Disquisitiones arithmeticae (Gauss) - El Aprendiz

527 Pages·2007·3.21 MB·Spanish

DISQUISITIONES ARITHMETICAE
CARL F. GAUSS
PRESENTACION.
En 1985 naci´olaidea, ytendr´ıaque pasar unad´ecada hastaque´esta sellevara
a feliz t´ermino. Al igual que habra´ sucedido en tantas ocasiones en la comunidad
matema´tica hispanoparlante, nos parec´ıa imperdonable que, ya casi dentro del siglo
XXI, no existiera una versio´n castellana de las Disquisitiones Arithmeticae del gran
Gauss.
Iniciamos la tarea de realizar esta traducci´on y si bien no sab´ıamos cua´nto
tiempo nos iba a tomar su finalizacio´n, sab´ıamos que tendr´ıamos la mirada puesta
sobre nosotros desde que sali´o en Historia Mathematica aquella pequen˜a notita “A
Spanish Edition of Disquisitiones Arithmeticae” en 1987. Tampoco era ajena la
interrogacio´n permanente de V´ıctor Albis, que en cada congreso internacional en el
que nos junta´bamos me espetaba su “¿co´mo va la traducci´on?”.
El proyecto nacio´ en la Escuela de Matema´tica de la Universidad de Costa
Rica y conto´ con el apoyo durante varios an˜os de la Vicerrector´ıa de Investigacio´n de
esta institucio´n. En el desarrollo de este proyecto participaron muchas personas: el
profesor Mark Villarino (en un primer momento), los profesores Michael Josephy y
Angel Ruiz (durante todo el tiempo) y el profesor Hugo Barrantes (posteriormente).
El entonces estudiante de posgrado Alan Dixon ayudo´ en el uso de TEX para darle su
formato. En diferentes formas de respaldo a la elaboracio´n participaron los entonces
asistentesAdria´nGonza´lez,LuisGustavoHerna´ndez,Jesu´sPerazayMartinduSaire.
Y en la mecanograf´ıa nos ayudaron Gasto´n Guerra, Milton Madriz y Julia´n Trejos.
Aunque un primer borrador de la obra completa se termino´ de hacer en
1988, no fue sino hasta 1990 que completamos una versi´on definitiva. Y pasar´ıa
au´n ma´s tiempo hasta que se emprendieran las acciones para buscar su publicacio´n:
burocracias usuales en el medio y hasta licencias saba´ticas inaplazables conspiraron
para atrasar la salida a la luz pu´blica.
La idea de hacer esta traduccio´n no era por supuesto original. Conocemos de
otros intentos serios fuera de Costa Rica por hacerla y sabemos tambi´en que algunos
vi PRESENTACION.
avanzaron parcialmente en la tarea y otros, simplemente, no lograron pasar de las
intenciones. Aunque haya sido la obra que abrio´ la teor´ıa moderna de nu´meros y que
ha sido considerada, con toda justicia, una de las joyas de la produccio´n matem´atica
de todos los tiempos, emprender y completar su traducci´on no era un objetivo tan
fa´cil de asumir: aparte de la traducci´on propiamente conceptual, la tarea significaba,
inevitablemente, innumerables horas dedicadas a la minuciosa labor de cuidar estilo,
simbolog´ıa usada, representacio´n gr´afica, y, adema´s, realizar interminables revisiones
paraminimizarloserrores. Lamaterializacio´ndelaideaeraloverdaderamentedif´ıcil.
Era de entrada un gran reto a la constancia y perseverancia personales.
