Django Liénart Instabiliteit van concrete filled arch tubes

134 Pages·2012·26.1 MB·English

Instabiliteit van concrete filled arch tubes
Django Liénart
Promotor: prof. dr. ir. Philippe Van Bogaert
Begeleiders: ir. Amelie Outtier, ir. Dries Stael
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van
Master in de ingenieurswetenschappen: bouwkunde
Vakgroep Civiele Techniek
Voorzitter: prof. dr. ir. Julien De Rouck
Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur
Academiejaar 2011-2012
Voorwoord
Van jongs af was ik al gefascineerd door bruggen. Op zich een symbool dat mensen dichter
bij elkaar brengt maar vooral een kunstwerk waar uren naar gestaard kan worden. Een groot
geluk dus dat ik voor mijn masterproef dit onderwerp heb kunnen kiezen. Vooraleerst zou ik
graag prof. dr. ir. Philippe Van Bogaert bedanken voor het aanreiken van dit onderwerp, zijn
kostbare tijd en energie, en de vele discussies die we er over hebben gevoerd. Ook wil ik mijn
begeleiders, ir. Amelie Outtier en ir. Dries Stael bedanken voor hun hulp. Voor het meehelpen
uitdokteren van de proefopstelling wil ik graag Herman bedanken en voor de uitvoering Tom,
Dave en Sam. Ook iedereen van de Afdeling Weg- en Waterbouwkunde, waaronder prof. dr. ir
H. De Backer, ir. Dries Stael en ir. Wim Nagy voor het steeds aanreiken van nieuwe oplossingen
wanneer ik vastzat en hun hulp bij de metingen.
Ook wil ik graag de mensen van het L.M.O. bedanken omdat we gedurende een hele semester
hun vergaderzaal mochten gebruiken en in het bijzonder Delphine voor haar tijd en interesse in
mijn masterproef. Natuurlijk wil ik ook mijn vriendin Katrijn bedanken om mijn gezaag aan te
horen en mij te allen tijde te steunen en te motiveren. Ook wil ik graag Karen Piraat bedanken
om heel mijn thesis na te lezen en voor haar onvoorwaardelijke vriendschap. Ten slotte wil ik
Pieter bedanken voor de mooie tekening, Driesj voor de frisbee en de thesis-muziek, Olivier en
Ann voor hun kookkunsten, Wouter voor de thesis-afleiding, Marc voor zijn scherm, Nicolas en
Kenneth voor hun hulp bij het uittesten van de gravitaire methode die gefaald is, mijn ouders
voorhunsteun,mijnbroervoorzijnzaligeidee¨enenzever-momenten,enalslaatste’Stayfocusd’
om mij te helpen focussen op het schrijven van mijn thesis!
Django Li´enart, juni 2012
i
Toelating tot bruikleen
“De auteur(s) geeft(geven) de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen
en delen van de masterproef te kopi¨eren voor persoonlijk gebruik.
Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrek-
king tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit
deze masterproef.”
Django Li´enart, juni 2012
ii
Instabiliteit
van
concrete filled arch tubes
door
Django Lie´nart
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van
Master in de ingenieurswetenschappen:
optie Bouwkunde
Academiejaar 2011–2012
Promotor: Prof. Dr. Ir. Philippe Van Bogaert
Begeleiders: Ir. Amelie Outtier, Ir. Dries Stael
Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur
Universiteit Gent
Vakgroep Civiele Techniek
Voorzitter: Prof. Dr. Ir. Julien De Rouck
Samenvatting
CFSTbogen(Eng.:’concrete-filledsteeltubesarches’)hebbenalsgrotevoordeeldatdebetonnen
kern extra weerstand biedt tegen instabiliteit. Het doel van deze masterproef is om de invloed
van holtes in de betonnen kern te gaan analyseren en het gevolg hiervan op de bezwijklast.
Dit door enerzijds proeven uit te voeren waarbij een proefboog belast wordt tot het bezwijkt
en anderzijds een model op te stellen waarbij veronderstellingen worden gemaakt gebaseerd op
de proeven. Bij de proeven zal er tot de constatatie gekomen worden dat instabiliteit niet
altijd het bezwijkmechanisme is. In sommige gevallen zal de boog pas later bezwijken zonder
verschijnselen te vertonen van instabiliteit en dit door het vormen van plastische scharnieren die
leiden tot een mechanisme.
