diseño óptimo de experimentos para modelos de mezclas aplicados en la ingeniería y las ciencias ...

258 Pages·2017·2.36 MB·Spanish

Universidad de Castilla-La Mancha
Departamento de MatemÆticas
DISE(cid:209)O (cid:211)PTIMO DE EXPERIMENTOS
PARA MODELOS DE MEZCLAS APLICADOS
EN LA INGENIER˝A Y LAS CIENCIAS
EXPERIMENTALES
MEMORIA PARA OPTAR EL GRADO DE DOCTOR
AUTORA
Irene Garc(cid:237)a Camacha GutiØrrez
DIRECTOR
Dr. Raœl Mart(cid:237)n Mart(cid:237)n
Toledo, 2017

Resumen
El presente trabajo tiene como objetivo determinar estrategias de
construcci(cid:243)n de diseæos (cid:243)ptimos en problemas de experimentos con
mezclas, en los que las variables controlables por el experimentador
son proporciones. Para este prop(cid:243)sito se han desarrollado herra-
mientas te(cid:243)ricas y numØricas para resolver diferentes situaciones
reales en las que surgen este tipo de problemas.
En general, los cap(cid:237)tulos tienen la siguiente estructura: comienzan
con una introducci(cid:243)n, donde se presentan los objetivos y las prin-
cipales contribuciones, el desarrollo de los mismos estÆ dividido en
varias secciones atendiendo a los diferentes subtemas, y contienen
un œltimo apartado dedicado a las conclusiones.
A continuaci(cid:243)n exponemos de manera resumida los principales ob-
jetivos y contribuciones de la memoria.
El cap(cid:237)tulo 1 introduce la (cid:28)nalidad del diseæo (cid:243)ptimo de experi-
mentos y presenta las motivaciones por las que surge. Se establecen
formalmente las bases sobre las que se construye esta teor(cid:237)a y se ex-
ponen conceptos, notaciones y resultados fundamentales sobre los
que se apoya. Se de(cid:28)nen los principales criterios de optimizaci(cid:243)n,
con especial Ønfasis sobre los criterios de D− e I−optimizaci(cid:243)n, que
serÆn losde mayor interØs para el desarrollode esta memoria. La se-
gunda parte de este cap(cid:237)tulo introduce una importante herramienta
en la teor(cid:237)a de diseæo (cid:243)ptimo, la derivada direccional de una fun-
ci(cid:243)n criterio. Se proporciona tambiØn el teorema fundamental del
diseæo (cid:243)ptimo de experimentos, el teorema general de equivalencia,
i
ii
ademÆsdeotrosresultadosfundamentales.Elcap(cid:237)tuloconcluyecon
la extensi(cid:243)n de esta teor(cid:237)a para modelos no lineales.
El cap(cid:237)tulo 2 comienza justi(cid:28)cando la necesidad de desarrollar
mØtodos numØricos para el cÆlculo de soluciones aproximadas. A
continuaci(cid:243)n se realiza una revisi(cid:243)n bibliogrÆ(cid:28)ca de las tØcnicas
algor(cid:237)tmicas mÆs utilizadas en la literatura: el algoritmo Wynn-
Fedorov y el algoritmo multiplicativo. El primero de los resultados
desarrollados en este trabajo es un nuevo algoritmo para el cÆlculo
de diseæos (cid:243)ptimos aproximados: el Algoritmo Combinado. Aunque
puede aplicarse para cualquier funci(cid:243)n criterio, la convergencia ha
sido probada para D−optimizaci(cid:243)n. La e(cid:28)cacia del nuevo algoritmo
se muestra a lo largo de diferentes ejemplos.
El cap(cid:237)tulo 3 se dedica al estudio de los experimentos con mez-
clas. El cap(cid:237)tulo comienza de(cid:28)niendo este tipo de problemas y la
regi(cid:243)n de diseæo donde tienen sentido, el simplex. A continuaci(cid:243)n se
describen los diseæos de mezclas estÆndar que han recibido mayor
atenci(cid:243)n en la literatura, as(cid:237) como los modelos mÆs utilizados para
explicar este tipo de comportamientos. En particular, se hace espe-
cial hincapiØ sobre los polinomios can(cid:243)nicos de Sche(cid:27)Ø. La œltima
secci(cid:243)n es una revisi(cid:243)n de los trabajos mÆs destacados sobre diseæos
(cid:243)ptimos para modelos de mezclas.
El cap(cid:237)tulo 4 comienza justi(cid:28)cando la necesidad de desarrollar
tØcnicas generales para resolver problemas de diseæo (cid:243)ptimo en ex-
perimentosconmezclas.Enestetrabajoseproponendosalgoritmos
para la construcci(cid:243)n de diseæos D−(cid:243)ptimos exactos en este tipo de
problemas. El primero de ellos consiste en extender el algoritmo
multiplicativo para una clase de diseæos restringidos, los diseæos
de permutaci(cid:243)n. Este nuevo algoritmo permite resolver problemas
de mezclas considerando modelos no lineales, aunque no permite
