Table Of Content

Szendrei Ágnes DISZKRÉT MATEMATIKA LOGIKA ALGEBRA KOMBINATORIKA Szendrei Ágnes DISZKRÉT MATEMATIKA LOGIKA ALGEBRA KOMBINATORIKA SZEGEDI EGYETEMI KIADÓ POLYGON 2017 Szerkeszti: Kurusa Árpád Lektorálta: Bartha Miklós Nyelvi lektor: Lipták László 10. kiadás ISSN 1417—0590 Kiadja az SZTE BOLYAI INTÉZET a POLYGON jegyzetsorozataként Felelős vezető: Kincses János főszerkesztő Bolyai Intézet Szeged, Aradi vértanúk tere 1., 6720 e-mail: [email protected] http://www.math.u-szeged.hu/polygon/ ©Szendrei Ágnes, 2017. Előszó A modern számítástudományban ma már nélkülözhetetlenek a logika, az álta lános algebra és a kombinatorika eszközei. Ez a könyv mindazok számára íródott, akik az említett területekről alapvető elméleti ismereteket kívánnak szerezni. A könyv a középiskolai tananyagon túlmenő előismeretet nem tételez föl. A mü összeállításánál a József Attila Tudományegyetem programozó matema tikus, illetve számítástechnika tanár szakos hallgatóinak tartott Diszkrét matema tika nevű tárgy tananyaga volt irányadó, s mint a „Logika, algebra, kombinatorika” alcímből is látható, az anyag jóval szélesebb területet ölel föl, mint amit matemati kai diszciplínaként diszkrét matematikának szokás nevezni: a 16 fejezetben a logika témaköréből az ítéletkalkulus és a predikátumkalkulus (elsőrendű függvénykalku lus) kerül megtárgyalásra, az algebrai részen belül klasszikus algebrai kérdésekről — mint pl. komplex számok és polinomok —, elemi számelméletről és absztrakt algebrai témákról — pl. általános algebrai konstrukciók, félcsoportok, csoportok, gyűrűk — egyaránt szó esik, s végül a kombinatorika területéről az alapvető össze- számlálási feladatok és klasszikus gráfelméleti témák kerülnek megtárgyalásra. A könyv célja kettős: olyan ismeretek nyújtása, melyek a számítástudomány valamely területén ténylegesen alkalmazhatók — kisebb részben olyanok is, melyek közvetlenül ugyan nem alkalmazhatók, de az egyetemi-főiskolai szintű matematikai alapműveltséghez hozzátartoznak —, s mindezt olyan módon, hogy egyidejűleg az absztrakciós készséget is fejlessze. Ebben a folyamatban nagyon fontos szerepet játszik az a nagy számú példa, amely a bevezetett fogalmakat, s időnként a tételeket illusztrálja. Mivel a könyv anyaga elég szerteágazó, ezért az egyes anyagrészeket csak beve zető szinten lehet tárgyalni. így aránylag sok az új fogalom, és kevés a mély tétel; a tétetek' nagy része a bevezetett fogalmakra vonatkozó alapvető összefüggéseket fejez ki. Hasznos lehet, ha ilyen esetben az olvasó időnként a bizonyítás elolvasása előtt maga is megpróbálkozik a bizonyítással, s kifejezetten kívánatos, hogy azokban az vi Előszó esetekben, amikor a könyv több hasonló állítás közül csak egynek-kettőnek közli a bizonyítását, a többit az olvasó önállóan igazolja. Az anyag elsajátítását szolgálják a fejezetek végén található feladatok is. Az átlagosnál nehezebb feladatokat * jelzi. A könyv 16 fejezete közül bizonyosak egymástól függetlenül is olvashatók. Ehhez ad útmutatást a xi. oldalon a fejezetek egymásra épülését szemléltető ábra. (A szaggatott vonal csekély mértékű függést jelez.) Egy-egy fejezeten belül a de finíciókra, a példákra, a tételekre és a megjegyzésekre a hivatkozás az alfejezetet, illetve az azon belüli előfordulási sorrendet tükröző kettős sorszámmal történik, az adott fejezeten kívüli hivatkozásnál ehhez hozzájön még a fejezet római sorszáma. Az ábrák számozása a könyvben végig folyamatos. A könyv témánként csoportosított irodalomjegyzéke igyekszik bő kínálatot nyújtani arról, mely magyar nyelvű tankönyvekben, jegyzetekben lehet a szóban forgó témákról — többnyire az itteninél bővebben vagy más felépítésben — ol vasni, illetve további feladatokat találni, s ezen kívül felsorol néhány kiemelkedően jó angol nyelvű könyvet is. Az irodalomjegyzékben felsorolt művek nagy részét ma gam is forgattam e könyv megírása közben, vagy kollégáimmal együtt használtuk a feladatok összeállításánál. ★ Befejezésül köszönetemet fejezem ki mindazoknak, akik hozzájárultak ahhoz, hogy ez a könyv elkészülhessen: • tanszéki kollégáimnak, akik gyakorlatvezetőként a feladatsorok összeállításá ban részt vettek, illetve hasznos tanácsaikkal a könyv megírásában segítettek; • Horváth Gyula egyetemi adjunktusnak, aki az Informatikai Tanszékcsoport részéről a tantárgy alakulását figyelemmel kísérte; • Bartha Miklós egyetemi docensnek és Lipták László tudományos ösztöndí jasnak, akik a szakmai, illetve a nyelvi lektorálást rendkívüli gondossággal végezték el; jobbító javaslataik figyelembevétele előnyére vált a könyvnek; • Szabó Csaba egyetemi adjunktusnak, aki ugyancsak hasznos kiegészítéseket javasolt; s végül • Kozma József egyetemi adjunktusnak, aki az ábrák szép megrajzolásával és a végső külalak kialakításával a könyvet esztétikussá tette. Szeged, 1994. június 18. • Szendrei Ágnes Tartalom Előszó ............................................................................................................................v Tartalom .....................................................................................................................vii A fejezetek egymásra épülése .................................................................................xi I. Az ítélet kalkulus elemei..........................................................................................1 1. ítéletek, logikai műveletek ..............................................................................1 2. Az ítéletkalkulus formulái, logikai ekvivalencia ..............................................5 