Trefwoorden
CFST bogen, instabiliteit van bogen, asymmetrische belasting, plastisch bezwijken
Instability of concrete filled arch tubes
DjangoLie´nart
Supervisor(s): prof. dr. ir. PhilippeVanBogaert,dr. ir. AmelieOuttier,ir. DriesStael
Abstract—The main advantage of concrete filled steel tube arches, or II-C Debonding
CFST arches, is the fact that the concrete adds resistance to instability,
Debondingcanalsodecrease,andevendestroy,theeffectof
whichleadstoahigherulitmateloadforthebucklingmechanism. This
articleconcernsthediscussionoftheresultsofexperimentsconductedon confinement.Itiscausedbyinevitablereasonssuchasshrinking
smallscaledCFSTarches. Undernormalcircumstances,instabilitywould oftheconcrete,andvariationsintemperature.
causethearchestofail,sincetheultimateloadforthisphenomenonisrel-
ativelylowcomparedtootherpossiblefailuremechanisms. However,this
III STUDYOFAPROTOTYPEARCHBRIDGE
assumptionisnotvalidincertaincases,whicharediscussedhere.
Keywords—CFSTarches, instabilityofarches, asymmetricalloading, In this section, a model of an existing arch bridge has been
plasticfailure implemented in SCIA Engineer. This way, the effect of Load
Model1[2]canbeinvestigated. Thismodeltakestheloadin-
duced by traffic into account. From this study, it became clear
I INTRODUCTION
thattheeffectoftraffichasaprominentinfluenceonthebuck-
THEconcept of using CFST arches for the construction of lingbehaviourofthearch.
bridges,ismostlyfoundinChina. ThisiswhytheChinese
alreadydevelopeddesigncodesforthesetypesofbridges.How- IV DESIGNCODESONINSTABILITY
ever, in Europe, research on this subject is still much needed. In this section, the design codes concerning instability, de-
Nonetheless, the advantage of using these arches in the con- scribed in [2] are explained and applied to the case of an arch.
structionofbridgesisclear. Thearchescanbemuchmoreslen- Instabilityofelementssubjectedtobendingandcompressionis
der,ascomparedtoregularsteelarches,becauseoftheconcrete describedby
core that adds to the resistance against buckling. Additionally
N M z
Ed y,Ed
the span width of such a structure can be much larger. This is σEd = + fy (1)
χ A χ I ≤
because in the first phase of construction, when only the steel y LT y
tubeisplaced,thistubewillhaveamuchlowerselfweightthan Thisequationisderivedfromthegeneralequationforinsta-
aregularsteelarch,becauseofthewallthickness[1]. bility,describedin[2]. χisthereductionfactorduetoflexural
bucklingandχ isthereductionfactorduetolateral-torsional
LT
buckling.
II BEHAVIOUROFCONCRETEINACFSTSECTION
IV-A PropertiesofaCFSTsection
There are three important effects that will influence the re-
sistanceofaCFSTelement: bondcapacity,confinementeffect, TheflexuralstiffnessandthecompressionstiffnessofCFST
anddebonding. Thesethreewillbediscussedinthissection. elementsaredescribedby
EA = E A +α E A (2)
s s 1 c c
II-A Bondcapacity
EI = E I +α E I (3)
s s 2 c c
The bond capacity allows the transfer of stresses from con-
Intheseexpressions, thevalueofαvariesfromdesigncodeto
cretetosteel. Inpractice,thiseffectisrealizedbyaddingshear
design code, and for the type of calculation that is performed
connectors to the structure, since the natural bond capacity is
(e.g. internalforcesandstresses,orelasticbucklinganddefor-
assumedtobenegligiblylow. IndesigncodesforCFSTarches,
mation,etc.) [1].
optimalbondcapacityispresumed.
V DETERMINATIONOFTHEDIMENSIONSOFTHETEST
II-B Confinementeffect ARCH
Using the design codes discussed in section IV, the dimen-
This effect leads to an increase of the compression strength,
sionsofthetestarchcanbedetermined. Inthisprocess,theaim
andtheductilityoftheconcrete. Theconfinementisoptimalfor
is to obtain an ultimate load as low as possible, to ensure the
axiallyloadedelements,however,bendingmomentswilldistort
feasibility of the experiments. The necessary calculations are
thisactionsignificantly.Bendingmomentswillcausetheforma-
performed using SAMCEF software. Based on the prototype
tionofatensionzone,whichwillleadtoexpansionofthecross
model, an input for SAMCEF was created, which is depicted
section in that particular zone. The concrete will no longer be
in figure 1. In conclusion the diameter of the test arch will be
confined. Unless the bond capacity has a noticeable influence,
35mm,thewallthickness4mm,thespanwidth4,5m,andthe
therearenoreasonstotakethisconfinementeffectintoaccount.
rise1m.Theultimateloadforthisconfigurationwillbe4163N.
