Ein allgemeines Abspaltungslemma für nilpotente Vektorraum-Endomorphismen

4 Pages·2010·0.084 MB·German

by  Hartmut Laue

Ein allgemeines Abspaltungslemma fu¨r
nilpotente Vektorraum-Endomorphismen
H. Laue
Sei V ein K-Vektorraum, T ≤ V. Wir bemerken:
K
0.1 Gilt T ≤ U ≤ V, so ist U/T ein K-Teilraum von V/T.1
K K
Ebenfalls leicht einzusehen ist die wichtige umgekehrte Einsicht, daß jeder
K-Teilraum von V/T auf diese Weise entsteht:
0.2 Ist W ein K-Teilraum von V/T, so gibt es einen Teilraum U von V
mit T ≤ U, so daß gilt: W = U/T.2
K
Ist ϕ ∈ End V, so nennen wir V 1-erzeugt3 (bezu¨glich ϕ), wenn es ein v ∈
K
V r {0 } gibt mit V = hvϕj|j ∈ N i . Ein solches Element v heißt ein
V 0 K
ϕ-Erzeuger von V. Sei nun ϕ nilpotent, ϕ 6= o, m ∈ N minimal mit ϕm = o,
V 1-erzeugt mit ϕ-Erzeuger v. Dann gilt:
0.3 (v,vϕ,...,vϕm−1) ist ein K-Basistupel von V.
Beweis. Da vϕm, vϕm+1,··· = 0 gilt, folgt V = hv,vϕ,...,vϕm−1i . Aus
V K
ϕm = o folgt: min |tm. Da ϕm−1 6= o, folgt min = tm. Mit Hilfe des Satzes
ϕ ϕ
von Cayley/Hamilton erhalten wir
dim V = Gradchar ≥ Gradmin = m.
K ϕ ϕ
Das bereits gefundene (h¨ochstens) m-elementige K-Erzeugendensystem von
V enth¨alt also genau m Elemente und ist eine K-Basis von V. (cid:3)
1Denn fu¨r alle v, v′ ∈U, c∈K gilt: c(T +v)+ˆ(T +v′)=T +(cv+v′)∈U/T
2Sei U := {v|v ∈ V, T +v ∈ W}. Fu¨r alle v ∈ T gilt T +v = T = 0 ∈ W, damit
V/T
T ⊆ U. Sind v, v′ ∈ U, c ∈ K, so folgt: T +(cv +v′) = c(T +v)+ˆ(T +v′) ∈ W, also
′
cv+v ∈T.NachdemTeilraum-KriteriumgiltalsoU ≤V.Giltv ∈U,sonachDefinition
K
T+v ∈W;dahergiltU/T ⊆W.UmgekehrtliegtjederRepr¨asentanteinerzuW geh¨origen
Restklasse nach Definition in U, also gilt: W ⊆U/T.
3Eine andere gebr¨auchliche Bezeichnung lautet: zyklisch“.
”
1
Folgerung Ist V ein K-Vektorraum 6= {0 }, ϕ ∈ End V nilpotent, m ∈ N
V K
minimal mit ϕm = o, so ist m die gr¨oßte Dimension eines ϕ-invarianten
1-erzeugten Teilraums von V.
Fu¨r ϕ = o ist dies klar, und fu¨r ϕ 6= o folgt die Behauptung aus 0.3, indem
man (unter Ausnutzung der Minimalit¨at von m) ein v ∈ V mit vϕm−1 6= 0
V
und W := hv,vϕ,vϕ2,...i (an Stelle von V) betrachtet. (cid:3)
K
Unter Verwendung des Zorn’schen Lemmas beweisen wir nun:
Lemma Sei V ein K-Vektorraum, ϕ ∈ End V nilpotent, W ≤ V ein
K
K
1-erzeugter ϕ-invarianter Teilraum von V von gr¨oßter Dimension. Dann gibt
es einen ϕ-invarianten Teilraum U von V mit V = W⊕˙U.
Beweis. Fu¨r ϕ = o gilt die Behauptung aufgrund des Basis-Erg¨anzungssat-
zes. Sei also ϕ 6= o, m ∈ N minimal mit ϕm = o. Nach der Folgerung gilt
