Dynamics A Set of Notes on Theoretical Physical Chemistry

144 Pages·2003·0.742 MB·English

by  Steen J., Range K., York D.M.

Dynamics: A Set of Notes on Theoretical Physical Chemistry
JaclynSteen,KevinRangeandDarrinM.York
December5,2003
1
Contents
1 VectorCalculus 6
1.1 Propertiesofvectorsandvectorspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Fundamentaloperationsinvolvingvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 LinearAlgebra 11
2.1 Matrices,VectorsandScalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 MatrixOperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 TransposeofaMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 UnitMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Traceofa(Square)Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Inverseofa(Square)Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 MoreonTrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Moreon[A,B] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8.1 Laplacianexpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8.2 ApplicationsofDeterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 GeneralizedGreen’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 OrthogonalMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11 Symmetric/AntisymmetricMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 SimilarityTransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.13 Hermitian(self-adjoint)Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.14 UnitaryMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.15 CommentsaboutHermitianMatricesandUnitaryTranformations . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.16 MoreonHermitianMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.17 EigenvectorsandEigenvalues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.18 Anti-HermitianMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.19 FunctionsofMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.20 NormalMarices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.1 RealSymmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.2 Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.3 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.4 Orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.5 Unitary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
CONTENTS CONTENTS
3 CalculusofVariations 22
3.1 FunctionsandFunctionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 FunctionalDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 VariationalNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 FunctionalDerivatives: Elaboration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.1 AlgebraicManipulationsofFunctionalDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.2 GeneralizationtoFunctionalsofHigherDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.3 HigherOrderFunctionalVariationsandDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.4 IntegralTaylorseriesexpansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.5 Thechainrelationsforfunctionalderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.6 Functionalinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Homogeneityandconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.1 Homogeneitypropertiesoffunctionsandfunctionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2 Convexitypropertiesoffunctionsandfunctionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 LagrangeMultipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.1 Problem1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.2 Problem2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.3 Problem3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.3.1 PartA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.3.2 PartB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.3.3 PartC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.3.4 PartD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.3.5 PartE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4 Problem4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4.1 PartF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4.2 PartG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4.3 PartH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.4.4 PartI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.4.5 PartJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.4.6 PartK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.4.7 PartL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.4.8 PartM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 ClassicalMechanics 40
4.1 Mechanicsofasystemofparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Newton’slaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.2 Fundamentaldefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 D’Alembert’sprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Velocity-dependentpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Frictionalforces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 VariationalPrinciples 54
5.1 Hamilton’sPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 CommentsaboutHamilton’sPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 ConservationTheoremsandSymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
CONTENTS CONTENTS
6 CentralPotentialandMore 61
6.1 GalileanTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 KineticEnergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Motionin1-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3.1 CartesianCoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3.2 GeneralizedCoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 ClassicalViralTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.5 CentralForceProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6 ConditionsforClosedOrbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.7 Bertrand’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.8 TheKeplerProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.9 TheLaplace-Runge-LenzVector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Scattering 73
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 RutherfordScattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 RutherfordScatteringCrossSection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.2 RutherfordScatteringintheLaboratoryFrame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8 Collisions 78
8.1 ElasticCollisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Oscillations 82
9.1 EulerAnglesofRotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.2 Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 GeneralSolutionofHarmonicOscillatorEquation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.3.1 1-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.3.2 Many-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.4 ForcedVibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.5 DampedOscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10 FourierTransforms 90
10.1 FourierIntegralTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.2 TheoremsofFourierTransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.3 DerivativeTheoremProof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.4 ConvolutionTheoremProof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.5 Parseval’sTheoremProof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11 EwaldSums 95
11.1 RateofChangeofaVector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 RigidBodyEquationsofMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.3 PrincipalAxisTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.4 SolvingRigidBodyProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.5 Euler’sequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.6 Torque-FreeMotionofaRigidBody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.7 PrecessioninaMagneticField . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.8 DerivationoftheEwaldSum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.9 CoulombintegralsbetweenGaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4
CONTENTS CONTENTS
11.10FourierTransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.11Linear-scalingElectrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.12Green’sFunctionExpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.13DiscreteFTonaRegularGrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.14FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.15FastFourierPoisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12 Dielectric 106
12.1 ContinuumDielectricModels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.2 Gauss’LawI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.3 Gauss’LawII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.4 VariationalPrinciplesofElectrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.5 Electrostatics-Recap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12.6 Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
13 Exapansions 115
13.1 Schwarzinequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.2 Triangleinequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.3 SchmidtOrthogonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13.4 ExpansionsofFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
13.5 FourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13.6 ConvergenceTheoremforFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13.7 Fourierseriesfordifferentintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.8 ComplexFormoftheFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13.9 UniformConvergenceofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.10DifferentiationofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.11IntegrationofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.12FourierIntegralRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.13M-TestforUniformConvergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.14FourierIntegralTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.15ExamplesoftheFourierIntegralTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.16Parseval’sTheoremforFourierTransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.17ConvolutionTheoremforFourierTransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.18FourierSineandCosineTransformsandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5
Chapter 1
Vector Calculus
Thesearesummarynotesonvectoranalysisandvectorcalculus. Thepurposeistoserveasareview. Although
the discussion here can be generalized to differential forms and the introduction to tensors, transformations and
linearalgebra,anindepthdiscussionisdeferredtolaterchapters,andtofurtherreading.1,2,3,4,5
Forthepurposesofthisreview,itisassumedthatvectorsarerealandrepresentedina3-dimensionalCarte-
sian basis (xˆ,yˆ,zˆ), unless otherwise stated. Sometimes the generalized coordinate notation x ,x ,x will be
1 2 3
used generically to refer to x,y,z Cartesian components, respectively, in order to allow more concise formulas
tobewrittenusingusingi,j,k indexesandcyclicpermutations.
