Economia Politica Y Juegos No Cooperativos

427 Pages·1.902 MB·Spanish

by  Zapata Lillo Paloma

(cid:19) (cid:19)
ECONOMIA, POLITICA Y OTROS JUEGOS.
(cid:19)
UNA INTRODUCCION A LOS JUEGOS NO
COOPERATIVOS
Paloma Zapata Lillo
Marzo 2006
ii
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Indice general
Pro(cid:19)logo I
Introduccio(cid:19)n V
I Modelos de juegos no cooperativos 1
1. Juegos Rectangulares 3
1.1. Presentacio(cid:19)n del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Algunas de(cid:12)niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Estrategias puras conservadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. La paranoia colectiva puede ser solucio(cid:19)n . . . . . . . . . . . . 22
1.6. Algunos ejemplos in(cid:12)nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Juegos Extensivos 45
2.1. Sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Alternancia, azar e informacio(cid:19)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Gra(cid:19)(cid:12)cas y juegos extensivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4. >Posicio(cid:19)n o Historia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5. Gra(cid:19)(cid:12)cas Dirigidas y Juegos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6. Seleccio(cid:19)n de Equilibrios y Gra(cid:19)(cid:12)cas Dirigidas. . . . . . . . . . 86
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3. Estrategias y Forma Normal 101
3.1. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2. Estrategias en Juegos Extensivos . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3. Buenas Estrategias en Informacio(cid:19)n Perfecta . . . . . . . . . . 106
3.4. Forma Normal y Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . 112
i
(cid:19)INDICE GENERAL (cid:19)INDICE GENERAL
3.5. Equilibrios Perfectos en Subjuegos . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.6. Induccio(cid:19)n hacia atra(cid:19)s en el caso in(cid:12)nito . . . . . . . . . . . . 131
3.6.1. Un principio de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.6.2. El juego con horizonte in(cid:12)nito. . . . . . . . . . . . . . 142
3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4. Sobre gustos y conocimiento 151
4.1. Justi(cid:12)cacio(cid:19)n del Cap(cid:19)(cid:16)tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2. Sobre gustos y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3. Sobre Conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.1. Conocimiento Privado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.2. Conocimiento Comu(cid:19)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.4. Racionales y Bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5. >Y si no se conocen las reglas? . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.5.1. Juegos rectangulares bayesianos (o de informacio(cid:19)n in-
completa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.5.2. Juegos extensivos bayesianos . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5.3. Juegos de sen~alizacio(cid:19)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
II Mezclando y Jugando en el largo Plazo 187
5. Estrategias Mixtas 189
5.1. Motivando con el Juego Ficticio . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2. Estrategias Mixtas y Pago Esperado . . . . . . . . . . . . . . 195
5.3. Respondiendo a per(cid:12)les mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3.1. Una cruz Gamada para los juegos 2(cid:2)2 . . . . . . . . 207
5.3.2. Las curvas de reaccio(cid:19)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4. Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas . . . . . . . . . . . 216
5.5. Geometr(cid:19)(cid:16)a de las Estrategias Mixtas . . . . . . . . . . . . . . 222
5.5.1. Un Algoritmo de Scarf para Calcular Puntos Fijos . . 227
5.6. Existencia de Equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6. Comportamiento Conservador 245
6.1. Discusio(cid:19)n del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2. Estrategias Mixtas Conservadoras. . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.3. Equilibrio de Nash en Juegos Antago(cid:19)nicos . . . . . . . . . . . 253
6.4. Calculando Estrategias Conservadoras . . . . . . . . . . . . . 261
