Du volume des quotients arithmétiques de l'espace hyperbolique

169 Pages·2009·1.07 MB·French

Département de mathématiques
Université de Fribourg (Suisse)
Du volume des quotients arithmétiques de
l’espace hyperbolique
THESE
présentée à la Faculté des Sciences de l’Université de Fribourg (Suisse)
pour l’obtention du grade de Doctor scientiarum mathematicarum
Vincent Emery
de
Lens (VS)
Thèse no1648
UniPrint Fribourg
2009
Acceptée par la Faculté des Sciences de l’Université de Fribourg (Suisse) sur la
proposition du jury :
Prof. Dr. Anand Dessai
Université de Fribourg, Président du jury
Prof. Dr. Ruth Kellerhals
Université de Fribourg, Directrice de thèse
Dr. Mikhail Belolipetsky
University of Durham (UK), Corapporteur
Prof. Dr. Eva Bayer Fluckiger
EPF Lausanne, Corapporteur
Prof. Dr. Gopal Prasad
University of Michigan, Corapporteur
Fribourg, le 14 octobre 2009
La réalisation de cette thèse a partiellement été soutenue par le Fonds national
suisse de la recherche scientifique, projet no200020-121506/1.
Résumé
Soit Hn l’espace hyperbolique de dimension n et Isom+(Hn) son groupe des
isométriespréservantl’orientation.Parmilessous-groupesdiscretsdeIsom+(Hn)
apparaissent notamment des sous-groupes arithmétiques. Leur étude est facil-
itée par des résultats provenant de la théorie des nombres et de la théorie qui
concernelesgroupesalgébriques.Enparticulier,levolumedecertainsquotients
deHn pardessous-groupesarithmétiquespeutsecalculeràl’aidedelaformule
de volume de Prasad. Notre travail utilise cette formule, ainsi que plusieurs ré-
sultats d’un article de Borel et Prasad, pour déterminer le volume minimal des
quotients arithmétiques de Hn pour n 5 impair. Cela complète les résultats
≥
précédents de Chinburg-Friedman (pour n=3) et Belolipetsky (n 4 pair).
≥
3

Abstract
LetHn bethehyperbolicn-spaceandIsom+(Hn)itsgroupofisometriespre-
serving the orientation. Among discrete subgroups of Isom+(Hn) appear arith-
metic subgroups. Some of their properties can be studied using knowledge from
number theory and the theory of algebraic groups. In particular the volume
of some n-orbifolds defined by arithmetic subgroups can be computed using
Prasad’s volume formula. In this thesis we use this formula and some results
from an article of Borel and Prasad to determine the minimal volume of arith-
metichyperbolicn-orbifolds,withn 5odd.Thiscompletespreviousresultsof
≥
Chinburg-Friedman(forn=3)andBelolipetsky(n 4even)aboutminimality
≥
of volume of arithmetic hyperbolic orbifolds.
5

Remerciements
Je tiens en premier lieu à exprimer ma profonde gratitude envers mes deux
directeurs de thèse, Ruth Kellerhals et Misha Belolipetsky, pour la précieuse
aidequechacund’entreeuxm’aapportéedurantlagestationdemontravailde
doctorat.
Je remercie sincèrement Gopal Prasad pour l’intérêt qu’il a témoigné pour
montravailetpourlapatiencedontilafaitpreuvepourrépondreàchacunede
mesquestions.Laqualitédemathèsefutlargementinfluencéeparmavisitesur
son lieu de travail, à Ann Arbor. Je le remercie enfin d’avoir accepté de figurer
dans mon jury de thèse.
Je remercie Eva Bayer, qui elle aussi a spontanément accepté de faire partie
du jury. Je suis honoré d’avoir comme corapporteurs dans mon jury de thèse
deux mathématiciens d’une telle compétence.
Durant mes cinq années de thèse, j’ai exercé la fonction d’assistant au sein
dudépartementdemathématiquesdeFribourg.Jemesuistoujourssentiàl’aise
dans ce département, et je remercie pour cela les différents collègues que j’y ai
côtoyés.
J’adresse finalement un immense merci à Vanessa pour toutes les marques
d’encouragement qu’elle m’a témoignées durant ce travail.
7

