Discrete-Time Signal Processing

1137 Pages·2010·10.66 MB·english

by  Alan V. Oppenheim

THIRD EDITION
Discrete-Time
Signal
Processing
Alan V. Oppenheim
Massachusetts Institute of Technology
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
ISBN-13: 978-0-13-198842-2
ISBN-10: 0-13-198842-5
ToPhyllis,Justine,andJason
ToDorothy,Bill,Tricia,Ken,andKate
andinmemoryofJohn
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Contents
Preface xv
TheCompanionWebsite xxii
TheCover xxv
Acknowledgments xxvi
1 Introduction 1
2 Discrete-TimeSignalsandSystems 9
2.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Discrete-TimeSignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Discrete-TimeSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 MemorylessSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 LinearSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Time-InvariantSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4 Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.5 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 LTISystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 PropertiesofLinearTime-InvariantSystems . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 LinearConstant-CoefficientDifferenceEquations . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Frequency-DomainRepresentationofDiscrete-TimeSignalsandSystems 40
2.6.1 EigenfunctionsforLinearTime-InvariantSystems . . . . . . . 40
2.6.2 SuddenlyAppliedComplexExponentialInputs . . . . . . . . . 46
2.7 RepresentationofSequencesbyFourierTransforms . . . . . . . . . . . 48
2.8 SymmetryPropertiesoftheFourierTransform . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9 FourierTransformTheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9.1 LinearityoftheFourierTransform . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.2 TimeShiftingandFrequencyShiftingTheorem . . . . . . . . . 59
2.9.3 TimeReversalTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
v
vi Contents
2.9.4 DifferentiationinFrequencyTheorem . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.5 Parseval’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.9.6 TheConvolutionTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.9.7 TheModulationorWindowingTheorem . . . . . . . . . . . . . 61
2.10 Discrete-TimeRandomSignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Thez-Transform 99
3.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1 z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 PropertiesoftheROCforthez-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3 TheInversez-Transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.1 InspectionMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.2 PartialFractionExpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.3 PowerSeriesExpansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 z-TransformProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.2 TimeShifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.3 MultiplicationbyanExponentialSequence . . . . . . . . . . . 126
3.4.4 DifferentiationofX(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4.5 ConjugationofaComplexSequence . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.4.6 TimeReversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.4.7 ConvolutionofSequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.8 SummaryofSomez-TransformProperties . . . . . . . . . . . . 131
3.5 z-TransformsandLTISystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.6 TheUnilateralz-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4 SamplingofContinuous-TimeSignals 153
4.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1 PeriodicSampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Frequency-DomainRepresentationofSampling . . . . . . . . . . . . . 156
4.3 ReconstructionofaBandlimitedSignalfromItsSamples . . . . . . . . 163
4.4 Discrete-TimeProcessingofContinuous-TimeSignals. . . . . . . . . . 167
4.4.1 Discrete-TimeLTIProcessingofContinuous-TimeSignals . . . 168
4.4.2 ImpulseInvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.5 Continuous-TimeProcessingofDiscrete-TimeSignals. . . . . . . . . . 175
4.6 ChangingtheSamplingRateUsingDiscrete-TimeProcessing . . . . . 179
4.6.1 SamplingRateReductionbyanIntegerFactor . . . . . . . . . 180
4.6.2 IncreasingtheSamplingRatebyanIntegerFactor . . . . . . . 184
4.6.3 SimpleandPracticalInterpolationFilters . . . . . . . . . . . . . 187
4.6.4 ChangingtheSamplingRatebyaNonintegerFactor . . . . . . 190
4.7 MultirateSignalProcessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.7.1 InterchangeofFilteringwithCompressor/Expander . . . . . . 194
4.7.2 MultistageDecimationandInterpolation . . . . . . . . . . . . . 195
Contents vii
4.7.3 PolyphaseDecompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.7.4 PolyphaseImplementationofDecimationFilters . . . . . . . . 199
4.7.5 PolyphaseImplementationofInterpolationFilters . . . . . . . 200
4.7.6 MultirateFilterBanks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.8 DigitalProcessingofAnalogSignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.8.1 PrefilteringtoAvoidAliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.8.2 A/DConversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.8.3 AnalysisofQuantizationErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.8.4 D/AConversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.9 OversamplingandNoiseShapinginA/DandD/AConversion . . . . . 224
4.9.1 OversampledA/DConversionwithDirectQuantization . . . . 225
4.9.2 OversampledA/DConversionwithNoiseShaping . . . . . . . 229
4.9.3 OversamplingandNoiseShapinginD/AConversion . . . . . . 234
4.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5 TransformAnalysisofLinearTime-InvariantSystems 274
5.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.1 TheFrequencyResponseofLTISystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.1.1 FrequencyResponsePhaseandGroupDelay . . . . . . . . . . 275
5.1.2 IllustrationofEffectsofGroupDelayandAttenuation . . . . . 278
5.2 SystemFunctions—LinearConstant-CoefficientDifferenceEquations 283
5.2.1 StabilityandCausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.2.2 InverseSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.2.3 ImpulseResponseforRationalSystemFunctions . . . . . . . . 288
5.3 FrequencyResponseforRationalSystemFunctions . . . . . . . . . . . 290
5.3.1 FrequencyResponseof1st-OrderSystems . . . . . . . . . . . . 292
5.3.2 ExampleswithMultiplePolesandZeros . . . . . . . . . . . . . 296
5.4 RelationshipbetweenMagnitudeandPhase . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.5 All-PassSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.6 Minimum-PhaseSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.6.1 Minimum-PhaseandAll-PassDecomposition . . . . . . . . . . 311
