Diseño y análisis de un arco de seguridad destinado a la competición

181 Pages·2012·1.43 MB·Spanish

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
TESIS DOCTORAL
Medidas de información, incertidumbre y
entrelazamiento en Mecánica Cuántica
Autor:
Julio I. de Vicente Majúa
Director:
Jorge Sánchez Ruiz
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Leganés, abril de 2008

TESIS DOCTORAL
MEDIDAS DE INFORMACIÓN, INCERTIDUMBRE Y
ENTRELAZAMIENTO EN MECÁNICA CUÁNTICA
Autor: Julio I. de Vicente Majúa
Director: Jorge Sánchez Ruiz

Firma del Tribunal Calificador:
Firma
Presidente:
Vocal:

Vocal:

Vocal:

Secretario:

Calificación:

Leganés, de de

Agradecimientos
ElprincipalymÆsmerecidoagradecimientoselodeboamidirectordetesis,
Jorge SÆnchez Ruiz, por haberme introducido y guiado con ilusi(cid:243)n en el mundo
de la investigaci(cid:243)n. Tanto en las ocasiones en las que hemos trabajado codo
con codo como en los momentos en los que ha tenido a bien darme libertad de
acci(cid:243)n siempre he contado con total con(cid:28)anza, Ænimo y valoraci(cid:243)n de su parte.
En segundo lugar, quisiera expresar mi agradecimiento a mis compaæeros del
grupo de AnÆlisis Aplicado, en especial a sus responsables Francisco MarcellÆn
y Guillermo L(cid:243)pez Lagomasino por haberme permitido formar parte de Øl y de
los proyectos de investigaci(cid:243)n. Sin duda, he aprendido mucho gracias a todos
ellos.Deboextenderesteagradecimientoalrestodemiembrosdeldepartamento
de MatemÆticas, en particular, por haber tenido acceso a la beca de formaci(cid:243)n
de doctores y al contrato de profesor ayudante espec(cid:237)(cid:28)co. No quisiera dejar de
mencionar a mis compaæeros en el doctorado a lo largo de estos aæos por el
buen ambiente que ha habido siempre entre nosotros. As(cid:237) mismo, es un placer
recordar a los diversos colegas con los cuales, bien sea personalmente o por
correspondencia, he podido intercambiar intereses cient(cid:237)(cid:28)cos. En este sentido
quiero destacar especialmente a Otfried G(cid:252)hne.
Quisiera expresar mi mÆs profundo agradecimiento a mi madre por su
constante cariæo, con(cid:28)anza y apoyo, a la cual quiero dedicar esta tesis ya
que es la persona en el mundo que recibe con mÆs ilusi(cid:243)n mis in(cid:28)nitesimales
contribuciones al desarrollo cient(cid:237)(cid:28)co. Por œltimo, deseo mencionar a Elsa, la
œnica persona con la que me olvido completamente del contenido de esta tesis
y demÆs pÆjaros que pululan por mi cabeza.
i