En la realizacio´n efectiva de este proyecto en Costa Rica confluyeron varios
factores. El apoyo institucional fue importante. Este se dio a pesar de que, en un
principio, se dudaba de la conveniencia (“no era de matem´aticas” ni era un proyecto
t´ıpico de investigacio´n) o de la factibilidad de un proyecto de este tipo que se deb´ıa
realizar en un plazo de tiempo relativamente largo. Los directores de la Escuela de
Matema´tica durante estos an˜os en algunos casos apenas toleraron nuestro proyecto
(porque, tal vez, no les quedaba ma´s remedio), aunque en otros s´ı lo apoyaron sin
reservas. En la Vicerrector´ıa de Investigacio´n sucedio´ un tanto parecido, aunque el
apoyo dado globalmente fue siempre, sin duda, mucho mayor. Aparte de este apoyo
administrativo, fuemuyimportantetambi´enlaexistenciadurantelosan˜osochentade
unambienteacad´emicopropicioparael desarrollodeestetipodeiniciativas. En1983
se hab´ıa fundado la Asociacio´n Costarricense de Historia y Filosof´ıa de la Ciencia
que ha buscado desde su nacimiento fomentar proyectos de investigacio´n, publicacio´n
y de reuni´on acad´emicas en torno a la historia de las ciencias y de las matem´aticas
en particular. (No sobra indicar que el profesor Michael Josephy ha sido siempre un
asociadoycolaboradorimportantedeestasiniciativas,queelprofesorHugoBarrantes
ha sido durante an˜os el Tesorero de esta Asociacio´n y quien escribe esta presentacio´n
ha permanecido como su Presidente desde su fundaci´on). Cabe mencionar, adema´s,
que la accio´n durante estos an˜os de la Sociedad Latinoamericana de Historia de las
Ciencias y la Tecnolog´ıa ha permitido importantes intercambios en la comunidad
acad´emica latinoamericana preocupada por estos temas, lo que tambi´en ha nutrido
nuestros esfuerzos. Pero lo que ma´s influencia tuvo fue la persistencia y permanencia
de este grupo de matema´ticos dispuestos a no cejar en el empen˜o de obtener la
primera versi´on castellana de las Disquisitiones, a pesar de que, como siempre sucede
en proyectos de esta dimensi´on y sobre todo en nuestros pa´ıses, muchos obsta´culos
humanos y administrativos se sumaron a las dificultades propiamente intelectuales
de la tarea.
PRESENTACION. vii
El proyecto ayud´o a fortalecer los trabajos en la historia y la filosof´ıa de las
matema´ticas en la Universidad de Costa Rica, los que, recientemente, han encon-
trado un lugar institucional especial con la creacio´n en 1990 del Programa de In-
vestigaciones Meta-Matem´aticas (estudios multidisciplinarios sobre las matema´ticas
y su ensen˜anza). Varias investigaciones, publicaciones y participaciones en congre-
sos acad´emicos dentro y fuera de Costa Rica fueron nutridas con el trabajo de la
traduccio´n.
Yaenloqueserefierealatraducci´onpropiamente, tratamos dehacerlaloma´s
fiel posible al lat´ın original. Pero consultamos las versiones francesa (trad. A. C. M.
Poullet-Delisle, 1807) y alemana (trad. H. Maser, 1889) y sobre todo la versio´n
inglesa de A. A. Clarke (tanto la edicio´n de 1966, como la de 1986 revisada por W. C.
Waterhouse). Debe destacarse que en nuestra revisio´n de la segunda edicio´n inglesa
encontramos una colecci´on de erratas que le sen˜alamos directamente a Waterhouse.
Comoesl´ogicosuponer, eneldesarrollodenuestratareasurgierondificultades
filol´ogicas. En cuanto a la sem´antica, tratamos de hacer una traduccio´n apropiada
palabra por palabra, aprovechando que usualmente la palabra latina corresponde
a una u´nica palabra castellana, solo en unos casos era necesario modificarla (por
ejemplo, el lat´ın “complexus” se traduce como “conjunto” y no como “complejo”
aunque el ingl´es dice “complex”). En cuanto a la sintaxis, la situacio´n era ma´s
problem´atica: a pesar de la similitud de la estructura latina con la castellana fue
necesario reordenar muchas veces las frases para obtener la expresio´n m´as adecuada
en espan˜ol. Oraciones muy largas en el original latino las tuvimos que dividir. De
la misma manera, expresiones latinas muy compactas (como el ablativo absoluto)
fueronexpandidas. Engeneral, lascla´usulaspasivassetradujeronconlaconstruccio´n
espan˜ola reflexiva (por ejemplo: “se puede hacer”) y evitamos el uso de la primera
persona “podemos hacer”.
Como nuestro propo´sito fue hacer una traduccio´n lo ma´s fiel posible al lat´ın,
debemos agradecer much´ısimo el haber podido contar con la existencia del sistema
TEX (versi´on Macintosh) para el levantamiento del texto y la confeccio´n de las artes
finales. Con TEX pudimos tratar efectivamente la multitud de s´ımbolos matem´aticos,
la notaci´on complicada y la enorme cantidad de ecuaciones, buscando siempre una
representacio´n gra´fica muy parecida a la del original de 1801.
