Diskrete Mathematik für Einsteiger: Mit Anwendungen in Technik und Informatik

256 Pages·2007·1.62 MB·German

by  Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher, Dr. Marc-Alexander Zschiegner (auth.)

Albrecht Beutelspacher
Marc-Alexander Zschiegner
Diskrete Mathematik
für Einsteiger
Albrecht Beutelspacher
Marc-Alexander Zschiegner
Diskrete Mathematik
für Einsteiger
Mit Anwendungen in Technik und Informatik
3., erweiterteAuflage
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Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher Dr. Marc-Alexander Zschiegner
Mathematisches Institut Weidigschule
Justus-Liebig-Universität Gießen Gymnasium des Wetteraukreises
Arndtstraße 2 Im Vogelsang 8
35392 Gießen 35510 Butzbach
[email protected] [email protected]
1. Auflage August 2002
2., durchgesehene AuflageAugust 2004
3., erweiterte Auflage März 2007
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Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch |Petra Rußkamp
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0094-7
Vorwort
Was ist diskrete Mathematik?
Diskrete Mathematik ist ein junges Gebiet der Mathematik, das in einzigartiger Weise
sogenannte „reine Mathematik“ mit „Anwendungen“ verbindet.
Um diese Antwort zu verstehen, müssen wir etwas weiter ausholen. Bis vor wenigen
Jahrzehnten hatte nach allgemeiner Meinung die angewandte Mathematik ausschließlich
die Aufgabe, die physikalische Welt möglichst gut und aussagekräftig zu beschreiben.
Typische Fragen waren dabei:
Wie modelliert man den Raum?
Wie misst man den Raum?
Wie beschreibt man Bewegungen?
Die mathematischen Disziplinen, die sich mit solchen Fragestellungen beschäftigen,
sind die Geometrie und die Analysis, sowie alle sich daraus ableitenden Teildisziplinen.
Dies sind vor allem Teilgebiete der Mathematik, die sich mit kontinuierlichen, „stetigen“
Phänomenen beschäftigen.
Im 20. Jahrhundert, insbesondere seit der Einführung des Computers in der Mitte des
Jahrhunderts, drängte sich ein anderer Typ von Fragen in den Vordergrund. Die Her-
ausforderung besteht darin, Modelle zum Verständnis und zur Beherrschung von endli-
chen, eventuell allerdings sehr großen Phänomenen und Strukturen zu entwickeln. Solche
Strukturen können sein:
Eine Gesellschaft als Menge ihrer endlich vielen Mitglieder,
ein ökonomischer Prozess mit nur endlich vielen möglichen Zuständen,
ein Computer, der nur Zahlen bis zu einer gewissen Größe verarbeiten kann,
usw.
Die mathematischen Disziplinen, die sich mit solchen diskreten Phänomenen beschäf-
tigen, sind Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra, Zahlentheorie, Codierungstheorie,
Kryptographie, Algorithmentheorie usw. Man fasst diese Disziplinen oft unter dem Begriff
diskrete Mathematik zusammen. Diskrete Mathematik schafft eine Verbindung von der rei-
nen Mathematik zu den Anwendungen und insbesondere zur Informatik. Das Wort
„diskret“ hat also in diesem Zusammenhang nichts zu tun mit „heimlich“, „verborgen“
o.ä., sondern bezieht sich darauf, dass endliche, das heißt diskrete Phänomene untersucht
werden.
Das Ziel dieses Buches besteht darin, Sie in möglichst elementarer Weise mit den Grund-
zügen einiger der oben genannten Gebiete vertraut zu machen. Das beginnt in Kapitel 1
mit dem Schubfachprinzip, einer fast trivialen Aussage mit unglaublichen Folgerungen. In
Kapitel 2 werden Färbungsmethoden eingesetzt, und zwar konstruktiv und für Nicht-
vi Vorwort
existenzbeweise. Die vollständige Induktion, ein unentbehrliches mathematisches Werk-
zeug wird in Kapitel 3 eingeführt und an Beispielen klar gemacht. Kapitel 4 ist einem zent-
ralen Aspekt der diskreten Mathematik gewidmet, nämlich dem Zählen; wir werden eine
ganze Reihe von Formeln erarbeiten, die es uns ermöglichen, Mengen mit komplexen
Elementen abzuzählen. Daran schließt sich das Kapitel an, in dem die Zahlen der Untersu-
chungsgegenstand sind; es geht hauptsächlich um die Teilbarkeit ganzer Zahlen.
Der zweite Teil des Buches ist ausgesprochen angewandten Themen gewidmet. Im
sechsten Kapitel werden Codes behandelt; dazu gehören zum Beispiel die Strichcodes der
Lebensmittel und die ISBN-Codes der Bücher. In Kapitel 7 geht es um Datensicherheit,
das heißt Kryptographie; insbesondere werden die Themen „Verschlüsselung“ und „Au-
thentifizierung“ behandelt, und zwar sowohl in der klassischen Kryptographie als auch in
der modernen Public-Key-Kryptographie. Im achten Kapitel werden Graphen behandelt,
ein außerordentlich wichtiges Gebiet der diskreten Mathematik. Dies wird in Kapitel 9
durch die Behandlung von gerichteten Graphen fortgeführt. Das letzte Kapitel widmet sich
schließlich der Booleschen Algebra und der Entwicklung elektronischer Schaltkreise.
An mathematischen Vorkenntnissen wird nicht viel vorausgesetzt. Sie kommen mit
Schulkenntnissen gut aus. Insbesondere wird keine Analysis und keine lineare Algebra ge-
braucht. Allerdings müssen wir, wie in der Mathematik unumgänglich, Ihre Bereitschaft
voraussetzen, sich ein Stück weit auf vergleichsweise abstrakte Argumentation einzulas-
sen, bei der man nicht immer sofort sieht, worauf sie hinaus soll.
Das Buch eignet sich zur Begleitung der entsprechenden Vorlesungen an Fachhoch-
schulen und Universitäten. Es eignet sich besonders gut zum Selbststudium und kann in
Arbeitsgemeinschaften an Gymnasien eingesetzt werden. Beim Schreiben haben wir be-
sonders an die „Einsteiger“ gedacht. In den ersten Kapiteln gehen wir sehr behutsam vor
und legen keinen Wert auf übertriebenen Formalismus. In den späteren Kapiteln wird die
Argumentationsdichte dann größer.
Das Buch enthält eine Fülle von Übungsaufgaben, insgesamt über 200. Wir sind der
Überzeugung, dass alle lösbar sind, manche sogar sehr einfach. Sie dienen nicht nur dazu,
den Stoff zu festigen, sondern erschließen oft auch neue Aspekte. Im letzten Kapitel finden
Sie ausführliche Lösungen zu allen Übungsaufgaben. Sie dürfen gerne nachschauen (cid:16) aber
erst, wenn Sie selbst probiert haben!
Wenn Sie, liebe Leserin, lieber Leser, Anregungen haben oder gar Druck- oder andere
Fehler gefunden haben, bitten wir Sie, uns diese mitzuteilen.
Wir danken den Hörern unserer Vorlesungen und unseren Kolleginnen und Kollegen
für zahlreiche Anregungen und dem Verlag Vieweg für die unendliche Geduld mit diesem
Projekt.

