Dynamique non-linéaire appliquée au chaos et à son contrôle

67 Pages·2017·3.44 MB·French

by  Paul Manneville

Couverture: Sur la co^te sauvage de la presqu’ile du Croisic (44), la mer est encore forte apr(cid:18)es le passage
d’une d(cid:19)epression. c P. Manneville, 2002.
(cid:13)
Avant propos
Les notes qui suivent constituent une br(cid:18)eve introduction aux concepts et techniques de la dynamique non-
lin(cid:19)eaire, en vue de leur application au contro^le du chaos, sujet qui a rec(cid:24)u un grand d(cid:19)eveloppement tout au
long des ann(cid:19)ees 90.
Le chapitre 1, destin(cid:19)e a(cid:18) (cid:12)xer le cadre, se contente de donner quelques d(cid:19)e(cid:12)nitions pr(cid:19)eliminaires indis-
pensables. Le chapitre 2 r(cid:19)esume l’(cid:19)etude de la stabilit(cid:19)e de r(cid:19)egimes permanents simples (stationnaires ou
p(cid:19)eriodiques), d(cid:19)ecrit plusieurs sc(cid:19)enarios de transition vers les comportements temporels complexes quali(cid:12)(cid:19)es
de chaotiques qui peuvent se d(cid:19)evelopper quand on \tire" le syst(cid:18)eme consid(cid:19)er(cid:19)e loin de l’(cid:19)equilibre, puis donne
quelques(cid:19)el(cid:19)ementsaidanta(cid:18)leurcompr(cid:19)ehension(aspectstatistiquesetfractals). Onretrouveral’espritdeces
deuxpremierschapitresdansdanslapremi(cid:18)erepartiede[8]dontlasecondetraitedessyst(cid:18)emesdistribu(cid:19)esdans
l’espace. Lelienentrelesaspectsmath(cid:19)ematiquessimplement(cid:19)evoqu(cid:19)esicietl’originephysique desprobl(cid:18)emes
estexpos(cid:19)eassezend(cid:19)etaildans[9]. Ici,nousnouslimitonsa(cid:18)uneapprocheinformelle,limit(cid:19)eea(cid:18)uneintroduc-
tion des principales id(cid:19)ees d(cid:19)evelopp(cid:19)ees de fac(cid:24)on plus d(cid:19)etaill(cid:19)ee dans [10] dont la consultation pourra toujours
^etre compl(cid:19)et(cid:19)ee par celle d’ouvrages math(cid:19)ematiquement plus rigoureux [1{6]. D(cid:19)etails et r(cid:19)ef(cid:19)erences originales
sur le chaos pourront ^etre trouv(cid:19)ees dans de nombreuses sources, des monographies [7,11], des articles de
revue [12], ou des collections d’articles [13{15].
Le chapitre 3 est le v(cid:19)eritable noyau du cours, a(cid:18) savoir l’application de la th(cid:19)eorie des syst(cid:18)emes dy-
namiques au contro^le du chaos. Apr(cid:18)es une br(cid:18)eve discussion de l’approche empirique reposant sur la
mesure d’observables [18,19], je discute d’une forme (cid:19)el(cid:19)ementaire de contro^le, l’asservissement d’un syst(cid:18)eme
a(cid:18) une autre (\synchronisation"), puis j’examine deux techniques maintenant standard de contro^le non-
lin(cid:19)eaire [23,24]. Pour m(cid:19)emoire, un appendice rappelle quelques (cid:19)el(cid:19)ements classiques de contro^le lin(cid:19)eaire.
Sur certains de ses aspects le cours rejoint la pr(cid:19)esentation donn(cid:19)ee dans [28] et dans d’autres livres plus
di(cid:14)ciles d’acc(cid:18)es [29{31]. On trouvera les d(cid:19)eveloppements r(cid:19)ecents relatifs au contro^le du chaos regroup(cid:19)es
(malheureusement de fac(cid:24)on peu synth(cid:19)etique) au sein d’un livre r(cid:19)ecent [32].