6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
ii
(cid:19)INDICE GENERAL (cid:19)INDICE GENERAL
7. Equilibrios Perfectos en Subjuegos 283
7.1. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
7.2. Estrategias de Comportamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.3. Juegos de Memoria Perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.3.1. El Surgimiento de una Organizacio(cid:19)n Social . . . . . . 296
7.4. Juegos Repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.4.1. Los Equilibrios de un Con(cid:13)icto Repetido . . . . . . . 307
7.4.2. La Tradicio(cid:19)n Oral y el Esp(cid:19)(cid:16)ritu de Venganza . . . . . 309
7.4.3. Los Juegos Repetidos en General . . . . . . . . . . . . 312
7.4.4. LaConjeturade Coase para unMonopolio enel Mer-
cado de un bien durable . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.5. Induccio(cid:19)n hacia atra(cid:19)s en estrategias mixtas . . . . . . . . . . 328
7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
8. Seleccio(cid:19)n de Equilibrios 341
8.1. >Y si existe ma(cid:19)s de un equilibrio? . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.2. Seleccio(cid:19)n de Harsanyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.2.1. La Seleccio(cid:19)n de Equilibrios Propuesta por Nash . . . . 343
8.2.2. La Seleccio(cid:19)n de Harsanyi . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.2.3. La v-Solucio(cid:19)n y la t-Solucio(cid:19)n de Harsanyi . . . . . . . 345
8.3. Un enfoque ma(cid:19)s realista de seleccio(cid:19)n . . . . . . . . . . . . . . 355
8.4. Digra(cid:19)(cid:12)cas y aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.4.1. Dina(cid:19)mica de Aprendizaje en Poblaciones, el Enfoque
de Kandori, Mailath y Rob . . . . . . . . . . . . . . . 358
8.4.2. Dina(cid:19)mica de historias de taman~o r. El Enfoque de
Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4.3. Errar es de Humanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.5. Digra(cid:19)(cid:12)cas de aprendizaje en general . . . . . . . . . . . . . . 372
8.5.1. Digra(cid:19)(cid:12)cas Perturbadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.5.2. La Digra(cid:19)(cid:12)ca de las Clases de Comunicacio(cid:19)n Recurrente381
8.6. La dina(cid:19)mica como un proceso estoca(cid:19)stico . . . . . . . . . . . 388
8.6.1. Otra vez sobre errores y experimentos . . . . . . . . . 390
8.6.2. Una versio(cid:19)n de Young de un teorema de Freidlin y
WentzellsobreprocesosdeMarkov(cid:12)nitosyperturbados.393
8.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Bibliograf(cid:19)(cid:16)a 399
iii
(cid:19)INDICE GENERAL (cid:19)INDICE GENERAL
iv
Pro(cid:19)logo
Estetextoesunaintroducio(cid:19)nalateor(cid:19)(cid:16)adejuegosnocooperativos,lacual
seutilizacadavezma(cid:19)scomouninstrumentodeana(cid:19)lisisdentrodelasciencias
sociales,particularmentedelaeconom(cid:19)(cid:16)a.Entendemosporjuegoaunmodelo
simpli(cid:12)cadodeuncon(cid:13)ictosocialendondecadaparticipante(jugador)tiene
un objetivo y para tratar de lograrlo debe tomar una o varias decisiones
dentro deunconjunto posible. El resultado que se obtiene en dicho con(cid:13)icto
depende de las decisiones de todos y puede resultar contrario a lo que cada
unodeseaba. Enunjuego nocooperativo, los jugadorespuedencomunicarse
y acordar la conducta que seguira(cid:19)n, pero no es obligatorio respetar esos
acuerdos.
Eltrabajoesta(cid:19)pensadocomotextoparauncursodelamateriadeTeor(cid:19)(cid:16)a
de Juegos, al nivel de licenciatura, en las carreras de Actuar(cid:19)(cid:16)a, Econom(cid:19)(cid:16)a y
Matema(cid:19)ticas. En cada una de ellas, sin embargo, habr(cid:19)(cid:16)a que hacer distintos
(cid:19)enfasis.
A medida que van apareciendo los conceptos, procuramos examinarlos a
la luz de ejemplos sencillos. Dividimos el material en dos partes, cada una
de ellas con cuatro cap(cid:19)(cid:16)tulos. En la primera estudiamos los dos modelos
que se trabajan en la teor(cid:19)(cid:16)a de los juegos no cooperativos. Por un lado,
el rectangular o estrat(cid:19)egico que consta del conjunto de jugadores, de un
conjunto de estrategias puras para cada jugador y de una funcio(cid:19)n de pago.
