Dispense del Corso di Analisi III Corso di Laurea Triennale in Matematica Universit`a di Firenze ...

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Dispense del Corso di Analisi III
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Universit(cid:18)a di Firenze
Prof. Rolando Magnanini
DIMAI{DipartimentodiMatematicaeInformatica\U.Dini",
Universita(cid:18) di Firenze, viale Morgagni 67/A, 50134 Firenze
E-mail address: [email protected]

Indice
Capitolo 1. Complementi 1
x1.1. Limite inferiore e limite superiore 1
x1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili 3
x1.3. Decomposizioni di aperti di RN 6
x1.4. Alcuni risultati sulle funzioni convesse 8
x1.5. Estensioni di funzioni continue 12
Esercizi 14
Capitolo 2. La misura di Lebesgue 17
x2.1. Misura di aperti 17
x2.2. Misure esterna ed interna di Lebesgue 20
x2.3. Insiemi limitati misurabili secondo Lebesgue 21
x2.4. Complementare, intersezione e unione 24
x2.5. Insiemi misurabili non limitati 25
x2.6. Esempi notevoli 27
Esercizi 31
Capitolo 3. Spazi e funzioni misurabili 33
x3.1. Spazi misurabili 33
x3.2. Funzioni misurabili 34
x3.3. Approssimazione mediante funzioni semplici 38
x3.4. I tre principi di Littlewood 39
x3.5. Esempi notevoli 42
Esercizi 46
iii
iv Indice
Capitolo 4. L’integrale di Lebesgue 49
x4.1. Misure positive 49
x4.2. Misure esterne 51
x4.3. Integrale di Lebesgue di funzioni non-negative 54
x4.4. Teorema di Beppo Levi e lemma di Fatou 57
x4.5. Linearit(cid:18)a dell’integrale di funzioni non-negative 59
x4.6. Integrale di Lebesgue di funzioni sommabili 63
x4.7. Il teorema della convergenza dominata 67
x4.8. Il teorema di Fubini-Tonelli 70
Esercizi 79
Capitolo 5. Spazi di Hilbert 83
x5.1. Spazi di Hilbert 83
x5.2. Sistemi ortonormali 87
x5.3. Funzionali lineari 92
Esercizi 96
Capitolo 6. Spazi Lp 97
x6.1. Le disuguaglianze di Jensen, Young, H(cid:127)older e Minkowski 97
x6.2. Gli spazi Lp(X) 100
x6.3. Proiezione su insiemi convessi 105
x6.4. Lo spazio duale di Lp(X) 112
x6.5. Sottoinsiemi densi in Lp(E) e separabilit(cid:18)a 118
x6.6. Approssimazione con funzioni regolari: convoluzioni 121
x6.7. Compattezza in Lp(X) 129
x6.8. Confronti tra convergenze 136
Esercizi 141
Capitolo 7. Funzioni di una variabile complessa 143
x7.1. Richiami di algebra, topologia ed integrazione su curve 143
x7.2. Funzioni olomorfe 148
x7.3. La formula di Cauchy 150
x7.4. Il teorema di Goursat 153
x7.5. Funzioni analitiche 161
x7.6. Singolarit(cid:18)a e serie di Laurent 168
x7.7. Il teorema dei residui 174
x7.8. Successioni di funzioni olomorfe 184
Indice v
x7.9. Propriet(cid:18)a topologiche e geometriche 186
Esercizi 193
Bibliogra(cid:12)a 197
Indice analitico 199
Capitolo 1
Complementi
1.1. Limite inferiore e limite superiore
Sia fangn2N una successione numerica. Si de(cid:12)niscono allora il limite infe-
riore e superiore , rispettivamente con
liminfa = sup inf a ; limsupa = inf supa :
n n n n
n!1 k(cid:21)1n(cid:21)k n!1 k(cid:21)1n(cid:21)k
′ ′′
A volte si usano i simboli lim o lim per il limite inferiore e lim o lim
per il limite superiore. Si osservi che le successioni
b = inf a e c = sup a
k n k n
n(cid:21)k n(cid:21)k
