Dimension de la mesure d'équilibre d'applications méromorphes

0.28 MB·

by  Tien-Cuong Dinh

5
0
Dimension de la mesure d'équilibre d'appli
ations
0
2
méromorphes
n
a
J

3 Tien-Cuong Dinh et Christophe Dupont
1

February 1, 2008
]
S
D
.
h Abstra
t
f
t
a Let be a dominating meromorphi
self-map of a
ompa
t Kähler mani-
f
m
fold. Assume that the topologi
al degree of is larger than the other dynam-
[ i
al degrees. We give estimates of the dimension of the equilibrium measure
f

2 of , whi
h involve the Lyapounov exponents.
v
1 2000 Mathemati
s Subje
t Classi(cid:28)
ation : 37C45, 37F10, 32H50.
0
Key Words : dimension theory, equilibrium measure, Lyapounov exponent.
5
3
0
4
1 Introdu
tion
0
/ X k f : X → X
h
Soient une variété kählérienne
ompa
te de dimension et une
t d λ
a t k−1
appli
ation méromorphe dominante. On note son degré topologique, son
m (k−1) d > λ
t k−1
-ième degré dynamique (
f se
tion 2.1), et on suppose que . Fixons
: ω X ωk = 1
v aussi une forme de Kähler sur , normalisée par X . Sous
es hypothèses,
i R
X Guedj a montré dans [G℄ que la suite de mesures :
r 1
a µ := fn∗ωk
n dn
t
µ

onverge vers une mesure de probabilité invariante (
f aussi [RS℄, [DS1℄ et [DS2℄).
Ce résultat avadit≥été2établi auparavant pourPkles applid
at=iondskholoλmorp=hesdkd−e1 de-
t k−1
gré algébrique sur l'espa
e proje
tif (alors et ) et
pour les appli
ations d'allure polynomiale. On
onsultera à
e sujet les livres de
Berteloot-Mayer [BM℄ (en dimension 1) et de Sibony [S℄ (en dimension supérieure).
On trouvera aussi dans
es ouvrages une bibliographie plus détaillée.
µ
La mesure limite intègre les fon
tions quasi-psh,
e qui assure l'existen
e de
χ ≤ ··· ≤ χ
1 k
ses exposants de Lyapounov. Nous les noterons en ordre
roissant .
Σ
Si désigne leur somme, on dispose des inégalités (
f [BD℄, [DS1℄, [G℄) :
1 d
t
χ ≥ log 2Σ ≥ logd .
1 t
2 λ et
k−1
1
D'une manière générale, les exposants de Lyapounov sont reliés à l'entropie et
µ h(µ) dim (µ)
H
à la dimensfion de , notées respe
tivement et d P1(
f se
hti(oµn) 2=.4l)o.gdPa=r
exemple, si désigne une fra
tion rationnelle de degré sur , on a
dim (µ).χ χ µ
H
, où est l'unique exposant de (
f [L℄, [M℄). Une telle formule provient
f
du
ara
tère
onforme de . Notons qu'il existe une relation semblable pour les
di(cid:27)éomorphismes des surfa
es réelles
ompa
tes [Y℄.
1
En dimension
omplexe plus grande que , les appli
ations méromorphes ne sont
µ
plus
onformes. On
onnaît une minorationde la dimensiofn lorsque est une maPsske
de Monge-Ampère à potentiel höldérien (par exemple si est holomorphe sur ,
[B℄ ŸIII.2, [S℄ Ÿ1.7). Cette minoration fait apparaître l'exposant de Hölder. Notons
µ
que ne possède pas toujours
ette propriété de régularité. On dispose aussi d'une
f
majorationPfakisant intervenir les exposants lorsque est un endomorphisme holo-
morphe de d'origine polynomiale [BdM℄.
Le but de
et arti
le est d'établir l'en
adrement suivant :
µ
Théorème 1.1 Sous les hypothèses pré
édentes, la dimension de véri(cid:28)e :
logd 2Σ−logd
t t
≤ dim (µ) ≤ 2k − .
H
χ χ (1)
k k
Ladémonstrationreposeessentiellementsurl'existen
eetle
ontrledesbran
hes
f
inverses des itérés de le long d'orbites négatives typiques (
f la proposition 3.1).
Nous donnons dans le
as méromorphe un énon
é semblable au
as holomorphe, dû
à Briend-Duval [BD℄. Le nouvel ingrédient est le
ontrle de la vitesse d'appro
he
J
des orbites négatives vers l'ensemble qui
ontient les ensembles d'indétermination
f f−1 log(dist(.,J))
de et . L'intégrabilité de la fon
tion (
f lemme 3.2) joue i
i un
rle
ru
ial. Notre énon
é apporte aussi une pré
ision supplémentaire : il permet de
(f−n) fp(x)
n≥0

