E. Zöchmann, Konforme Abbildungen - Analysis and Scientific

31 Pages·2011·1.14 MB·English

TU Wien
Institut f(cid:252)r Analysis und Scienti(cid:28)c Computing
Konforme Abbildungen
Bachelorarbeit
im Rahmen der
Bachelorvertiefung Mathematik f(cid:252)r ET
Betreuer
Herfort, Wolfgang; Ao.Univ.Prof. Mag.rer.nat. Dr.phil.
von
Erich Z(cid:246)chmann
0925702
22. September 2011
Kurzzusammenfassung
Mittels holomorpher Funktionen lassen sich Gebiete winkel- und orientierungstreu
transformieren. Diese Funktionen werden auch als konform bezeichnet. In vielen An-
wendungsf(cid:228)llen existieren L(cid:246)sungen f(cid:252)r einfache Geometrien. Dank des Verp(cid:29)anzungs-
prinzipswerdenL(cid:246)sungenimtransformiertenGebietgesuchtundaufdasurspr(cid:252)ngliche
r(cid:252)ck gerechnet.
Das erste Kapital dient neben der Einf(cid:252)hrung in die Funktionentheorie dem Vertraut-
werden mit der Syntax und den Formulierungen der Arbeit.
Im zweiten Kapitel wird die De(cid:28)nition der konformen Abbildung gegeben und auf
deren Existenz eingegangen. Es wird kurz der (kleine) Riemannsche Abbildungssatz
vorgestellt, ohne diesen zu beweisen.
DenSchwarzChristo(cid:27)elTransformationenwirdalsSpezialfalldas3.Kapitalgewidmet.
Hier soll ebenfalls nur die Idee der Herleitung pr(cid:228)sentiert werden. Die exakte Beweis-
f(cid:252)hrung kann in der Fachliteratur nachgelesen werden.
Den Abschluss bilden Beispiele aus Elektro- und Magnetostatik. Neben einem klas-
sischen Lehrbuchbeispiel - dem Zylinderkondensator - wird auch auf ein IEEE Paper
eingangen. Es wird versucht, den mathematischen Hintergrund in diesem Paper zu
beleuchten.
I
Abstract
Holomorphic (analytic) functions preserve angle and orientation. These functions are
called conformal. In many situations solutions for simple geometries are at hand. The
rules of complex di(cid:27)erentiation allow to solve the problem for the transformed region.
After transforming back, the solution in the original domain can be given.
The (cid:28)rst chapter is a short introduction to complex analyis and provides some ma-
thematical notation.
In the second chapter, the de(cid:28)nition and the existence of conformal mapping is gi-
ven. The Riemann Mapping Theorem will be presented brie(cid:29)y without proofs.
The Schwarz Christo(cid:27)el transformation is a particular case of conformal mapping.
The third chapter presents a sketch of proof.
This thesis concludes describing some examples from electro and magnetostatics; the
cylindricalcapacitorisaclassicaltextbookexampleandamagneticpermeanceexample
from an IEEE paper is discussed.
II
Inhaltsverzeichnis
1 Funktionentheoretische Einf(cid:252)hrung 1
1.1 Multiplikation mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Di(cid:27)erenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Komplexes Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Gebietstreue holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Winkeltreue holomorpher Funtkionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Orientierungstreue holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Eigenschaften konformer Abbildungen 7
2.1 Konformit(cid:228)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Biholomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 (cid:220)berlagerungs- und Verp(cid:29)anzungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Komposition konformer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Riemannscher Abbbildungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Schwarz Christo(cid:27)el Transformation 10
3.1 Idee der Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Schwarz Christo(cid:27)el Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Beispiele anhand elektromagnetischer Felder 13
4.1 Laplacegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.1 Zylinderkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3.1 Permeanz einer Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
III
1 Funktionentheoretische
Einf(cid:252)hrung
1.1 Multiplikation mit komplexen Zahlen
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z ,z in Polarkoordinaten (z = |z|eiarg(z))
1 2
kann folgenderma(cid:255)en erkl(cid:228)rt werden:
|z z | = |z | |z | arg(z z ) = arg(z )+arg(z ) (mod2π) (1.1)
1 2 1 2 1 2 1 2
C
Unter einer komplexen Funktion versteht man Funktionen mit De(cid:28)nitionsbereich
C
und Wertebereich . Also:
f : C → C z (cid:55)→ f(z) (1.2)
Eine komplexe Funktion f(z) = cz mit c ∈ C bedeutet demnach eine Drehstreckung
[8]. Drehstreckungen sind linear, denn:
f (λ z +λ z ) = c(λ z +λ z ) = λ cz +λ cz = λ f (z )+λ f (z ) (1.3)
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
Lineare Abbildungen k(cid:246)nnen mittels Matrizen dargestellt werden. Die Drehstreckung
(cid:112)
mittels Skalierungsfaktor r = x2 +y2 und Drehwinkel ϕ = arctan y kann (cid:252)ber fol-
x
gende lineare Abbildung beschrieben werden:
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)(cid:32) (cid:33)
x rcosϕ −rsinϕ x
(cid:55)→ (1.4)
y rsinϕ rcosϕ y
1
Di(cid:27)erenzierbarkeit Konforme Abbildungen
Eine komplexe Zahl kann man also auch als Matrix au(cid:27)assen.