Por el otro lado, tenemos al modelo extensivo que incorpora ma(cid:19)s elementos
que el rectangular para estudiar con(cid:13)ictos reales. El extensivo es un modelo
menosesta(cid:19)ticoqueelrectangular,pueslosjugadorestienenquetomarvarias
decisiones a lo largo del tiempo y, adema(cid:19)s, pueden aparecer en este modelo,
si es necesario, los problemas de falta de informacio(cid:19)n que tengan algunos
jugadores, lo mismo que el azar. En esta primera parte, no so(cid:19)lo exponemos
los modelos, tambi(cid:19)en nos preguntamos qu(cid:19)e se puede decir acerca de los
juegoscuando(cid:19)estos sevana llevar acabo porunasola ocasio(cid:19)n. Enel u(cid:19)ltimo
cap(cid:19)(cid:16)tulo de la primera parte, presentamos ciertas ideas de formalizacio(cid:19)n de
la teor(cid:19)(cid:16)as de la utilidad y del conocimiento comu(cid:19)n y privado que tienen los
i
ii Pro(cid:19)logo
jugadores.
El texto gira en torno al concepto de solucio(cid:19)n de los juegos no coo-
perativos, el equilibrio de Nash, que consiste en un per(cid:12)l de estrategias,
una para jugador, de tal manera que cada uno esta(cid:19) maximizando su pago
respecto a las elecciones de los dema(cid:19)s. Desde las primeras pa(cid:19)ginas de este
trabajo aparece la forma ma(cid:19)s simple de dicho equilibrio, la de estrategias
puras. Sin embargo, no todos los juegos tienen equilibrio de Nash en dichas
estrategias. La segunda parte del libro la dedicamos a la combinacio(cid:19)n de
estrategias puras, en particular a lo largo del tiempo. Es decir, ahora los
jugadores combinara(cid:19)n sus estrategias puras ya sea en una sola ocasio(cid:19)n o
al repetirse el juego a lo largo del tiempo. El recurso del cual dispondra(cid:19)n
los jugadores para establecer esa combinacio(cid:19)n de estrategias puras es el
concepto de estrategia mixta. Se generalizara(cid:19) mucho de lo que hicimos con
estrategias puras,peroahora tendremoselteorema fundamentaldela teor(cid:19)(cid:16)a
de los juegos no cooperativos que establece que siempre existen equilibrios
de Nash en estrategias mixtas en los juegos (cid:12)nitos. En esta segunda parte,
estaremos casi exclusivamente en el contexto del modelo rectangular de un
juego, excepto en el cap(cid:19)(cid:16)tulo 7 donde combinamos los juegos extensivos con
los rectangulares. Estudiamos varios m(cid:19)etodos para calcular equilibrios de
Nash. Al (cid:12)nal del libro, con la ayuda de las gra(cid:19)(cid:12)cas dirigidas y de algunos
elementos de procesos estoca(cid:19)sticos se puedenestudiar diversas dina(cid:19)micas de
aprendizaje con las que se podr(cid:19)(cid:16)a desenvolver la repeticio(cid:19)n de un juego y
poner a prueba el derecho del equilibrio de Nash a llamarse solucio(cid:19)n y, al
mismo tiempo, establecer mecanismos de seleccio(cid:19)n entre los equilibrios del
juego.
En la primera y segunda parte se examina, con detenimiento, un tipo
especial de con(cid:13)ictos en el cual los jugadores tienen intereses antago(cid:19)nicos.
Para ello se constuye un concepto de juego que es una generalizacio(cid:19)n de los
juegos bipersonales llamados de \suma cero". Puede decirse que es el ma(cid:19)s
simplequeestudialateor(cid:19)(cid:16)adejuegosydondeelconceptodesolucio(cid:19)nresulta
ma(cid:19)s contundente.
