Diskretna matematika s teorijom grafova

344 Pages·2002·5.37 MB·Croatian

by  Divjak

Diskretna matematika s teorijom
grafova
Blaˇzenka Divjak Alen Lovrenˇci´c
Varaˇzdin, 2005.

Predgovor
Ova je knjiga nastala u ˇzelji da se kolegij Diskretne strukture s teorijom
grafova, koji autori predaju na poslijediplomskom studiju informacijskih
znanosti na Fakultetu organizacije i informatike Sveuˇciliˇsta u Zagrebu od
2002. godine, opermi prikladnom literaturom. Stoga je ova knjiga prilago-
dena studentima kojima je glavno podruˇcje izuˇcavanja informatika, i to ne
samo onima koji studiraju na Fakultetu organizacije i informatike.
Grada ove knjige birana je tako da daje skup matematiˇckih formalizama
koji imaju ˇsiroku primjenu u informatici i raˇcunalstvu. Stoga ova knjiga
moˇze biti od pomo´ci i inˇzenjerima koji se profesionalno bave raˇcunarstvom i
informatikom. Zbog toga autorima nije bio glavni cilj da uvijek, pod svaku
cijenugradivopredoˇceusvojmatematiˇckojstrogostiisasvimmatematiˇckim
aspektima koji se mogu razmatrati. Odrˇzavˇsi dovoljno matematiˇcke egzak-
tnosti,autorisupokuˇsaligradivoizloˇzititakodagabudeˇstolakˇseprimijeniti
na konkretne probleme, koji se u informatici i raˇcunalstvu susre´cu.
Sadrˇzaj knjige
Prvo poglavlje ove knjige je naslovljeno Uvod, i predstavlja skup osnovnih
pojmovakojejenuˇznodefiniratidabisljede´capoglavljamoglabitikorektno
predstavljena. Ona sadrˇzi opis metoda koje se koriste u matematici, modela
te op´cenite tehnike koje matematiˇcari koriste u dokazivanju. Uvodno je
poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak.
Sljede´ce poglavlje predstavlja produˇzetak prvog, uvodnog poglavlja i
donosi opis matematiˇcke logike, a isto tako dva formalna dedukcijska susta-
va - F-sustav i rezolucijsku proceduru. F-sustav predstavlja formalizaciju
pravila dokazivanja opisanih u poglavlju 1.2. S druge strane, rezolucijska
procedurapredstavljadeduktivnisustav,kojijeposebnopogodanzadokazi-
vanje teorema pomo´cu raˇcunala. Poglavlje o matematiˇckoj logici napisao je
Alen Lovrenˇci´c.
U tre´cem poglavlju se uvode pojmovi koji pripadaju diskretnoj mate-
matici - relacije, funkcije, skupove, pojam rekurzivne jednadˇzbe, rjeˇsavanje
rekurzivnih jednadˇzbi, te na kraju, diskretnu teoriju vjerojatnosti. Ovo je
poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak, osim dijelova o rekurzijama i diskretne
i
ii
teorijevjerojatnosti, kojejenapisaoAlenLovrenˇci´c. Ovojeujednoipoglav-
lje koje sadrˇzi raznolike sadrˇzaje - sve ono iz podruˇcja diskretne matematike
ˇsto se intenzivno koristi u informatici i raˇcunalstvu.
U ˇcetvrtom se poglavlju obraduje vrlo vaˇzan pojam, kako u matematici,
tako i u raˇcunalstvu i informatici - pojam algoritma. Poglavlje se sastoji
od tri dijela. U prvom se dijelu uvodi i objaˇsnjava pojam algoritma. Drugi
dio daje pregled teorije sloˇzenosti algoritama, dok je tre´ci dio primjeran i
daje algoritme iz jednog vrlo vaˇznog podruˇcja - podruˇcja pretraˇzivanja i
sortiranja niza elemenata. Ovo je poglavlje napisao Alen Lovrenˇci´c.
Peto poglavlje daje teoriju grafova, koja je iznimno vaˇzna i koriˇstena
matematiˇcka teorija u raˇcunarstvu i informatici, ali i u mnogim drugim
znanstvenim i struˇcnim granama. Poglavlje sadrˇzi niz vrlo vaˇznih proble-
ma, kako u informatici i raˇcunarstvu, tako i u drugim srodnim granama, od
problema pronalaˇzenja puteva, ˇsetnji i ciklusa te razapinju´cih stabala, pa
do protoka i rezova te bojenja vrhova i bridova grafa. Autor ovog poglavlja
je Blaˇzenka Divjak.
