Ebene Flächentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten

494 Pages·1998·10.32 MB·German

by  Professor Dr.-Ing. habil. Dr.h.c. Johannes Altenbach

Holm Altenbach . Johannes Altenbach . Konstantin Naumenko
Ebene Flächentragwerke
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Holm Altenbach · Johannes Altenbach
Konstantin Naumenko
Ebene
Flächentragwerke
Grundlagen der Modellierung
und Berechnung von Scheiben
und Platten
Mit 162 Abbildungen
" Springer
Professor Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. JOHANNES ALTENBACH
Forderstedter Str. 28
D -39112 Magdeburg
Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. HOLM ALTENBACH
Dr.-Ing. KONSTANTIN NAUMENKO
Lehrstuhl ftir Technische Mechanik
Fachbereich Werkstoffwissenschaften
Martin-Luther -Universitat Halle-Wittenberg
D -06099 Halle (Saale)
Die Deutsche Bibiliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Altenbach, Holm:
Ebene FIăchentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten 1
Holm Altenbach; Johannes Altenbach; KonstantinNaumenko. -Berlin; Heidelberg; New York;
Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer, 1998
ISBN 978-3-642-63697-4 ISBN 978-3-642-58721-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-58721-4
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1998
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SPIN: 10575552 68/3020 -5 4 3 21 o -Gedruckt auf săurefreiem Papier
Vorwort
Das vorliegende Lehrbuch ist das Ergebnis der fast 40jährigen Forschungs
und Lehrtätigkeit des ersten Autors sowie der fast 20jährigen bzw. lOjährigen
Forschungsarbeiten der beiden anderen Autoren auf dem Gebiet der "Ebe
nen Flächentragwerke" . Ausgangspunkt der Arbeit an diesem Buch war die
Erkenntnis, daß seit vielen Jahren kein eigenständiges Lehrbuch zu dieser
Problematik in deutscher Sprache erschienen ist. Die daraus resultierende
Notwendigkeit, den Studenten des Bauingenieurwesens und des Maschinen
baus sowie anderer Fachrichtungen ein aktuelles Lehrbuch zur Verfügung zu
stellen, wurde von vielen Fachkollegen bestätigt. Aber auch für Hochschulleh
rer, die dieses Gebiet in der Lehre vertreten, Nachwuchswissenschaftler, die
sich mit entsprechenden Fragestellungen auseinandersetzen müssen, sowie in
der Praxis tätige Ingenieure soll das Buch eine Unterstützung sein.
Das Buch folgt in seinem Aufbau den traditionellen Konzepten der
Entwicklung von mechanischen und mathematischen Modellen für ebene
Flächentragwerke. Ausgehend vom Verständnis der klassischen Theorie las
sen sich nach Auffassung der Autoren moderne Trends, die u.a. mit der
Einführung sogenannter Direktor-Kontinua verbunden sind, besser bewer
ten, da die "Schwächen" der klassischen Theorie, z.B. bei der Formulierung
der Randbedingungen, erkennbar sind.
Die klassische Theorie ebener Flächentragwerke ist zu großen Teilen
im letzten Jahrhundert abgeschlossen worden. Darüber hinausgehende Ent
wicklungen wurden vor allem unter dem Gesichtspunkt ihrer Bedeutung
für die heutige Strukturmechanik in das Buch aufgenommen. Diese Be
schränkung hat zwei Ursachen. Erstens wurden ausschließlich Erweiterungen
aufgenommen, die mit den methodischen Formulierungsschritten der klassi
schen Theorie übereinstimmen. Dazu zählen Erweiterungen des Stoffgesetzes
(klassisch - isotrop, Erweiterung - anisotrop), Erweiterungen der Kinema
tik (klassisch - schubstarr, Erweiterung - schubelastisch), die Kopplung des
Scheiben- und Plattenzustandes, welche insbesondere für Flächentragwerke
mit unsymmetrischen Querschnittsaufbau (z.B. Laminatplatten) notwen
dig ist, sowie eine erste Einbeziehung der geometrischen Nichtlinearität
(Berücksichtigung großer Durchbiegungen) und der Temperatur. Die zwei
te Ursache der Beschränkung war der vorgegebene Buchumfang. Ungeachtet
der Tatsache, daß der ursprünglich geplante Umfang deutlich überschritten
VI
wurde, bleiben wichtige Teilgebiete der Theorie und Anwendung ebener
Flächentragwerke, wie z.B. die Berücksichtigung inelastischen Werkstoffver
haltens, unberücksichtigt. Auch auf die zunächst geplante Aufnahme kom
plexer, anwendungsorientierter Beispiele wurde verzichtet.
