Diskrete Mathematik: Eine Einführung in Theorie und Anwendungen

255 Pages·1994·7.39 MB·German

by  Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Thomas Ihringer (auth.)

Leitfiiden der Informatik
Thomas Ihringer
Diskrete Mathematik
Leitfaden der Informatik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Hans-Jiirgen Appelrath, Oldenburg
Prof. Dr. Volker Claus, Stuttgart
Prof. Dr. GUnter Hotz, Saarbriicken
Prof. Dr. Lutz Richter, Ztirich
Prof. Dr. Wolffried Stucky, Karlsruhe
Prof. Dr. Klaus Waldschmidt, Frankfurt
Die Leitfaden der Informatik behandeln
- Themen aus der Theoretischen, Praktischen und Technischen Informatik
entsprechend dem aktuellen Stand der Wissenschaft in einer systemati
schen und fundierten Darstellung desJeweiligen Gebietes.
- Methoden und Ergebnisse der Informatik, aufgearbeitet und dargestellt
aus Sicht der Anwendungen in einer fUr Anwender verstandlichen, exak
ten und prazisen Form.
Die Bande der Reihe wenden sich zum einen als Grundlage und Erganzung
zu VOrlesungen der Informatik an Studierende und Lehrende in Informa
tik-Stu~iengangen an Hochschulen, zum anderen an "Praktiker", die sich
einen Uberblick tiber die Anwendungen der Informatik(-Methoden) ver
schaffen wollen; sie dienen aber auch in Wirtschaft, Industrie und Verwal
tung tatigen Informatikem und Informatikerinnen zur Fortbildung in pra
xisrelevanten Fragestellungen ihres Faches.
Diskrete Mathematik
Eine Einftihrung in Theorie
und Anwendungen
Von Dr. rer. nat. Thomas Ihringer
Technische Hochschule Darmstadt
83
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Thomas Ihringer
Geboren 1953 in Darmstadt. Von 1972 bis 1979 Studium der Mathematik und Be
triebswirtschaitslehre, danach wiss. Mitarbeiter und Hochschulassistent. 1982 Pro
motion und 1987 Habilitation fUr Mathematik an der Technischen Hochschule
Darmstadt. 1987/88 Vertretung einer Professur am Fachbereich Mathematik der
Universităt Kaiserslautern, November 1990 Gastdozentur an der Brandenburgi
schen Landeshochschule Potsdam.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ihringer, Thomas:
Diskrete Mathematik : eine Einfiihrung in Theorie und
Anwendungen I von Thomas Ihringer. - Stuttgart : Tenoher,
1994
(Leitfaden der Informatik)
ISBN 978-3-519-02125-4 ISBN 978-3-322-93088-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93088-0
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiltzt. Jede Verwertung auBerhalb
der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulăssig und
strafbar. Das gilt besonders filr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Ein
speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1994
Urspriinglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1994
Einband: Peter Pfitz, Stuttgart
Vorwort
Das vorliegende Lehrbuch wendet sich in erster Linie an Studenten der Informatik
und der Mathematik, aber auch der Ingenieur- und Naturwissenschaften. Es eignet
sich insgesamt fiir einen ein- bis zweisemestrigen Kurs, beispielsweise im dritten Stu
dienjahr. Durch Kombination einiger Kapitel konnen ohne weiteres und fast beliebig
kleinere Vorlesungen zusammengestellt werden. Bei entsprechender Aufarbeitung las
sen sich einzelne Themen auch in Mathematik-oder Informatikkursen an Gymnasien
verwenden.
Der Leser sollte mit elementaren mathematischen Schreib- und Bezeichnungswei
sen umgehen konnen. AuBerdem werden Kenntnisse iiber "Vektorraume" vorausge
setzt, wie sie im ersten Studienjahr in der Linearen Algebra gelehrt werden. Weitere
Vorkenntnisse, beispielsweise aus Algebra und Zahlentheorie, sind niitzlich, aber nicht
unbedingt erforderlich, da alles Notwendige im Text entwickelt wird.
Die hier prasentierten Themen wurden von mir in den letzten J ahren mehrfach
in Vorlesungen an der Technischen Hochschule Darmstadt erprobt. Schon vorher hat
Prof. B. Ganter in Darmstadt ahnliche Vorlesungen gehaltenj aufgrund anderer Ver
pflichtungen war es ihm leider nicht moglich,als Autor an diesem Buch mitzuwirken.
Die Horer meiner Vorlesungen haben durch ihr groBes Interesse und die glei
chermaBen kritischen wie hilfreichen Kommentare zur Entstehung des Buches stark
beigetragen. Mit volliger Selbstverstandlichkeit haben sich einige v~n ihnen an der
miihevollen Arbeit des Korrekturlesens beteiligt. Das engagierte und fachkundige An
fertigen der Druckvorlagen durch die Diplom-Mathematiker{innen) Frau I. Gerharz,
Frau S. Keller und Herm A. Lauth verdient besondere Anerkennung, und dasselbe gilt
fiir das (wie immer) perfekte Herstellen der Zeichnungen durch Frau U. Gruner. Die
Zusammenarbeit mit dem zustandigen Herausgeber, Herm Prof. V. Claus, und auch
mit den Mitarbeitem des Teubner-Verlags war angenehm und vollig unkompliziert.