dim W = m, also existiert nach 0.3 ein w ∈ W, so daß (w,wϕ,...,wϕm−1)
K
ein K-Basistupel von W ist. Zun¨achst betrachten wir den
Spezialfall: V/W ist 1-erzeugt bezu¨glich ϕ .
V/W
Sei l ∈ N minimal mit ϕl = o . Dann gibt es nach 0.3 ein v ∈ V, so daß
V/W V/W
(W+v,W+vϕ,...,W+vϕl−1)einK-BasistupelvonV/W ist.Ausvϕm = 0
V
folgt l ≤ m. Seien c ,...,c ∈ K mit vϕl = c w + c wϕ+···+ c wϕm−1.
1 m 1 2 m
Anwendung von ϕm−l ergibt:
0 = (vϕl)ϕm−l = c wϕm−l +c wϕm−l+1 +···+c wϕm−1.
V 1 2 l
Aus 0.3 folgt nun: c = ··· = c = 0 . Das ergibt:
1 l K
vϕl = c wϕl +···+c wϕm−1 = (c w +···+c wϕm−l−1)ϕl.
l+1 m l+1 m
Setzen wir nun v′ := −c w−···−c wϕm−l−1+v, so folgt: v′ ∈ W +v und
l+1 m
v′ϕl = 0 .
V
SeinunU := hv′ϕj|j ∈ N i (= hv′,v′ϕ,...,v′ϕl−1i ).WegenW+v = W+v′
0 K K
ist auch jede Restklasse W +vϕj (mit j ∈ N ) eine Teilmenge von W +U.
0
Diese erzeugen den Faktorraum V/W; es folgt (W +U)/W = V/W und da-
mit W+U = V sowie v′ϕl−1 ∈/ W.Es ist dim W = mund dim V/W = l =
K K
dim U nach 0.3,also dim W+dim U = m+l = dim V = dim (W+U).
K K K K K
Es folgt: W ∩U = {0 }, also: V = W⊕˙U. Im Spezialfall ist die Behauptung
V
also erfu¨llt.
Denallgemeinen Fall(V/W beliebig) fu¨hrenwirnunmitHilfedesZorn’schen
Lemmas auf den Spezialfall zuru¨ck:
Sei L die Menge der Teilmengen X von V, so daß fu¨r den kleinsten X ent-
haltenden ϕ-invarianten Teilraum T gilt: T ∩ W = {0 }. Dann ist L
X X V
teilmengenkomplett und ein Zorn-System: Ist n¨amlich K eine Kette in L,
so gilt fu¨r jedes X ∈ K: T ∩ W = {0 }. Sind X, Y ∈ K mit X ⊆ Y,
X V
so gilt T ≤ T , so daß auch {T |X ∈ K} eine Kette ist. Der kleinste
X Y X
K
ϕ-invariante Teilraum von V, der alle X ∈ K enth¨alt, ist daher T .
X∈K X
S
Es folgt: T ∩ W = ( T ) ∩ W = {0 }, also K ∈ L. Nach dem
SK X∈K X V
S S
Zorn’schen Lemma enth¨alt L nun also ein maximales Element. Ein solches
muß dann gleich dem von ihm erzeugten ϕ-invarianten Teilraum sein.4
Sei also U ein maximaler unter den ϕ-invarianten K-Teilr¨aumen von V mit
U ∩W = {0 }. Wir zeigen:
V
(∗) W +U = V,
woraus die Behauptung des Lemmas folgt. Sei S := W + U. Nehmen wir
S < V an und ist dann v ∈ V r S, so erzeugt S + v in V/S einen ϕ -
V/S
K
invarianten Teilraum 6= {S}. Nach 0.2 gibt es also einen ϕ-invarianten K-
Teilraum T von V mit:
S < T, T/S ist 1-erzeugt.
K
Wir setzen V¯ := V/U, S¯ := S/U, T¯ := T/U, ϕ¯ := ϕV¯|T¯. Dann ist ϕ¯ ein
nilpotenter K-Endomorphismus von T¯. Da W ∩U = {0 }, gilt fu¨r alle j ∈ N
V
(U +w)ϕ¯j = 0T¯ ⇔ wϕj ∈ U ⇔ wϕj = 0V ⇔ j ≥ m.
Insbesondere ist m die kleinste natu¨rliche Zahl mit ϕ¯m = 0¯. Da S¯ 1-erzeugt