Gießen, im Januar 2007 Albrecht Beutelspacher
Marc-A. Zschiegner
Inhaltsverzeichnis
1 Das Schubfachprinzip 1
1.1 Was ist das Schubfachprinzip? 1
1.2 Einfache Anwendungen 2
1.3 Cliquen und Anticliquen 3
1.4 Entfernte Punkte im Quadrat 5
1.5 Differenzen von Zahlen 6
1.6 Teilen oder nicht teilen 6
1.7 Das verallgemeinerte Schubfachprinzip 7
1.8 Das unendliche Schubfachprinzip 7
Übungsaufgaben 8
Literatur 9
2 Färbungsmethoden 11
2.1 Überdeckung des Schachbretts mit Dominosteinen 11
2.2 Überdeckung des Schachbretts mit größeren Steinen 15
2.3 Monochromatische Rechtecke 18
2.4 Eine Gewinnverhinderungsstrategie 20
2.5 Das Museumsproblem 21
2.6 Punkte in der Ebene 22
Übungsaufgaben 24
Literatur 25
3 Induktion 27
3.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 27
3.2 Anwendungen des Prinzips der vollständigen Induktion 28
3.3 Landkarten schwarz-weiß 34
3.4 Fibonacci-Zahlen 36
Übungsaufgaben 41
Literatur 43
4 Zählen 45
4.1 Einfache Zählformeln 45
4.2 Binomialzahlen 48
4.3 Siebformel 54
Übungsaufgaben 59
Literatur 62
5 Zahlentheorie 63
5.1 Teilbarkeit 63
5.2 Division mit Rest 65
5.3 Der größte gemeinsame Teiler 67
5.4 Zahlendarstellung 72
5.5 Teilbarkeitsregeln 74
5.6 Primzahlen 77
5.7 Modulare Arithmetik 82
Übungsaufgaben 89
Literatur 92
6 Fehlererkennung 93
6.1 Die Grundidee 93
6.2 Paritätscodes 94
6.3 Codes über Gruppen 101
6.4 Der Code der ehemaligen deutschen Geldscheine 103
Übungsaufgaben 107
Literatur 109
7 Kryptographie 111
7.1 Klassische Kryptographie 111
7.2 Stromchiffren 122
7.3 Blockchiffren 126
7.4 Public-Key-Kryptographie 128
Übungsaufgaben 132
Literatur 135
8 Graphentheorie 137
8.1 Grundlagen 137
8.2 Das Königsberger Brückenproblem 140
8.3 Bäume 144
8.4 Planare Graphen 148
8.5 Färbungen 151
8.6 Faktorisierungen 156
Übungsaufgaben 159
Literatur 162
9 Netzwerke 163
9.1 Gerichtete Graphen 163
9.2 Netzwerke und Flüsse 169
9.3 Trennende Mengen 181
Übungsaufgaben 186
Literatur 188
10 Boolesche Algebra 191
10.1 Grundlegende Operationen und Gesetze 191
10.2 Boolesche Funktionen und ihre Normalformen 194
10.3 Vereinfachen von booleschen Ausdrücken 199
10.4 Logische Schaltungen 202
Übungsaufgaben 207
Literatur 209
Lösungen der Übungsaufgaben 211
Stichwortverzeichnis 249
1 Das Schubfachprinzip
Eines der grundlegenden Prinzipien der Mathematik ist das Schubfachprinzip. Es wirkt
vollkommen unschuldig und macht keinerlei Aufhebens von sich. Aber es tut nur so, in
Wirklichkeit kann man mit ihm die unglaublichsten Aussagen beweisen. Das Schubfach-
prinzip heißt manchmal auch „Taubenschlagprinzip“ (pigeonhole principle). Es wurde
erstmals von L. Dirichlet (1805 - 1859) explizit formuliert.
1.1 Was ist das Schubfachprinzip?
Die folgenden Aussagen sind offenbar richtig:
(cid:120) Unter je 13 Personen gibt es mindestens zwei, die im selben Monat Geburtstag haben.
(cid:120) Unter je drei Personen haben mindestens zwei dasselbe Geschlecht.
(cid:120) Unter je 20 Studenten gibt es mindestens zwei aus demselben Fachbereich.
(cid:120) Unter je 50 Studierenden gibt es mindestens zwei mit derselben Semesterzahl.
(cid:120) Es gibt zwei Deutsche mit derselben Anzahl von Haaren.
Hinter all diesen Aussagen steckt ein allgemeines Schema – das Schubfachprinzip:
Schubfachprinzip. Seien m Objekte in n Kategorien („Schubfächer“) eingeteilt. Wenn
m > n ist, so gibt es mindestens eine Kategorie, die mindestens zwei Objekte enthält.
Die Veranschaulichung ist klar: Wenn viele Tauben sich auf wenige Taubenschläge vertei-
len, dann sitzen in mindestens einem Taubenschlag mindestens zwei Tauben.