omparer les familles de bran
hes inverses dé(cid:28)nies au voisinage de
p
lorsque varie. Il stipule par exemple que le rayon de la boule sur laquelle elles sont
p
dé(cid:28)nies dé
roît exponentiellement lentement lorsque devient grand.
Esquissons la preuve de la majoration de (1). Nous reprenons en partie la méth-
A
ode de Binder et DeMar
o [BdM℄. Il s'agit d'introduire un borélien de mesure
positive sur lequel on dispose d'un
ontrle uniforme des bran
hes inverses. La
(r ) (γ )
n n n n
proposition 3.1 nous fournit des suites et à dé
roissan
e lente telles que
x ∈ A n ≥ 0
pour tout et pour tout :
g fn g (fn(x)) = x B := B (r )
n n n fn(x) n
- la bran
he inverse de véri(cid:28)ant existe sur ,
g (B ) B′ = B (γ e−nχk)
- l'ouvert n n
ontient n x n ,
g (B ) ce−2nΣ c
n n
- le volume de est majoré par , où est une
onstante.
B (r) x r B′
x n
On a noté la boule ouverte
entrée en et de rayon . Les boules du type
A
permettent alors de
onstruire des re
ouvrements de de diamètre arbitrairement
petit, et l'estimation sur le volume donne une borne sur leur
ardinal. On obtient
ainsi la majoration indiquée.
2
Venons-en à la minoration. Elle repose sur le résultat
lassique suivant (
f [Y℄)
:
Λ X µ(Λ) > 0
Théorème 1.2 Soit un borélien de tel que . Supposons que pour tout
x ∈ Λ (ρ (x))
n n≥0
, il existe une suite dé
roissante de réels positifs véri(cid:28)ant :
logρ (x)
n+1
lim ρ (x) = 0 , lim = 1
n
n→+∞ n→+∞ logρn(x) (2)
et logµ(B (ρ (x))) logµ(B (ρ (x)))
x n x n
a ≤ liminf ≤ limsup ≤ b.
n→+∞ logρn(x) n→+∞ logρn(x) (3)
Λ a ≤ dim (Λ) ≤ b
H
Alors la dimension de Hausdor(cid:27) de véri(cid:28)e .
Notons que seule la minoration sera utilisée, sous la forme du
orollaire :
Λ X
Corollaire 1.3 Si il existe un borélien de véri(cid:28)ant les propriétés (2) et (3),
µ
alors la dimension de satisfait :
dim (µ) ≥ a.
H
Z X 1 Λ∩Z
En e(cid:27)et, si est un borélien de de mesure , alors les points de satisfont
dim (Z) ≥ dim (Λ∩Z) ≥ a
H H
(2) et (3),
e qui entraîne .
Λ 1
L'ensemble sera en fait de mesure , et proviendra de la proposition sur les
B (ρ (x)) B′
bran
hes inverses. Nous prendrons pour x n les boules n introduites plus
haut : la dé
roissan
e lente de leur rayon nous assure que (2) est bien satisfaite.
La minoration dans (1) est alors
onséquen
e du
orollaire. Signalons que la borne
a = logdt µ
χk obtenue dans le théorème provient du fait que est de ja
obien
onstant
d
t
(
f se
tion 2.1).
Dans le
as holomorphe, le théorème 1.1 se reformule ainsi :
f Pk
Corollaire 1.4 Soit un endomorphisme holomorphe de de degré algébrique
d ≥ 2 µ f
. Alors la dimension de la mesure d'équilibre de véri(cid:28)e :
klogd 2Σ−klogd logd
≤ dim (µ) ≤ 2k − ≤ 2k −2+ .
H
χ χ χ
k k k
χ ≥ 1 logd
La dernière majorationprovient de l'inégalité 1 2 due à Briend-Duval [BD℄.
On retrouve alors l'estimation de Binder-DeMar
o établie pour les endomorphismes
f
d'originepolynomiale[BdM℄. Lorsque lesexposantsdeLyapounovsontminimaux,
1 logd
i.e. égaux à 2 , les inégalités
i-dessus deviennent des égalités, et seuls les ex-
emples de Lattès véri(cid:28)ent
ette propriété (
f [BDu℄, [D℄). Notons que notre résultat
reste valable pour les appli
ations à allure polynomiale dont la mesure d'équilibre
intègre les fon
tions psh [DS1℄. On obtient également
es estimations dans un
adre
3
réel. Par exemple, il est possible d'asso
ier à des revêtements rami(cid:28)és sur des var-
µ
iétés riemaniennes des (cid:16)mesures d'équilibre(cid:17) naturelles (
f [DS1℄ Ÿ2). Elles sont
d f µ
t
de ja
obien
onstant , et le ja
obien de est -intégrable (
f se
tion 2.1). Si les
µ
exposants de sont stri
tement positifs (
ette hypothèse est toujours satisfaite en
1
dimension ), on démontre de même la proposition 3.1 sur les bran
hes inverses et
µ
on en déduit un en
adrement analogue sur la dimension de .
L'arti
le s'organise de la manière suivante. La deuxième se
tion
onsiste en des
généralités : nous y pré
isons les notations, ainsi que la dé(cid:28)nition des fon
tions à
variation lente. La se
tion suivante est
onsa
rée à la proposition sur les bran
hes
inverses. Ladémonstrationduthéorème1.1o