T
bezu¨glich ϕ¯ mit dem ϕ¯-Erzeuger U+w ist, ist S¯ ein 1-erzeugter ϕ¯-invarianter
Teilraum von T¯ (sogar von V¯) von gr¨oßter Dimension (= m). Mit T/S ist
ebenso T¯/S¯ 1-erzeugt (bezu¨glich ϕ¯¯ ¯). Damit erfu¨llt T¯ bezu¨glich des nilpo-
T/S
tenten Endomorphismus ϕ¯ die Voraussetzungen unseres bereits behandelten
Spezialfalles. Also gibt es einen ϕ¯-invarianten Teilraum von T¯,der zusammen
¯ ¯
mit S eine zweiteilige direkte Zerlegung von T bildet. Es gibt also nach 0.2
einen K-Teilraum U′ von T mit U ≤ U′, S +U′ = T, S ∩U′ = U, so daß
K
4Eine Anwendung des Zorn’schen Lemmas in der allgemeinen Form w¨are noch um
einiges bequemer, da man als Menge L dann die Menge der ϕ-invarianten Teilr¨aume T
mit T ∩W = {0 } betrachten k¨onnte. Diese ist nicht teilmengenkomplett, was bei der
V
hierangewandtenspeziellenFormdesZorn’schenLemmasjedochzudenVoraussetzungen
geh¨ort.Dahermußbeider(vorl¨aufigen)speziellen FormdieMengeLsowieobendefiniert
werden, was den Beweis etwas umst¨andlicher als von der Sache her n¨otig macht. – Setzt
manA:=Wr{0 },sokannmanLstattdurch T ∩W ={0 }“auchdurch T ∩A=∅“
V ” X V ” X
definieren.
T V
S
W
U′
U
{0 }
V
U′/U ϕ¯-invariant ist. Letzteres besagt, daß U′ ϕ-invariant ist. Wegen S < T
K
gilt U < U′. Aus (U′/U)∩S¯ = {0¯} folgt U′ ∩S = U, also
T
K
U′ ∩W = U′ ∩(S ∩W) = (U′ ∩S)∩W = U ∩W = {0 }
V
und damit U′ ∈ L, im Widerspruch zur Maximalit¨at von U in L.
Damit ist (∗), also das Lemma bewiesen. (cid:3)
IstnunV endlich-dimensional, sofolgtmitInduktionnachderDimensionvon
V,daß V eine direkte Zerlegung in ϕ-invariante 1-erzeugteTeilr¨aume besitzt:
Im Fall V = {0 } ist ∅ eine solche. Zur Durchfu¨hrung des Induktionsschritts
V
betrachtet maneinen1-erzeugtenϕ-invariantenTeilraumW vonV,undnach
dem Lemma gibt es einen ϕ-invarianten Teilraum U von V mit V = W⊕˙U.
Dannistdim U = dim V −dim W < dim V undϕ nilpotent.Induktiv
K K K K |U
besitzt also U eine direkte Zerlegung X in ϕ-invariante 1-erzeugte Teilr¨aume.
Dann ist X ∪{W} eine solche von V.
W¨ahlt man fu¨r jeden in einer solchen direkten Zerlegung vorkommenden
Teilraum W ein K-Basistupel gem¨aß 0.3 in der umgekehrten Reihenfolge der
Eintr¨age, so wird ϕ durch folgende Matrix dargestellt:
|W
0
K
 O  
1K 0K 
 ... ...  dim W
   K
 .. 
 . 0 
 K  
O 
  

 1 0  
K K 

Also l¨aßt sich ϕ insgesamt durch eine Matrix darstellen, die sich aus Bl¨ocken
dersoebenangegebenenArtl¨angsderHauptdiagonalenzusammensetzt.(Nor-
malformeinesnilpotentenEndomorphismuseinesendlich-dimensionalenVek-
torraums.)