Bild 1.1 Sechs Objekte sind in fünf Kategorien eingeteilt
Der Beweis des Schubfachprinzips ist klar: Wenn jede der n Kategorien höchstens ein
Objekt enthalten würde, dann gäbe es insgesamt höchstens n Objekte: ein Widerspruch,
da es nach Voraussetzung mehr Objekte als Schubfächer gibt. (cid:137)
Wir diskutieren jetzt einige Anwendungen dieses Prinzips. Die ersten sind ganz einfach,
andere vergleichsweise raffiniert.
2 1 Das Schubfachprinzip
1.2 Einfache Anwendungen
Die Socken von Professor Mathemix
In der Sockenkiste von Professor Mathemix befinden sich 10 graue und 10 braune So-
cken. Der Professor nimmt – in Gedanken versunken – eine Reihe von Socken heraus. Wie
viele muss er herausnehmen, um
(a) garantiert zwei gleichfarbige,
(b) garantiert zwei graue Socken zu erhalten?
Lösung: Wir teilen die Socken des Herrn Professor in zwei Kategorien ein, in die Katego-
rie der grauen und die der braunen Socken; dann ist n = 2.
(a) Wenn Professor Mathemix m = 3 Socken seiner Kiste entnimmt, so sind nach dem
Schubfachprinzip mindestens zwei aus derselben Kategorie. Also hat er entweder zwei
graue oder zwei braune Socken gezogen.
(b) Wenn er aber darauf besteht, zwei Socken seiner Lieblingsfarbe grau zu bekommen, so
muss er im schlimmsten Fall 12 Socken ziehen, denn die ersten 10 könnten ja alle braun
sein. (cid:137)
Gleiche Zahl von Bekannten
Wir behaupten: In jeder Gruppe von mindestens zwei Personen gibt es zwei, die die glei-
che Anzahl von Bekannten innerhalb dieser Gruppe haben.
Dabei setzen wir voraus, dass „bekannt sein“ symmetrisch ist, dass also aus der Tatsa-
che, dass X mit Y bekannt ist, auch folgt, dass Y mit X bekannt ist. Außerdem wollen
wir zu den Bekannten einer Person nicht diese Person selbst rechnen.
Man kann statt „bekannt sein“ jede andere symmetrische Relation einsetzen.
Beispiel:

Bild 1.2 Bekanntschaften
Warum ist diese Behauptung richtig? Warum gilt sie nicht nur für dieses Beispiel sondern
für alle denkbaren Konstellationen von Personen und ihren Bekanntschaftsverhältnissen?
Um das einzusehen, brauchen wir das Schubfachprinzip. Dazu müssen wir uns klarma-
chen, was die Objekte und was die Kategorien sind.
Für die Objekte gibt es naheliegende Kandidaten, nämlich die Personen der Gruppe.