5.6.2 Frequency-ResponseCompensationofNon-Minimum-Phase
Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.6.3 PropertiesofMinimum-PhaseSystems . . . . . . . . . . . . . . 318
5.7 LinearSystemswithGeneralizedLinearPhase . . . . . . . . . . . . . . 322
5.7.1 SystemswithLinearPhase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.7.2 GeneralizedLinearPhase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5.7.3 CausalGeneralizedLinear-PhaseSystems . . . . . . . . . . . . 328
5.7.4 RelationofFIRLinear-PhaseSystemstoMinimum-Phase
Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
viii Contents
6 StructuresforDiscrete-TimeSystems 374
6.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
6.1 BlockDiagramRepresentationofLinearConstant-Coefficient
DifferenceEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.2 SignalFlowGraphRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.3 BasicStructuresforIIRSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
6.3.1 DirectForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
6.3.2 CascadeForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6.3.3 ParallelForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.3.4 FeedbackinIIRSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.4 TransposedForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
6.5 BasicNetworkStructuresforFIRSystems . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.5.1 DirectForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.5.2 CascadeForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.5.3 StructuresforLinear-PhaseFIRSystems . . . . . . . . . . . . . 403
6.6 LatticeFilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.6.1 FIRLatticeFilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
6.6.2 All-PoleLatticeStructure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.6.3 GeneralizationofLatticeSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.7 OverviewofFinite-PrecisionNumericalEffects . . . . . . . . . . . . . 415
6.7.1 NumberRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.7.2 QuantizationinImplementingSystems . . . . . . . . . . . . . . 419
6.8 TheEffectsofCoefficientQuantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
6.8.1 EffectsofCoefficientQuantizationinIIRSystems . . . . . . . 422
6.8.2 ExampleofCoefficientQuantizationinanEllipticFilter . . . . 423
6.8.3 PolesofQuantized2nd-OrderSections . . . . . . . . . . . . . . 427
6.8.4 EffectsofCoefficientQuantizationinFIRSystems . . . . . . . 429
6.8.5 ExampleofQuantizationofanOptimumFIRFilter . . . . . . 431
6.8.6 MaintainingLinearPhase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
6.9 EffectsofRound-offNoiseinDigitalFilters . . . . . . . . . . . . . . . 436
6.9.1 AnalysisoftheDirectFormIIRStructures . . . . . . . . . . . . 436
6.9.2 ScalinginFixed-PointImplementationsofIIRSystems . . . . . 445
6.9.3 ExampleofAnalysisofaCascadeIIRStructure . . . . . . . . . 448
6.9.4 AnalysisofDirect-FormFIRSystems . . . . . . . . . . . . . . . 453
6.9.5 Floating-PointRealizationsofDiscrete-TimeSystems. . . . . . 458
6.10 Zero-InputLimitCyclesinFixed-PointRealizationsofIIR
DigitalFilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
6.10.1 LimitCyclesOwingtoRound-offandTruncation . . . . . . . . 459
6.10.2 LimitCyclesOwingtoOverflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
6.10.3 AvoidingLimitCycles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
6.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
7 FilterDesignTechniques 493
7.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
7.1 FilterSpecifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Contents ix
7.2 DesignofDiscrete-TimeIIRFiltersfromContinuous-TimeFilters. . . 496
7.2.1 FilterDesignbyImpulseInvariance . . . . . . . . . . . . . . . . 497
7.2.2 BilinearTransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
7.3 Discrete-TimeButterworth,ChebyshevandEllipticFilters . . . . . . . 508
7.3.1 ExamplesofIIRFilterDesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
7.4 FrequencyTransformationsofLowpassIIRFilters . . . . . . . . . . . . 526
7.5 DesignofFIRFiltersbyWindowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
7.5.1 PropertiesofCommonlyUsedWindows . . . . . . . . . . . . . 535
7.5.2 IncorporationofGeneralizedLinearPhase. . . . . . . . . . . . 538
7.5.3 TheKaiserWindowFilterDesignMethod . . . . . . . . . . . . 541
7.6 ExamplesofFIRFilterDesignbytheKaiserWindowMethod . . . . . 545
7.6.1 LowpassFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
7.6.2 HighpassFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
7.6.3 Discrete-TimeDifferentiators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
7.7 OptimumApproximationsofFIRFilters . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
7.7.1 OptimalTypeILowpassFilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
7.7.2 OptimalTypeIILowpassFilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
7.7.3 TheParks–McClellanAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
7.7.4 CharacteristicsofOptimumFIRFilters . . . . . . . . . . . . . . 568
7.8 ExamplesofFIREquirippleApproximation . . . . . . . . . . . . . . . 570
7.8.1 LowpassFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
7.8.2 CompensationforZero-OrderHold . . . . . . . . . . . . . . . 571
7.8.3 BandpassFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
7.9 CommentsonIIRandFIRDiscrete-TimeFilters . . . . . . . . . . . . 578
7.10 DesignofanUpsamplingFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
7.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
8 TheDiscreteFourierTransform 623
8.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
8.1 RepresentationofPeriodicSequences:TheDiscreteFourierSeries . . 624
8.2 PropertiesoftheDFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
8.2.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
8.2.2 ShiftofaSequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
8.2.3 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
8.2.4 SymmetryProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
8.2.5 PeriodicConvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
8.2.6 SummaryofPropertiesoftheDFSRepresentationofPeriodic
Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
8.3 TheFourierTransformofPeriodicSignals . . . . . . . . . . . . . . . . 633
8.4 SamplingtheFourierTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
8.5 FourierRepresentationofFinite-DurationSequences . . . . . . . . . . 642
8.6 PropertiesoftheDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
8.6.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
8.6.2 CircularShiftofaSequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
8.6.3 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
8.6.4 SymmetryProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653