Dynamische Systeme: Ergodentheorie und topologische Dynamik

167 Pages·2014·5.037 MB·German

by  Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt (auth.)

Mathematik Kompakt
Manfred Einsiedler
Klaus Schmidt
Dynamische
Systeme
Ergodentheorie und
topologische Dynamik
Mathematik Kompakt
Mathematik Kompakt
Herausgegebenvon:
MartinBrokate
HeinzW.Engl
Karl-HeinzHoffmann
GötzKersting
KristinaReiss
OtmarScherzer
GernotStroth
EmoWelzl
DieneukonzipierteLehrbuchreiheMathematikKompaktisteineReaktionaufdieUmstel-
lungderDiplomstudiengängeinMathematikzuBachelorundMasterabschlüssen.Ähnlich
wiedieneuenStudiengängeselbstistdieReihemodularaufgebautundalsUnterstützung
derDozierendensowiealsMaterialzumSelbststudiumfürStudierendegedacht.DerUm-
fang eines Bandes orientiert sich an der möglichen Stofffülle einer Vorlesung von zwei
Semesterwochenstunden.DerInhaltgreiftneueEntwicklungendesFachesaufundbezieht
auch dieMöglichkeiten der neuenMedien mitein.VieleanwendungsrelevanteBeispiele
gebendenBenutzernÜbungsmöglichkeiten.ZusätzlichbetontdieReiheBezügederEin-
zeldisziplinenuntereinander.
Mit Mathematik Kompakt entsteht eine Reihe, die die neuen Studienstrukturen berück-
sichtigtundfürDozierendeundStudierendeeinbreitesSpektrumanWahlmöglichkeiten
bereitstellt.
Manfred Einsiedler · Klaus Schmidt
Dynamische Systeme
Ergodentheorie und topologische Dynamik
ManfredEinsiedler KlausSchmidt
DepartementMathematik FakultätfürMathematik
ETHZürich UniversitätWien
Zürich,Schweiz Wien,Österreich
ISBN978-3-0348-0633-6 ISBN978-3-0348-0634-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-0348-0634-3
SpringerBaselDordrechtHeidelbergLondonNewYork
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte
bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2010):Primary:37-01,37A05,37A35,28D05,28D20,54H20;Secondary:
37A25,37A45,37A50,37C85
©SpringerBasel2014
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Vorwort
VieleSystemeausderPhysik,derBiologieoderderÖkonomiesindeinerZeitentwicklung
unterworfen,derenasymptotischesVerhaltenvonzentralem Interesseist.Diemathema-
tischeTheoriederdynamischenSystemebeschäftigtsichmitderUntersuchungvonMo-
dellen derartiger Systeme, wobeimannormalerweiseannimmt, dasssich dasqualitative
Verhalten des Systems im Laufe der Zeitentwicklung nicht ändert. Dabei wählt man als
ZustandsraumdesSystemseineMengeXmiteinervorgegebenenStruktur(z.B.einento-
pologischenRaumodereinenMaßraum),dieunterderZeitentwicklung erhaltenbleiben
soll.WenndasSystemzueinemZeitpunkt t imZustandx ∈ Xist,dannbezeichnetman

mitTxdenZustanddesSystemszumZeitpunktt +t.DiesodefiniertenAbbildungenT
t  t
bildeneineHalbgruppe:Ts ○Tt = Ts+t füralles,t ≥ .Jenachdem,obmandieZeitent-
wicklungkontinuierlich odernurzuVielfacheneinesgegebenen Zeitpunktes t verfolgt,