(cid:32) (cid:33)
a −b
c = a+ib = (1.5)
(cid:98)
b a
1.2 Di(cid:27)erenzierbarkeit
Die Ableitung einer Funktion f(z) kann wie im Reellen mit Hilfe einer Grenzwertbil-
dung gefunden werden. Die Funktion f(z) ist in einem beliebigen Punkt z komplex
0
di(cid:27)erenzierbar, wenn der Grenzwert
f(z)−f(z )
lim 0 = f(cid:48)(z ) (1.6)
0
z→z0 z −z0
existiert.
Wenn man den Isomorphismus zwischen R2 und C ausn(cid:252)tzt, kann man die Funkti-
on f(z) = f(x+iy) auch als Summe reller Funktionen
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
u(x,y) Ref(x+iy)
(cid:126)
f(x,y) = = (1.7)
v(x,y) Imf(x+iy)
darstellen, sodass f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y).
(cid:126)
Die Ableitung der Funktion f(x,y) besitzt die Jacobi-Matrix der Form
(cid:32) (cid:33)
u v
x x
J (x,y) = . (1.8)
f
u v
y y
DadieseAbleitunganeinerStellez = x +iy einerkomplexenZahlentspricht,k(cid:246)nnen
0 0 0
aus der Matrixschreibweise f(cid:252)r komplexe Zahlen (1.5) die Cauchy-Riemannschen
Di(cid:27)erentialgleichungen abgelesen werden [3].
u = v u = −v (1.9)
x y y x
Erich Z(cid:246)chmann 2
Komplexes Potential Konforme Abbildungen
Ist K (z ) eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt z und Radius ε > 0 und ist f(z),z ∈
ε 0 0
K (z ) komplex di(cid:27)erenzierbar, so ist f holomorph.
ε 0
Mit Hilfe des mehrdimensionalen Mittelwertsatzes und den Cauchy-Riemannschen Dif-
ferentialgleichungen l(cid:228)sst sich zeigen, dass man die komplexe Ableitung auch folgen-
derma(cid:255)en de(cid:28)nieren kann [6]:
f(cid:48)(z) = u +iv = v −iu (1.10)
x x y y
Durch nochmaliges Anwenden der Cauchy-Riemannschen Di(cid:27)erentialgleichungen kann
man die Ableitung rein (cid:252)ber Real- oder Imagin(cid:228)rteile de(cid:28)nieren [3].
f(cid:48)(z) = u −iu = v +iv (1.11)
x y y x
1.3 Komplexes Potential
F(cid:252)r ein ebenes Vektorfeld
(cid:32) (cid:33)
P(x,y)
(cid:126) ∼
F(x,y) = = P(x,y)+iQ(x,y) = F(x+iy) (1.12)
Q(x,y)
ist die Funktion
(cid:126)
ϕ : gradϕ = F(x,y) (1.13)
eine (reelle) Potentialfunktion. F(cid:252)r ein Vektorfeld mit Potentialfunktion m(cid:252)ssen die
Integrabilit(cid:228)tsbedingungen gelten [6].
∂P(x,y) ∂Q(x,y)
= (1.14)
∂y ∂y
Dies ist gleichbedeutend mit rotF(cid:126) =(cid:126)0. Wenn eine Funktion ψ derart gefunden werden
kann, dass
f(z) = f(x+iy) = ϕ(x,y)+iψ(x,y) (1.15)
Erich Z(cid:246)chmann 3
Gebietstreue holomorpher Funktionen Konforme Abbildungen
holomorph ist, so kann f(z) als komplexes Potential gedeutet werden. Die Funktion
ψ(x,y) wird als konjugiert harmonische Funktion bezeichnet und ist bis auf eine addi-
(cid:126)
tive Konstante eindeutig bestimmt. Das Vektorfeld F(x,y) kann aus der Gleichung
(cid:32) (cid:33)
ϕ
F(cid:126)(x,y) = gradϕ(x,y) = x ∼= ϕ +iϕ = f(z)(cid:48) (1.16)
x y
ϕ
y
gewonnen werden. Die Niveaulinien ϕ(x,y) = c und ψ(x,y) = c schneiden einander
1 2
im rechten Winkel [8], da
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
ϕ ψ
x x
(cid:104)gradϕ,gradψ(cid:105) = (cid:104) , (cid:105) = ϕ ψ +ϕ ψ = ϕ ψ +(−ψ ) ϕ = 0 (1.17)
x x y y x x x x
ϕ ψ
y y
Dadurch lassen sich diese Niveaulinien physikalisch interpretieren. Die Niveaulinie
ϕ(x,y) = c entspricht einer ˜quipotential(cid:29)(cid:228)che; ψ(x,y) = c einer Flusslinie.
