Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado

433 Pages·2011·6.18 MB·Spanish

by  Dennis G. Zill

E c u a c i o n e s
D i f e r e n c i a l e s
con aplicaciones de modelado
Novena
edición
DDeennnniiss G.Zill
NOVENA EDICIÓN
ECUACIONES
DIFERENCIALES
con aplicaciones de modelado
NOVENA EDICIÓN
ECUACIONES
DIFERENCIALES
con aplicaciones de modelado
DENNIS G. ZILL
Loyola Marymount University
TRADUCCIÓN
Dra. Ana Elizabeth García Hernández
Universidad La Salle Morelia
REVISIÓN TÉCNICA
Dr. Ernesto Filio López
Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería
y Tecnologías Avanzadas
Instituto Politécnico Nacional
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Ecuaciones diferenciales con © D.R. 2009 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
aplicaciones de modelado una Compañía de Cengage Learning, Inc.
Novena edición Corporativo Santa Fe
Dennis G. Zill Av. Santa Fe núm. 505, piso 12
Col. Cruz Manca, Santa Fe
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en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
Editor: del Derecho de Autor, sin el consentimiento
Sergio R. Cervantes González por escrito de la Editorial.
Editora de producción:
Abril Vega Orozco Traducido del libro A First Course in Dif erential
Equations with Modeling Applications, Ninth Edition.
Ilustrador: Zill, Dennis G.
Jade Myers, Matrix Publicado en inglés por Brooks & Cole /Cengage
Learning ©2009
Diseño de portada: ISBN-13: 978-0-495-10824-5
Grupo Insigne OTA, S.A de C.V. ISBN-10: 0-495-10824-3
Imagen de portada: Datos para catalogación bibliográi ca:
Photos.com Zill, Dennis G.
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
Composición tipográi ca: modelado, novena edición.
EDITEC S.A. de C.V. ISBN-13: 978-607-481-313-5
ISBN-10: 607-481-313-2
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CONTENIDO
Prefacio ix
1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1
1.1 Defi niciones y terminología 2
1.2 Problemas con valores iniciales 13
1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 19
REPASO DEL CAPÍTULO 1 32
2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34
2.1 Curvas solución sin una solución 35
2.1.1 Campos direccionales 35
2.1.2 ED de primer orden autónomas 37
2.2 Variables separables 44
2.3 Ecuaciones lineales 53
2.4 Ecuaciones exactas 62
2.5 Soluciones por sustitución 70
2.6 Un método numérico 75
REPASO DEL CAPÍTULO 2 80
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 82
3.1 Modelos lineales 83
3.2 Modelos no lineales 94
3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden 105
REPASO DEL CAPÍTULO 3 113
v
vi ● CONTENIDO
4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 117
4.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 118
4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 118
4.1.2 Ecuaciones homogéneas 120
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 125
4.2 Reducción de orden 130
4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coefi cientes constantes 133
4.4 Coefi cientes indeterminados: Método de superposición 140
4.5 Coefi cientes indeterminados: Método del anulador 150
4.6 Variación de parámetros 157
4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 162
4.8 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 169
4.9 Ecuaciones diferenciales no lineales 174
REPASO DEL CAPÍTULO 4 178
5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 181
5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 182
5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 182
5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 186
5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 189
5.1.4 Circuito en serie análogo 192
5.2 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 199
5.3 Modelos no lineales 207
REPASO DEL CAPÍTULO 5 216
6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 219
6.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios 220
6.1.1 Repaso de series de potencias 220
6.1.2 Soluciones en series de potencias 223
6.2 Soluciones en torno a puntos singulares 231
6.3 Funciones especiales 241
6.3.1 Ecuación de Bessel 241
6.3.2 Ecuación de Legendre 248
REPASO DEL CAPÍTULO 6 253
CONTENIDO ● vii