Palaiseau, D(cid:19)ecembre 2003
Paul Manneville
[email protected]
i
Notations
Les points des espaces que nous consid(cid:19)ererons (souvent des(cid:19)el(cid:19)ements d’espaces vectoriels du type Rn) seront
not(cid:19)es a(cid:18) l’iade de lettres majuscules grasses, e.g. X (au besoin, les points de l’espace physique seront
d(cid:19)esign(cid:19)es par x). Pour les op(cid:19)erateurs agissant dans ces espaces, sauf exception, nous utiliserons des let-
tres calligraphiques grasses, e.g. . Pour une fonction a(cid:18) valeur vectorielle , nous (cid:19)ecrirons par exemple
F F
Y = (X). S’il s’agit d’un op(cid:19)erateur lin(cid:19)eaire , nous noterons pluto^t Y = X. En g(cid:19)en(cid:19)eral, nous ne
F L L
distingueronspasl’op(cid:19)erateurdelamatricequilerepr(cid:19)esentedansunebasedonn(cid:19)ee, pourradonctoutaussi
L
bien d(cid:19)esigner l’op(cid:19)erateur que la matrice d’(cid:19)el(cid:19)ements l . Les conventions de MatLab, utilis(cid:19)ees a(cid:18) l’occasion,
jj0
seront introduites en temps utile (note 1, p. 35).
Dans le domaine du contro^le, l’unit(cid:19)e imaginaire est le plus souvent not(cid:19)ee j selon la convention des
(cid:19)electriciens. Ici,commeenmath(cid:19)ematiques,nousluiattribueronslalettreiquenousnousabstiendronsdonc
d’utiliserpour d(cid:19)esigner un nombre entier (\integer") quelconque. Le conjugu(cid:19)e d’un nombre complexe z sera
not(cid:19)e z .
(cid:3)
ii
iii
Sommaire
Avant-propos i
Notations ii
Sommaire iii
1 E(cid:19)l(cid:19)ements de th(cid:19)eorie des syst(cid:18)emes dynamiques 1
1.1 D(cid:19)e(cid:12)nitions et propri(cid:19)et(cid:19)es (cid:19)el(cid:19)ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notions de dynamique qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Dynamique e(cid:11)ective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 De l’ordre au chaos 16
2.1 Bifurcations de r(cid:19)egimes r(cid:19)eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 E(cid:19)mergence de comportements complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Th(cid:19)eorie du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Dynamique non-lin(cid:19)eaire appliqu(cid:19)ee 33
3.1 Approche empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Synchronisation de syst(cid:18)emes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 La m(cid:19)ethode du feed-back retard(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 La m(cid:19)ethode OGY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Appendice: Contro^le lin(cid:19)eaire dans l’espace des (cid:19)etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Bibliographie 58
Index 60
Chapitre 1
(cid:19)
El(cid:19)ements de th(cid:19)eorie des syst(cid:18)emes
dynamiques
1.1 D(cid:19)e(cid:12)nitions et propri(cid:19)et(cid:19)es (cid:19)el(cid:19)ementaires
1.1.1 Espace des phases et degr(cid:19)es de libert(cid:19)e
Ladynamiquenonlin(cid:19)eairetraitedesaspectsg(cid:19)en(cid:19)erauxdel’(cid:19)evolutiondesyst(cid:18)emesphysiquesquel’onsuppose
biend(cid:19)ecritspardesmod(cid:18)elesmath(cid:19)ematiquesmettantenjeuunensemblecompletdevariablesd’(cid:19)etat X ;j =
j
f
1;2;:::;d ,coordonn(cid:19)eesdepointsXappartenanta(cid:18)unespace des(cid:19)etats Xdedimensiond. Parunl(cid:19)egerabus
g
de langage ces variables sont appel(cid:19)ees degr(cid:19)es de libert(cid:19)e et X l’espace des phases du syst(cid:18)eme.
La dynamique a(cid:18) temps continu d’un syst(cid:18)eme de dimension (cid:12)nie d s’exprime le plus souvent sous forme
d’un probl(cid:18)eme aux valeurs initiales pour un syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles du premier ordre
dX= (X;t); X(t )=X ; (1.1.1)
dt F 0 0
ou(cid:18) est un champ de vecteurs d(cid:19)e(cid:12)ni sur X et X0 la condition initiale.