Thisloadwillbeappliedintwopointloads,witharelativedis-
D.Lie´nartisstudyingattheCivilEngineeringDepartment,GhentUniversity
(UGent),Ghent,Belgium.E-mail:[email protected]. tributionof65%-35%.
Fig.1:InputmodelinSAMCEF[kN]
VI EXPERIMENTSPERFORMEDONTHETESTARCHES
Forthetest, mortarwillbeusedinsteadofconcretebecause
ofthesmalldiameterofthearches. Threearcheswillbetested.
Thefirstonewillbetestedwithoutmortartoobtainareference
conditionforthetestswithmortar. Thefillingofthetubescan
Fig.2:Plasticdeformationofthetestarchforatotalloadof1232kg
be done in various ways. Firstly, the gravitational method was
tested. Inthisapproach,themortarisinsertedintothetubeun-
der gravitational forces, using the concept of communicating theseparameterswouldbelowerinthecaseoftubearcheswith
vessels. However, it was seen that if the arch was filled over mortar. Thisindicatesthattheaddedmassduetotheconcreteis
75% of its length, the friction became to high to complete the moreimportantthantheextrastiffness.
filling. Furthermore,dissolutionofthemortarcausedproblems.
This is why it was opted to fill the arches using a pumping in- VII DISCUSSIONOFTHEEXPERIMENTALRESULTS
stallation for mortar. For every test arch, the eigenfrequencies
Using[2],theelasticstrainforanarchwithoutmortarisde-
were also determined to get a clear view on the difference be-
rivedfrom
tweentheflexuralstiffnessofasteeltubearchwithandwithout N M ·z
Ed Ed
mortar. σ = + (4)
A I
VI-A Steeltubearchwithoutmortar If the stress exceeds the yield stress, the corresponding elastic
strain is reached. The internal forces, N and M are de-
Ed Ed
Fromthisexperiment,itbecameclearthatinstabilitywillnot
termined usingthe model shownin figure 1. Itis seenthat the
be a governing factor in the failing of the arch. The arch will
elasticstraininthepointwherethehighestloadapplied(65%)
failforahigherultimateloadthancalculatedbefore,andplastic
is, is reached for a total load of 657,7kg. In the experiments,
failure will occur. These results were not expected during the
plasticdeformationalreadyoccurredforaloadof700kg,foran
testing of the arch, which is why no relevant measurements of
arch without mortar. This showed that elastic strain should in
thestrainwereconductedherewhichwoulddescribetheplastic
factoccurforaloadsmallerthanthisvalue.
failuremechanismmoreclearly.
AnonlinearmodelisnowimplementedinSAMCEF,toget
VI-B Steeltubearchwithmortar
a clear view on when and where plastic hinges will occur. In
Taking the previous remarks into account, strain measure- thismodelitisalsopossibletoperformcalculationsforanarch
mentswereperformedforthiscase. Thisway,theelasticstrain with mortar. It was seen that the elastic strain at the point of
can be determined which will be a good point of comparison applicationofthehighestload(65%),isexceededforaloadof
betweenthetwotestarchesfilledwithmortar. Itwasseenthat 620kg. Thereasonwhythisvalueislowerthantheabovecal-
theelasticstrainwasexceededwithanamountof550kg(more culatedone,isbecausetheinfluenceofdeformationsontheul-
or less). It is noted that in practice, the determination of the timateloadistakenintoaccounthere. Afterwardsthesequence
momentonwhichaplastichingeiscreatedisambiguous. in which the plastic hinges occur is determined. The first one
will occur at the point of application of the highest load, the
VI-C Conclusions
second one at the clamping on the side closest to the previous
Contrarytoearliercalculations,plasticfailureoccuredwhich mentionedpoint,andthethirdoneatthetopofthearch. Three
is coupled to a much higher ultimate load. Because of the fact hinges suffice to create a mechanism, the ultimate load in this
that determining the actual moment of failure for this mecha- casewas989,1kg.
nismisambiguous,theelasticstrainwasusedtocomparediffer- These parameterswere alsodetermined for thecase ofan arch
entsituations. Insightinwhereandwhenplastichingeswould filled with mortar. This lead to a value of 650kg for the
occur, can be gained by applying the design codes, and a non- load where elastic strain is reached, and an ultimate load of
linear model. The experiments show that plastic hinges are 1071,4kg.
presentforaloadof1232kg. Thissituationispresentedinfig-
ure2. Thevaluesofthemeasuredeigenfrequenciesshowedthat Itcanbeseenthatthereisasignificantdifferencebetweenthe
loadsdeterminedwiththenon-linearmodel,andtheexperimen-
talresultsforatestarchfilledwithmortar.Thiscanbecausedby
severaleffects. Firstly,inreality,clampingthearcheswillnever
beentirelyperfect. Secondly,applyingtheloadsinpracticewill
beasomewhatdynamicalprocess,whileinthenon-linearmodel
astaticalapproachisapplied.
VIII CONCLUSIONSANDRECOMMENDATIONS
Thisarticleshowsthatinsomecases,instabilityisnotthede-
cisivefailuremechanism. Theparameterthathasamaininflu-
enceonwhichtypeoffailuremechanismwilloccur,isthesteel
ratio.Whenthesteelratioishigherthan20%,instabilitycannot
occurandthearchwillcollapseduetoplasticfailure.Therefore,
anon-linearcalculationofa3D-modelshouldbeusedtohavean
insightinthefailuremechanism. Alsowhendoingexperiments
onasmallscaledCFSTarch,effects,likedebondingwhichcan
affecttheultimateload,donotoccur.
REFERENCES
[1] Eurocode3: Ontwerpenberekeningvanstaalconstructies-deel1-1: Al-
gemeneregelsenregelsvoorgebouwen,oktober2005.
[2] Bao-ChunChenandM.ASCETon-LoWang. Overviewofconcretefilled
steeltubearchbridgesinchina. PracticePeriodicalonStructuralDesign
andConstructionASCE,pages70–80,2009.
=2
Inhoudsopgave
Voorwoord i
Toelating tot bruikleen ii
Extended abstract iv
Inhoudsopgave vii
Gebruikte afkortingen xi
1 Literatuurstudie 1
1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Drie belangrijke effecten in een CFST-doorsnede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Kleef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Opsluitingseffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Onthechting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Types CFST boogbruggen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Dwarsdoorsneden en materiaalkeuze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Gedrag beton in een CFST doorsnede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Krimp van beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Kruip van beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Montage methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Opbouw stalen boog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Pompen van beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Doel onderzoek 12
2.1 Doel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Opdeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
vii
Inhoudsopgave
3 Prototype boogbrug 14
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Dimensies boogbrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Verkeersbelasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1 Load Model 1: Overzicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2 Load Model 1: Tandemstelsel TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.3 Load Model 1: UDL systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.4 Load Model 1: Overige gebieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.5 Load Model 1: Correctiefactoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Invoer prototype in SCIA Engineer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.2 Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.3 Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Omgang van de ontwerpcodes met instabiliteit 23
4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Instabiliteit van de boog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.1 Achtergrond: Eurocode 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2 De knikreductiefactor voor bogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3 De kipreductiefactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 De elastische knikfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Eigenschappen van een CFST dwarsdoorsnede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Verband met prototype boogbrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6 Eindige elementen berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6.1 Eindige elementenpakket SAMCEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6.2 Input in SAMCEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6.3 Output uit SAMCEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6.4 Berekening bezwijklast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.5 Invloed verhouding diameter tot spanwijdte . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6.6 Invloed elasticiteitsmodulus E van beton op de bezwijklast . . . . . . . . 38
4.6.7 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Voorbereiding proef 40
5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Vulmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
viii
Inhoudsopgave
5.2.1 Gravitaire methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.2 Pomp methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.3 Mortelsamenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Verdeling van de lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Opmeten van de bogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.1 Overzicht van de proefboog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.2 Visuele inspectie van de proefbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5 Proefopstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Uitvoering proef 53
6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Meting 1: Eigenfrequenties opmeten van een proefboog zonder mortelvulling. . . 53
6.3 Meting 2: Bezwijklast van een proefboog zonder mortelvulling. . . . . . . . . . . 54
6.3.1 Belasting via gewichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.2 Belasting via een takelsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Meting 3: Eigenfrequenties opmeten van een proefboog met mortelvulling . . . . 66
6.5 Meting 4: Bezwijklast van een proefboog met mortelvulling . . . . . . . . . . . . 66
6.5.1 Bepalen van de elasticiteitsmodulus van de mortelvulling . . . . . . . . . 66
6.5.2 Opmeten van de vervormingen via rekstroken . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5.3 Belastingsproces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.5.4 Laadcel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.5.5 Vervorming in functie van de belasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 Bespreking proeven 76
7.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Eigenfrequenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Plastisch bezwijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3.2 Vloeinormaalkracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3.3 Volplastisch of vloeimoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3.4 Plastisch bezwijken bij samengestelde buiging . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4 Lineaire berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
ix