Aus der Sicht der Autoren wird dieses Buch aber seinen Platz finden.
Unter besonderer Berücksichtigung der Anforderungen an ein Lehrbuch liegt
sein Schwerpunkt auf einer methodisch einheitlichen Ableitung der verschie
denen Plattenmodelle, der Erläuterung analytischer Lösungswege und von
Näherungslösungen mit Funktionenansätzen für die gesamte Scheibe bzw.
Platte. Die heute vorrangig eingesetzten numerischen Verfahren, wie die
Finite-Elemente-Methode, das Finite-Differenzen-Verfahrens u.a.m., wurden
bewußt ausgelassen, da hierzu eine umfangreiche Spezialliteratur existiert. Es
zeigt sich jedoch immer mehr, daß der effektive und korrekte Einsatz dieser
Verfahren ein vertieftes Verständnis der strukturmechanischen Grundlagen
verlangt. Insbesondere diesem soll mit dem Buch Rechnung getragen wer
den.
Bezüglich der Ableitung der Strukturgleichungen folgt das Lehrbuch der
induktiven Vorgehensweise. Dabei wird bei der Formulierung der Grundglei
chungen stets die gleiche Reihenfolge eingehalten. Dies hat nach Auffassung
der Autoren methodische Vorteile.
Die Einarbeitung in die Theorie ebener Flächentragwerke setzt solide
Kenntnisse der Höheren Mathematik voraus. Die notwendigen mathemati
schen Grundlagen werden innerhalb der Mathematikausbildung behandelt.
Ungeachtet dieser Tatsache wurden bestimmte mathematische Techniken aus
dem Textteil herausgelöst und in kompakter Darstellung in einem Anhang
dargelegt. Dies soll hauptsächlich das Lesen und das mechanische Verständnis
erleichtern. Zur Auflockerung des Textes und zur Erleichterung des Lesens
wurden zahlreiche Abbildungen integriert. Diese enthalten schwerpunkt mäßig
qualitative Aussagen, quantitative Aussagen lassen sich den Abbildungen nur
in beschränktem Umfang entnehmen.
Der Inhalt des Lehrbuches gliedert sich wie folgt. Mit der Einleitung wer
den Grundbegriffe formuliert und eine Klassifikation ebener Flächentragwerke
gegeben. Der Umfang ist hier sicherlich größer als bei anderen Lehrbüchern,
das weitere Studium des Buches wird jedoch nach Auffassung der Auto
ren erleichtert. Gleichzeitig werden die wichtigsten Grundlagen der Elasti
zitätstheorie, auf denen die weiteren Ableitungen beruhen, bereitgestellt. Die
bei den nachfolgenden Kapitel stellen den Schwerpunkt des Buches dar. Bei
Beschränkung auf geometrische Linearität und isotropes elastisches Werk
stoffverhalten werden die Theorie der Scheiben und die Theorie der Plat
ten abgehandelt. Dabei liegt das Hauptaugenmerk auf statischen Problemen.
Bezüglich der Koordinatensysteme werden kartesische und Polarkoordina
ten sowie schiefwinklige Koordinaten eingeführt. Letztere sind in anderen
Lehrbüchern selten zu finden. Neben der indizierten Schreibweise wird die
kompakte Vektor-Matrix-Schreibweise, die für numerische Verfahren bedeut-
VII
sam ist, angewendet. Im jeweiligen zweiten Teil der beiden Kapitel findet
der Leser zahlreiche Beispiele. Diese werden insbesondere unter dem Aspekt
der Möglichkeit exakter Lösungen bzw. von Näherungslösungen diskutiert.