Nos parecio´ importante incluir en esta versio´n de las Disquisitiones una
introduccio´n que permitiera colocar este libro y la obra de Gauss en un contexto
apropiado. De igual manera, para beneficio de los lectores, introducimos una lista en
lenguaje moderno de los contenidos de cada art´ıculo de las secciones de la obra.
viii PRESENTACION.
Para terminar esta presentacio´n, y en nombre del equipo que realiz´o esta
primera versio´n castellana de las Disquisitiones Artihmeticae, deseo expresar nuestro
agradecimiento a varias personas e instituciones. A la Escuela de Matema´tica y
a la Vicerrector´ıa de Investigacio´n de la Universidad de Costa Rica. A los colegas,
asistentes yamigosquemencionamoshaceunoscuantospa´rrafosyquecontribuyeron
al ´exito de nuestro proyecto. Y, muy especialmente, a la Academia Colombiana de
Ciencias Exactas, F´ısicas y Naturales que gentilmente decidio´ publicar este trabajo
y, en particular, a nuestro buen amigo y colega V´ıctor Albis por su aliento y apoyo
constantes.
Angel Ruiz Zu´n˜iga
Presidente
Asociacio´n Costarricense de Historia y Filosof´ıa de la Ciencia
Ciudad Universitaria “Rodrigo Facio”
San Jos´e, Costa Rica
28 de mayo de 1995.
INTRODUCCION.
Las ideas que desarrollo´ Gauss en las Disquisitiones Arithmeticae1 han sido de
extraordinaria importancia en la Teor´ıa de Nu´meros de los siglos XIX y XX. Gauss
realizo´ una magn´ıfica s´ıntesis de los resultados del pasado en la teor´ıa de nu´meros,
y obtuvo una coleccio´n brillante de nuevos resultados, proposiciones y m´etodos que
han servido desde entonces como escuela para una gran cantidad de los matema´ticos
ma´s importantes.2 Se dice, por ejemplo, que el gran Dirichlet siempre ten´ıa una
copia de las Disquisitiones Arithmeticae en su escritorio, y que estudiaba el libro
religiosamente.3
Junto con Arqu´ımedes y Newton, Gauss se considera el matema´tico ma´s
grande de todos los tiempos. Y las Disquisitiones Arithmeticae, una de las joyas
del pensamiento humano.4
La vida intelectual de Gauss se desarroll´o en un “nuevo” contexto histo´rico; se
tratabadetodaunanuevasociedadqueemerg´ıadelasentran˜asdelasociedadfeudal.
Aunque Gauss vivi´o parte de su vida en el feudalismo y el absolutismo germanos,
1 Gauss escribi´o en lat´ın las obras que consider´o m´as trascendentales; el lat´ın de las
Disquisitiones Arithmeticaefuerevisadoporelfilo´logoMeyerhoff;v´easeMerzbach,U.C.“AnEarly
Version of Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae”, en Mathematical Perspectives, Academic Press,
1981.
2 Muchos afirman que con este libro se inicia realmente la Teor´ıa de Nu´meros; v´ease Struik,
D.J.A Concise History of Mathematics, NewYork: DoverPublications, 1967; p. 141. (Laprimera
edici´on es de 1948). Otros estiman que fue Fermat quien creo´ la Teor´ıa de Nu´meros como una
ciencia sistema´tica, pero Gauss inici´o una nueva fase; cfr. Ore, Oystein: Number Theory and its
History; New York: Dover Publications, 1948; p. 209.