Sˇestopoglavljedajeopisosnovnihalgebarskihstruktura. Onesuznaˇcaj-
ne u teoriji raˇcunalstva, optimizaciji, teoriji algoritama, teoriji inteligentnih
agenata itd. Algebarske strukture su matematiˇcki okvir u koji se, zbog
njihovih dobro definiranih svojstava uklapaju mnogi problemi, koji na taj
naˇcin dobijaju novi kut glediˇsta pa se tako ˇcesto dobijaju novi rezultati
vezani uz problem. Ovo je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak.
Posljednjepoglavljejezamiˇsljeno,nanekinaˇcin,kaopoantacijeleknjige.
Ono sadrˇzi matematiˇcki sadrˇzaj, koji je nastao tijekom godina iz pokuˇsaja
da se matematiˇcki opiˇse intuitivni pojam algoritma. Tako je nastala cijela
teorija automata i jezika, ˇcije su osnove opisane u ovom poglavlju. No, ovo
poglavlje ima joˇs jednu vaˇznost za ovu knjigu - ono na neki naˇcin opravdava
izborsadrˇzajacijeleknjige, koriste´cimnogoodprijeopisanogsadrˇzaja. Ovo
zavrˇsno poglavlje napisao je Alen Lovrenˇci´c.
Kako koristiti knjigu
Ovaknjigasadrˇzizaistarazliˇcitematematiˇckesadrˇzaje,kojisemoguzasebno
prouˇcavati. Pri tome ne ˇzelimo re´ci da su poglavlja u potpunosti nezavisna
i da se ni u jednom od njih ne koriste rezultati iz prethodnih poglavlja, no
ta veza nije toliko snaˇzna da bi zahtjevala slijedno prouˇcavanje sadrˇzaja.
Sˇtoviˇse,tre´cepoglavljenapisanojetakodasenjegovapodpoglavljamogu
i sama izuˇcavati zasebno. Sˇto se tiˇce ostalih poglavlja, ona, uglavnom, za-
htjevaju slijedno prouˇcavanje.
Neki su dijelovi knjige napisani manjim slovima. To su dijelovi koji se
odnose na nadogradnje osnovnog materijala i na naprednije gradivo, koje se
moˇze izostaviti kod prvog ˇcitanja. Ti se dijelovi nikako ne mogu smatrati
nevaˇznima, ve´c onima koji zahtjevaju ve´ci angaˇzman i detaljnije poznavanje
PREDGOVOR iii
podruˇcja.
Priizlaganjutekstasunekidijeloviizostavljeniiostavljenizasamostalan
rad ˇcitatelja, bilo kao zadaci unutar teksta, bilo kao izostavljeni dokazi ili
problemi. U svakom sluˇcaju, izostavljeni dijelovi su paˇzljivo odabrani, tako
da bi ih ˇcitatelj tijekom ˇcitanja morao mo´ci bez ve´cih problema i priprema
samostalno izraditi. Autori preporuˇcuju da se zadaci unutar teksta, kao i
dokazi za koje je napomenuto da su ostavljeni za samostalan rad ˇcitatelju,
svakako tijekom ˇcitanja izrade, jer na taj naˇcin ˇcitatelj ve´c tijekom samog
ˇcitanja poˇcinje baratati pojmovima koje prouˇcava,ˇsto znatno pove´cava nji-
hovu razumljivost.
Na kraju svakog poglavlja nalaze se zadaci. Zadaci pokrivaju sadrˇzaj
poglavlja uz koje su vezani i svakako se preporuˇcuje da se zadani zadaci
rijeˇse. Oni ne sluˇze samo za ponavljanje gradiva poglavlja, ve´c djelomiˇcno i
nadogradujusadrˇzaj. Zadacimoguˇcitateljupokazatikolikojezaistashvatio
ono ˇsto je proˇcitao, ali mu mogu i dodatno objasniti neke detalje koji iz
samog teksta nisu bili jasni.