sono una crescente e l’altra decrescente, per cui si pu(cid:18)o scrivere:
liminfa = lim inf a e limsupa = lim supa :
n n n n
n!1 k!1n(cid:21)k n!1 k!1n(cid:21)k
Esempio 1.1.1. (i) Se a = ((cid:0)1)n; allora b = (cid:0)1 e c = 1 per ogni k 2 N
n k k
e quindi liminfa = (cid:0)1 e limsupa = 1:
n n
(ii)Sea = ((cid:0)1)n=n;osserviamocheb = (cid:0)1=(2k+1)ec = 1=(2k)
n 2k+1 2k
e quindi liminfa = limb = limb = 0 e limsupa = limc = limc =
n k 2k+1 n k 2k
0:
Proposizione 1.1.2 (Caratterizzazione nel caso (cid:12)nito). Sia L 2 R; allora
limsupa = L
n
n!1
se e solo se si veri(cid:12)ca che
(i) per ogni " > 0 esiste N tale che a (cid:20) L+" per ogni n (cid:21) N;
n
(ii) per ogni k 2 N esiste n > k tale che a (cid:21) L(cid:0)":
k nk
1
2 1. Complementi
Analogamente
liminfa = L
n
n!1
se e solo se si veri(cid:12)ca che
(i) per ogni " > 0 esiste N tale che a (cid:21) L(cid:0)" per ogni n (cid:21) N;
n
(ii) per ogni k 2 N esiste n > k tale che a (cid:20) L+":
k nk
Dimostrazione. ()) Per ogni " > 0 esiste N tale che c < L+" e quindi
N
a < L+" per ogni n (cid:21) N: Inoltre L(cid:0)" < L (cid:20) c per ogni k 2 N e quindi,
n k
per ogni k 2 N esiste n > k tale che a (cid:21) L(cid:0)":
k nk
(() Se per ogni " > 0 esiste N tale che a (cid:20) L+" per ogni n (cid:21) N
n
risulta che c (cid:20) L+": Inoltre, se per ogni k 2 N esiste n > k tale che
N k
a (cid:21) L (cid:0) "; si avr(cid:18)a che c (cid:21) a (cid:21) L (cid:0) " e quindi, se k (cid:21) N; avremo
nk k nk
L(cid:0)" (cid:20) c (cid:20) c (cid:20) L+"; cio(cid:18)e la tesi. (cid:3)
k N
Proposizione 1.1.3. Risulta che liminfa (cid:20) limsupa :
n n
Inoltre, liminfa = limsupa = L se e solo se lima = L.
n n n
Dimostrazione. La prima a(cid:11)ermazione (cid:18)e ovvia. Dimostriamo la seconda.
()) Se liminfa = +1; allora b ! +1 se k ! +1 e quindi, per ogni
n k
M; esiste N tale che a (cid:21) b > M per ogni k > N e perci(cid:18)o lima = +1: Si
k k n
procede analogamente se limsupa = (cid:0)1:
n
Se invece liminfa = limsupa = L; dalla proposizione precedente,
n n
per ogni " > 0 esistono N ed N tali che a (cid:20) L+" per ogni n (cid:21) N e
1 2 n 1
a (cid:21) L(cid:0)" per ogni n (cid:21) N : Posto N = max(N ;N ); se n (cid:21) N; avremo
n 2 1 2
L(cid:0)" (cid:20) a (cid:20) L+":
n
(() Per ogni " > 0 esiste N tale che L(cid:0)" (cid:20) a (cid:20) L+" se n (cid:21) N;
n
dunque L(cid:0)" (cid:20) liminfa (cid:20) limsupa (cid:20) L+": Per l’arbitrariet(cid:18)a di " si
n n
conclude. (cid:3)
Proposizione 1.1.4. Ogni successione ha una sottosuccessione che conver-
ge al limite superiore (o inferiore).
Dimostrazione. Per ogni sottosuccessione fa g di fa g, si ha
nj n
limsupa (cid:20) limsupa :
nj n
D’altra parte, scelto " = 1; esiste n > 1 tale che a > limsupa (cid:0) 1;
1 n1 n
scelto " = 1=2; esiste n > n tale che a > limsupa (cid:0)1=2; e cos(cid:18)(cid:16) via;
2 1 n2 n
esiste quindi una successione di indici n < n < (cid:1) < n < (cid:1)(cid:1)(cid:1) tali che
1 2 k
a > limsupa (cid:0)1=k per ogni k 2 N: Perci(cid:18)o liminfa (cid:21) limsupa : (cid:3)
n n n n
k k
Concludiamo questo paragrafo con alcune de(cid:12)nizioni. Siano A (cid:18) RN;
f : A ! R e sia x un punto di accumulazione di A.