7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 255
7.1 Defi nición de la transformada de Laplace 256
7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 262
7.2.1 Transformadas inversas 262
7.2.2 Transformadas de derivadas 265
7.3 Propiedades operacionales I 270
7.3.1 Traslación en el eje s 271
7.3.2 Traslación en el eje t 274
7.4 Propiedades operacionales II 282
7.4.1 Derivadas de una transformada 282
7.4.2 Transformadas de integrales 283
7.4.3 Transformada de una función periódica 287
7.5 La función delta de Dirac 292
7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 295
REPASO DEL CAPÍTULO 7 300
8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 303
8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales 304
8.2 Sistemas lineales homógeneos 311
8.2.1 Eigenvalores reales distintos 312
8.2.2 Eigenvalores repetidos 315
8.2.3 Eigenvalores complejos 320
8.3 Sistemas lineales no homógeneos 326
8.3.1 Coefi cientes indeterminados 326
8.3.2 Variación de parámetros 329
8.4 Matriz exponencial 334
REPASO DEL CAPÍTULO 8 337
9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 339
9.1 Métodos de Euler y análisis de errores 340
9.2 Métodos de Runge-Kutta 345
9.3 Métodos multipasos 350
9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 353
9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo orden 358
REPASO DEL CAPÍTULO 9 362
viii ● CONTENIDO
APÉNDICES
I Función gamma APE-1
II Matrices APE-3
III Transformadas de Laplace APE-21
Respuestas a los problemas seleccionados con numeración impar RES-1
Índice I-1
PREFACIO
AL ESTUDIANTE
Los autores de los libros viven con la esperanza de que alguien en realidad los lea.
Contrariamente a lo que usted podría creer, casi todo texto de matemáticas de nivel
universitario está escrito para usted y no para el profesor. Cierto es, que los temas
cubiertos en el texto se escogieron consultando a los profesores ya que ellos toman
la decisión acerca de si hay que usarlos en sus clases, pero todo lo escrito en él está
dirigido directamente al estudiante. Entonces quiero motivarle — no, en realidad
quiero decirle que — ¡lea este libro de texto! Pero no lo haga como leería una no-
vela; no debe leerlo rápido y no debe saltarse nada. Piense en éste como un cuaderno
de ejercicios. Por eso creo que las matemáticas siempre deberían ser leídas con lápiz
y papel a la mano porque muy probablemente, tendrá que trabajar a su manera los
ejemplos y hacer el análisis. Lea —más bien, trabaje— todos los ejemplos de una
sección antes de intentar cualquiera de los ejercicios; los ejemplos se han construido
para mostrar lo que considero son los aspectos más importantes de la sección y, por
tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayor parte de los
problemas de los conjuntos de ejercicios. Yo les digo a mis estudiantes que cuando
lean un ejemplo, cubran su solución y que intenten trabajar primero en ella, comparar
su respuesta con la solución dada y luego resolver cualquier diferencia. He tratado de
incluir lo más importante de cada ejemplo, pero si algo no es claro usted podría siem-
pre intentarlo —y aquí es donde el papel y el lápiz entran otra vez— complete los
detalles o pasos que faltan. Puede no ser fácil, pero es parte del proceso de aprendi-
zaje. La acumulación de hechos seguidos por la lenta asimilación del entendimiento
simplemente no se puede alcanzar sin luchar.
Concluyendo, le deseo buena suerte y éxito. Espero que disfrute el libro y el curso
que está por iniciar— cuando era estudiante de la licenciatura en matemáticas, este
curso fue uno de mis favoritos porque me gustan las matemáticas que están conectadas
con el mundo físico—. Si tiene algún comentario o si encuentra algún error cuando
lo lea o trabaje con él o si me quiere hacer llegar una buena idea para mejorar el libro
o el SRSM, por favor póngase en contacto conmigo o con mi editor en Brooks/Cole
Publishig Company: [email protected]
AL PROFESOR
¿QUÉ ES LO NUEVO EN ESTA EDICIÓN?
Primero, déjeme decirle que no ha cambiado. La estructura del capítulo por temas, el
número y el orden de las secciones dentro de un capítulo, se conservan igual que en
las ediciones anteriores.