F
On observera que la dimension d est (cid:19)egale au nombre de composantes de la condition initiale, une fois
le syst(cid:18)eme ramen(cid:19)e au premier ordre. Ainsi, en m(cid:19)ecanique newtonienne pour un syst(cid:18)eme de particules en
mouvement m ;x soumises a(cid:18) des forces f on a naturellement
n n n
f g
m d2 x =f :
ndt2 n n
Danscetteformulation,lesyst(cid:18)emeestdusecondordreentempset,pourinitialiserl’(cid:19)evolution,ilfautpr(cid:19)eciser
les positions x (t ) et les vitesses dx (t ) des particules. Or, en formulation hamiltonienne, un degr(cid:19)e de
n 0 dt n 0
libert(cid:19)e est une paire form(cid:19)ee d’une coordonn(cid:19)ee g(cid:19)en(cid:19)eralis(cid:19)ee q et de son moment conjugu(cid:19)e p . L’espace des
n n
phases est donc le produit de l’espace de con(cid:12)guration et de l’espace des moments. Le syst(cid:18)eme, gouvern(cid:19)e
par les (cid:19)equations de Hamilton
dq =@ =@p ; dp = @ =@q ; (1.1.2)
dt n H n dt n (cid:0) H n
se trouve automatiquement ramen(cid:19)e au premier ordre, de sorte que l’initialisation suppose la donn(cid:19)ee des
q (t );p (t ) . L’abus de langage (cid:19)evoqu(cid:19)e plus haut vient de ce que, hors du contexte hamiltonien, on a
n 0 n 0
f g
tendanceappelersanspr(cid:19)ecautionparticuli(cid:18)ere\degr(cid:19)edelibert(cid:19)e"toutevariableparticipanta(cid:18)lacaract(cid:19)erisation
del’(cid:19)etatdusyst(cid:18)ememaiscelaestsansgrandrisquedeconfusionquanta(cid:18)ladimensiondel’espacedesphases.
Le probl(cid:18)eme (1.1.1) est bien pos(cid:19)e (une solution unique existe sur un intervalle ouvert entourant t )
0
moyennant des conditions peu restrictives, e.g. de classe 1 (continu a(cid:18) d(cid:19)eriv(cid:19)ees partielles premi(cid:18)eres
F C
continues). Quand la solution partant d’une condition initiale arbitraire existe pour tout temps, on dit
que l’int(cid:19)egration de (1.1.1) d(cid:19)e(cid:12)nit un (cid:13)ot, i.e. une application inversible de X sur lui-m^eme d(cid:19)ependant du
param(cid:18)etre continu t (le temps). Pour cela il su(cid:14)t que X soit compact, en pratique une partie ferm(cid:19)ee born(cid:19)ee
de Rdp, ou(cid:18) dp d est la dimension d’un espace sur R dans lequel on peut \plonger" X.
(cid:21)
1
CHAPITRE 1. E(cid:19)LE(cid:19)MENTS DE THE(cid:19)ORIE DES SYSTE(cid:18)MES DYNAMIQUES 2
1.1.2 Syst(cid:18)emes autonomes et syst(cid:18)emes forc(cid:19)es
Lorsque ned(cid:19)ependpasexplicitementdutemps, onditquel’onaa(cid:11)airea(cid:18)unsyst(cid:18)emeautonome. Sinonle
F
syst(cid:18)eme est forc(cid:19)e. Un syst(cid:18)eme forc(cid:19)e peut^etre formellement rendu autonome au prix d’une augmentation de
sa dimension. En e(cid:11)et, d(cid:19)e(cid:12)nissant l’espace des phases (cid:19)etendu Y=X R, soit Y = X;U , et le champ de
(cid:2) f g
vecteurs (Y)= (X;U);1 , i.e. dX= et dU =1, on peut(cid:19)ecrire (1.1.1) sous la forme dY = (Y).
G fF g dt F dt dt G
L’espaceYestdedimensiond+1et, pourd(cid:19)e(cid:12)nircompl(cid:18)etementunetrajectoiredanscetespace, ilfautdonc
bien sp(cid:19)eci(cid:12)er en t la valeur d’une quantit(cid:19)e suppl(cid:19)ementaire, la variable U.