Ifasumappearswithoutspecificationoftheindexbounds,assumesummationisovertheentirerangeofthe
index.
1.1 Properties of vectors and vector space
A vector is an entity that exists in a vector space. In order to take for (in terms of numerical values for it’s
components) a vector must be associated with a basis that spans the vector space. In 3-D space, for example, a
Cartesian basis can be defined (xˆ,yˆ,zˆ). This is an example of an orthonormal basis in that each component
basis vector is normalized xˆ ·xˆ = yˆ ·yˆ = zˆ·zˆ = 1 and orthogonal to the other basis vectors xˆ ·yˆ = yˆ ·zˆ =
zˆ·xˆ = 0. Moregenerally,abasis(notnecessarilytheCartesianbasis,andnotnecessarilyanorthonormalbasis)is
denoted(e ,e ,e . Ifthebasisisnormalized,thisfactcanbeindicatedbythe“hat”symbol,andthusdesignated
1 2 3
(eˆ ,eˆ ,eˆ .
1 2 3
Here the properties of vectors and the vector space in which they reside are summarized. Although the
presentchapterfocusesonvectorsina3-dimensional(3-D)space,manyofthepropertiesoutlinedherearemore
general, as will be seen later. Nonetheless, in chemistry and physics, the specific case of vectors in 3-D is so
prevalentthatitwarrantsspecialattention,andalsoservesasanintroductiontomoregeneralformulations.
A3-Dvectorisdefinedasanentitythathasbothmagnitudeanddirection,andcanbecharacterized,provided
abasisisspecified,byanorderedtripleofnumbers. Thevectorx,then,isrepresentedasx = (x ,x ,x ).
1 2 3
Consider the following definitions for operations on the vectors x and y given by x = (x ,x ,x ) and
1 2 3
y = (y ,y ,y ):
1 2 3
1. Vectorequality: x = yifx = y ∀i = 1,2,3
i i
2. Vectoraddition: x+y = zifz = x +y ∀i = 1,2,3
i i i
3. Scalarmultiplication: ax = (ax ,ax ,ax )
1 2 3
4. Nullvector: Thereexistsauniquenullvector0 = (0,0,0)
6
CHAPTER1. VECTORCALCULUS 1.2. FUNDAMENTALOPERATIONSINVOLVINGVECTORS
Furthermore,assumethatthefollowingpropertiesholdfortheabovedefinedoperations:
1. Vectoradditioniscommutativeandassociative:
x+y = y+x
(x+y)+z = x+(y+z)
2. Scalarmultiplicationisassociativeanddistributive:
(ab)x = a(bx)
(a+b)(x+y) = ax+bx+ay+by
Thecollectionofall3-Dvectorsthatsatisfytheabovepropertiesaresaidtoforma3-Dvectorspace.
1.2 Fundamental operations involving vectors
Thefollowingfundamentalvectoroperationsaredefined.
ScalarProduct:
X
a·b = a b +a b +a b = a b = |a||b|cos(θ)
x x y y z z i i
i
= b·a (1.1)
√
where|a| = a·a,andθ istheanglebetweenthevectorsaandb.
CrossProduct:
a×b = xˆ(a b −a b )+yˆ(a b −a b )+zˆ(a b −a b ) (1.2)
y z z y z x x z x y y x
ormorecompactly
c = a×b (1.3)
where (1.4)
c = a b −a b (1.5)
i j k k j
where i,j,k are x,y,z and the cyclic permutations z,x,y and y,z,x, respectively. The cross product can be
expressedasadeterminant:
Thenormofthecrossproductis
|a×b| = |a||b|sin(θ) (1.6)
where, again, θ is the angle between the vectors a and b The cross product of two vectors a and b results in a
vectorthatisperpendiculartobothaandb,withmagnitudeequaltotheareaoftheparallelogramdefinedbya
andb.
TheTripleScalarProduct:
a·b×c = c·a×b = b·c×a (1.7)
andcanalsobeexpressedasadeterminant
Thetriplescalarproductisthevolumeofaparallelopipeddefinedbya,b,andc.