Osim toga, svako je poglavlje opskrbljeno i problemima. Od ˇcitatelja
se ne oˇcekuje da izradi rjeˇsenje svakog problema u knjizi, jer su problemi
zamiˇsljeni kao studijski zadaci, koji zahtjevaju duˇzi rad detaljnije prouˇca-
vanje literature i dublje upoznavanje podruˇcja na koje se odnose. Svakako,
oviproblemisupogodnizaizraduseminarskihradovastudenatakojisluˇsaju
kolegije koji pokrivaju podruˇcje opisano u ovoj knjizi, ali oni predstavljaju
i ideje za daljnji samostalan rad svim ˇcitateljima zainteresiranim za nado-
gradnju znanja iz danog podruˇcja.
Svako poglavlje ima i literaturu koja je koriˇstena pri izradi sadrˇzaja, ali
kojaistotakopredstavljasmjernicezadaljnjiradˇcitateljimakojisuposebno
zainteresirani za sadrˇzaj dotiˇcnog poglavlja.
Zahvale i pokude
Uobiˇcajeno je da se u predgovoru popiˇsu ljudi koji su autorima pomogli u
izdavanju knjige te da se pokude autori ˇsto je u knjizi ostalo joˇs pogreˇsaka
i ˇsto su neki sadrˇzaji moˇzda ostali nedovoljno pokriveni, pa ´cemo se i mi
drˇzati tog obiˇcaja.
No, uprkos naˇsem pristajanju na obiˇcaj, napravit ´cemo, matematiˇcki
reˇceno, inverziju, pa ´cemo na poˇcetku zahvaliti naˇsim obiteljima. Oni su
nas podupirali pri pisanju ove knjige, ˇcesto i ne znaju´ci toˇcno o ˇcemu se
radi, imaju´ci puno povjerenje u nas i ono ˇsto radimo, odriˇcu´ci se onoga ˇsto
im pripada - naˇse paˇznje.
Zahvaljujemo naˇsim recenzentima Mirku Cˇubrilu, Tihomiru Hunjaku
i Mariu Krni´cu (abecednim redom) koji su svojim sugestijama doprinijeli
poboljˇsanju ove knjige, ali koji su, isto tako, garantiraju´ci svojim imenima
kvalitetu ove knjige, omogu´cili da ona bude izdana. Knjiga je izdana uz
iv
potporu projekta TEMPUS ”Aspects of Information and Organization Sys-
tems: Curriculum Development” (CD-JEP-16086-2001), na kojem su oba
autora predano radila.
Zahvaljujujemo naˇsim izdavaˇcima: Fakultetu organizacije i informatike i
TIVA-i. Posebno zahvaljujemo Mireli Ostroˇski, na ˇcitenju teksta i na izradi
nekih zadataka, te Renati Horvatek, koja je napravila lekturu teksta.
Nakraju,svepokudezapogreˇskekojesu”opstale”nakonsvihisˇcitavanja
knjige, nedostatke teksta, nejasno´ce i bilo koje probleme na koje ´ce ˇcitatelj
nai´ci zadrˇzavamo iskljuˇcivo za sebe.
Svim ˇcitateljima ˇzelimo ugodan i plodonosan rad uz ovu knjigu.
B. Divjak,
A. Lovrenˇci´c
Varaˇzdin, 2005.
Sadrˇzaj
Predgovor i
1 Uvod 1
1.1 Matematiˇcke metode i modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Znanstvena metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Matematiˇcki model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Struktura matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tehnike dokazivanja u matematici . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Sudoviimatematiˇckalogikakaookvirzamatematiˇcke
tvrdnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Dokazivanje matematiˇckih tvrdnji . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Matematiˇcka indukcija i skup prirodnih brojeva . . . . 8
1.2.4 Princip dobrog uredaja u skupu N . . . . . . . . . . . 11
1.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Matematiˇcka logika 17
2.1 Raˇcun sudova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Sintaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Semantika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Predikatni raˇcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Sintaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Semantika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Formalni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Diskretna matematika 45
3.1 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Zadavanje skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Relacije medu skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Partitivni skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.4 Operacije na skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.5 Kartezijev produkt skupova . . . . . . . . . . . . . . . 48
v
vi SADRZˇAJ
3.2 Binarne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Binarne relacije na diskretnim skupovima . . . . . . . 49
3.2.2 Obrat relacije, komplement relacije i dualna relacija . 51
3.3 Relacija ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Definicija i svojstva relacija ekvivalencije . . . . . . . 51
3.3.2 Kongruencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 Aritmetika u Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
k
3.3.4 Joˇs neka svojstva binarnih relacija . . . . . . . . . . . 62
3.4 Uredajne binarne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Relacija parcijalnog uredaja . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2 Relacija djeljivosti na skupu cijelih brojeva . . . . . . 67
3.5 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.1 Kompozicija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.2 Bijekcija. Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.3 Funkcije kao relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.4 Realne funkcije realne varijable . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 Graf funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.1 Neka svojstva realnih funkcija realne varijable . . . . 73
3.6.2 Konaˇcni i beskonaˇcni skupovi . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Rekurzivne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.7.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.7.2 Rjeˇsavanje rekurzija - karakteristiˇcna jednadˇzba . . . 82
3.7.3 Rjeˇsavanje rekurzivnih jednadˇzbi - funkcije izvodnice . 91
3.8 Diskretna teorija vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.8.1 Osnove kombinatorike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.8.2 Osnovne definicije i teoremi diskretne teorije vjerojat-
nosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.8.3 Uvjetna vjerojatnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8.4 Sluˇcajne varijable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.10 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 Algoritmi 125
4.1 Pojam algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Sloˇzenost algoritama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3 Pretraˇzivanje i sortiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3.1 Pretraˇzivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3.2 Sortiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3.3 Donjamedasloˇzenostialgoritamausporedivanjaisor-
tiranja temeljenih na usporedivanju . . . . . . . . . . 176
4.3.4 Sortiranje u vremenu O(n) . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.5 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
SADRZˇAJ vii
5 Teorija grafova 191
5.1 Definicija grafa i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2 Izomorfizam grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.3 Regularni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4 Sˇetnje i ciklusi u grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.4.1 Eulerova staza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.5 Matrica incidencije i matrica susjedstva . . . . . . . . . . . . 204
5.6 Hamiltonovi ciklusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.7 Teˇzinski grafovi. Algoritmi najkra´ceg puta . . . . . . . . . . . 209
5.7.1 Dijkstrin algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.7.2 Problem kineskog poˇstara . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.8 Stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.8.1 Osnovno o stablima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.8.2 Binarno stablo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.8.3 Minimalno razapinju´ce stablo . . . . . . . . . . . . . . 222
5.8.4 Pretraˇzivanje stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.9 Usmjereni grafovi i mreˇze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.9.1 Usmjereni graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.9.2 Turnir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.9.3 Mreˇze i kritiˇcni putevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.9.4 Problem rasporeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.9.5 Protoci i rezovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.9.6 Max-flow min-cut teorem . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.10 Bojenje grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.10.1 Problem ˇcetiri boje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.10.2 Bojenje vrhova grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.10.3 Bojenje bridova grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.11 Sparivanje u grafovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.12 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.13 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6 Algebarske strukture 253
6.1 Definicija i primjeri algebarskih struktura . . . . . . . . . . . 254
6.2 Grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.2.1 Definicija grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.2.2 Konaˇcne i cikliˇcke grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.2.3 Primjeri grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.2.4 Podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.3 Izomorfizam grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.4 Primjena grupa u kodiranju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4.1 Teorija kodiranja kao grana matematike . . . . . . . . 265
6.4.2 Problemi prijenosa informacija . . . . . . . . . . . . . 267
6.4.3 Metrika na kodnim rijeˇcima . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.4.4 Grupa koda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
viii SADRZˇAJ
6.4.5 Matrica izvodnica kodiraju´ce funkcije . . . . . . . . . 272
6.5 Prsteni i polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.5.1 Prsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
6.5.2 Primjeri prstena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
6.5.3 Polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.5.4 Primjeri polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.6 Vektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.7 Primjeri vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.8 Algebarske strukture polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.8.1 Prsten polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.8.2 Vektorski prostor polinoma . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.10 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
7 Matematiˇcka teorija raˇcunalstva 293
7.1 Jezici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.1.1 Regularni izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.1.2 Kontekstno slobodne gramatike . . . . . . . . . . . . . 298
7.2 Konaˇcni automati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.3 Potisni automati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.4 Turingovi strojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.6 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327