0
Stroboscopie et syst(cid:18)emes (cid:18)a temps discret. Consid(cid:19)erons le cas particulier du forc(cid:24)age p(cid:19)eriodique ou(cid:18)
(X;t+ T) (X;t) pour tout t. Il est alors commode de r(cid:19)ealiser une analyse stroboscopique de la
F (cid:17) F
dynamique ((cid:12)gure 1.1). Celle-ci consiste en une int(cid:19)egration de l’(cid:19)evolution sur des intervalles cons(cid:19)ecutifs de
dur(cid:19)ee T. Posant t =t +kT on obtient
k 0
tk+1
X =X + (X;t)dt;
k+1 k
F
Ztk
quid(cid:19)e(cid:12)nituneapplicationdel’espaceXsurluim^eme. Onaainsitransform(cid:19)elesyst(cid:18)emedynamiquedi(cid:11)(cid:19)erentiel
(a(cid:18) temps continu) en une it(cid:19)eration. On parle alors de syst(cid:18)eme a(cid:18) temps discret. C’est un cas particulier
d’application au temps (cid:28) ou(cid:18) l’int(cid:19)egration, faite sur un intervalle de temps arbitraire (cid:28) au contraire de la
stroboscopie, n’a pas de propri(cid:19)et(cid:19)es remarquables.
(k-1)T kT (k+1)T
t
X X X X
Figure1.1: Stroboscopier(cid:19)eduisantunsyst(cid:18)emedynamiqueforc(cid:19)ep(cid:19)eriodiquementa(cid:18)uneit(cid:19)erationsurX((cid:19)echantillonnage
modulo T des(cid:19)etats dans l’espace des phases(cid:19)etendu X R).
(cid:2)
De fac(cid:24)on g(cid:19)en(cid:19)erale un syst(cid:18)eme a(cid:18) temps discret s’exprime sous forme d’une (cid:19)equation aux di(cid:11)(cid:19)erences (ici
d’embl(cid:19)ee suppos(cid:19)ee autonome)
X = (X ): (1.1.3)
k+1 k
G
De tels syst(cid:18)emes interviennent fr(cid:19)equemment, soit comme r(cid:19)esultant d’un processus analogue a(cid:18) l’analyse stro-
boscopique que nous introduirons plus loin (section de Poincar(cid:19)e), soit directement en tant que mod(cid:18)eles
simpli(cid:12)(cid:19)es de processus non lin(cid:19)eaires. Si leur impl(cid:19)ementation num(cid:19)erique est le plus souvent triviale, la
compr(cid:19)ehension de leur riche dynamique est une (cid:19)etape indispensable de l’(cid:19)etude des syst(cid:18)emes dynamiques a(cid:18)
temps continu.
Remarque. Audela(cid:18)dupointdevueformelexprim(cid:19)eaud(cid:19)ebutdecettesection,ilpeutarriverqueleforc(cid:24)age
puisse s’interpr(cid:19)eter comme r(cid:19)esultant d’un couplage unidirectionnel (sans r(cid:19)etroaction) du syst(cid:18)eme consid(cid:19)er(cid:19)e
d’(cid:19)etat X, a(cid:18) un syst(cid:18)eme ext(cid:19)erieur d’(cid:19)etat Xe, soit X~ = X;Xe X~ =X Xe, tel que
f g2 (cid:2)
dX = (X;X ); (1.1.4)
dt F e
dX = (X ): (1.1.5)
dt e Fe e
Ainsi, un syst(cid:18)eme forc(cid:19)e p(cid:19)eriodiquement a(cid:18) la p(cid:19)eriode T, (X;t+T) (X;t) peut, arti(cid:12)ciellement, ^etre
F (cid:17) F
mis sous la forme (1.1.4,1.1.5) ou(cid:18) (1.1.5) est un oscillateur non lin(cid:19)eaire en r(cid:19)egime stationnaire. On peut par
CHAPITRE 1. E(cid:19)LE(cid:19)MENTS DE THE(cid:19)ORIE DES SYSTE(cid:18)MES DYNAMIQUES 3
exemple introduire une variable Z =Y +iY , gouvern(cid:19)ee par dZ =(1+i! Z 2)Z qui, apr(cid:18)es(cid:19)elimination
1 2 dt (cid:0)j j
du transitoire, a pour solution g(cid:19)en(cid:19)erale Z =exp[i(!t+(cid:30))] (voir plus loin, 2.1.2), puis (cid:19)ecrire (X;t) sous
x F
la forme (X;arg(Z)=!), avec arg(Z) = Arccos Y =(Y2 +Y2)1=2 et la condition initiale Y = 1, Y = 0
F 1 1 2 1 2
en t = 0 (i.e. phase (cid:30) = 0). Cette d(cid:19)emarche est assez imm(cid:19)ediate dans le cas du forc(cid:24)age (mono)p(cid:19)eriodique.