sprichtmanvoneinem„kontinuierlichen“oder„diskreten“dynamischenSystem.
Im Fall einer diskreten Zeitentwicklung wird ein dynamisches System also durch ein
Paar(X,T)beschrieben,wobeiXeineMengeundT∶X (cid:6)→ XeineAbbildungist,diedie
EntwicklungdesSystemsineinemZeitschrittbeschreibt.WennXeintopologischerRaum
(hiermeistkompaktundmetrisierbar)undT∶X (cid:6)→Xstetigist,sosprichtmanvoneinem
topologischendynamischenSystem.WennderZustandsraumeinWahrscheinlichkeitsraum
(X,S,μ)undT∶X (cid:6)→ X einemaßerhaltendeTransformationist,soistmanimBereich
der Ergodentheorie, die sich mit dem statistischen Verhalten des Systems oder eines zu-
fälliggewählten „typischen“AnfangszustandsdesSystemsimLaufederZeitentwicklung
beschäftigt.
DieasymptotischenEigenschaften,andenenmanbeieinemdynamischenSystemin-
teressiertist,hängennatürlichvonderStrukturdesSystemsab.Beieinemtopologischen
dynamischen System kann man z.B. untersuchen, ob das System eine Bahn hat, die im
Zustandsraum X dicht liegt, oder obsogarjede Bahndes Systems dicht in X liegt. Eine
weiterewichtigeFragebetrifftdieAuswirkunggeringfügigerÄnderungendesAnfangszu-
standsaufdieBahndesZustands:Wennx,yverschiedeneAnfangszuständedesSystems
sind,könnendiePunkte Tkx,Tky füralle k ≥ nahebeisammenliegen?DerartigeFra-
genwerdenimerstenKapiteldiesesBuchesuntersucht,wobeiwirbesonderesAugenmerk
auftopologischeMischungs-undRekurrenzeigenschaften,MinimalitätsowiedieExistenz
undmöglicheEindeutigkeitinvarianterWahrscheinlichkeitsmaßelegen.
V
VI Vorwort
Beimaßtheoretischen dynamischenSystemenistmananqualitativen undquantitati-
venAussagenüberdiestatistischeKomplexitätdesSystemsundseinertypischenBahnen
interessiert.DaszweiteKapiteldiesesBuchesbieteteineEinführungindieErgodentheorie
mit den klassischen Ergodensätzen und Mischungseigenschaften sowie mit einigen An-
wendungenaufGleichverteilung,ZiffernentwicklungenundstochastischeProzesse.
DieKap.3und4behandelndieEntropiedynamischerSysteme.Derursprünglichaus
derstatistischenPhysikstammendeBegriffderEntropieistaufdemWegederInformati-
onstheoriezuzentralerBedeutungfürdieDynamikgelangt,woerdieKomplexitäteines
dynamischenSystemsquantifiziert.DasdritteKapitelistdenDefinitionenundEigenschaf-
tensowiederBerechnungdermaßtheoretischenEntropieergodischerTransformationge-
widmet. Das vierte Kapitel bietet eine Einführung in die topologische Entropie stetiger
TransformationenunddenZusammenhangzwischentopologischerundmaßtheoretischer
Entropie.
IndenletztenJahrzehntenbetrachtetdieTheoriederDynamischenSystemeinzuneh-
mendem Maße nicht nur „lineare“ Zeitentwicklungen, sondern auch Wirkungen mehr-
dimensionalerSymmetriegruppen aufSystememathematischenoderphysikalischenUr-
sprungs.DabeiergebensichQuerverbindungennichtnurzurstatistischenPhysik,sondern
überraschenderweise auch zu mathematischen Disziplinen wie der klassischen Zahlen-
theorie und der Algebra. In Kap. 5 wenden wir uns zwei Beispielen aus der mehrpara-
metrischenDynamikzu,dieeinenerstenEinblickintiefearithmetischeZusammenhänge
bieten,dieindenletztenJahrenzubemerkenswertenmathematischenForschungsergeb-
nissengeführthaben.
DerInhaltdiesesBuchesentsprichteinerVorlesungfürStudierendedesletztenStudien-
jahrsdesBachelorstudiumsundfürStudierendedesMasterstudiums,wobeisicheineden
InteressenderStudierendenangepassteThemenauswahlempfiehlt.DieerstenbeidenKa-
pitelvermittelndieGrundbegriffeundsinddamitVoraussetzungfürdiespäterenKapitel.
DieKap.3und4sindderEntropietheoriegewidmet.DasKap.5istgrößtenteilsunabhängig
vondenKap.3und4undkanndaher(mitkleinenAbstrichen)unmittelbaraufbauendauf
dieerstenbeidenKapitelbehandeltwerden.Abschnitt5.4inKap.5stelltweitereVerbin-
dungenzurZahlentheorieherundkommtzwarohneweitereVorkenntnisseaus,istaber
inderMethodiketwasanspruchsvolleralsdieerstenKapiteldesBuches.
DerTextbeinhaltetüber100ÜbungsaufgabenunterschiedlicherSchwierigkeit,dieder
Vertiefungderdargestellten Theoriedienen,sowieeinegroßeZahlvonBeispielenzurIl-
lustrationdesunterschiedlichenVerhaltensdynamischerSysteme.
DieAutorensindFranzHofbauerzuDankverpflichtet,derwesentlicheBeiträgezuei-
nerfrüherenFassungdiesesManuskriptsgeleistethat.
ZürichundWien,Jänner2013 ManfredEinsiedler
KlausSchmidt
Inhaltsverzeichnis
1 TopologischeDynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 TopologischedynamischeSysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 TopologischeMischungseigenschaftenundRekurrenz . . . . . . . . 8