0
liminff(x) = lim inf f(x);
x!x0 (cid:14)!0+ x2A
0<jx(cid:0)x0j<(cid:14)
1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili 3
limsupf(x) = lim sup f(x):
x!x0 (cid:14)!0+ x2A
0<jx(cid:0)x0j<(cid:14)
Sia fEngn2N una successione di insiemi in RN: Si de(cid:12)niscono
∪1 ∩1
′
E = liminfE = E ;
n k
n!1
n=1k=n
∩1 ∪1
′′
E = limsupI = E :
n n
n!1
n=1k=n
Se E′ = E′′ si dice che la successione fEngn2N converge.
1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili
Il concetto fondamentale per introdurre la cardinalit(cid:18)a (cid:18)e quello di corrispon-
denza biunivoca, cio(cid:18)e di applicazione f : A ! B iniettiva e suriettiva.
Due insiemi A e B sono equipotenti (oppure si dice che hanno la stessa
cardinalita(cid:18)) se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B. In tal caso si
scrive
C(A) = C(B):
La relazione di equipotenza (cid:18)e una relazione di equivalenza (ri(cid:13)essiva,
simmetrica e transitiva) e la cardinalit(cid:18)a di un insieme pu(cid:18)o essere pensata
come la classe di equivalenza alla quale esso appartiene.
Un caso particolarmente semplice (cid:18)e costituito dagli insiemi (cid:12)niti per i
quali la cardinalit(cid:18)a coincide con il numero di elementi dell’insieme.
Un insieme (cid:18)e (cid:12)nito se (cid:18)e equipotente a I = f1;2;:::;ng per qualche
n
n 2 N: L’intero n (cid:18)e allora la cardinalit(cid:18)a dell’insieme.
Osservazione 1.2.1. (i) Gli insiemi (cid:12)niti non sono equipotenti a nessun
loro sottoinsieme proprio, cio(cid:18)e se A (cid:18)e (cid:12)nito e B (cid:26) A allora C(B) < C(A):
(ii) L’insieme delle parti di un insieme di cardinalit(cid:18)a n ha cardinalit(cid:18)a 2n.
Un insieme A si dice in(cid:12)nito se non esiste alcun n tale che A sia equi-
potente a I .
n
L’esempio piu(cid:18) semplice di insieme in(cid:12)nito (cid:18)e N. Infatti, se esso fosse
(cid:12)nito e B (cid:26) N; allora C(B) < C(N); cio(cid:18)e non esisterebbe alcuna f : B ! N
biunivoca. Invece l’insieme 2N dei numeri pari (cid:18)e un sottoinsieme proprio di
N e f : N ! 2N tale che f(n) = 2n (cid:18)e biunivoca.
Un insieme si dice numerabile se pu(cid:18)o essere messo in corrispondenza
biunivoca con N. Si dice che un insieme (cid:18)e al piu(cid:18) numerabile se (cid:18)e numerabile
o (cid:12)nito.
4 1. Complementi
Osservazione 1.2.2. (i) Ogni sottoinsieme B di un insieme numerabile A
(cid:18)e al piu(cid:18) numerabile (B non (cid:18)e altro che una successione estratta da A).
(ii) L’unione numerabile di insiemi (cid:12)niti (cid:18)e numerabile.
Infatti, se A ;:::;A ;::: sono(cid:12)niti, possiamode(cid:12)nire tra laloro unione
1 n
e N la corrispondenza biunivoca A $ f1;(cid:1)(cid:1)(cid:1) ;n g; A $ fn +1;(cid:1)(cid:1)(cid:1) ;n +
1 1 2 1 1
n g;(cid:1)(cid:1)(cid:1) :
2
Esempio 1.2.3. Q (cid:18)e un insieme numerabile.
E(cid:18) chiaro che basta dimostrare che l’insieme dei razionali positivi (cid:18)e nu-
merabile.
