Distribución de presiones y velocidades en canales con curvatura. Flujo unidimensional en ...

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA HIDRÁULICA
INGENIERÍA CIVIL

DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON
CURVATURA.
FLUJO UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.

TESIS

QUE PARA OPTAR PARA EL GRADO DE:
MAESTRO EN INGENIERÍA

PRESENTA:
ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ

TUTOR PRINCIPAL:
DR. NAHÚN HAMED GARCÍA VILLANUEVA
INSTITUTO MEXICANO DE TECNOLOGÍA DEL AGUA

JIUTEPEC MORELOS SEPTIEMBRE 2017

DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON CURVATURA.FLUJO
UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.

JURADO ASIGNADO:

Presidente Dr. Felipe Ignacio Arreguín Cortés.
Secretario Dr. Francisco Javier Aparicio Mijares
1er vocal Dr. Nahún Hamed García Villanueva
2do vocal Dr. Ariosto Aguilar Chávez
3er vocal M. I. Edmundo Pedroza González

Jiutepec Morelos

TUTOR DE TESIS

Dr. Nahún Hamed García Villanueva.

_________________________________
FIRMA
ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ

DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON CURVATURA.FLUJO
UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.
AGRADECIMIENTOS

A Dios por darme la fortaleza de seguir adelante y porque mientras más
estudio más creo en ti:

A mis padres y mi familia por haberme formado con los valores del hombre
que soy.

A todos mis profesores que me apoyaron en mi formación y en especial a
aquellos que incidieron directamente en la realización de esta tesis: Dr. Ariosto
Aguilar Chávez, Dr. Víctor Manuel Arroyo Correa y Dr. Carlos Fuentes Ruíz. Así
como a todos los miembros del jurado.

A CONACYT por el apoyo brindado durante el tiempo de estudios, a la UNAM
por haberme dado esta oportunidad de desarrollo y al IMTA por haber
facilitado la infraestructura.

A todos mis amigos y compañeros de maestría en especial a Javier Martínez,
Jonathan Pastrana, Juan Carlos Alvarado, Francisco Ramírez, Carlos Daniel de
la Torre y Marco Antonio Jiménez.

Un muy especial agradecimiento a la persona que fungió la doble tarea de ser
un excelente director de tesis y al mismo tiempo un motivador emocional
capaz de hacerme ver la realidad con otro enfoque como ningún otro
investigador. Dr. Nahún Hamed García Villanueva.

Esta tesis está dedicada a la memoria de aquellos amigos que partieron y no
pudieron compartir conmigo realizar esta meta.

ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON CURVATURA.FLUJO
UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.
ÍNDICE
Nomenclatura .................................................................................................................... 3

1. Introducción ................................................................................................................ 5

2. Objetivo ...................................................................................................................... 7

3. Justificación ................................................................................................................. 9

4. Hipótesis ....................................................................................................................11
4.1 Geometría diferencial de curvas .......................................................................................... 13
4.1.1 Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret ............................ 13
4.1.2 Curvatura ................................................................................................................... 15
4.1.3 Plano osculador ......................................................................................................... 15
4.1.4 Centro de curvatura .................................................................................................. 16
4.1.5 Teorema fundamental de curvas .............................................................................. 16
4.2 Discretización del sistema de ecuaciones diferenciales .......................................................... 17
4.2.1 Análisis de consistencia numérica .................................................................................... 22
4.2.2 Análisis de estabilidad ...................................................................................................... 24

5 Metodología ...............................................................................................................29
5.1 Obtención de las coordenadas naturales............................................................................. 29
5.2 Obtención del perfil en estado permanente. ....................................................................... 31
5.2.1 Fuerzas de presión .................................................................................................... 32
5.2.2 Fuerzas de gravedad.................................................................................................. 34
5.2.3 Fuerzas de fricción ..................................................................................................... 35
5.2.4 Ecuación completa .................................................................................................... 36
5.2.5 Condición crítica y sección de control ....................................................................... 39
5.2.6 Condición sin curvatura ............................................................................................. 41
5.3 Obtención del perfil en estado transitorio. .......................................................................... 42