Damit stehen zahlreiche Aufgaben bereit, deren Lösungen beim Testen nu
merischer Verfahren herangezogen werden können. Mit dem vierten Kapitel
wird das kinematische Modell durch Mitnahme von unabhängigen Rotations
freiheitsgraden erweitert. Somit wird einem aktuellen Trend bei der Anwen
dung der Theorie ebener Flächentragwerke Rechnung getragen, der für die
Modellierung und Berechnung schubweicher Konstruktionselemente von Be
deutung ist. Für Laminat- und Sandwich-Tragwerke, aber auch für bewehrte
Betonplatten bzw. Platten mit Versteifungselementen muß die Anisotropie im
Stoffgesetz berücksichtigt werden. Im fünften Kapitel werden die für anisotro
pe Flächentragwerke erforderlichen Gleichungen zusammengefaßt. Daneben
findet der Leser eine Einführung in die Strukturmechanik von Laminat- und
Sandwich-Tragwerken. Ausführlich sind jedoch diese Fragen in einem spezi
ellen Lehrbuch von H. Altenbach, J. Altenbach und R. Rikards "Einführung
in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke" aus dem Jahr 1996
behandelt. Kapitel 6 enthält die Ableitung der Gleichungen für dünne Plat
ten großer Durchbiegung, wobei eine Beschränkung auf das nichtlineare, von
Karmansche Plattenmodell erfolgte. Die zunehmende Bedeutung von tem
peraturinduzierten Spannungen und Verzerrungen für die Strukturmechanik
führte dazu, daß im Kapitel 7 die vorher behandelten Plattenmodelle für ther
moelastische Aufgabenstellungen erweitert werden. Das abschließende Kapi
tel 8 gibt einen kurzen Überblick über andere Formulierungskonzepte der
Strukturgleichungen, über die Berücksichtigung des nichtlinearen Material
verhaltens und über die Entwicklungsetappen in der Plattentheorie.
Dem Charakter eines Lehrbuches entsprechend wurden die Literaturan
gaben beschränkt, und es wurden mit nur wenigen Ausnahmen, besonders im
Kapitel 8, keine wissenschaftlichen Publikationen in Fachzeitschriften aufge
nommen. Die Kollegen, die im Rahmen der außerordentlich großen Zahl wis
senschaftlicher Publikationen Beiträge zur Entwicklung der Scheiben- und
Plattentheorie geleistet haben, mögen dies den Autoren verzeihen.
Das Buch wäre nicht ohne Unterstützung zahlreicher Freunde und Kolle
gen entstanden. Ohne eine Vollständigkeit zu garantieren seien beispielhaft
folgende Namen genannt: die Herren Dr.-Ing. S. Holweg, Dipl.-Ing. J. Mee
nen, die Teile des Manuskriptes gelesen und mit uns diskutiert haben, sowie
Frau V. Naumenko, die insbesondere bei der sprachlichen Durchsicht gehol
fen hat. Frau S. Runkel hat sich hauptsächlich um das Schreiben in ]g.TgX
bemüht. Frau S. Cuneus und Herr T. Lehnert vom Springer-Verlag sei gleich
falls für die Unterstützung und das Entgegenkommen gedankt. Der Inhalt
des Buches wurde an verschiedenen Stellen ganz bzw. teilweise vorgetragen.
Dabei wurden auch finanzielle Mittel vom DAAD eingesetzt. Die Umset
zung des Manuskriptes, insbesondere das Erstellen der Abbildungen sowie
das Compilieren des Manuskriptes erfolgte auf einem leistungsfähigen PC,
VIII
der von der Alexander von Humboldt-Stiftung bereitgestellt wurde. Bei der
Konzeption und Realisierung des Buches wurden auch Ergebnisse genutzt,
die in einem von der DFG geförderten Projekt (Kennzeichen Al 341/7-1) ge
wonnen wurden. Besonderer Dank sei abschließend unseren Kollegen W.B.
Krätzig (Ruhr-Universität Bochum) und H.A. Mang (TU Wien) ausgedrückt.
Der Erstgenannte hat von Beginn an das Projekt unterstützt und gleichzei
tig für die Vermeidung von ungewünschten Doppelungen mit den gleichfalls
beim Springer-Verlag erschienen, eigenen Büchern Tragwerke 1-3 gesorgt. Der
Zweitgenannte stellte kurzfristig sein eige~es Manuskript zu diesem Thema
bereit, so daß auch hier ein Abgleich erfolgen konnte.