(cid:0) (cid:1)
Dans le cas d’un forc(cid:24)age plus complexe, multi-p(cid:19)eriodique (contenant un assez grand nombre de fr(cid:19)equences
et de phases sp(cid:19)eci(cid:12)ques associ(cid:19)ees), ou pire encore chaotique, il devient physiquement plus raisonnable et
pratiquement plus (cid:19)economique d’expliciter le syst(cid:18)eme a(cid:18) l’origine du forc(cid:24)age, ou du moins d’en utiliser un
mod(cid:18)ele dynamique convenablement initialis(cid:19)e. Nous reviendrons sur cette question a(cid:18) la (cid:12)n du cours, 3.2.
x
Le bruit extrins(cid:18)eque qui transforme (1.1.1) en un mod(cid:18)ele de type Langevin est un cas extr^eme ou(cid:18)
l’identi(cid:12)cation (1.1.4,1.1.5) n’est pas pertinente, le syst(cid:18)eme ext(cid:19)erieur disposant d’une in(cid:12)nit(cid:19)e de degr(cid:19)es
de libert(cid:19)e cach(cid:19)es dont il est pr(cid:19)ef(cid:19)erable de repr(cid:19)esenter l’e(cid:11)et par processus stochastique. Dans la suite nous
d(cid:19)evelopperons la th(cid:19)eorie dans le cas des syst(cid:18)emes strictement d(cid:19)eterministes, quitte a(cid:18) r(cid:19)eexaminer les e(cid:11)ets
du bruit dans les applications.
1.1.3 Syst(cid:18)emes dynamiques conservatifs vs. dissipatifs
Les probl(cid:18)emes (1.1.1) et (1.1.3) font r(cid:19)ef(cid:19)erence aux trajectoires issues de conditions initiales particuli(cid:18)eres.
Consid(cid:19)erons, ce qui est physiquement plus signi(cid:12)catif, des ensembles de trajectoires issues de domaines
de volume1 (cid:12)ni dans l’espace des phases. Dans le cas d’un syst(cid:18)eme a(cid:18) temps discret, on montre ais(cid:19)ement
((cid:12)gure1.2)queletransform(cid:19)epar d’unpav(cid:19)ein(cid:12)nit(cid:19)esimal(cid:14)Xprisauvoisinaged’unpointXdonn(cid:19)evoitson
G
volume donn(cid:19)e par (cid:14) = det(@ ) (cid:14) , ou(cid:18) @ est la matrice jacobienne de , d’(cid:19)el(cid:19)ements g = @ =@X
0 nm n m
V j G j V G G G
calcul(cid:19)ee en X et ou(cid:18) det(@ ) d(cid:19)enote son d(cid:19)eterminant, le jacobien. Localement le syst(cid:18)eme est contractant
G
ou dilatant selon que det(@ ) est plus petit ou plus grand que 1. Il est dit conservatif si det(@ ) = 1
j G j j G j
partout.
dX2 ¶G1/¶X2
X2 X’2
¶
/G2
¶
X 2
d
X’0 X’1
dX1 ¶G2/¶X1
dX1 ¶G1/¶X1
X2
X2
dX2
X0 dX1 X1
X1
Figure 1.2: Transformation d’un pav(cid:19)e in(cid:12)nit(cid:19)esimal par .