˝ndice general
I Introducci(cid:243)n 1
1. Medidas de incertidumbre 3
1.1. Mayorizaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Entrop(cid:237)a de informaci(cid:243)n de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Derivaci(cid:243)n axiomÆtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. El caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Otras medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Entrop(cid:237)as generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Desviaci(cid:243)n estÆndar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. MecÆnica CuÆntica. Principio de incertidumbre y
entrelazamiento 15
2.1. Conceptos bÆsicos de la MecÆnica CuÆntica . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Estados compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4. Evoluci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.5. Los postulados de la MecÆnica CuÆntica . . . . . . . . . . 21
2.2. Principio de incertidumbre y relaciones de incertidumbre . . . . . 22
2.2.1. Formulaci(cid:243)n estÆndar. Relaci(cid:243)n de incertidumbre de
Heisenberg-Robertson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Cr(cid:237)tica a la formulaci(cid:243)n estÆndar. Formulaciones entr(cid:243)picas 25
2.3. Incertidumbre en sistemas at(cid:243)micos y moleculares . . . . . . . . 33
2.3.1. Entrop(cid:237)a de polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1. El problema de la separabilidad. Antecedentes . . . . . . 39
2.4.2. Separabilidad y relaciones de incertidumbre . . . . . . . . 45
2.4.3. Medidas de entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II Incertidumbre 55
3. Entrop(cid:237)a de polinomios ortogonales 57
iii
3.1. Entrop(cid:237)a de polinomios de Gegenbauer de parÆmetro entero . . . 61
3.1.1. Representaciones trigonomØtricas para los polinomios de
Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2. Evaluaci(cid:243)n de la integral entr(cid:243)pica . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Entrop(cid:237)a de polinomios de Jacobi de parÆmetros semienteros . . 74
3.2.1. Representaciones trigonomØtricas para los polinomios de
Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2. Evaluaci(cid:243)n de la integral entr(cid:243)pica. Resultados . . . . . . 80
4. Cotas mÆs fuertes para una EUR en dimensi(cid:243)n (cid:28)nita 87
III Entrelazamiento 95
5. Condiciones de separabilidad a partir de la relaci(cid:243)n de
incertidumbre de Landau-Pollak 97
5.1. Condiciones de separabilidad para sistemas de dos qubits . . . . 98
5.1.1. E(cid:28)cacia de las condiciones de separabilidad . . . . . . . . 102
5.2. Condiciones de separabilidad para sistemas de mayor
dimensionalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6. Entrelazamiento y medidas de la correlaci(cid:243)n: Criterios de
separabilidad a partir de la representaci(cid:243)n de Bloch 109
6.1. La representaci(cid:243)n de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2. Condicionesdeseparabilidadapartirdelarepresentaci(cid:243)ndeBloch113
6.3. E(cid:28)cacia de los nuevos criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.2. Comparaci(cid:243)n con otros criterios importantes . . . . . . . 123
7. Estimaci(cid:243)n de medidas de entrelazamiento a partir de criterios
de separabilidad 131
7.1. Cuanti(cid:28)caci(cid:243)n del entrelazamiento y matriz de correlaci(cid:243)n . . . . 133
7.2. Cuanti(cid:28)caci(cid:243)n del entrelazamiento y relaciones de incertidumbre
locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
IV Conclusiones y perspectivas 147
A. Descomposici(cid:243)n en valores singulares y algunas normas
matriciales 155
B. Una prueba alternativa de la identidad (3.86) 157
iv
Prefacio
LaMecÆnicaCuÆnticaseorigin(cid:243)en1900paraexplicarlaradiaci(cid:243)ndelcuerpo
negro y se desarroll(cid:243) a lo largo del primer tercio del siglo XX con el objetivo de
describirlarealidadf(cid:237)sicaenlaescalaat(cid:243)mica,paralacualsecomprob(cid:243)quelas
leyesdelaf(cid:237)sicaclÆsicadejabandeservÆlidas.Desdeentonceslateor(cid:237)acuÆntica
ha mostrado un rotundo Øxito experimental en la descripci(cid:243)n del microcosmos,
que ha dado lugar a un sinf(cid:237)n de avances desde la perspectiva te(cid:243)rica hasta
la tecnol(cid:243)gica. La particular visi(cid:243)n de la naturaleza que aporta esta teor(cid:237)a ha
generado una revoluci(cid:243)n conceptual que sigue dando trabajo a los cient(cid:237)(cid:28)cos y
(cid:28)l(cid:243)sofosdehoyd(cid:237)a,loque,lejosdeserunobstÆculo,haconstituidouncaldode
cultivoid(cid:243)neoparalapropuestadenuevasyaœnmÆssorprendentesaplicaciones
de los principios cuÆnticos. Esta efervescencia de ideas ha alcanzado momentos
degranesplendorenlosœltimosaæosdandolugaralaTeor(cid:237)adelaInformaci(cid:243)n
CuÆntica, un emergente campo pluridisciplinar que utiliza las particularidades
de la teor(cid:237)a cuÆntica para desarrollar formas revolucionarias para el procesado