En caso de que examine este texto por primera vez, Ecuaciones diferenciales con apli-
caciones de modelado, 9a. edición, se puede utilizar ya sea para un curso de un semes-
tre o de un trimestre de ecuaciones diferenciales ordinarias. La versión completa del libro,
Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 7a. edición, se puede
utilizar para un curso de uno o dos semestres abarcando ecuaciones diferenciales ordina-
rias y ecuaciones diferenciales parciales. La versión extendida contiene seis capítulos más
que cubren sistemas autónomos planos y estabilidad, series y transformadas de Fourier,
ix
x ● PREFACIO
ecuaciones diferenciales parciales, lineales y problemas con valores en la frontera y mé-
todos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales. Para un curso de un semestre,
supongo que los estudiantes han concluido con éxito al menos un curso de dos semestres
de cálculo. Puesto que está leyendo esto, sin duda ya ha examinado la tabla de contenidos
para los temas que cubrirá. En este prefacio no encontrará “un programa sugerido”. No
pretenderé ser tan sabio para decir lo que otros profesores den en sus clases. Siento que hay
mucho material aquí para escoger y formar un curso a su gusto. El texto tiene un equilibrio
razonable entre los métodos analíticos, cualitativos, y cuantitativos en el estudio de las ecua-
ciones diferenciales. Por lo que mi “fi losofía subyacente” es: “Un libro para estudiantes de
licenciatura debería estar escrito considerando siempre el entendimiento del estudiante, lo
que signifi ca que el material debería estar presentado en una forma directa, legible y útil,
considerando el nivel teórico compatible con la idea ‘de un primer curso’”.
Para las personas familiarizadas con las ediciones anteriores, me gustaría mencio-
narles algunas de las mejoras hechas en esta edición.
(cid:127) Problemas aportados Los conjuntos de ejercicios seleccionados concluyen con
uno o dos problemas aportados. Estos problemas se han probado en clase y los
han enviado profesores de cursos de ecuaciones diferenciales y muestran cómo
los profesores han complementado sus presentaciones de clase con proyectos
adicionales.
(cid:127) Ejercicios Se ha actualizado un gran número de ejercicios agregando nuevos pro-
blemas para evaluar mejor y presentarles retos a los estudiantes. De igual forma,
se han mejorado algunos conjuntos de ejercicios quitando algunos problemas.
(cid:127) Diseño Esta edición se ha mejorado con un diseño a cuatro colores, lo que le
da profundidad de signifi cado a todas las gráfi cas y énfasis a frases impor-
tantes. Supervisé la creación de cada parte del arte para asegurarme de que está
matemáticamente correcta conforme al texto.
(cid:127) Nueva numeración de fi guras Me tomó muchas ediciones hacer esto, pero
fi nalmente me convencí de que la vieja numeración de fi guras, teoremas y
defi niciones tenía que cambiarse. En esta revisión he utilizado un sistema de
numeración de doble-decimal. Por ejemplo, en la última edición la fi gura 7.52
sólo indica que es la 52a. del capítulo 7. En esta edición, la misma fi gura se
numeró como la fi gura 7.6.5 donde
Capítulo Sección
TT
7.6.5d Quinta fi gura en la sección
Siento que este sistema proporciona una indicación clara de dónde están las
cosas, sin necesidad de agregar el molesto número de página.
(cid:127) Proyectos de ediciones anteriores Problemas y ensayos seleccionados de edi-
ciones pasadas del libro se pueden encontrar en el sitio web de la compañía en
academic.cengage.com/math/zill.
RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES
(cid:127) Student Resource and Solutions Manual, de Warren S. Wright, Dennis G.
Zill y Carol D. Wright (ISBN 0495385662 (que acompaña a Ecuaciones
diferenciales con aplicaciones de modelado, 9a. edición), 0495383163 (que
acompaña a Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la fron-
tera, 7a. edición) presentan repasos del material más importante de álgebra
y cálculo, la solución de cada tercer problema de cada conjunto de ejercicios
(con excepción de los problemas de análisis y las tareas para el laboratorio de
computación), la sintaxis de las instrucciones importantes para cálculo de sis-
temas algebraicos de Mathematica y Maple, listas de conceptos importantes,
así como sugerencias útiles de cómo iniciar ciertos problemas.
(cid:127) Herramientas de ED (DE Tools) es un conjunto de simulaciones que propor-
cionan una exploración iteractiva y visual de los conceptos que se presentan en