G
Passant a(cid:18) un syst(cid:18)eme a(cid:18) temps continu (1.1.1) et prenant pour application la transformation au temps
G
(cid:28) avec (cid:28) = (cid:14)t, intervalle de temps in(cid:12)nit(cid:19)esimal, consid(cid:19)erant la limite (cid:14)t 0 on montre facilement que
!
l’(cid:19)evolution des volumes dans l’espace des phases au voisinage d’un point X est donn(cid:19)e par d(cid:14) (X) =
dt V
[div (X)](cid:14) (X), ou(cid:18) div (X) @ est la divergence du champ de vecteur calcul(cid:19)ee au point
F V F (cid:17) m XmFm
courant de l’espace des phases. Un tel syst(cid:18)eme est d(cid:18)es lors localement contractant ou dilatant selon que
P
div (X) est n(cid:19)egatif ou positif. On v(cid:19)eri(cid:12)e imm(cid:19)ediatement a(cid:18) partir de (1.1.2) qu’un syst(cid:18)eme hamiltonien
F
est conservatif (div (X) 0). Ce caract(cid:18)ere conservatif est alors associ(cid:19)e a(cid:18) l’invariance par renversement du
F (cid:17)
temps. Les syst(cid:18)emes ne satisfaisant pas a(cid:18) cette propri(cid:19)et(cid:19)e sont quali(cid:12)(cid:19)es de dissipatifs.
1Volume mesuredeLebesgue(construitesurdespav(cid:19)es,i.e. desproduitsd’intervalles).
(cid:17)
CHAPITRE 1. E(cid:19)LE(cid:19)MENTS DE THE(cid:19)ORIE DES SYSTE(cid:18)MES DYNAMIQUES 4
1.1.4 Flots de gradients et syst(cid:18)emes plus g(cid:19)en(cid:19)eraux
Restons avec les syst(cid:18)emes a(cid:18) temps continu et consid(cid:19)erons tout d’abord le cas un syst(cid:18)eme autonome a(cid:18) une
seule variable r(cid:19)eelle dX = (X). On peut le r(cid:19)ecrire sous la forme
dt F
dX = @ =@X; (1.1.6)
dt (cid:0) G
ou(cid:18) (X)= (X)dX estuneprimitivede . Ils’ensuitimm(cid:19)ediatementque d(cid:19)ecro^(cid:16)taucoursdutemps
G (cid:0) F F G
d =(@ =@X)dX = (X) 2 0 . L’(cid:19)evolution du syst(cid:18)eme se ram(cid:18)ene donc a(cid:18) la relaxation vers des
dtG G R dt (cid:0) F (cid:20)
(cid:19)ehtats ind(cid:19)ependants du tem(cid:0)ps corr(cid:1)esponidant a(cid:18) des minima locaux du potentiel G. Dans l’espace des phases,
ces(cid:19)etatssonta(cid:18)prendreparmilespoints (cid:12)xes duchampdevecteur ,v(cid:19)eri(cid:12)ant (X ) 0(lesautrespoints
f
F F (cid:17)
(cid:12)xes sont des maxima locaux du potentiel ou des points d’in(cid:13)exion a(cid:18) tangente horizontale).
En dimension d, partant de la donn(cid:19)ee d’un potentiel (X ;:::;X ), l’extension de (1.1.6) s’(cid:19)ecrit
1 d
G
dX = @ =@X ; j =1;:::;d: (1.1.7)
dt n (cid:0) G n
Par construction, le champ de vecteurs est donc partout perpendiculaire aux courbes de niveau du potentiel
(cf. (cid:12)gure 1.3, gauche) et d(cid:19)ecrit une (cid:19)evolution irr(cid:19)eversible vers les minima locaux de . De tels syst(cid:18)emes,
G
appel(cid:19)es syst(cid:18)emes gradients ou (cid:13)ots de gradient, sont au c(cid:27)ur de la th(cid:19)eorie des catastrophes (cid:19)evoqu(cid:19)ee plus
loin, p. 19. R(cid:19)eciproquement, pour pouvoir faire d(cid:19)eriver un syst(cid:18)eme dX = (X) d’un potentiel , il faut
dt F G
que les composantes de son champ de vecteurs v(cid:19)eri(cid:12)ent @ =@X =@ =@X ce qui d(cid:19)ecoule de l’identit(cid:19)e
n m m n
F F
de Schwarz pour le potentiel suppos(cid:19)e soit @2 =@X @X = @2 =@X @X . Dans le cas g(cid:19)en(cid:19)eral, les
m n n m
G G G
composantes du champ de vecteurs ne v(cid:19)eri(cid:12)ent pas ces conditions et l’on peut s’attendre a(cid:18) une dynamique
plus riche qu’une \simple" relaxation vers un minimum local de . Ceci est notamment le cas des syst(cid:18)emes
G
m(cid:19)ecaniques pour lesquels l’(cid:19)evolution pr(cid:19)eserve l’(cid:19)energie totale de sorte que le champ de vecteurs donn(cid:19)e par
les(cid:19)equations de Hamilton est partout tangent aux surfaces d’iso-(cid:19)energie et qui sont typiquement le si(cid:18)ege de
mouvements oscillants (cf. (cid:12)gure 1.3, droite) ou plus complexes.
