Direkte produkter og direkte summer

4 Pages·2010·0.167 MB·Danish

by  Ian Kiming

DIREKTE PRODUKTER OG DIREKTE SUMMER.
IANKIMING
Vi generaliserer konstruktionen ‘direkte produkt af to grupper’ til tilfældet hvor
viharendeligtmangegrupperG ,...,G (ønskermanatseenendnumeregenerel
1 n
definition, kan man læse afsnit 8 i kapitel I af lærebogen):
Vi definerer det direkte produkt af G ,...,G som gruppen hvis underliggende
1 n
mængde er G ×...×G og med følgende komposition:
1 n
(a ,...,a )·(b ,...,b ):=(a ·b ,...,a ·b )
1 n 1 n 1 1 n n
fora ,b ∈G ,oghvorprodukteta ·b naturligviserproduktetafa ogb iG . Man
i i i i i i i i
checker let, at denne komposition giver en gruppestruktur: Det neutrale element
er (e ,...,e ) s˚afremt e betegner det neutrale element i G , og det inverse til et
1 n i i
element (a ,...,a ) er (a−1,...,a−1), idet a−1 er det inverse til a i G .
1 n 1 n i i i
Det direkte produkt betegnes (cid:81)n G eller ogs˚a blot G ×...×G . Er alle
i=1 i 1 n
grupperne G identiske, skriver vi ogs˚a Gn for G ×...×G .
i 1 n
Er grupperne G alle abelske, s˚a vi bruger additiv notation for kompositionerne,
i
da bruger vi ogs˚a additiv notation for det direkte produkt (som øjensynligt i dette
tilfælde ogs˚a bliver en abelsk gruppe), og vi taler om den direkte sum af grupperne
G ,...,G snarere end det direkte produkt. Den direkte sum betegnes (cid:76)n G
1 n i=1 i
eller blot G ⊕...⊕G .
1 n
Vær opmærksom p˚a, at ‘direkte sum’ af abelske grupper er det samme som
‘direkte produkt’ af disse grupper. Kun notationen er ændret med det form˚al at
kunne signalere direkte via notationen, at det drejer sig om abelske grupper.
Givet et direkte produkt (cid:81)n G har vi for i=1,...n afbildninger
i=1 i
n
(cid:89)
π : G −→G
i i i
i=1
givet ved π (a ,...,a ):=a . Det ses umiddelbart, at disse afbildninger π er sur-
i 1 n i i
jektivehomomorfier. Dekaldesfordekanoniskeprojektionerellerblotprojektioner.
Sætning 1. Lad G ,...,G være grupper, lad H være en gruppe, og lad der for
1 n
i=1,...,n være givet en homomorfi ϕ : H →G .
i i
Da findes der en entydigt bestemt homomorfi ϕ: H →(cid:81)n G s˚aledes, at:
i=1 i
π ◦ϕ=ϕ
i i
for i=1,...,n.
Bevis: Sæt:
ϕ(h):=(ϕ (h),...,ϕ (h))
1 n
for h∈H. Det ses da umiddelbart, at ϕ er en homomorfi med de ønskede egensk-
aber.
At ϕ er entydigt bestemt af kravet til den, ses let. (cid:3)
1
2 IANKIMING
Sammen med de kanoniske projektioner π : (cid:81)n G −→ G har vi ogs˚a de
i i=1 i i
s˚akaldte kanoniske injektioner
n
(cid:89)
ι : G −→ G
j j i
i=1
givetvedι (a):=(e,..., a ,...,e). (Vibegyndernuatskriveeistedetfore for
j i
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
j
det neutrale element i G ). Det ses umiddelbart, at ι er en injektiv homomorfi, og
i j
at
n
(cid:89)
ι (G )(cid:69) G .
j j i
i=1
I den følgende sætning er det væsentligt, at vi taler om abelske grupper. I.e.,
sætningen kan ikke generaliseres til ikke-abelske grupper.
Sætning 2. Lad A ,...,A være abelske grupper. Vi bruger additiv notation for
1 n
dem.
Hvis B er en abelsk gruppe og ψ : A −→ B, i = 1,...,n, er homomorfier, da
i i
findes der en entydigt bestemt homomorfi
n
(cid:77)
ψ: A −→B
i
i=1
s˚aledes, at ψ◦ι =ψ for i=1,...,n.
i i
Bevis: Bemærk, at da vi bruger additiv notation, skriver vi det neutrale element i
samtlige forkommende grupper som 0.
Kravet ψ ◦ι = ψ , i = 1,...,n, bestemmer ψ entydigt: For hvis ψ opfylder
i i
dette, og hvis (a ,...,a ) er et vilk˚arligt element i (cid:76)n A , da finder vi:
1 n i=1 i
   