3 Cfr. Bu¨hler, W. K. Gauss: A Biographical Study, New York: Springer-Verlag, 1981; p. 36.
4LasDisquisitionesArithmeticaedeGausshansidotraducidasavariosidiomas: latraduccio´n
francesasetitulo´Recherches Arithm´etiquesyfuetraducidaporA. C.M.Poullet-Delisleen1807;la
versio´nalemanaUntersuchungen u¨ber h¨ohere ArithmetiktraducidaporH.Maseren1889; larusaes
de1959editadaporI.M.Vinogradov,TrudypoTeoriiCisel;ylainglesatraducidaporA.A.Clarke
aparecio´ en 1966, y tiene una versio´n de 1986 revisada por W. C. Waterhouse.
x INTRODUCCION.
no puede negarse que la atmo´sfera de la nueva sociedad afectaba la cultura en su
conjunto y, en particular, la produccio´n cient´ıfica. Esta nueva realidad, que supuso
diferentes cosas en la vida de Gauss, y a pesar de que ´este nunca salio´ de su pa´ıs,
le genero´ interesantes posibilidades para su trabajo y un contacto especial con otros
investigadores de las matem´aticas. Gauss fue un matem´atico cuyas contribuciones
ma´s que codificar los resultados del pasado abrieron surcos hacia una nueva ´epoca.
Fue un cient´ıfico moderno en un sentido profundo; su trabajo debe estudiarse por las
generaciones de j´ovenes como un mecanismo de est´ımulo para la creacio´n intelectual
de todos los tiempos.
Vivi´o en una ´epoca de cambios hist´oricos importantes: cuando Gauss ten´ıa
12 an˜os empezaba la Revolucio´n Francesa, y con ella un cortejo de acciones pol´ıticas
y militares en el suelo europeo, cuya influencia llega hasta nuestros d´ıas.
Nacio´ Johann Friedrich Carl Gauss el 30 de abril de 1777 en la ciudad de
Braunschweig (Brunswick).
Ninguno de sus padres pose´ıa una gran cultura y, a lo sumo, sab´ıan leer y
escribir.5 Su familia paterna era de origen campesino.
El talento de Gauss ven´ıa de su lado materno. Su madre sostuvo una lucha
constante frente a su esposo para que Carl Friedrich pudiera estudiar; tuvo ´exito
afortunadamente.6
Un primer est´ımulo lo recibio´ de parte de Friedrich Benz, el hermano de su
madre y un hombre altamente inteligente que murio´ prematuramente.7 Gauss adopto´
como su segundo nombre el de su t´ıo en reconocimiento a ese primer apoyo familiar.
La circunstancia familiar negativa no fue decisiva porque Gauss pudo estudiar
la primaria y la secundaria en condiciones relativamente buenas. Como resultaba
comu´n en ciudades ma´s o menos importantes de la Alemania de la ´epoca, Gauss
pudo asistir a la escuela. Su primer maestro fue un tal Bu¨ttner; el maestro Bu¨ttner–
segu´n E. T. Bell8–era un bruto al mando de una escuela que esencialmente era una
reliquia de la Edad Media.9 Sabemos que posteriormente Bu¨ttner ayudo´ a Gauss,
pero todo pareciera indicar que lo decisivo fue el apoyo del asistente de Bu¨ttner,
5 Aunque en el caso de su madre, al parecer no pod´ıa escribir.
6 Cfr. Bell, E. T. : Men of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1965 (la primera
versio´n es de 1937); p. 219.
7 Idem.
8 Cfr. Bell. Op. cit. p. 221.
9 El criterio de Bell difiere del de Bu¨hler, quien tiende a valorar m´as el est´ımulo de Bu¨ttner
para Gauss.
INTRODUCCION. xi
Bartels.10 Johann Martin Bartels (1769—1836), quien tambi´en ejercio´ cierta influencia
en Lobachevsky, hizo conocer las hazan˜as de precocidad de Gauss, que llegaron a los
o´ıdos del Duque de Braunschweig.11
Fue en 1791 que Gauss fue presentado al Duque de Brunswick-Wolfenbuttel,
quien impresionado por los talentos del joven le concedio´ un estipendio de diez
talentos al an˜o. Cabe decir, que esto no era algo inusual en lugares en Alemania.