TheTripleVectorProduct:
a×(b×c) = b(a·c)−c(a·b) (1.8)
TheaboveequationissometimesreferredtoastheBAC −CAB rule.
Note: theparenthasesneedtoberetained,i.e. a×(b×c) 6= (a×b)×cingeneral.
Lattices/Projectionofavector
a = (a )xˆ+(a )yˆ+(a )yˆ (1.9)
x y y
7
1.2. FUNDAMENTALOPERATIONSINVOLVINGVECTORS CHAPTER1. VECTORCALCULUS
a·xˆ = a (1.10)
x
r = r a +r a +r a (1.11)
1 1 2 2 3 3
a ·a = δ (1.12)
i j ij
a ×a
j k
a = (1.13)
i
a ·(a ×a )
i j k
Gradient,∇
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
∂ ∂ ∂
∇ = xˆ +yˆ +zˆ (1.14)
∂x ∂y ∂z
(cid:20) (cid:21)
∂f
∇f(|r|) =ˆr (1.15)
∂r
dr = xˆdx+yˆdy+zˆdz (1.16)
dϕ = (∇ϕ)·dr (1.17)
∇(uv) = (∇u)v+u(∇v) (1.18)
Divergence,∇·
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
∂V ∂V ∂V
x y z
∇·V = + + (1.19)
∂x ∂y ∂z
∇·r = 3 (1.20)
df
∇·(rf(r)) = 3f(r)+r (1.21)
dr
iff(r) = rn−1 then∇·ˆrrn = (n+2)rn−1
∇·(fv) = ∇f ·v+f∇·v (1.22)
Curl,∇×
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V
z y x z y x
xˆ( − )+yˆ( − )+zˆ( − ) (1.23)
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
∇×(fv) = f∇×v+(∇f)×v (1.24)
∇×r = 0 (1.25)
∇×(rf(r)) = 0 (1.26)
∇(a·b) = (b·∇)a+(a·∇)b+b×(∇×a)+a×(∇×b) (1.27)
8
CHAPTER1. VECTORCALCULUS 1.2. FUNDAMENTALOPERATIONSINVOLVINGVECTORS
(cid:20) ∂2 (cid:21) (cid:20) ∂2 (cid:21) (cid:20) ∂2 (cid:21)
∇·∇ = ∇×∇ = ∇2 = + + (1.28)
∂2x ∂2y ∂2z
VectorIntegration
Divergencetheorem(Gauss’sTheorem)
Z Z Z
∇·f(r)d3r = ∇·f(r)·dσ = ∇·f(r)·nda (1.29)
V S S
letf(r) = u∇v then
∇·(u∇v) = ∇u·∇v+u∇2v (1.30)
Z Z Z
∇u·∇vd3r+ u∇2vd3r = (u∇v)·nda (1.31)
V V S
TheabovegivesthesecondformofGreen’stheorem.
Letf(r) = u∇v−v∇uthen
Z Z Z Z Z Z
∇u·∇vd3r+ u∇2vd3r− ∇u·∇vd3r− v∇2ud3r = (u∇v)·nda− (v∇u)·nda (1.32)
V V V V S S
AbovegivesthefirstformofGreen’stheorem.
GeneralizedGreen’stheorem
Z Z
uLˆu−uLˆvd3r = p(v∇u−u∇v))·nda (1.33)
V S
whereLˆ isaself-adjoint(Hermetian)“Sturm-Lioville”operatoroftheform:
Lˆ = ∇·[p∇]+q (1.34)
StokesTheorem
Z I
(∇×v)·nda = V·dλ (1.35)
S C
GeneralizedStokesTheorem
Z I
(dσ×∇)◦[] = dλ◦[] (1.36)
S C
where◦ = ,·,×
VectorFormulas
a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b) (1.37)
a×(b×c) = (a·c)b−(a·b)c (1.38)
(a×b)·(c×d) = (a·c)(b·d)−(a·d)(b·c) (1.39)
∇×∇ψ = 0 (1.40)
∇·(∇×a) = 0 (1.41)
9
1.2. FUNDAMENTALOPERATIONSINVOLVINGVECTORS CHAPTER1. VECTORCALCULUS
∇×(∇×a) = ∇(∇·a)−∇2a (1.42)
∇·(ψa) = a·∇ψ+ψ∇·a (1.43)
∇×(ψa) = ∇ψ×a+ψ∇×a (1.44)
∇(a·b) = (a·∇)b+(b·∇)a+a×(∇×b)+b×(∇×a) (1.45)
∇·(a×b) = b·(∇×a)−a·(∇×b) (1.46)
∇×(a×b) = a(∇·b)−b(∇·a)+(b·∇)a−(a·∇)b (1.47)
Ifxisthecoordinateofapointwithmagnituder = |x|,andn = x/r isaunitradialvector
∇·x = 3 (1.48)
∇×x = 0 (1.49)
∇·n = 2/r (1.50)
∇×n = 0 (1.51)
(a·∇)n = (1/r)[a−n(a·n)] (1.52)
10