Bei ihnen allen mochte ich mich auf dies em Weg herzlich bedanken.
Mein ganz besonderer Dank gilt meiner Frau Lilo und unseren Kindem Ferdinand
und Christian, die mich jederzeit unterstiitzt und meine durch das Schreiben des Bu
ches hervorgerufene, iiber etliche Monate andauemde geistige Abwesenheit geduldig
ertragen haben!
Darmstadt, im August 1994 Thomas Ihringer
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 9
Kapitel I. Graphentheorie 11
1 Die Sprache der Graphentheorie 11
2 Eulersche und hamiltonsche Graphen 18
3 Baume und Walder 24
4 Planare Graphen 29
5 Farbungen 38
6 Der Heiratssatz 46
7 Exkurs: Gruppen und Permutationen 53
8 Symmetrien von Graphen 58
Literaturhinweise 62
Kapitel II. Kombinatorische Optimierung 64
1 Algorithmen und ihre Komplexitat 64
2 Abstande in unbewerteten Graphen 70
3 Abstande in Ne tzwerken 73
4 Maximale Fliisse 76
5 Minimale aufspannende Walder 86
6 Matroide 88
7 NP-Vollstandigkeit: Das Traveling-Salesman-Problem 93
Literaturhinweise 100
Kapitel III. Endliche Geometrie 102
1 Blockplane: Grundlagen 102
2 Projektive und affine Raume 109
3 Exkurs: Endliche Karper 117
4 Konstruktionsmethoden fiir Blockplane 127
Literaturhinweise 135
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Kapitel IV. Codierungstheorie und Kryptographie 137
1 Grundlegende Definitionen 137
2 Fehlerkorrektur, Fehlerwahrscheinlichkeit und perfekte Codes 145
3 Ringe und Ideale 151
4 Zyklische Codes 154
5 Sicherung gegen unbefugten Zugriff 162
6 Exkurs: Das Rechnen modulo n 170
7 Kryptosysteme mit offentlichem Schliissel 174
Literaturhinweise 179
Kapitel V. Geordnete Mengen 180
1 Grundbegriffe und Beispiele 180
2 Verbande und Hiillenoperatoren 185
3 Boolesche Algebren 193
Literaturhinweise 207
Kapitel VI. Ablaufplanung 208
1 Ne tzplantechnik 208
2 Einige Beispiele und eine Abschatzung 211
3 Einmaschinenprobleme 216
4 Mehrmaschinenprobleme 219
Literaturhinweise 224
Losungshinweise 226
Literaturverzeichnis 242
Stichwortverzeichnis 245
Einleitung
Die Diskrete Mathematik ist in den letzten J ahren immer weiter in den Mittelpunkt
des Interesses geriickt, von der Forschung iiber die Lehre bis hin zu den praktischen
Anwendungen. Den Hintergrund hierfUr bildet zweifellos der enorme Aufschwung der
elektronischen Datenverarbeitung, denn fUr die damit zusammenhangenden tech
nischen Entwicklungen werden mathematische Kenntnisse alIer Art iiber endliche
Strukturen benotigt.
Der besondere Reiz der Diskreten Mathematik, gerade fUr den Lernenden, liegt
in der Vielfalt des Gebiets, das sich an den unterschiedlichsten Anwendungen ori
entiert und kombinatorische Uberlegungen mit mathematischem Hintergrundwissen
verbindet. Eine grofie Rolle spielt auch der algorithmische Aspekt, denn viele Re
chenverfahren, die friiher nur von theoretischem Interesse waren, konnen heutzutage
mit Hilfe moderner, schneller Computer zur praktischen Losung von Problemen ein
gesetzt werden.