Figure 1.3: A(cid:18) Gauche: champ de vecteurs du syst(cid:18)eme potentiel dX = s X , s < 0 v(cid:19)eri(cid:12)ant (1.1.7) avec
dt n n n n
= 1 s X2+s X2 . A(cid:18) droite: champ de vecteurs associ(cid:19)e a(cid:18) l’oscillateur dX =X , dX = X .
G 2 1 1 2 2 dt 1 2 dt 2 (cid:0) 1
(cid:0) (cid:1)
1.2 Notions de dynamique qualitative
1.2.1 Portrait de phase
Une orbite est le lieu g(cid:19)eom(cid:19)etrique des points d’une trajectoire obtenu par (cid:19)elimination du temps consid(cid:19)er(cid:19)e
comme un param(cid:18)etre. Le portrait de phase d’un syst(cid:18)eme est la repr(cid:19)esentation collective d’un ensemble
d’orbites mettant en (cid:19)evidence les caract(cid:19)eristiques globales et qualitatives de la dynamique.
Ensembleslimites etattracteurs. Noussommesplusparticuli(cid:18)erementint(cid:19)eress(cid:19)esparlesr(cid:19)egimesperma-
nents plus ou moins complexes qui s’(cid:19)etablissent apr(cid:18)es extinction des transitoires. Dans l’espace des phases,
CHAPITRE 1. E(cid:19)LE(cid:19)MENTS DE THE(cid:19)ORIE DES SYSTE(cid:18)MES DYNAMIQUES 5
la notion de r(cid:19)egime permanent est associ(cid:19)ee a(cid:18) celles de point non errant et d’ensemble limite. Un point
est non errant si toute trajectoire initialis(cid:19)ee dans son voisinage revient ind(cid:19)e(cid:12)niment dans ce voisinage. Un
ensemble limite est un ensemble de points non errants a(cid:18) la limite t , soit + (futur), soit (pass(cid:19)e).
!1 1 (cid:0)1
L’exemple le plus simple d’ensemble limite est le point (cid:12)xe d(cid:19)eja(cid:18)(cid:19)evoqu(cid:19)e, qui correspond a(cid:18) un r(cid:19)egime per-
manentind(cid:19)ependantdutemps. Dansl’espacedesphases,unr(cid:19)egimep(cid:19)eriodiqueestrepr(cid:19)esent(cid:19)eparunecourbe
ferm(cid:19)ee appel(cid:19)ee cycle limite, parcourue en un temps (cid:12)ni T. Nous aurons l’occasion de rencontrer d’autres
exemples plus compliqu(cid:19)es, associ(cid:19)es a(cid:18) des r(cid:19)egimes r(cid:19)eguliers (multi-p(cid:19)eriodiques) ou irr(cid:19)eguliers (chaotiques).
Pourqu’unr(cid:19)egimepermanentsoitobservable,ilfautquel’ensemblelimitequilerepr(cid:19)esentedansl’espace
des phases soit stable, c’est a(cid:18) dire qu’il r(cid:19)esiste aux perturbations, a(cid:18) supposer qu’on ait r(cid:19)eussi a(cid:18) l’atteindre
partant de conditions initiales su(cid:14)samment bien choisies. Avant de passer a(cid:18) un point de vue analytique
( 1.2.2) restons pour l’instant au niveau topologique.