Table des matières
1 Introduction 13
§1.1 L’exemple du groupe modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§1.2 L’idée de sous-groupe arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§1.3 Le problème traité et les résultats connus. . . . . . . . . . . . . 14
§1.4 Contenu et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Groupes algébriques linéaires 19
§2.1 Conventions concernant les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§2.2 Variétés algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§2.3 Variétés affines et structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . 22
§2.4 Sous-groupes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§2.5 Linéarisation des groupes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . 25
§2.6 Restriction des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§2.7 Algèbre de Lie et représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . 28
§2.8 Simplicité et semi-simplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§2.9 Quotients et isogénies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§2.10 Topologie des groupes réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Réseaux arithmétiques 35
§3.1 Sous-groupes arithmétiques des Q-groupes . . . . . . . . . . . . 35
§3.2 Le théorème de Borel et Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . 36
§3.3 Sous-groupes arithmétiques et corps de nombres . . . . . . . . . 38
§3.4 Réseaux définis arithmétiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Corps de nombres et entiers algébriques 43
§4.1 L’anneau des entiers algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§4.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§4.3 Plongements archimédiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§4.4 Idéaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§4.5 Le discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§4.6 Extensions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§4.7 Fonctions zêta et fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§4.8 Groupe des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Complétions de corps de nombres 53
§5.1 Valeurs absolues et complétions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§5.2 Complétions archimédiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§5.3 Complétions p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§5.4 Places d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§5.5 Théorie adélique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9
10 Table des matières
6 Arithmétique des groupes algébriques 61
§6.1 Groupes sur les corps complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§6.2 Le groupe adélique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§6.3 Théorie de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§6.4 Collections cohérentes et mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Structure des groupes semi-simples 67
§7.1 Tores des groupes semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§7.2 Système de racines des groupes semi-simples . . . . . . . . . . . 68
§7.3 Système de Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
§7.4 Groupes semi-simples réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§7.5 Tores rationnels des groupes semi-simples . . . . . . . . . . . . 74
§7.6 Indice de Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§7.7 Groupes déployés et quasi-déployés . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§7.8 Automorphismes et formes internes . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§7.9 Groupes sur les corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8 Eléments de la théorie de Bruhat-Tits 81
§8.1 Système de Tits affine dans G(k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
v
§8.2 Appartements de G(k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
v
§8.3 L’immeuble affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§8.4 Diagramme de Dynkin local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§8.5 Indice de Tits local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§8.6 Sous-groupes spéciaux et hyperspéciaux . . . . . . . . . . . . . 88
§8.7 Structure des sous-groupes parahoriques . . . . . . . . . . . . . 88
§8.8 Conjugaison des sous-groupes parahoriques. . . . . . . . . . . . 91
9 La formule du volume de Prasad 93
§9.1 Conventions sur le groupe G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§9.2 Sous-groupes arithmétiques principaux . . . . . . . . . . . . . . 93
§9.3 La mesure normalisée µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§9.4 Calcul dans le cas quasi-déployé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§9.5 La formule du volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10 Sous-groupes arithmétiques maximaux 103
§10.1 Maximalité dans G(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§10.2 Maximalité dans G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
S
11 Cohomologie galoisienne 107
§11.1 Ensembles de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§11.2 Propriétés fonctorielles de H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
§11.3 Suites exactes en cohomologie galoisienne . . . . . . . . . . . . 109
§11.4 Principe de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§11.5 Complétions de corps et restriction des scalaires . . . . . . . . . 111
12 Calcul d’indice dans le normalisateur 113
§12.1 Opération de H1(k ,C) sur ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
v v
§12.2 Suite exacte de Rohlfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§12.3 Covolume minimal et indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§12.4 Description du centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§12.5 Calcul du noyau de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118