Un tema que tambi(cid:19)en se estudia en las dos partes es el de la posibilidad
dedescomponerunjuegoextensivo enpequen~osjuegos,llamados subjuegos,
queformanpartede(cid:19)el.Laideaesencontrarunasolucio(cid:19)ndeljuegocompleto
(equilibrio de Nash), a partir de encontrar las de dichos subjuegos. Esto no
so(cid:19)lo facilita la t(cid:19)ecnica para construir equilibrios de Nash, sino que es una
primera forma de seleccionar equilibrios, pues los que se encuentran de esa
manera, los equilibrios perfectos en subjuegos, esta(cid:19)n protegidos contra los
errores de todos los jugadores.
La mayor partedel material quepresentamos esta(cid:19) centrado en los juegos
ii
Pro(cid:19)logo iii
rectangulares y extensivos (cid:12)nitos, pero introducimos secciones en que se
abordan los juegos in(cid:12)nitos.
El texto contiene algunas tema(cid:19)ticas que no ser(cid:19)(cid:16)a adecuado tratar en
un curso ba(cid:19)sico. Por ejemplo, nos referimos al trabajo formal con juegos
in(cid:12)nitos, en particular, el tratamiento con juegos repetidos. Nos referimos,
tambi(cid:19)en, a temas que se centran en la formalizacio(cid:19)n de la racionalidad de
los jugadores como la exposicio(cid:19)n de los criterios de seleccio(cid:19)n de Harsanyi o
a la formalizacio(cid:19)n de la teor(cid:19)(cid:16)a del conocimiento. Sinembargo, muchos de los
ejemplospresentadosenesasdireccionesyau(cid:19)nlosresultadosteo(cid:19)ricospueden
abrir un panorama interesante, aunque no se trabaje en detalle en ellos. Por
otro lado, hay temas que esta(cid:19)n teniendo una aplicacio(cid:19)n muy interesante
en diversos con(cid:13)ictos sociales y que apenas se tocan, como los juegos de
informacio(cid:19)nincompletaobayesianos.Noshaparecidoque,dehaberlohecho,
se hubiera ampliado el texto en forma considerable.
Durante varios semestres, se han utilizado los avances de este texto den-
tro de los cursos de Teor(cid:19)(cid:16)a de Juegos impartidos en la Facultad de Ciencias
de la UNAM. El texto se ha bene(cid:12)ciado con las cr(cid:19)(cid:16)ticas y sugerencias, tanto
de estudiantes, como de profesores y ayudantes de dichos cursos. Queremos
expresar nuestro profundo agradecimiento por dicho apoyo, en especial a la
profesora Claudia Villegas.
Dentro del seminario de \Econom(cid:19)(cid:16)a Matema(cid:19)tica y Teor(cid:19)(cid:16)a de Juegos de
la Facultad de Ciencias, UNAM" presentamos varios de los temas que se
exponen en el libro y recibimos numerosas y valiosas aportaciones de todos
los participantes. A todos ellos les damos las gracias ma(cid:19)s sinceras.
Mencio(cid:19)n aparte merece el apoyo que en todos sentidos recibimos del
profesor Sergio Herna(cid:19)ndez Castan~eda. Sin(cid:19)el este libro no hubiera sido posi-
ble. Sergio no so(cid:19)lo es una presencia important(cid:19)(cid:16)sima dentro del seminario
mencionado, sino que desde que nos iniciamos juntos en el estudio y, poste-
riormente, en la ensen~anza de la Teor(cid:19)(cid:16)a de Juegos, empezamos a desarrollar
una parte importante del material que contiene este texto.
Queremos, por u(cid:19)ltimo, hacer constar nuestro reconocimiento a los arbi-
tros que revisaron el trabajo por las valiosas sugerencias que hicieron, las
cua(cid:19)les esperamos haber incorporado como ellos deseaban.
Por supuesto, la autora se declara como la u(cid:19)nica responsable de todos
los errores y limitaciones que contenga el texto.
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