Dos fundamentos da matemática ao surgimento da teoria da computação por Alan Turing

100 Pages·2013·2.4 MB·Portuguese

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Danilo Gustavo Bispo
Dos fundamentos da matemática ao surgimento da
teoria da computação por Alan Turing
Mestrado em História da Ciência
São Paulo
2013
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Danilo Gustavo Bispo
Dos fundamentos da matemática ao surgimento da
teoria da computação por Alan Turing
Mestrado em História da Ciência
São Paulo
2013
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Danilo Gustavo Bispo
Dos fundamentos da matemática ao surgimento da
teoria da computação por Alan Turing
Mestrado em História da Ciência
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção
do título de MESTRE em História da Ciência,
sob orientação do Prof. Dr. José Luiz Golfarb
São Paulo
2013
Banca Examinadora
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Deticatória
Aos amigos e professores do mestrado
Ao meu orientador
À minha família e namorada
Aos companheiros de N.A
Por me auxilarem nesta jornada de aprendizado e desafio, muito obrigado a todos.
O caminho da história não é o de uma bola de bilhar, que segue uma inflexível lei causal;
assemelha-se mais ao de uma nuvem, a alguém que vai perambulando pelas ruas e que é desviado
aqui por uma sombra, ali por um grupo de pessoas ou pelo espetáculo de uma praça barroca e por
fim chega a um lugar que não conhecia e aonde não desejava ir.
(Robert Musil, “Homem sem qualidades”)
RESUMO
Neste texto apresento inicialmente com o intuito de contextualizar as influências envolvidas no
surgimento da teoria de Alan Turing sobre computabilidade um histórico de algum problemas que
mobilizaram os matemáticos no início do século XX. No capítulo 1, será exposto um panorama do
surgimento da ideologia formalista concebida pelo matemático David Hilbert no início do século
XX. O objetivo do formalismo era de fundamentar a matemática elementar a partir do método e
axiomático, eliminando das teorias suas contradições e paradoxos. Embora Hilbert não tenha obtido
pleno êxito em seu programa, será demonstrado como suas concepções influenciaram o
desenvolvimento da teoria da computação de Turing. A teoria que Turing propõe é um
procedimento de decisão, um método que analisa qualquer fórmula arbitrária da lógica e determina
se ela é provável ou não. Turing prova que nenhuma decisão geral pode existir. Para tanto será
utilizado como fonte primária o documento On computable numbers, with an application to the
Entscheidungsproblem. No capítulo 2, será apresentado as principais seções do documento de
Turing explorando alguns de seus conceitos. O projeto será finalizado com uma crítica a este texto
clássico da história da matemática com base nas propostas historiográficas apresentadas no primeiro
capítulo.
Palavras-chave: Lógica, Fundamentos da Matemática, Teoria da Computação.
ABSTRACT
In this paper I present initially in order to contextualize the influences involved in the emergence of
the theory of Alan Turing computability on a history of some issues that mobilized mathematicians
in the early twentieth century. In chapter 1, an overview will be exposed to the emergence of
ideology Formalist designed by mathematician David Hilbert in the early twentieth century. The
aim was to base the formalism elementary mathematics from the method and axiomatic theories
eliminating contradictions and paradoxes. Although Hilbert has not obtained full success in your
program, it will be demonstrated how their ideas influenced the development of the theory of
computation Turing. The theory proposes that Turing is a decision procedure, a method that
analyzes any arbitrary formula of logic and determines whether it is likely or not. Turing proves that
there can be no general decision. For that will be used as a primary source document On
Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. In Chapter 2, you will see
the main sections of the document Turing exploring some of its concepts. The project will be
completed with a critique of this classic text in the history of mathematics based on
historiographical proposals presented in the first chapter.
Keywords: Logic, Foundations of Mathematics, Theory of Computation.