(i) Ogni numero razionale positivo r si pu(cid:18)o scrivere nella forma r = m
n
con m e n interi primi tra loro. De(cid:12)niamo l’altezza di r, con h(r) = m+n.
Per ogni k naturale esistono al piu(cid:18) k (cid:0) 1 razionali con altezza k, quindi
l’insieme dei numeri razionali positivi (cid:18)e unione numerabile di insiemi (cid:12)niti.
(ii) Un’altra dimostrazione (cid:18)e quella illustrata in (cid:12)gura.
1 2 3 4 5 . . . denominatore = 1
denominatore = 2
1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 . . .
denominatore = 3
1/3 2/3 4/3 5/3 7/3 . . .
denominatore = 4
1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 . . .
. . . . . . . . . .
Figura 1. Processo di diagonalizzazione.
Proposizione 1.2.4. Se A (cid:18)e un insieme numerabile, l’insieme S delle
A
successioni (cid:12)nite di elementi di A (cid:18)e numerabile.
Dimostrazione. Sia A = fajgj2N; allora SA = f(aj1;:::;ajk); k 2 N; aji 2
Ag:
Siafp ;p ;:::;p ;:::glasuccessionedeinumeriprimi. Associamol’inte-
1 2 n
ropj1pj2(cid:1)(cid:1)(cid:1)pjk adogni(a ;:::;a ) 2 S :Talecorrispondenza(cid:18)ebiunivoca.
1 2 k j1 jk A
(cid:3)
Corollario 1.2.5. Le coppie ordinate di numeri naturali sono un insieme
numerabile. Quindi Q (cid:18)e numerabile.
1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili 5
Proposizione 1.2.6. L’unione di una in(cid:12)nit(cid:18)a numerabile di insiemi nume-
rabili (cid:18)e numerabile.
Dimostrazione. Si usa il processo di diagonalizzazione sulla lista:
A = fa ;a ;a ;:::;a ;:::g;
1 11 12 13 1n
A = fa ;a ;a ;:::;a ;:::g;
2 21 22 23 2n
A = fa ;a ;a ;:::;a ;:::g;
3 31 32 33 3n
(si contano prima gli elementi a con i+j=2, poi quelli con i + j = 3 e
ij
cos(cid:18)(cid:16)via). (cid:3)
Esempio 1.2.7 (Cantor). Gliinsiemiin(cid:12)nitinonsonotuttinumerabili: per
esempio l’intervallo (0;1) non (cid:18)e numerabile.
Infatti, se fosse numerabile si potrebbero elencare i suoi elementi, scri-
vendoli in forma decimale:
x = 0;a a a :::
1 11 12 13
x = 0;a a a :::
2 21 22 23
x = 0;a a a :::
3 31 32 33
doveglia sononumeriintericompresitra0e9. Ilnumerox = 0;a a a :::
ij 1 2 3
con a = 1 se a (cid:18)e pari e a = 2 se a (cid:18)e dispari, non (cid:18)e compreso nella
j jj j jj
successione perch(cid:19)e (cid:18)e diverso da tutti quelli elencati.
Si dice che (0;1) ha la potenza del continuo.
Osservazione 1.2.8. Anche R e (0;1)N hanno la potenza del continuo.
Esistonoinsiemiconcardinalit(cid:18)aancoramaggiore(C(A) (cid:20) C(B)seesiste
una applicazione f : A ! B iniettiva).
Proposizione 1.2.9. Sia P(X) l’insieme delle parti di X. Allora
C(X) < C(P(X)):
Dimostrazione. Bisogna dimostrare che esiste una applicazione f : X !
P(X) iniettiva, ma non ne esiste una g : P(X) ! X biunivoca.
La costruzione di f (cid:18)e banale basta prendere f : x 7! fxg.
Supponiamo che esista g. Sia A = fx 2 X : x 2= g(cid:0)1(x)g. Siccome
A 2 P(X), sia a = g(A). Se a 2 A, allora a 2= g(cid:0)1(a) = A, che (cid:18)e assurdo.
Lo stesso, se a 2= A = g(cid:0)1(a), allora a 2 A che (cid:18)e ancora assurdo. (cid:3)