Ingreso´ Gauss al Collegium Carolinum, una academia reci´en creada, con una
orientacio´n especial hacia la ciencia; se trataba de una institucio´n pu´blica de muy
buena calidad dirigida hacia el personal militar y administrativo del pa´ıs. Un tipo de
instituci´on necesariamente elitista, dentro de un r´egimen esencialmente absolutista,
peroquesirvio´paraformarabuenapartedelosescritoresycient´ıficosdelaAlemania
de la ´epoca.12
Tal vezresulte interesantecomentar que estas academias pu´blicas orientadas a
la t´ecnica y a la ciencia encontraban su lugar en el contexto hist´orico que vivieron los
pa´ıses protestantes; en su lucha contra la Iglesia Cato´lica, los pr´ıncipes, acompan˜ados
de la Reforma luterana, se dieron a la importante tarea de asegurarse una nueva
intelligentzia, fuera del control de la Iglesia y capaz de administrar la sociedad de
acuerdo a la nueva realidad social y pol´ıtica. Eso explica–en parte–la existencia de
instituciones educativas secundarias y universitarias con una vocacio´n hasta cierto
punto fundadas y dirigidas por los gobiernos absolutistas de los principados; as´ı como
la vocacio´n laica y progresiva de las mismas. La educacio´n y la formaci´on de los
cuadros intelectuales fue un componente vital del especial desarrollo de las naciones
protestantes en la Europa de la ´epoca.
En su ingreso, de nuevo Gauss tuvo ayuda: esta vez de parte de Hofrath
(consejero) von Zimmermann, quien fuera profesor del Carolinum.
De 1792 a 1795 paso´ Gauss en el Carolinum, siendo este el centro de su vida.
Aprovecho´ la existencia de una excelente biblioteca; lo que le permiti´o estar
al d´ıa en la literatura esencial sobre matema´ticas.
Gauss tuvo un inter´es muy especial por las lenguas y por los estudios cl´asicos
de literatura; de tal manera que cuando a sus 18 an˜os deja el Colegio Carolinum
au´n no se hab´ıa decidido acerca de su carrera: filolog´ıa o matema´ticas. El asunto lo
10 Ibid, p. 223.
11 Puede consultarse el libro de Edna Kramer: The Nature and Growth of Modern
Mathematics, Princeton: Princeton University Press, 1981; p. 474. (La primera edici´on es de
Hawthorn Books, 1970).
12 Cfr. Bu¨hler, Op. cit. p. 8.
xii INTRODUCCION.
decidi´o la construccio´n del famoso 17-gono el 30 de marzo de 1796: su satisfaccio´n
ante el descubrimiento lo convencio´ de estudiar matema´ticas.13
Su presencia en la Universidad de G¨ottingen fue decisiva para su formacio´n
intelectual. En esto Gauss no pudo hacer una mejor seleccio´n: Go¨ttingen pose´ıa una
de las mejores bibliotecas de Alemania y, adem´as, hab´ıa tenido una reforma decisiva
que orient´o la universidad hacia la ciencia; ma´s au´n, su administraci´on se encontraba
menos influida por la Iglesia y por el gobierno. De esta forma, Gauss completo´
su formacio´n en instituciones que le dieron de lo mejor que se pod´ıa conseguir en
Europa en cuanto a instruccio´n, autonom´ıa para el estudio y, adema´s, el apoyo de
varias personas para dedicarse a cultivar plena y exclusivamente su esp´ıritu cient´ıfico.
En esto Gauss tuvo una suerte excepcional.
De su experiencia en G¨ottingen tal vez debamos subrayar que tuvo pocos
amigos, entre ellos Bolyai, con quien sostuvo correspondencia toda su vida. Se
dedico´ enteramente a sus estudios, y lo hizo solo. Este es un dato interesante.
Tuvo una intensa experiencia intelectual, solo y sin interrupciones, durante estos
tres an˜os; genero´ durante los mismos buena parte de sus principales ideas cient´ıficas,
que elaborar´ıa con toda minuciosidad durante el resto de su vida. Es decir, en estos
an˜os formul´o informal e intuitivamente muchas de sus hipo´tesis, sus ideas. No es que
luego no aparecieran otras ideas o que desechara muchas de las que en estos an˜os
formulo´, pero que en un tiempo corto genero´ muchas ideas seminales es un hecho
sumamente interesante.14 Debe recordarse que algo muy similar ocurri´o con Newton.