x
D(cid:19)e(cid:12)nissant l’entrant (resp. le sortant) d’un ensemble limite comme l’ensemble des conditions initiales
des trajectoires qui s’accumulent sur lui quand t + (resp. t ) on observe alors que le r(cid:19)egime
! 1 ! (cid:0)1
permanent consid(cid:19)er(cid:19)e est atteignable si l’ensemble limite correspondant est \attractif," c’est a(cid:18) dire si son
entrant a un certain volume (i.e. n’est pas de mesure de Lebesgue nulle). Si de plus il est tout entier a(cid:18)
l’int(cid:19)erieurde son entrant (autrement dit, si son sortantest vide), il est stable car toute trajectoireinitialis(cid:19)ee
dans son voisinage ne s’en (cid:19)ecarte pas. C’est, par d(cid:19)e(cid:12)nition, un attracteur. L’entrant d’un attracteur est
appel(cid:19)e son bassin d’attraction. D’apr(cid:18)es ce qui pr(cid:19)ec(cid:18)ede, il est de mesure non nulle; en termes physiques, la
probabilit(cid:19)e de trouver des conditions initiales qui y m(cid:18)enent est strictement positive.
L’existence d’un attracteur rend compte d’une certaine perte de m(cid:19)emoire des conditions initiales et du
fait que tous les(cid:19)etats du syst(cid:18)eme sur l’attracteur sont alors(cid:19)equivalents a(cid:18) la limite des temps longs. Le sens
de ces assertions est assez (cid:19)evident lorsque le r(cid:19)egime asymptotique est ind(cid:19)ependant du temps ou en d(cid:19)epend
de fac(cid:24)on r(cid:19)eguli(cid:18)ere, p(cid:19)eriodique ou multi-p(cid:19)eriodique. Il demandera a(cid:18) ^etre pr(cid:19)ecis(cid:19)e dans le cas plus complexe
des r(cid:19)egimes ap(cid:19)eriodiques qui seront quali(cid:12)(cid:19)es de chaotiques.
Stabilit(cid:19)e structurelle et bifurcations. La structure d’un syst(cid:18)eme dynamique d(cid:19)epend usuellement d’un
ensemble de param(cid:18)etres de contro^le r = r ;r ;::: , i.e. (X) (X;r). La th(cid:19)eorie des bifurcations est
0 1
f g F (cid:17) F
consacr(cid:19)ee a(cid:18) l’(cid:19)etude des changements du portrait de phase avec r. Un syst(cid:18)eme dynamique avec r = r sera
0
dit robuste ou structurellement stable si son comportement qualitatif ne change pas au voisinage de r dans
0
l’espace des param(cid:18)etres de contro^le.
Un syst(cid:18)eme subit une bifurcation si le nombre ou/et la nature de ses ensembles limites change lorsqu’on
varie un (ou plusieurs) param(cid:18)etre(s) de contro^le. Le portrait de phase du syst(cid:18)eme change alors qualitative-
ment. Une bifurcation correspond a(cid:18) une perte de stabilit(cid:19)e structurelle. Le nombre de param(cid:18)etres qu’il est
n(cid:19)ecessairedevarierpourretrouverunesituationstructurellementstablepartantd’unesituationstructurelle-
ment instable est appel(cid:19)e la codimension du probl(cid:18)eme.2
1.2.2 Di(cid:11)(cid:19)erents concepts de stabilit(cid:19)e
Stabilit(cid:19)e globale. En toute g(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)e, notons tout d’abord que l’(cid:19)etude de la stabilit(cid:19)e d’une solution
particuli(cid:18)ereX(0)seram(cid:18)enea(cid:18)unprobl(cid:18)emeauvaleursinitialespouruneperturbationarbitraireX =X X(0)
0
(cid:0)
gouvern(cid:19)ee par un syst(cid:18)eme dynamique
ddtX0 =F X(0)+X0 (cid:0)F X(0) =FX(0)(X0); (1.2.8)
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
d(cid:19)ependant implicitement de X(0) mais admettant par construction lea solution X 0.
0
(cid:17)
La solution particuli(cid:18)ere consid(cid:19)er(cid:19)ee est souvent appel(cid:19)ee (cid:19)etat de base, sp(cid:19)ecialement lorsqu’elle v(cid:19)eri(cid:12)e de
fac(cid:24)on (cid:19)evidente les (cid:19)equations primitives du probl(cid:18)eme (cid:19)etudi(cid:19)e (exemple: le solution purement conductive des
(cid:19)equations de Boussinesq en convection).
2Danslasuite,pourall(cid:19)egerlesnotationsl’indicationexplicitedelad(cid:19)ependanceauxparam(cid:18)etresdecontro^leseraomisequand
elleneserapasindispensable.