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192 Pages·2015·2.32 MB·German

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Florian Drabeck
Monte Carlo Simulation of Boundary Crossing Probabilities for a Brownian
Motion and Curved Boundaries
Thesis
Original Citation:
Drabeck, Florian (2005) Monte Carlo Simulation of Boundary Crossing Probabilities for a Brownian
Motion and Curved Boundaries. Doctoral thesis, WU Vienna University of Economics and
Business.
This version is available at: http://epub.wu.ac.at/1927/
Available in ePubWU: September 2005
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http://epub.wu.ac.at/
Monte Carlo Simulation of Boundary
Crossing Probabilities for a Brownian Motion
and Curved Boundaries
Florian Drabeck
Abstract
Wir interessieren uns f(cid:252)r die Wahrscheinlichkeit, dass eine gew(cid:246)hnliche Brownsche Bewegung W(t) eine
Schranke c(t) in einem endlichen Zeitintervall [0,T] (cid:252)berschreitet. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen
wir mit Q(c(t);T).
Au(cid:255)er f(cid:252)r lineare Schranken c(t) und wenige andere Spezialf(cid:228)lle gibt es keine explizite, analytische
Formel f(cid:252)r Q(c(t);T). Daher muss man bei allgemeinen Schranken numerische Verfahren anwenden
um so Sch(cid:228)tzwerte f(cid:252)r die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu bekommen. Einige Autoren verwenden
zu diesem Zweck beispielsweise Integralgleichungen. Die Implementierung dieser numerischen Verfahren
gestaltetsichinvielenF(cid:228)llenalsumst(cid:228)ndlich. Au(cid:255)erdemlieferneinigedieserAns(cid:228)tzekeineAbsch(cid:228)tzung
f(cid:252)r die Gr(cid:246)(cid:255)e des Approximationsfehlers.
Auf Grund von Fortschritten in der Forschung scheint ein anderer Weg, Q(c(t);T) zu sch(cid:228)tzen, viel
versprechend: Monte Carlo Simulation.
Wang und P(cid:246)tzelberger (1997) haben eine explizite, analytische Formel f(cid:252)r die Wahrscheinlichkeit,
dasseineBrownscheBewegungeinest(cid:252)ckweiselineareFunktion(cid:252)berschreitetinFormeinesErwartungs-
werteshergeleitet. BasierendaufdieserFormelmachenwirnunfolgendeSchritte: Zuerstn(cid:228)hernwirdie
gegebene Schranke c(t) durch eine st(cid:252)ckweise lineare Funktion c (t) auf einer gleichf(cid:246)rmigen Partition
m
0=t <t <...<t =T an. Dann simulieren wir Brownsche Pfade um den Erwartungswartungswert
0 1 m
in der Formel der Autoren f(cid:252)r c (t) auszuwerten. Indem wir Q(c (t);T) an Stelle von Q(c(t);T)
m m
sch(cid:228)tzen, tritt Bias auf. Dieser kann jedoch durch eine Formel von Borovkov und Novikov (2005)
abgesch(cid:228)tzt werden.
W(cid:228)hrend der Bias mit einer Rate von O(1/m2) bei einem Partitionsrang m f(cid:228)llt, nimmt die Stan-
√
dardabweichung, die bei Monte Carlo Simulation auftritt, nur mit einer Rate von O(1/ n) ab. Dabei
beizeichnet n die Anzahl an Simulationszyklen. Es zeigt sich, dass die Standardabweichung (cid:22) bzw. die
Varianz (cid:22) der prim(cid:228)re Beschr(cid:228)nkungsfaktor f(cid:252)r eine h(cid:246)here Genauigkeit der Ergebnisse ist.
Das Hauptziel dieser Dissertation ist es, varianzreduzierende Verfahren zu (cid:28)nden und auszuwerten
umsodieGenauigkeitdesMonteCarloSch(cid:228)tzersf(cid:252)rQ(c(t);T)zuerh(cid:246)hen. FolgendeTechnikenwerden
diskutiert:
• Antithetisches Sampling,
• Geschichtetes Sampling,
• Importance Sampling,
• Kontrollvariablen,
• Transformation des urspr(cid:252)nglichen Problems.
Wir analysieren jede dieser Techniken gr(cid:252)ndlich von einem theoretischen Standpunkt aus. Weiters
testenwirjedeTechnikempirischmittelsSimulationsexperimentenf(cid:252)rsorgf(cid:228)ltigausgew(cid:228)hlteSchranken.