En la construccio´n del conocimiento, la manera en que se producen o generan las
ideas es muy variada; a veces se realiza en momentos cortos de gran intensidad que se
repiten pocas veces; a veces, en un proceso lento de maduracio´n sistema´tica coronada
con s´ıntesis de creatividad; todo depende de las personas, de su contexto existencial,
de su capacidad, etc. Pero un hecho muy importante debe sen˜alarse aqu´ı y es la
presencia de la intuicio´n y la opini´on, la presencia de lo informal, de las hip´otesis
que nacen de una percepcio´n intelectual especial, aunque no trascendental o m´ıstica
13 Cfr. Bell, Op. cit. pp. 227—228.
14 El mismo Bell sen˜ala: “Para los grandes matem´aticos la madurez temprana y una
productividad sostenida no son excepci´on sino la regla. Puede que sea cierto que las ideas ma´s
originales se tienen en la juventud; pero cuesta tiempo elaborarlas. Gauss empleo´ cincuenta an˜os
en desarrollar las inspiraciones que tuvo (esta es sustancialmente su propia descripci´on) antes de
que cumpliera veintiu´n an˜os; e incluso con medio siglo de continuo laborar solo consiguio´ madurar
una pequen˜a parte de sus ideas”. V´ease Bell: Historia de las Matema´ticas, M´exico: Fondo de
Cultura Econ´omica, 1985; p. 254. (La primera edicio´n es de 1940 con el t´ıtulo The Development of
Mathematics, New York, McGraw Hill Book Co.).
INTRODUCCION. xiii
sino aut´enticamente humana. Este componente es esencial en la creacio´n intelectual
y en la matema´tica en particular. Despu´es vendra´ la bu´squeda de los m´etodos, las
escaleras anal´ıticas, las condiciones formales y las demostraciones precisas, pero esta
fase de delinear, de sugerir, de vislumbrar, es esencial en la creaci´on; y, muchas
veces, se busca ocultarla por diversas razones, a veces por prejuicio ideolo´gico o por
ignorancia. En el caso de Gauss encontramos con precisio´n un momento de tres an˜os
en los que su intuici´on y creatividad encontraron, como decimos los matema´ticos, un
punto de acumulacio´n.
El principal resultado de G¨ottingen fue, sin duda, las Disquisitiones Arith-
meticae.
La teor´ıa de nu´meros constitu´ıa, segu´n Gauss, la reina de las matema´ticas,
a la que a su vez consideraba la reina de las ciencias. Y esta no es una mera frase
reto´rica sin trascendencia sino que revelaba una concepci´on sobre la ciencia y las
matema´ticas; Gauss utilizar´ıa muchos de los recursos, mecanismos y modelos de la
teor´ıa de nu´meros en los otros trabajos cient´ıficos que realizar´ıa.
Gauss recibi´o su doctorado de la Universidad de Helmstedt en 1798. Su tesis
fuepublicadaen1799conelt´ıtulo: Demostratio nova theorematis omnem functionem
algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi
gradus resolvi posse (Nuevas demostraciones del teorema que toda funcio´n entera
racional algebraica en una variable puede ser resuelta en factores reales de primero o
segundo grado)15; esto ser´a conocido como el “teorema fundamental del algebra”.
Aunque este resultado ya era conocido16, incluso con el nombre de Teorema de
d’Alembert, Gauss prob´o que todas las demostraciones anteriores, incluyendo las
de d’Alembert (1746), de Euler (1749), de Foncenet (1759) y de Lagrange (1772),
eran inadecuadas.17 En su demostraci´on Gauss transfer´ıa sin probarlo la continuidad
geom´etrica a las cantidades aritm´eticas, pero afirmaba que lo pod´ıa demostrar.18
15 Cfr. Gauss, C. F., Werke, ed. Ko¨nigliche Gesellschaft fu¨r Wissenschften, G¨ottingen, 12
vols., Leipzig y Berl´ın, 1863—1950.; III, pp. 3—56.
16 LaprimerareferenciaseencuentraeneltrabajodeAlbertGirard,editordelostrabajosde
Stevin (Invention nouvelle en alg`ebre, 1629). Consu´ltese el libro de Dirk Struik: A Concise History
of Mathematics, New York: Dover Publications, 1967; p. 141. (La primera edici´on es de 1948).
17 Puede consultarse el excelente libro de Carl Boyer: A History of Mathematics, Princeton:
Princeton University Press, 1985; p. 548. (La primera edici´on es de John Wiley & Sons, Inc., en
1968).
18 Pueden consultarse las l´ıneas fundamentales de este trabajo de Gauss en el libro de Dirk
Struik: ASource Book ofMathematics 1200—1800,Princeton: PrincetonUniversityPress,1986;pp.
115—123. (La primera edicio´n es de 1969 por Harvard University Press).