n n
(cid:88) (cid:88)
ψ(a1,...,an) = ψ (0,..., aj ,...,0=ψ ιj(aj)
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
j=1 j=1
j
n n
(cid:88) (cid:88)
= ψ(ι (a ))= ψ (a ) .
j j j j
j=1 j=1
Medandreord: S˚afremtψeksisterer,erdenentydigtbestemtvedhomomorfierne
ψ via:
j
n
(cid:88)
(∗) ψ(a ,...,a )= ψ (a ) .
1 n j j
j=1
Vi kan nu godtgøre eksistensen af ψ ved at p˚avise, at fastsættelsen (∗) faktisk
definerer en homomorfi ψ: (cid:76)n A −→ B. Dette sker s˚aledes: Lad (a ,...,a )
i=1 i 1 n
og (b ,...,b ) være elementer i (cid:76)n A . Da f˚as:
a n i=1 i
ψ((a ,...,a )+(b ,...,b ))=ψ(a +b ,...,a +b )
1 n 1 n 1 1 n n
n n
(cid:88) (cid:88)
= ψ (a +b )= (ψ (a )+ψ (b ))
i i i i i i i
i=1 i=1
n n
(cid:88) (cid:88)
= ψ (a )+ ψ (b )=ψ(a ,...,a )+ψ(b ,...,b ) .
i i i i 1 n 1 n
i=1 i=1
DIREKTE PRODUKTER OG DIREKTE SUMMER. 3
Bemærk, at vi ved det første lighedstegn i tredje linie benyttede os af, at B er
abelsk. (cid:3)
Huskfratidligeresætning, athvisH ogK ernormaleundergrupperiengruppe
G, da er HK en undergruppe i G. Argumentet for dette generaliseres let til at
indse, at hvis N ,...,N er normale undergrupper i gruppen G, da er
1 n
N ···N :={a ···a | a ∈N }
1 n 1 n i i
enundergruppeiG. (GruppenN ···N skrivesnaturligvisN +...+N iadditiv
1 n 1 n
notation).
Sætning 3. Lad N ,...N være normale undergrupper af gruppen G og antag, at:
1 n
(i) G=N ···N ,
1 n
og
(ii) N ∩(N ···N N ···N )={e} , for i=1,...,n .
i 1 i−1 i+1 n
Da har vi G∼=(cid:81)n N .
i=1 i
Bevis: Definer en afbildning f: (cid:81)n N −→G ved
i=1 i
f(a ,...,a ):=a ···a .
1 n 1 n
Idet G=N ···N , er f klart surjektiv.
1 n
Vi p˚ast˚ar, at f er en homomorfi.
For at indse dette, bemærker vi følgende: Vi har ab = ba, s˚afremt a ∈ N og
i
b ∈ N med i (cid:54)= j: For vi har aba−1b−1 = a(ba−1b−1) ∈ N , da N (cid:69)G, men ogs˚a
j i i
aba−1b−1 = (aba−1)b−1 ∈ N , da N (cid:69)G. Idet betingelse (ii) i sætningen klart
j j
medfører N ∩N ={e} for i(cid:54)=j, ses det ønskede.
i j
Hvis a ,b ∈N for i=1,...,n, indser vi da, at vi har:
i i i
(a ···a )·(b ···b )=(a b )···(a b ) ,
1 n 1 n 1 1 n n
og det viser jo præcist, at f er en homomorfi.
Lad(a ,...,a )∈Kerf,dvs.,a ···a =e. Viharda,ata−1 =a ···a hvilket
1 n 1 n 1 2 n
viser, at a−1 =a ···a ∈N ···N . Da ogs˚a a−1 ∈N , og da N ∩(N ···N )=
1 2 n 2 n 1 1 1 2 n
{e} per forudsætning, f˚as a = e = a ···a . Gentages dette ræsonnement p˚a
1 2 n
produktet a ···a (dvs., mere præcist, bruges et induktivt argument), f˚as a =
2 n 2
...=a =e.
n
Alts˚a er f injektiv og dermed en isomorfi. (cid:3)
IsituationenfraSætning3sigerman,atGerdetindre,direkteprodukt(‘internal
direct product’) af grupperne N ,...,N .
1 n
Er alle grupperne abelske, taler vi om en indre, direkte sum.
Sætning 4. Lad G ,H , i = 1,...,n, være grupper, og lad der være givet homo-
i i
morfier f : G −→H , i=1,...,n.
i i i
Da er afbildningen f =(cid:81)n f : (cid:81)n G −→(cid:81)n H defineret ved:
i=1 i i=1 i i=1 i
f(a ,...,a ):=(f (a ),...,f (a ))
1 n 1 1 n n
en homomorfi med Kerf = (cid:81)n Kerf ≤ (cid:81)n G og Imf = (cid:81)n Imf ≤
i=1 i i=1 i i=1 i
(cid:81)n H .
i=1 i
Bevis: Simpel øvelse. (cid:3)
4 IANKIMING
Korollar 1. Lad der for i = 1,...,n være givet en gruppe G med en normal
i
undergruppe N .
i
Da gælder: (cid:81)n N er normal i (cid:81)n G , og:
i=1 i i=1 i
(cid:32) n (cid:33) (cid:32) n (cid:33) n
(cid:89)G / (cid:89)N ∼=(cid:89)(G /N ) .
i i i i
i=1 i=1 i=1
Bevis: Specialiser Sætning 4 til følgende situation: G = G , H := G /N , og
i i i i i
f :=π : G −→G /N den kanoniske homomorfi af G p˚a G /N . (cid:3)
i i i i i i i i
Department of Mathematics, University of Copenhagen, Universitetsparken 5, DK-
2100 Copenhagen Ø, Denmark.
E-mail address: [email protected]