abordar problemas de mezclas con restricciones. Como alternativa
heur(cid:237)stica se propone otro mØtodo, basado en algoritmos genØticos,
capaz de obtener soluciones en problemas restringidos que tambiØn
puede utilizarse para modelos no lineales. El desarrollo de tØcnicas
de construcci(cid:243)n de los diseæos (cid:243)ptimos para esta clase de mode-
los no han sido estudiados en la literatura en este contexto. Varios
iii
ejemplos que surgen en la industria farmacØutica, qu(cid:237)mica y petro-
qu(cid:237)mica ilustran los resultados obtenidos por las nuevas metodolo-
g(cid:237)as.
El cap(cid:237)tulo 5 contiene diferentes estrategias para la construcci(cid:243)n
de diseæos D− e I−(cid:243)ptimos robustos exactos y continuos para mo-
delos de mezclas. El desarrollo de estas estrategias viene motivado
por el ejemplo que aparece en HernÆndez et al. [JH08] en el que se
busca la composici(cid:243)n (cid:243)ptima de un sucedÆneo que simule al diØsel
en el autoencendido bajo condiciones de motor HCCI. El uso de la
metodolog(cid:237)a desarrollada en este cap(cid:237)tulo permite abordar la falta
de especi(cid:28)cidad del modelo que presenta este problema. En primer
lugar se analiz(cid:243) el problema de mezclas binaras y se obtuvieron re-
sultados te(cid:243)ricos que permitieron obtener la expresi(cid:243)n anal(cid:237)tica de
los diseæos D−(cid:243)ptimos. Para mÆs de dos ingredientes, se proporcio-
na un algoritmo general basado en algoritmos genØticos, ya que no
es posible tratar el problema de manera anal(cid:237)tica. Por otro lado, se
propone una nueva familia de diseæos restringidos, los diseæos in-
tercambiables, que presentan buenas propiedades como generadores
de los diseæos (cid:243)ptimos robustos.
El cap(cid:237)tulo 6 es una s(cid:237)ntesis de los resultados y aportaciones obte-
nidas a lo largo de la realizaci(cid:243)n de este trabajo. En la œltima parte
se presenta una discusi(cid:243)n sobre las l(cid:237)neas de investigaci(cid:243)n futuras.
iv
˝ndice general
viii
1. Diseæo de Experimentos 1
1.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Teor(cid:237)a de diseæo para modelos lineales . . . . . . . . . 5
1.3. Diseæos y Matriz de Informaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Criterios de optimizaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Funciones criterio . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Condiciones de optimizaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1. Teorema de Equivalencia . . . . . . . . . . . 19
1.5.2. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . 20
1.6. Modelos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Algoritmos 31
2.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
AlgoritmodeWynn-Fedorov
2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
AlgoritmoMultiplicativo
2.4. Algoritmo Combinado . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
v
vi ˝NDICE GENERAL
2.4.2. Convergencia para D−optimizaci(cid:243)n . . . . . 68
2.4.3. Algoritmo para D−optimizaci(cid:243)n . . . . . . . 69
2.4.4. Ejemplos NumØricos para D−optimizaci(cid:243)n . 71
2.4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3. Experimentos con Mezclas 85
3.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2. Diseæos de Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.1. Diseæos Simplex Lattice (DSL) . . . . . . . 87
3.2.2. Diseæos Simplex Centroid (DSC) . . . . . . 88
3.2.3. Diseæos Axiales . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3. Modelos de Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1. Polinomios Can(cid:243)nicos de Sche(cid:27)Ø . . . . . . . 91
3.3.2. Modelos de mezclas de Cox . . . . . . . . . 95
3.3.3. Modelos de mezclas con funciones homogØneas 97
3.3.4. Modelos de mezclas con tØrminos inversos . 98
3.3.5. Modelos log-contrast . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.6. Polinomios de Kronecker . . . . . . . . . . . 100
3.3.7. Modelos de mezclas con variables-proceso . . 101
3.3.8. Modelos en los que interviene la cantidad de
mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.9. Directrices para la elecci(cid:243)n de un modelo . . 102
3.4. . . . . . . . . . . . . 103
Diseæos(cid:243)ptimosparamodelosdemezclas