6 Resultados ..................................................................................................................47
6.1 Modelación con datos aleatorios. ........................................................................................ 47
6.2 Modelación de un dam break. ............................................................................................. 52
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ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ

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DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON CURVATURA.FLUJO
UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.
6.3 Comparativo con el artículo “Experimental verification of the Dressler curved-flow
equations” de Sivakumaran y Yevjevich journal of hydraulic research, VOL. 25, 1987 , no. 3. .... 53
6.4 Comparativo con el artículo “Perfil del flujo sobre un vertedor tipo cimacio y su
comprobación” de Gilberto Sotelo-Ávila. ..................................................................................... 57
6.5 Comparativo con el artículo “Depth-integrated flow modelling taking into account bottom
curvature” de B.J. DEWALS et al, Journal of Hydraulic Research Vol. 44, No. 6 (2006), pp. 785–
795. 59

7 Conclusiones ..............................................................................................................61

8 Anexo de códigos ........................................................................................................63
8.1 Código frenet........................................................................................................................ 63
8.2 Código curvatura. ................................................................................................................. 65
8.3 Código perfil de la curvatura. ............................................................................................... 66
8.4 Código transitorio de la curvatura. ...................................................................................... 78

9 Anexo desarrollos matemáticos ..................................................................................85
9.2 Ecuaciones fundamentales de la hidráulica ......................................................................... 85
9.2.1 Ecuación general de conservación de propiedad ...................................................... 85
9.2.2 Ecuación de conservación de masa ........................................................................... 88
9.2.3 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento ............................................ 93
9.2.4 Versiones conservativas y no conservativas de las ecuaciones fundamentales ..... 110
9.3 Demostración de la consistencia numérica ....................................................................... 114

10 Estado del arte ......................................................................................................... 121
10.2 Artículos científicos arbitrados........................................................................................ 121
10.3 Artículos de congreso. ..................................................................................................... 128
10.4 Libros y ensayos. ............................................................................................................. 131
10.5 Publicaciones en sitios web. ............................................................................................ 135
10.6 Tesis académicas. ............................................................................................................ 140

11 Referencias bibliográficas ......................................................................................... 141

2 ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON CURVATURA.FLUJO
UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.
Nomenclatura

A Área de la sección tranversal [L2]
𝑎 Constante de discretización [adim]
1
𝑎 Constante de discretización [T-1]
2
𝑏 Constante de discretización [T-1]
1
𝑏 Constante de discretización [T-2]
2
B Vector binormal
𝐵 Ancho de la superficie libre [L]
𝐵𝑚 Ancho promedio de la superficie libre [L]
𝑐 Signo de la curvatura []adim
C Coeficiente de curvatura [adim]
𝑐 Constante de discretización [adim]
1
𝑐 Constante de discretización [T-1]
2
𝐶𝑒 Coeficiente de relación [L1-m T-1]
𝐶𝑚 Coeficiente de relación de curvatura parcial [L-2m]
𝐶 Coeficiente de curvatura global [adim]
𝑀
𝐶 Creación de la propiedad q
𝜌𝑞
𝐶𝑟 Número de courant [adim]
𝑑 Tirante medido sobre el eje n perpendicular a la plantilla [L]
𝑑 Distancia del centro de gravedad a la plantilla [L]
0
𝑑 Tirante promedio entre dos secciones [L]
𝑚
𝐷 Tasa de creación de la propiedad
𝜌𝑞
𝑑 Constante de discretización [T-1]
1
𝑑 Constante de discretización [T-2]
2
𝑒 Constante de discretización [L T-1]
1
𝑒 Constante de discretización [L T-2]
2
e Vector unitario en el eje binormal [adim]
b
e Vector unitario en el eje normal [adim]
n
e Vector unitario en el eje tangencial [adim]
s
F Fuerza [M L T-2]
𝑓 Fuerzas de fricción [M L T-2]
𝑓
𝑔 Aceleración local de la gravedad [L T-2]
𝑔 Aceleración gravitatoria [L T-2]
𝑠
i índice de posición espacial [adim]
𝐼 Momento de inercia [M L T-2]
1
j índice de posición espacial [adim]
k Talud del canal [adim]´
𝑘 Constante para el modelo de fricción [adim]
0
m Coeficiente de relación [adim]
m masa [M]
𝑀 Variación total de la propiedad q
𝜌𝑞
n Coeficiente de rugosidad de Manning [T L-1/3]
n Vector unitario normal a la superficie de control [adim]
N Vector normal
𝑃 Presión [M L-1 T-2]
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ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ

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DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON CURVATURA.FLUJO
UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.
q Propiedad intensiva escalar
𝑞𝑙 Gasto lateral [L2 T-1]
𝑄 Cantidad de la propiedad q
𝜌𝑞
r Radio de curvatura [L]
𝑅ℎ Radio hudráulico [L]
𝑟 radio de curvatura [L]
𝑐
s Longitud de arco [L]
𝑠 Pendiente de fricción [adim]
𝑓
𝑠 Pendiente de la plantilla [adim]
0
T Vector tangente
u Velocidad de la sección [L T-1]
v Velocidad de la propiedad [L T-1]
𝑉 Volumen de control [L3]
x Eje coordenado x [L]
y Eje coordenado y [L]
𝑌 Tirante hidráulico [L]
z Eje coordenado z [L]
𝛼 Ángulo de fricción [rad]
𝑓
𝛼 Componente tangencial de la aceleración [L T-2]
𝑠
𝛾 Peso específico [M L-2 T-2]
𝜀 Rugosidad [L]
̅ζ Centro de gravedad medido desde la superficie libre [L]
𝜂 Distancia de un elemento diferencial de área a la plantilla [L]
𝜃 Factor de peso espacial [adim]
𝜃 Ángulo de inclinación con respecto de la horizontal en la sección [rad]
𝑖
Ρ Densidad [M L-3]
𝜎 Ancho de la superficie libre con respecto de un diferencial de tirante Δy [L]
𝜏 Esfuerzo cortante [M L-1 T-2]
𝜙 Ángulo entre la vertical y la inclinación de la normal [rad]
𝜒 Curvatura [L-1]
𝛹 Factor de peso temporal [adim]

4 ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES Y VELOCIDADES EN CANALES CON CURVATURA.FLUJO
UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS NATURALES.
1. Introducción

Primeramente, es necesario entender el concepto de curvatura que simplemente es la razón de
cambio de la dirección de la tangente con respecto de un punto fijo, por ejemplo, en una línea recta
no existe curvatura porque la razón de cambio vale cero, por el contrario, en una circunferencia la
curvatura es constante debido a que la razón de cambio se incrementa en forma proporcional a la
medida angular en el punto fijo también llamado centro de curvatura. En pocas palabras la curvatura
es la oposición a la rectitud.

Entonces, si se parte de la observación que, al comparar un flujo en un canal con una plantilla recta
con otro similar, pero con una plantilla curva, el flujo se comportará diferente.

Fig. 1 Flujo con diferentes grados de curvatura (Chow, 2002)
Como soporte teórico del trabajo se incluirá un capítulo sobre geometría diferencial de curvas y la
deducción de las ecuaciones de conservación de masa y de cantidad de movimiento para un flujo
unidimensional sobre un sistema de coordenadas naturales. A partir de estas ecuaciones se derivan
los modelos a desarrollar para estudiar los efectos de curvatura sobre las velocidades y las presiones
en un canal

En este trabajo se estudiará la influencia de la aceleración centrípeta, tanto en canales de curvatura
convexa como cóncava, para determinar su efecto sobre el decremento e incremento de las
presiones desde la superficie libre hasta el fondo del canal y de la misma manera el efecto del radio
de curvatura en la distribución de velocidades en la dirección perpendicular al flujo. Así como su
comportamiento en el tiempo mediante un modelo transitorio que incluya las variables
mencionadas para determinar el tirante, la velocidad y la variación de la presión en un modelo
unidimensional.

Se realizó una recopilación de estudios disponibles relativos al fenómeno que provoca en canales la
variación de la curvatura para verificar y validar el modelo desarrollado. Así mismo se realizó una
comparación con otros modelos físicos. El sistema es resuelto con una solución analítica y
comprobado con datos experimentales de artículos previos.
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ING. OSCAR RANGEL RAMÍREZ

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