Dieses Buch gibt in sechs Kapiteln einen Einstieg in sechs zentrale Bereiche der
Diskreten Mathematik. Es beginnt in Kapitel I mit der GRAPHENTHEORIE, die als
der "klassische Kern" der Diskreten Mathematik betrachtet werden kann und sich
durch ihre grofie Anschaulichkeit auszeichnet. In der KOMBINATORISCHEN OPTI
MIERUNG in Kapitel II geht es um effektive Rechenverfahren ("AIgorithmen") fUr
kombinatorische Probleme. Die meisten der behandelten Probleme sind graphentheo
retischer Natur, wodurch die praktische Bedeutung der Graphentheorie unterstrichen
wird. Die ENDLICHE GEOMETRIE in Kapitel III verbindet in faszinierender Weise
kombinatorische Fragestellungen mit geometrischen Gesichtspunkten. Die Sicherung
von Daten gegen "Storungen" bzw. gegen "unbefugten Zugriff' ist das hochst ak
tuelle Thema von CODIERUNGSTHEORIE UND KRYPTOGRAPHIE in Kapitel IV. In
vielen Bereichen der Mathematik und auch in praktischen Anwendungen spielen GE
ORDNETE MENGEN, die in Kapitel V behandelt werden, eine Rolle. Methoden aus
der Ordnungstheorie konnen beispielsweise verwendet werden, urn bestimmte Zusam
menhange in strukturierter Form darzustellen. Auch die Boolesche Algebra wird in
diesem Kapitel vorgestellt, obwohl sie nur teilweise von ordnungstheoretischer Na
tur ist. Die ABLAUFPLANUNG in Kapitel VI za.hlt eigentlich zur Kombinatorischen
Optimierungj sie beschartigt sich mit Optimierungsproblemen auf geordneten Men
gen, die von grofiter Bedeutung sind, z.B. in der Projektplanung, der industriellen
Fertigung und der Computertechnik.
An etlichen Stellen werden Hilfsmittel aus anderen mathematischen Gebieten
benutzt, beispielsweise aus Algebra und Zahlentheorie. Die verwendeten Hilfsmittel
aus der Linearen Algebra sind elementar und werden als bekannt vorausgesetzt. Alles
iibrige iiber Gruppen, Ringe, Korper und das Rechnen modulo n wird sorgfiiltig
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entwickelt, und zwar jeweils dort, wo es zuerst benotigt wird.
Mathematik li:illt sich nur durch aktives Uben erlernen. Dies wird im Buch durch
ca. 270 Aufgaben aller Schwierigkeitsgrade unterstiitzt. Die anspruchsvollsten Auf
*
gaben sind mit einem gekennzeichnet. Zu schwierigen oder besonders wichtigen
Aufgaben findet man Losungshinweise am Ende des Buches. AuEerdem werden ins
gesamt sieben sog. "Miniprojekte" angeboten, in denen das selbstiindige Schreiben
mathematischer Texte geiibt werden solI: Zu einem vorgegebenen Thema ist mit Hilfe
der angegebenen Literatur jeweils eine Ausarbeitung zu schreiben, die von einem Le
ser mit elementaren mathematischen Grundkenntnissen (etwa einem Studenten nach
dem erst en Studienjahr) verstanden werden kann. Die Ausarbeitungen sollen inter
essant und verstiindlich sein, aber auch knapp und pragnant (z.B. muE nicht jede
Definition explizit angeben sein). Ansonsten bestehen alle Freiheiten der Gestaltung,
weshalb zu den Miniprojekten auch keine Losungshinweise gegeben werden.
Alles weitere zu Inhalt und Organisation des Buches entnimmt man dem Inhalts
verzeichnis oder unmittelbar dem Text.
Kapitel I
Graphentheorie
Die groBe Bedeutung der Graphentheorie liegt nicht nur in der Anschaulichkeit der
verwendeten Begriffe, sondern vor aHem auch darin, daB sich Probleme verschieden
ster Art graphentheoretisch formulieren lassen. Die Entwicklung der Graphentheorie
begann schon im Jahr 1736, als Euler die nach ihm benannten Graphen untersuchte
(siehe Abschnitt 2). In den darauffolgenden 250 Jahren wurden graphentheoretische
Methoden auf Fragestellungen aus ganz unterschiedlichen Gebieten angewendet, bei
spielsweise aus Elektrotechnik, Chemie, Physik, Psychologie, Operations Research
und - nicht zuletzt - der Mathematik selbst. In diesem Kapitel werden einige der
wichtigsten Teilbereiche der Graphentheorie vorgestellt. Der bedeutende algorithmi
sche Aspekt der Graphentheorie ist dann das hauptsachliche Thema von Kapitel II.
1 Die Sprache der Graphentheorie
Schon das folgende Beispiel zeigt, daB viele praktische Probleme graphentheoretisch
formuliert werden konnen:
1.1 Beispiel. Geplant ist ein Tischtennisturnier mit funf Teilnehmern a, b, c, d, e
und einer Tischtennisplatte. Bedingungen:
(1) Jeder Teilnehmer spielt gegen jeden anderen genau einmal,
(2) kein Teilnehmer spielt in zwei aufeinanderfolgenden Spielen.
In Veranschaulichung (i) in Abbildung 1 steHt jede der zehn Linien eines der Spiele
dar. In Veranschaulichung (ii) reprasentieren die zehn Punkte die Spiele, und zwei
Punkte sind genau dann verbunden, wenn sie keinen gemeinsamen Spieler haben.
Der doppelt eingezeichnete Weg liefert eine Losung fur die Bedingungen (1), (2).
Nach der Abbildung folgen prazise Definitionen: