Ecuaciones diferenciales : teoría y problemas

239 Pages·2007·5.491 MB·Spanish

by  Mariló López, Ignacio Acero

EE CC UU AA CC II OO NN EE SS
TEORÍA Y PROBLEMAS
DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS
Mariló López • Ignacio Acero
2ª edición revisada

EE CC UU AA CC II OO NN EE SS
TEORÍA Y PROBLEMAS
DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS
Mariló López • Ignacio Acero
2ª edición revisada
Editorial Tébar, S.L.
Calle de las Aguas, 4 28005 Madrid Tel.: [phone] Fax: [phone]
[email protected] www.editorialtebar.com
Datos de catalogación bibliográfica:
ECUACIONES DIFERENCIALES. TEORÍA Y PROBLEMAS
2ª edición
Mariló López y Ignacio Acero
EDITORIAL TÉBAR, S.L., Madrid, año 2007
ISBN: 978-84-7360-269-3
Materias: Matemáticas, 51
Formato:165 ×240 mm Páginas: 238
www.editorialtebar.com
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270 y siguientes del Código Penal).
Ecuaciones diferenciales. Teoría y problemas
2ª edición: 2007
© 2007 Editorial Tébar, S.L.
C/ de las Aguas, 4
28005 Madrid (España)
Tel.: [phone]
Fax: [phone]
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www.editorialtebar.com
ISBN: 978-84-7360-269-3
Depósito legal:
Diseño editorial: Rebeca Irazábal
Diseño de portada: Omega Estudio Gráfico
Imprime: Edigrafos, S.A.
1
Capítulo
PRÓLOGO
El presente libro está dirigido, fundamentalmente, a los alumnos de los primeros
cursos de las escuelas de ingeniería y facultades de ciencias. Pretendemos que el
estudiante se familiarice con la teoría básica y la resolución de problemas rela-
cionados con las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y los Sistemas de Ecuacio-
nes Diferenciales. Para ello, en la obra se presenta un resumen exhaustivo de los
principales aspectos teóricos y una amplia selección de problemas resueltos de
muy variados tipos. Éstos han sido elegidos, en su mayoría, entre exámenes pro-
puestos en centros de los tipos anteriormente mencionados.
El criterio que hemos seguido a la hora de redactar los distintos capítulos
que componen el libro ha sido la claridad, sin menoscabo del rigor que lleva con-
sigo la exposición matemática. Queremos destacar también que la selección de
problemas resueltos se ha realizado de forma que garantice la comprensión total
de la materia por parte de aquellos alumnos que se enfrenten por primera vez a
estos temas.
Todos los capítulos siguen un esquema definido. Empiezan con una exposi-
ción teórica, en la que se describen de un modo claro, sencillo y exhaustivo los
principales conceptos relacionados con el capítulo; para una mejor comprensión
de la teoría, se incluyen numerosos ejemplos, notas y observaciones. Continúan
con una selección de problemas resueltos, de diversos grados de dificultad, y
que aplican los conceptos teóricos expuestos en la primera parte. Por último, ca-
da capítulo concluye con una serie de problemas propuestos, de dificultad simi-
lar a los resueltos, con la intención de que el alumno pueda comprobar si ha asi-
milado adecuadamente los distintos conceptos expuestos en cada capítulo.
Por otra parte, creemos que la unión, como autores del libro, de un Ingenie-
ro Industrial ICAI y una Doctora en Matemáticas supone una buena combinación
para asegurar un óptimo equilibrio entre la teoría matemática de las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias y los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con la apli-
cación práctica de los mismos, apareciendo de esta manera en el libro un enfo-
que multidisciplinar que creemos hace más atractiva la presentación de estos
conceptos matemáticos.
Queremos expresar nuestro agradecimiento a todos los compañeros que nos
han brindado su apoyo y nos han hecho llegar sugerencias para que esta obra
pudiera llegar a buen fin. Muy especialmente, queremos dar las gracias al profe-
sor Javier Rodrigo Hitos por sus sugerencias y por su colaboración en la selec-
ción y resolución de problemas.
Los autores
ÍNDICE
Capítulo 1: CONCEPTOS BÁSICOS............................................................ 15
1. PRIMERAS DEFINICIONES.......................................................................... 15
1.1. Definición. Ecuación diferencial.......................................................... 15
1.2. Definición. Tipos de ecuaciones........................................................... 16
1.3. Definición. Orden.................................................................................. 17
1.4. Definición. Grado.................................................................................. 17
1.5. Definición. Ecuación diferencial lineal................................................ 18
1.6. Definición. Solución.............................................................................. 19
1.7. Definición. Solución general. Solución particular............................... 19
1.8. Definición. Problemas de valor inicial. Problemas de contorno......... 20
1.9. Definición. Curva integral..................................................................... 20
2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES............................................ 21
2.1. Introducción.......................................................................................... 21
2.2. Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden.. 22
3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS..................... 23
PROBLEMAS RESUELTOS................................................................................ 25
PROBLEMAS PROPUESTOS............................................................................. 33
Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN........................................................................ 35
1. DISTINTAS EXPRESIONES DE LAS ECUACIONES DE 1erORDEN........ 35
2. RESOLUCIÓN DE DIFERENTES TIPOS DE ECUACIONES..................... 36
2.1. Ecuaciones del tipo y′=f(x)............................................................ 36
2.2. Ecuaciones de variables separadas...................................................... 37
2.3. Ecuaciones homogéneas....................................................................... 38
2.3.1. Definición. Función homogénea................................................ 38
2.3.2. Definición. Ecuación homogénea.............................................. 39
2.3.3. Proposición................................................................................. 39
2.3.4. Resolución de una ecuación homogénea.................................. 40
2.4. Ecuaciones reducibles a homogéneas................................................. 40
2.5. Ecuaciones exactas............................................................................... 41
2.5.1. Definición. Diferencial total....................................................... 41
2.5.2. Definición. Ecuación exacta...................................................... 42
2.5.3. Definición. Solución de una ecuación diferencial exacta........ 42
2.5.4. Teorema...................................................................................... 43
2.5.5. Resolución de las ecuaciones diferenciales exactas................ 45
2.6. Factores integrantes............................................................................. 45
2.6.1. Cálculo de factores integrantes................................................. 45
2.6.2. Resolución de ecuaciones mediante factores integrantes....... 48
2.7. Ecuaciones lineales............................................................................... 49
2.7.1. Definición. Ecuación lineal........................................................ 49
2.7.2. Ecuaciones lineales homogéneas.............................................. 49
2.7.3. Teorema de estructura del conjunto de soluciones de la
ecuación lineal homogénea........................................................ 50
2.7.4. Solución de una ecuación lineal completa................................ 50
2.7.5. Resolución de una ecuación lineal completa............................ 51
2.7.6. Ecuaciones reducibles a lineales............................................... 52
3. OTRAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN................ 53
3.1. Ecuación de Lagrange.......................................................................... 53
3.2. Ecuación de Clairaut............................................................................. 55
4. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN..................................................................................... 56
4.1. Problemas de trayectorias.................................................................... 56
4.2. Problemas geométricos......................................................................... 57
5. APÉNDICE: ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN....................................................................................... 58
5.1. Ecuaciones del tipo y′′=f(x)........................................................... 58
5.2. Otras ecuaciones diferenciales de segundo orden.............................. 58
PROBLEMAS RESUELTOS................................................................................ 60
PROBLEMAS PROPUESTOS............................................................................. 89