
en r
e
Ohm’schen Gesetz (100A zwischen 2 Isolinien) . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.9 RD3: Elektronentemperatur T , 2000A, 2:4g=s . . . . . . . . . . . . . . . 79
e
4.10 RD3: Schwerteilchentemperatur T , 2000A, 2:4g=s . . . . . . . . . . . . . 79
h
4.11 RD3: Ionisationsgrad (cid:11), 2000A, 2:4g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7
4.12 RD3: Dichte log ((cid:26)), 2000A, 2:4g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10
4.13 RD3: Mit Keramikabdeckung, Modifikation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.14 RD3: Mit Keramikabdeckung, Modifikationen 2 (links) und 3 (rechts) . . . 82
4.15 Strom{/Spannungsme(cid:25)kurven RD3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.16 RD3: Stromverteilung (cid:9), 2000A, 2:4g=s, Modifikation 1 mit Keramikab-
deckung (100A zwischen 2 Isolinien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.17 Teilansicht des adaptierten Prim(cid:127)argitters fu(cid:127)r das MPD{Eigenfeldtriebwerk
DT2 (29518 Gitterpunkte, 4000A, 0:8g=s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.18 DT2: Stromverteilung (cid:9), 2000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 88
4.19 DT2: Stromverteilung (cid:9), 3000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 88
4.20 DT2: Stromverteilung (cid:9), 4000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 89
4.21 DT2: Stromverteilung (cid:9), 5000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 89
4.22 DT2: Dichte log ((cid:26)), 2000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10
4.23 DT2: Dichte log ((cid:26)), 3000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10
4.24 DT2: Dichte log ((cid:26)), 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10
4.25 DT2: Dichte log ((cid:26)), 5000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10
4.26 DT2: Schwerteilchentemperatur T , 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . 92
h
4.27 DT2: Schwerteilchentemperatur T , 5000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . 92
h
4.28 DT2: Elektronentemperatur T , 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . 93
e
4.29 DT2: Elektronentemperatur T , 5000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . 93
e
4.30 DT2: Stromverteilung (cid:9), 3000A, 0:3g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 95
4.31 DT2: Dichte log ((cid:26)), 3000A, 0:3g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10
4.32 DT2: Schwerteilchentemperatur T , 3000A, 0:3g=s . . . . . . . . . . . . . 96
h
4.33 DT2: Elektronentemperatur T , 3000A, 0:3g=s . . . . . . . . . . . . . . . 96
e
4.34 DT2: Axiale Geschwindigkeit v im Du(cid:127)senendquerschnitt . . . . . . . . . . 97
z
4.35 DT2: Machzahl Ma = ~v =c im Du(cid:127)senendquerschnitt . . . . . . . . . . . . 97
j j
4.36 DT2: Elektronentemperatur T im Du(cid:127)senendquerschnitt im Vergleich mit
e
experimentellen Daten, 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.37 Teilansicht des adaptierten Prim(cid:127)argitters fu(cid:127)r das MPD{Eigenfeldtriebwerk
HAT (28034 Gitterpunkte, 2000A, 0:8g=s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.38 HAT im Betrieb, 2000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.39 HAT: Schwerteilchentemperatur T , 2000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . 101
h
4.40 HAT: Stromverteilung (cid:9), 2000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 103
4.41 HAT: Stromverteilung (cid:9), 3000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 103
4.42 HAT: Stromverteilung (cid:9), 4000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 104
4.43 HAT: Stromverteilung (cid:9), 5000A, 0:8g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 104
4.44 HAT: Dichte log ((cid:26)), 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10
4.45 HAT: Dichte log ((cid:26)), 5000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10
4.46 HAT: Schwerteilchentemperatur T , 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . 106
h
4.47 HAT: Schwerteilchentemperatur T , 5000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . 106
h
4.48 HAT: Elektronentemperatur T , 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . 107
e
4.49 HAT: Elektronentemperatur T , 5000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . 107
e
4.50 HAT: Stromverteilung (cid:9), 3000A, 0:3g=s (250A zwischen 2 Isolinien) . . . 109
4.51 HAT: Dichte log ((cid:26)), 3000A, 0:3g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10
4.52 HAT: Schwerteilchentemperatur T , 3000A, 0:3g=s . . . . . . . . . . . . . 110
h
4.53 HAT: Elektronentemperatur T , 3000A, 0:3g=s . . . . . . . . . . . . . . . 110
e
8
4.54 HAT: Axiale Geschwindigkeit v im Du(cid:127)senendquerschnitt . . . . . . . . . . 111
z
4.55 HAT: Machzahl Ma = ~v =c im Du(cid:127)senendquerschnitt . . . . . . . . . . . . 111
j j
4.56 HAT: Elektronentemperatur T im Du(cid:127)senendquerschnitt im Vergleich mit
e
experimentellen Daten, 2000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.57 HAT: Elektronentemperatur T im Du(cid:127)senendquerschnitt im Vergleich mit
e
experimentellen Daten, 3000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.58 HAT: Elektronentemperatur T im Du(cid:127)senendquerschnitt im Vergleich mit
e
experimentellen Daten, 4000A, 0:8g=s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9
Nomenklatur
A [ ] Normierte Bindungsenergie
i
(cid:0)
A [ ] Schlie(cid:25)ungskoeffizient
"
(cid:0)
A [ ] Schlie(cid:25)ungskoeffizient
(cid:22)
(cid:0)
Ar(i)+ [ ] i{fach ionisiertes Argon
(cid:0)
~a [ ] Vektor
(cid:0)
a [ ] Koeffizient
i
(cid:0)
B~ [T] Magnetische Flu(cid:25)dichte
B [T] Azimutale magnetische Flu(cid:25)dichte
b [ ] Koeffizient
i
(cid:0)
C;C ;C [ ] Konstanten
1 2
(cid:0)
C1 [ ] Raum der unendlich oft stetig di(cid:11)erenzierbaren Funktionen
0 (cid:0)
mit kompaktem Tr(cid:127)ager
CFL [ ] Steuerzahl
B
(cid:0)
CFL [ ] Steuerzahl
e
(cid:0)
CFL [ ] Steuerzahl
h
(cid:0)
C ;C [ ] Konstanten zur Gittergr(cid:127)o(cid:25)enberechnung
"1 "2
(cid:0)
C ;C [ ] Schlie(cid:25)ungskoeffizienten
"1 "2
(cid:0)
C [ ] Schlie(cid:25)ungskoeffizient
(cid:22)
(cid:0)
c [ms(cid:0)1] Magnetoakustische Geschwindigkeit
c(cid:22) [ms(cid:0)1] Mittlere thermische Geschwindigkeit
c [ ] Koeffizient
i
(cid:0)
c [J kg(cid:0)1K(cid:0)1] Spezifische W(cid:127)armekapazit(cid:127)at bei konstantem Druck
p
[m2 s(cid:0)1] Bin(cid:127)arer Diffusionskoeffizient
ij
D
D [m2] Determinante
D0 [m2 s(cid:0)1] Diffusionskoeffizient der Schwerteilchenspezies i
im
D [m2 s(cid:0)1] Effektiver Diffusionskoeffizient der Schwerteilchenspezies i
im
E~ [V m(cid:0)1] Elektrische Feldst(cid:127)arke
E [ ] Zellrand einer dualen Zelle
(cid:0)
e(cid:0) [ ] Elektron
(cid:0)
e [ ] Fehler der numerischen gegenu(cid:127)ber der exakten L(cid:127)osung
h
(cid:0)
e [J m(cid:0)3] Schwerteilchenenergie pro Volumeneinheit
h
e [J m(cid:0)3] Elektronenenergie pro Volumeneinheit
e
F [N] Schub
F [ ] Vektorfunktion
(cid:0)
FB [T ms(cid:0)1] Reibungsfreier Flu(cid:25) der magnetischen Flu(cid:25)dichte
invisc
FB [T ms(cid:0)1] FB mit auf der Zellwand WENO{rekonstruierten Variablen
WENO invisc
10