Magdeburg, Merseburg,
zum Jahreswechsel 1997/98
J. Altenbach, H. Altenbach, K. Naumenko
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tragwerkstheorien und Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . .. 10
1.3 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
1.3.1 Koordinatensystem, Verschiebungen, Spannungen. . .. 18
1.3.2 Kinematische Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
1.3.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
1.3.4 Konstitutive Gleichungen, Werkstoffgesetz . . . . . . . . . .. 30
1.3.5 Randwert- und Anfangs-Randwertaufgaben der linea-
ren Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
1.3.6 Variationsprinzipe der Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . .. 35
2 Scheiben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
2.1 Grundgleichungen und Randbedingungen für isotrope Scheiben 42
2.1.1 Scheibengleichung in kartesischen Koordinaten. . . . . .. 45
2.1.2 Vektor-Matrix-Schreibweise........................ 54
2.1.3 Energieformulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
2.1.4 Scheibengleichung in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . .. 59
2.1.5 Scheibengleichung in schiefwinkligen Koordinaten .... 65
2.1.6 Festigkeit und Steifigkeit von Scheiben. . . . . . . . . . . . .. 71
2.1.7 Zusammenfassung der Grundgleichungen . . . . . . . . . . .. 74
2.2 Beispiele.............................................. 74
2.2.1 Allgemeine Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
2.2.2 Elementare Lösungen der Scheibengleichung .. . . . . . .. 82
2.2.3 Wandartige Träger ............................... 104
2.2.4 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringscheiben .. 122
2.2.5 Nichtrotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordi-
naten .......................................... 131
2.2.6 Näherungslösungen nach Ritz, Galerkin, Wlassow und
Kantorowitsch ................................... 135
2.2.7 Zusammenfassung der Beispiellösungen .............. 143
X Inhaltsverzeichnis
3 Schubstarre Platten mit kleinen Durchbiegungen .............. 145
3.1 Grundgleichungen und Randbedingungen für isotrope Platten 146
3.1.1 Plattengleichung in kartesischen Koordinaten ........ 148
3.1.2 Vektor-Matrix-Schreibweise ........................ 171
3.1.3 Energieformulierungen ............................ 173
3.1.4 Plattengleichung in Polarkoordinaten ., ............. 176
3.1.5 Plattengleichung in schiefwinkligen Koordinaten ...... 182
3.1.6 Festigkeit und Steifigkeit von Platten ............... 193
3.1.7 Zusammenfassung der Grundgleichungen ............ 195
3.2 Beispiele .............................................. 196
3.2.1 Allgemeine Lösungsmethoden ...................... 197
3.2.2 Elementare Lösungen der Plattengleichung .......... 197
3.2.3 Rechteckplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.2.4 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten ... 233
3.2.5 Nichtrotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordi-
naten ........................................... 240
3.2.6 Näherungslösungen nach Ritz, Galerkin, Wlassow und
Kantorowitsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.2.7 Eigenschwingungen ............................... 276
3.2.8 Zusammenfassung der Beispiellösungen .............. 286
4 Schubelastische Platten mit kleinen Durchbiegungen .......... 289
4.1 Grundgleichungen und Randbedingungen für isotrope Platten 290
4.1.1 Plattengleichung in kartesischen Koordinaten ........ 291
4.1.2 Energieformulierungen ............................ 300
4.1.3 Plattengleichung in Polarkoordinaten ............... 303
4.1.4 Zusammenfassung der Grundgleichungen ............ 307
4.2 Beispiele .............................................. 308
4.2.1 Rechteckplatten .................................. 308
4.2.2 Kreisplatten ..................................... 311
4.2.3 Zusammenfassung der Beispiellösungen .............. 313
5 Anisotrope Scheiben und Platten ............................ 315
5.1 Grundgleichungen für anisotrope ebene Tragwerke .......... 317
5.1.1 Anisotropes Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.1.2 Scheibenproblem ................................. 320
5.1.3 Plattenproblem .................................. 324
5.1.4 Gekoppelte Platten-Scheiben-Zustände .............. 326
5.1.5 Sonderfall orthotroper Scheiben und Platten ........ 328
5.1.6 Ermittlung von Ersatzsteifigkeiten .................. 330
5.2 Laminattheorie ......................................... 335
5.2.1 Monotrope Einzelschicht .......................... 335
5.2.2 Klassische Laminattheorie ......................... 340
5.2.3 Verbesserte Laminattheorie ........................ 349
5.2.4 Strukturgleichungen für Laminatscheiben und -platten 352