Sumário
Introdução .......................................................................................................................... 01
Capítulo 1 – Os fundamentos da matemática
1.1 Alan Turing ...................................................................................................... 05
1.2 O documento: On Computable Numbers ........................................................ 07
1.3 O Formalismo ….............................................................................................. 10
1.4 O Programa de Hilbert..................................................................................... 12
1.5 Os teoremas de Gödel ..................................................................................... 15
1.6 O Entscheidungsproblem ................................................................................ 20
Capítulo 2 – A teoria da computação
2.1 Computing machine ........................................................................................ 23
2.2 Definitions ….................................................................................................. 27
2.3 Examples of computing machines .................................................................. 31
2.4 Enumeration of computable sequences .......................................................... 42
2.5 The Universal Computing Machine ............................................................... 46
2.6 Detailed description of the Universal Machine .............................................. 49
2.7 Application of the diagonal process ............................................................... 61
Considerações Finais ........................................................................................................ 73
Anexos
O Manifesto de Hilbert ......................................................................................... 76
A Lista de problemas …........................................................................................ 87
Referências Bibliográficas ............................................................................................... 89
1
INTRODUÇÃO
Desde o início do período moderno, a ciência veio, paulatinamente, se consolidando como
um meio privilegiado de saber. A perspectiva de firmá-la como atividade superior de produção do
conhecimento atingiu seu ápice ao longo do século XIX.
O crescente sucesso da ciência em dar explicações aos fenômenos físicos e a junção cada
vez maior entre ciência e tecnologia vinham mudando de forma veloz a vida da sociedade. A
expectativa era de que o conhecimento científico, através de seu rigoroso método de pesquisa, fosse
capaz de dar respostas a qualquer tipo de problema, seja ele vindo das ciências naturais ou das
humanidades. A visão mais corrente era de que a ciência estaria alicerçada em bases tidas como
puramente racionais e promoveria um desenvolvimento linear e cumulativo do conhecimento.
Porém, todo esse entusiasmo diante do conhecimento científico foi enfraquecido com o surgimento
de novas teorias que abalaram os fundamentos da ciência. No final da terceira década do século XX,
praticamente todos os pressupostos que embasavam a ciência moderna, em especial a concepção de
mundo cartesiano-newtoniana, haviam sido contestados.1
O surgimento das geometrias não-euclidianas, da teoria da relatividade e da mecânica
quântica, trouxeram uma nova perspectiva diante da natureza. Noções que fundamentavam a ciência
newtoniana como tempo e espaço absolutos, átomos tidos como blocos sólidos e indestrutíveis, a
visão de uma causalidade unicamente mecânica dos fenômenos físicos, além da possibilidade de
uma observação objetiva da natureza, foram, de certa forma, descartadas.
Pelo papel central que a ciência ocupou na produção do conhecimento na modernidade,
essas mudanças teóricas não só estremeceram os pilares do conhecimento científico, mas lançaram
questionamentos à própria idéia de razão que guiou o pensamento ocidental desde a Antigüidade
clássica. A possibilidade de um conhecimento seguro, capaz de construir teorias universais,
absolutas e necessárias, que sempre foi ambicionada pelos defensores da ciência, se tornava cada
vez mais difícil. A impressão era de que a confiabilidade cognitiva dada pelo método científico
poderia ser apenas uma ilusão temporária. Se por um lado era contestada a legitimidade da ciência
como uma fonte segura de conhecimento, por outro assistia-se a um progresso tecnológico cada vez
mais acentuado, impulsionado pela junção da ciência com a técnica. Se a objetividade das teorias
científicas era questionada de forma contundente, as teorias surgidas a partir da nova física,
continuavam sujeitas a uma comprovação por meio de rigorosos testes, como era característico do
dito método científico. Diante disto, a grande questão que se apresentava nos primeiros embates
sobre os fundamentos da ciência, não era no sentido de reconhecer as limitações do modelo
científico em dar explicações e guiar o processo de construção do conhecimento. O grande desafio,
era o de encontrar uma forma de restabelecer o status epistemológico do conhecimento científico
diante das novas teorias e questionamentos que surgiam. E foi esta a tarefa que moveu os principais
trabalhos filosóficos da ciência na primeira metade do século XX.2
Já este texto que ora apresento, tem origem em uma pesquisa em história da Teoria da
Computação3 através da teoria elaborada pelo matemático Alan Turing para o programa de História
da Ciência. Propus pesquisar os aspectos da Europa moderna, que foram influentes no
desenvolvimento e transformações que ocorreram na matemática entre o final do século XIX e
início do século XX.
Neste projeto, a principal dificuldade encontrada para sua concretização, foi conseguir livros
de história da matemática que tratassem das influências do meio social no desenvolvimento da
matemática. Isto de fato causou um certo estranhamento, já que na historiografia de outras ciências
este tipo de abordagem não é incomum.
Ao iniciarmos um estudo em história da ciência, um fator que chama a atenção é a
1 Goldfarb A., O que é história da ciência, 68-72. 1994.
2 Ibid.
3 Peter, “Computer Science: The Discipline”, 3.