UmdiedarausresultierendenErgebnissebeurteilenzuk(cid:246)nnen,vergleichenwirsiemitjenenf(cid:252)rgew(cid:246)hn-
liche Simulation ohne Varianzreduktion. Hierbei interessiert uns die relative Verringerung des Mean
Squared Errors (= Summe aus quadriertem Bias und Varianz) f(cid:252)r ein bestimmtes Verfahren unter
Beibehaltung des Rechenaufwandes.
Als Ergebnis dieser Dissertation pr(cid:228)sentieren wir einige sehr gute Verfahren, die zu einer gro(cid:255)en
Verbesserung der Rechengenauigkeit f(cid:252)hren. Wir diskutieren sogar ein Verfahren, durch das die Rate,
mit welcher der (durch Bias verzerrte) Monte Carlo Sch(cid:228)tzer zum tats(cid:228)chlichen Ergebnis konvergiert,
verbessert wird.
Dar(cid:252)ber hinaus zeigen wir ein detailliertes Protokoll unserer Simulationsexperimente.
Abstract
WeareconcernedwiththeprobabilitythatastandardBrownianmotionW(t)crossesacurvedboundary
c(t) on a (cid:28)nite interval [0,T]. Let this probability be denoted by Q(c(t);T).
Except for linear functions c(t) and a few other special cases no explicit, analytic formula for
Q(c(t);T) is available. Thus numerical methods need to be applied for general boundaries to obtain
approximate solutions. Some authors use for example integral equations. However, most of these nu-
merical methods are either intractable or di(cid:30)cult to asses in terms of their accuracy.
DuetorecentadvancesinresearchanotherwayofestimatingQ(c(t);T)seemsfeasible: MonteCarlo
Simulation.
Wang and P(cid:246)tzelberger (1997) derived an explicit formula for the boundary crossing probability of
piecewise linear functions which has the form of an expectation. Based on this formula we proceed as
follows: First we approximate the general boundary c(t) by a piecewise linear function c (t) on a uni-
m
form partition 0 = t < t ... < t = T. Then we simulate Brownian sample paths in order to evaluate
0 1 m
the expectation in the formula of the authors for c (t). The bias resulting when estimating Q(c (t);T)
m m
rather than Q(c(t);T) can be bounded by a formula of Borovkov and Novikov (2005).
Whereas the bias decreases at a rate of O(1/m2) for a partition rank m, the standard error due to
√
Monte Carlo simulation only decays at a rate of O(1/ n), where n is the number of simulation cycles.
Hencethestandarddeviation(cid:22)orthevariancerespectively(cid:22)isthemainlimitingfactorwhenincreas-
ing the accuracy.
The main goal of this dissertation is to (cid:28)nd and evaluate variance reducing techniques in order to
enhance the quality of the Monte Carlo estimator for Q(c(t);T). Among the techniques we discuss are:
• Antithetic Sampling,
• Strati(cid:28)ed Sampling,
• Importance Sampling,
• Control Variates,
• Transforming the original problem.
We analyze each of these techniques thoroughly from a theoretical point of view. Further, we test
each technique empirically through simulation experiments on several carefully chosen boundaries. In
order to asses our results we set them in relation to a previously established benchmark. We are inter-
ested in the relative reduction in the mean squared error (= sum of the squared bias and variance) due
to a given technique, where the computational e(cid:27)ort remains constant.
As a result of this dissertation we derive some very potent techniques that yield a substantial im-
provementintermsofaccuracy. Weevendiscussanapproachthatimprovestherateatwhichourbiased
Monte Carlo estimator converges to the correct result.
Further, we provide a detailed record of our simulation experiments.
...
Thanks.
I would like to thank Prof. P(cid:246)tzelberger, my supervisor, for all his time
and energy he spent to support me. Especially our regular discussions of my
progress were very helpful. Further, I appreciate his advise and contribu-
tions, in particular those to chapters 10 and 11. I am also grateful to Prof.
Geyer for his guidance throughout my studies. Finally, I want to thank my
family and friends for their encouragement and patience over the last years.
Contents
I State of the Field 6
1 Introduction 7
2 Functions with an Explicit Formula for the BCP 10
2.1 Linear Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Square Root Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Quadratic Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Boundaries Obtained Through Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 One Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 Two Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.4 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Di(cid:27)erent Approaches to compute the BCP 20
3.1 General Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Tangent Approximation and Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Tangent Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Integral Equations: Loader an Deely (1987) . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Integral Series: Durbin (1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Explicit Formula: Wang and P(cid:246)tzelberger (1997) . . . . . . . . . . . . . . 28
II Variance Reduction 30
4 Methods 31
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Optimal Resource Allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.1 Theoretical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
4.4.3 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Computational E(cid:27)ort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Comparison of Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.1 How We Compare Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.2 Test Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Ordinary Simulation 52
5.1 Sample Paths and Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 The Benchmark Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.2 Simulated Conditional Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.3 "Classical" Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.4 Ignoring Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Evaluation and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 Antithetic Sampling 58
6.1 An Introduction to the Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2 Evaluation and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7 Strati(cid:28)ed Sampling 62
7.1 An Introduction to the Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.2 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 Strati(cid:28)cation Applied to BCP Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.1 Foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.2 Brownian Bridge Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.3 A First Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 An Improvement of the Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4 An Alternative Algorithmic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.5 Evaluation and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8 Importance Sampling 74
8.1 An Introduction to the Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.1.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.1.2 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Change of Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3 Conditional One Step Survival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3.1 The Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3.2 Theoretical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2
8.4 Conditional Survival Combined with Strati(cid:28)cation . . . . . . . . . . . . . 82
8.5 Evaluation and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 Static Control Variates 87
9.1 An Introduction to the Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1.2 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.1.3 Possible Control Variates for BCP Problems . . . . . . . . . . . . 90
9.1.4 Computational E(cid:27)ort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2 Tangent Approximation Based Control Variates . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.1 Secant Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.2 Tangent Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.3 Extended Tangent Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.3 Regression Based Control Variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.3.2 Regression (cid:22) Straight Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.3.3 Regression (cid:22) Daniels Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4 Evaluation and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10 Adaptive Control Variates 103
10.1 An Introduction to the Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.1.1 The Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.1.2 Optimal Resource Allocation and Convergence . . . . . . . . . . . 105
10.2 Adaptive Control Variates (cid:22) Enhanced . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.2.1 Combination with Static Control Variates . . . . . . . . . . . . . 109
10.2.2 Iterated Adaptive Control Variates . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.3 Evaluation and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11 Girsanov Transformation 113
11.1 An Introduction to the Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.1.1 The Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.1.2 Measure Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.2 Approximating L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
T
11.2.1 Theoretical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.2.2 Order of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.2.3 Euler Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.2.4 Milstein Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2.5 Romberg Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.3 Evaluation and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12 Conclusion 126
3
III Application 132
13 Financial Application 133
13.1 Theoretical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
14 Algorithms 138
14.1 General Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.2 The Benchmark Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.2.1 Algorithm 1.1ct: Conditional Transitions . . . . . . . . . . . . . . 139
14.2.2 Performance of Algorithm 1.1ct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
14.2.3 Algorithm 1.0: "Classical" Transitions - The Benchmark . . . . . 141
14.2.4 Performance of Algorithm 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
14.3 Antithetic Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
14.3.1 Algorithm 1.1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
14.3.2 Performance of Algorithm 1.1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
14.4 Strati(cid:28)ed Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
14.4.1 Algorithm 1.1S: A First Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
14.4.2 Performance of Algorithm 1.1S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
14.4.3 Algorithm 1.2S: An Improvement of the Technique . . . . . . . . 147
14.4.4 Accuracy and Number of Strata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
14.4.5 Performance of Algorithm 1.2S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14.4.6 Algorithm 1.3S: An Alternative Algorithmic Approach . . . . . . 150
14.5 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.5.1 Algorithm 1.1I: Change of Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.5.2 Performance of Algorithm 1.1I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.5.3 Algorithm 1.2I: Conditional One Step Survival . . . . . . . . . . . 154
14.5.4 Performance of Algorithm 1.2I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.5.5 Algorithm 1.3I: Conditional Survival Combined with Strati(cid:28)cation 156
14.5.6 Performance of Algorithm 1.3I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.6 Static Control Variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6.1 Expectation of Control Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6.2 Algorithm 1.1C: Secant Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.6.3 Performance of Algorithm 1.1C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.6.4 Algorithm 1.2C: Tangent Approximation . . . . . . . . . . . . . . 161
14.6.5 Performance of Algorithm 1.2C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.6.6 Algorithm 1.3C: Extended Tangent Approximation . . . . . . . . 163
14.6.7 Performance of Algorithm 1.3C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.6.8 Algorithm 1.4C: Regression (cid:22) Straight Line . . . . . . . . . . . . 165
14.6.9 Performance of Algorithm 1.4C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4