1 2
1.4 Gebietstreue holomorpher Funktionen
UntereinemGebietGverstehtmaneineTeilmengederkomplexenZahlenebeneG ⊆ C,
f(cid:252)r die gilt [6]:
• G ist o(cid:27)en.
• G ist zusammenh(cid:228)ngend
• G (cid:54)= {}
F(cid:252)r jede nicht konstante, holomorphe Funktion f auf dem Gebiet G ist das Bild f(G)
1
wieder ein Gebiet. Damit das Gebiet zusammenh(cid:228)ngend ist, reicht die Stetigkeit , wel-
che aus der Holomorphie folgt. Um die O(cid:27)enheit zu zeigen, braucht es einige grundle-
gende S(cid:228)tze. Der Beweis kann z.B. in [6] gefunden werden.
1ε−δ Stetigkeit: kleine Argument(cid:228)nderungen f(cid:252)hren zu kleinen ˜nderungen der Funktionswerte
Erich Z(cid:246)chmann 4
Winkeltreue holomorpher Funtkionen Konforme Abbildungen
1.5 Winkeltreue holomorpher Funtkionen
Eine Abbildung f wird als winkeltreu bezeichnet, wenn f(cid:252)r je 2 beliebige, di(cid:27)erenzier-
bare Wege γ ,γ mit Schnittpunkt z bei t die Gleichung
1 2 0 0
(cid:104)f(cid:48)(γ (t )),f(cid:48)(γ (t ))(cid:105) (cid:104)γ(cid:48)(t ),γ(cid:48)(t )(cid:105)
cosα = 1 0 2 0 = 1 0 2 0 (1.18)
(cid:107)f(cid:48)(γ (t ))(cid:107)(cid:107)f(cid:48)(γ (t ))(cid:107) (cid:107)γ(cid:48)(t )(cid:107)(cid:107)γ(cid:48)(t )(cid:107)
1 0 2 0 1 0 2 0
gilt. Es m(cid:252)ssen also die Schnittwinkel der Ableitungen der Wege und die Schnittwinkel
der Ableitungen der Bilder der Wege ident sein. Wenn man wissen m(cid:246)chte, wie das
Bild gedreht wurde, muss man nur das Argument der komplexen Ableitung entlang
irgend eines Weges bestimmen [1]. In Analogie zu (1.6):
(cid:18) (cid:19)
f(z)−f(z )
lim arg 0 = arg(cid:0)(f(z ))(cid:48)(cid:1) = arg(cid:0)(f(z)◦γ(t ))(cid:48)(cid:1) (1.19)
0 0
z→z0 z −z0
= arg(f(cid:48)(γ(t )) γ(cid:48)(t )) = arg(f(cid:48)(z ))+arg(γ(cid:48)(t )) (1.20)
0 0 0 0
Durch die freie Wahl des Weges entlang der Grenzwertbildung ist der Drehwinkel der
Abbildung entlang aller Wege gleich. F(cid:252)r in(cid:28)nitesimal kleine Abweichungen von γ (cid:228)n-
dert sich der Wert der Ableitung nicht, darum erf(cid:228)hrt das in(cid:28)nitesimale Geradenst(cid:252)ck
γ(cid:48) dieselbe Winkeldrehung. Somit ist die Holomorphie gleichbedeutend mit der Win-
keltreue. Die Ableitung darf allerdings nicht 0 werden, da sonst (1.18) nicht de(cid:28)niert
ist.
1.6 Orientierungstreue holomorpher Funktionen
(cid:126)
Anhand des Vorzeichens der Funktionaldeterminate der Funktion f(x,y) kann die Ori-
entierungstreuefestgestelltwerden[9].(cid:220)berdieDarstellungderJacobimatix(1.8)kann
die Funktionaldeterminate mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Di(cid:27)erentialgleichungen
(1.9) folgenderma(cid:255)en formuliert werden.
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
u v u v
det x x = det x x = u 2 +v 2 ≥ 0 (1.21)
x x
u v −v u
y y x x
Erich Z(cid:246)chmann 5
Orientierungstreue holomorpher Funktionen Konforme Abbildungen
Abbildung 1.1: Winkeltreue einer holomorphen Abbildung
Wobei die Funktionaldeterminate nur bei Nullstellen der Ableitung 0 werden kann.
Gra(cid:28)k 1.1 zeigt neben der Winkeltreue auch die Orientierungstreue einer holomorphen
Abbildung.
Erich Z(cid:246)chmann 6