y transmisi(cid:243)n de la informaci(cid:243)n. Por otro lado, la MecÆnica CuÆntica tiene
una estructura matemÆtica de gran riqueza en la que tienen cabida la prÆctica
totalidaddelasramasdelasmatemÆticas.Portodoello,creemosqueestateor(cid:237)a
ofreceunmarcodetrabajoexcepcionalparaelinvestigadorenmatemÆticascon
una orientaci(cid:243)n aplicada, tanto al nivel de la f(cid:237)sica te(cid:243)rica como al tecnol(cid:243)gico.
En esta tesis se consideran problemas matemÆticos relacionados con dos de
los fen(cid:243)menos mÆs caracter(cid:237)sticos y signi(cid:28)cativos de la MecÆnica CuÆntica: el
principiodeincertidumbredeHeisenbergyelentrelazamiento.Elhiloconductor
lo constituyen las medidas matemÆticas de la incertidumbre asociada a
distribucionesdeprobabilidad,queporunladosonindispensablesparaformular
matemÆticamente este principio y cuanti(cid:28)car la incertidumbre asociada a los
distintos sistemas cuÆnticos y por otro lado proporcionan una herramienta œtil
paralacaracterizaci(cid:243)ndelescurridizofen(cid:243)menodelentrelazamiento,paradigma
central tanto dentro de los fundamentos de la MecÆnica CuÆntica como en las
sorprendentes aplicaciones de la Teor(cid:237)a de la Informaci(cid:243)n CuÆntica. En esta
memoria los dos primeros cap(cid:237)tulos se han escrito a modo de introducci(cid:243)n
y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas.
En el primer cap(cid:237)tulo presentamos c(cid:243)mo se construyen de una forma rigurosa
desde un punto de vista matemÆtico medidas de la incertidumbre y mostramos
c(cid:243)mo la entrop(cid:237)a de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el
segundo,despuØsdeintroducirlospostuladosylaestructuramatemÆticabÆsica
v
de la MecÆnica CuÆntica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre
y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la
fecha,as(cid:237)comolasargumentacionesquehacenalasrelacionesdeincertidumbre
entr(cid:243)picas la formulaci(cid:243)n mÆs rigurosa del principio. En este cap(cid:237)tulo se
analizarÆ tambiØn el fen(cid:243)meno del entrelazamiento, su signi(cid:28)cado y relevancia.
Aunque el problema de su caracterizaci(cid:243)n sigue abierto (problema de la
separabilidad), se presentarÆn los criterios previos mÆs relevantes para su
identi(cid:28)caci(cid:243)nysemostrarÆquelasrelacionesdeincertidumbrejueganunpapel
œtil en esta tarea. Por œltimo, se darÆ una brev(cid:237)sima introducci(cid:243)n a la teor(cid:237)a de
lasmedidasdeentrelazamientoysuconexi(cid:243)nconlasmedidasdeincertidumbre.
En el cap(cid:237)tulo 3 se abordarÆ el problema del cÆlculo de entrop(cid:237)as de polinomios
ortogonales, directamente relacionado con la expresi(cid:243)n de la incertidumbre en
sistemasat(cid:243)micosymoleculares;seutilizarÆnprincipalmentetØcnicasanal(cid:237)ticas,
en particular de la teor(cid:237)a de funciones especiales. El cap(cid:237)tulo 4 se relaciona con
la derivaci(cid:243)n de desigualdades (cid:243)ptimas para la formulaci(cid:243)n de relaciones de
incertidumbre entr(cid:243)picas, apoyÆndonos sobre todo en tØcnicas de optimizaci(cid:243)n.
A continuaci(cid:243)n nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la
separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos Ælgebra lineal y anÆlisis
matricial.Enelcap(cid:237)tulo5seestudiarÆesteproblemautilizandounaformulaci(cid:243)n
particular del principio de incertidumbre. En el cap(cid:237)tulo 6, motivados por
la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a travØs
de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia
de entrelazamiento a travØs de medidas de la correlaci(cid:243)n. Por œltimo, en el
cap(cid:237)tulo 7 estudiaremos c(cid:243)mo utilizar las condiciones del apartado anterior y
las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informaci(cid:243)n no
s(cid:243)lo cualitativa sino tambiØn cuantitativa acerca del entrelazamiento.
La mayor parte de los resultados que se recogen en esta tesis han sido
previamente publicados en distintas revistas cient(cid:237)(cid:28)cas internacionales, tal y
como seæalamos a continuaci(cid:243)n (el nœmero entre corchetes al (cid:28)nal de cada
referencia indica el cap(cid:237)tulo de la tesis con el que se corresponde):
J.I.deVicenteyJ.SÆnchez-Ruiz,SeparabilityconditionsfromtheLandau-
Pollak uncertainty relation, Phys. Rev. A 71, 052325 (2005). [5]
J.I. de Vicente, S. Gandy y J. SÆnchez-Ruiz, Information entropy of
Gegenbauerpolynomials,p.579enDi(cid:27)erenceEquations,SpecialFunctions
andOrthogonalPolynomials:ProceedingsoftheInternationalConference,
eds. S. Elaydi, J. Cushing, R. Lasser, V. Papageorgiou, A. Ru(cid:30)ng y W.
Van Assche (World Scienti(cid:28)c, Singapur, 2007). [3]
J.I. de Vicente, Separability criteria based on the Bloch representation of
density matrices, Quantum Inf. Comput. 7, 624 (2007). [6]
J.I. de Vicente, Lower bounds on concurrence and separability conditions,
Phys. Rev. A 75, 052320 (2007). [7]
J.I. de Vicente, S. Gandy y J. SÆnchez-Ruiz, Information entropy of
vi