3. Formulák teljes diszjunktív normálformája..................................................11 4. Tautológiák ......................................................................................................14 5. Az ítéletkalkulus következményfogalma .......................................................15 6. Az ítéletek finomabb szerkezete.....................................................................19 7. Feladatok ..........................................................................................................24 II. Halmazok, leképezések........................................................................................29 1. Halmazok ..........................................................................................................29 2. Megfeleltetések................................................................................................35 3. Leképezések......................................................................................................38 4. Halmazok Descartes-szorzata ........................................................................43 5. Véges halmazok ...............................................................................................45 6. Véges halmaz permutációi..............................................................................46 7. Megfeleltetések megadása leképezésekkel.....................................................50 8. Feladatok ..........................................................................................................57 III. Relációk, gráfok..................................................................................................63 1. Relációk és irányított gráfok..........................................................................63 2. Részbenrendezések, rendezések .....................................................................67 3. Ekvivalenciarelációk........................................................................................74 4. Irányítás nélküli gráfok, fák ..........................................................................77 5. Feladatok .........................................................................................................83 viii Tartalom IV. Összeszámlálási alapfeladatok............................................................................87 1. Variációk, kombinációk....................................................................................87 2. Rendezett osztályozások, ismétléses permutációk.........................................93 3. Binomiális tétel, polinomiális tétel.................................................................96 4. Szita-formula....................................................................................................97 5. Feladatok........................................................................................................100 V. Műveletek, műveleti tulajdonságok..................................................................105 1. Műveletek, algebrák.......................................................................................105 2. Műveleti tulajdonságok; a félcsoport és a csoport fogalma........................107 3. További műveleti tulajdonságok; a gyűrű és a test fogalma......................112 4. Feladatok.........................................................................................................115 VI. Komplex számok................................................................................................117 1. A komplex számok bevezetése; a komplex számok kanonikus alakja...............................................................................................117 2. A komplex számok trigonometrikus alakja...................................................122 3. Gyökvonás komplex számokból; komplex egységgyökök ............................125 4. Feladatok.........................................................................................................128 VII Euklideszi gyűrűk, egyértelmű irreducibilis felbontás...................................131 1. Polinomgyűrűk................................................................................................131 2. Integritástartományok............... 136 3. Gauss-gyűrűk; egyértelmű irreducibilis felbontás ........................................142 4. Euklideszi gyűrűk............................................................................................145 5. Feladatok..........................................................................................................153 Vili. Számelméleti kongruenciák.............................................................................157 1. Lineáris kongruenciák és kongruencia-rendszerek megoldása....................158 2. Euler és Fermat tétele.....................................................................................165 3. Feladatok.........................................................................................................169 IX. Polinomok............................................................................................................173 1. Polinomok helyettesítési értékei és gyökei.....................................................173 2. Irreducibilis polinomok a komplex, a valós, illetve a racionális számtest fölött.............................................................................................179 3. Számtest fölötti polinomok közös gyökei, többszörös gyökei .....................185 4. Feladatok...........................................................................................................190 X. Absztrakt algebrai konstrukciók.........................................................................193 1. Izomorfizmus, homomorfizmus........................................................................193 Tartalom ix 2. Részalgebra, generátorrendszer ...................................................................199 3. Kongruenciareláció, faktoralgebra ...............................................................203 4. Direkt szorzat................................................................................................207 5. Feladatok ........................................................................................................209 XI. Félcsoportok......................................................................................................213 1. Ciklikus félcsoportok ...................................................................................214 2. Transzformáció-félcsoportok........................................................................217 3. Szabad félcsoportok .....................................................................................218 4. Feladatok ......................................................................................................220 XII. Csoportok.........................................................................................................223 1. A csoportok alaptulajdonságai....................................................................224 2. Ciklikus csoportok .......................................................................................227 3. Részcsoport szerinti mellékosztályok..........................................................231 4. Normálosztók ...............................................................................................233 5. Permutációcsoportok....................................................................................237 6. Feladatok ........................................................................................................242 XIII. Gyűrűk, testek................................................................................................245 1. Ideálok............................................................................................................246 2. Euklideszi gyűrűk ideáljai, faktortestei.......................................................249 3. Feladatok .......................................................................................................252 XIV. A predikátumkalkulus elemei; levezetés.....................................................255 1. A predikátumkalkulus formulái ...................................................................255 2. Formulák interpretációja ..............................................................................260 3. Néhány elsőrendű nyelv ...............................................................................266 4. Logikai ekvivalencia, logikailag igaz formulák ...........................................270 5. A predikátumkalkulus következményfogalma............................................276 6. Levezetés ........................................................................................................280 7. Feladatok .......................................................................................................298 XV. Gráfok................................................................................................................305 1. Alapvető fogalmak ........................................................................................305 2. Euler-vonal ....................................................................................................309 3. Hamilton-kör.................................................................................................314 4. Páros gráfok, párosítások.............................................................................317 5. Síkgráfok .......................................................................................— .......323 6. Gráfok színezése ...........................................................................................330 7. Feladatok .......................................................................................................334 x Tartalom XVI. Halmazok számossága..................................................................................339 1. A számosság fogalma.....................................................................................340 2. A véges halmazok, illetve a végtelen halmazok jellemzése ........................341 3. Megszámlálhatóan végtelen halmazok..........................................................344 4. Számosságok összehasonlítása; a kontinuum számosság............................348 5. Műveletek számosságokkal.............................................................................352 6. Feladatok........................................................................................................354 Irodalom...................................................................................................................357 Jelölések ..................................................................................................................361 Név- és tárgymutató ..............................................................................................367 A fejezetek egymásra épülése LOGIKA ALGEBRA KOMBINATORIKA