1.2 SymbolischeDynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 InvarianteMaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 DerRaumderWahrscheinlichkeitsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 ExistenzinvarianterMaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 InvarianteMaßeaufShifträumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4 EindeutigeErgodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.5 ExistenzergodischerMaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Ergodentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Ergodensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Mischungseigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 AnwendungenderErgodensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.1 EindeutigeErgodizitätundGleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.2 Ziffernentwicklungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.3 StochastischeProzesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1 ZumBegriff„Entropie“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 EntropieeinerZerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 EntropieeinerTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4 DerErgodensatzderInformationstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 BerechnenderEntropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
4 TopologischeEntropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1 DefinitiondertopologischenEntropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.1 DefinitionmittelsÜberdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.2 Definitionmittelsε-dichterundε-getrennterMengen . . . . . . . . 109
4.2 ExpansiveHomöomorphismen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1 DieEntropietopologischerMarkovshifts . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 DieEntropieabbildungunddasVariationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.1 DieEntropieabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2 DasVariationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.3 MaßemitmaximalerEntropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 MehrparametrischedynamischeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 Gruppenaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 FurstenbergsFrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3 AktionenmittelbarerGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4 EinBeispiel:EineAktionderGruppeSL (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4.1 DasHaarmaßaufSL (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4.2 EinerechtsinvarianteMetrikaufSL (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.3 EinGitterinSL (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.4.4 DieErgodentheorievonSL (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4.5 GleichverteilungssätzefürdenhorozyklischenFluss. . . . . . . . . . 146
5.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Topologische Dynamik 1
1.1 TopologischedynamischeSysteme
1.1.1 Grundbegriffe
Es seien X ein nichtleerer kompakter metrisierbarer Raumund T∶X (cid:6)→ X einestetige
Transformation.Dannnenntman(X,T)eintopologischesdynamischesSystem.Wenn T
surjektivist,sonenntmandasSystem(X,T)surjektiv.WennT bijektivist,dannistauch
T−stetig,daXkompaktist.DamitistTalsoeinHomöomorphismusunddasdynamische
System(X,T)heißtinvertierbar.
WirkönnenXalsdenRaumallermöglichenZuständeeinesgegebenenphysikalischen
SystemsunddieTransformationTalszeitlicheEntwicklungdesSystemsauffassen.Istx∈
X der Zustanddes SystemszumZeitpunkt 0,dannist Tn(x)für n ≥ der Zustanddes
Systems zum Zeitpunkt n. Wir sind hier am Langzeitverhalten des Systems interessiert,
also am asymptotischen Verhalten der Folge (Tn(x))n≥ für einen beliebigen Punkt (=
Anfangszustand)xdesSystems.WiesichschoninsehreinfachenBeispielenzeigt,können
sichverschiedene(oftsogarbeliebignahe)Anfangszuständex ∈ X aufsehrverschiedene
(undnichtimmerexplizitbeschreibbare)Weiseentwickeln,sodassmanzurFragenachder
zeitlichenEntwicklungeines„typischen“PunktesoderAnfangszustandsgeführtwird.
Die nun folgenden Definitionen stellen einen Teil des Vokabulars dar, mit Hilfe des-
senwirAussagenüberdasasymptotischeVerhalteneinzelnerZuständeoderdesganzen
Systemsformulierenkönnen.
DieMengeO+(x)={Tn(x)∶ n≥}heißtdieBahndesPunktesx ∈ XunterT.IstT
T
bijektiv, dannkannmanauchdiezweiseitigeBahnO (x) = {Tn(x) ∶ n ∈ Z}vonx be-
T
trachten,wobeiZdieMengederganzenZahlenbezeichnet.DerPunktxheißtperiodisch,
wennein p≥existiertmitTp(x)= x.DiePeriodevonx istdaskleinste p≥mitdieser
Eigenschaft.Wenn T(x) = x gilt, dannistx einFixpunkt,alsoein Zustand,der sichim
LaufederZeitentwicklungnichtändert.
M.Einsiedler,K.Schmidt,DynamischeSysteme,MathematikKompakt, 1
DOI10.1007/978-3-0348-0634-3_1,©SpringerBasel2014