upe(cid:28)nalementledernierparagraphe.
Remer
iements: Nousremer
ionslereferee poursale
tureattentive. Sesremarques
judi
ieuses nous ont aidé à améliorer la réda
tion de l'arti
le.
2 Généralités
2.1 Dé(cid:28)nitions et remarques
ω
Nous travaillons ave
la métrique induite par une forme de Kähler (cid:28)xée. Pour
simpli(cid:28)er les estimations, nous l'identi(cid:28)ons parfois dans les
artes ave
la métrique
u X
standard. Une fon
tion sur est quasi-plurisousharmon¯ique (quasi-psh) si elle
i∂∂u ≥ −cω c ≥ 0
est intégrable, semi-
ontinue supérieurement et véri(cid:28)e , où .
u
Autrement dit, lo
alement, est la somme d'une fon
tion psh et d'une fon
tion
lisse.
x ∈ X r > 0 B (r) x
x
Pourtout et , on note labouleouverte
entrée en etderayon
r A X diam(A)
. Le diamètre et le volume d'une partie de sont respe
tivement notés
vol(A) x ∈ X A dist(x,A)
et . La distan
e d'un point à une partie est notée . On
Lip(h) h : U → X
note aussi la
onstante de Lips
hitz d'une appli
ation dé(cid:28)nie sur
U X
un ouvert de .
X X Z := X × X π ,π
1 2 1 2 1 2
Soient et deux variétés
omplexes
ompa
tes, et
Z
les proje
tions de sur ses fa
teurs. Par dé(cid:28)nition, une appli
ation méromorphe
g : X → X Γ Z A
1 2
multivaluée est la donnée de sous-ensembles analytiques de et
X π−1(A) Γ
de 1 tels que 1 ne
ontient au
une
omposante de et tels que la restri
tion
π : Γ\π−1(A) → X \A d A
1 1 1
est un revêtement nonrami(cid:28)éde degré . En parti
ulier,
g x ∈ X π−1(x)∩Γ

ontient l'ensembled'indéterminationde (i.e. les points 1 telsque 1
Γ π−1(A)
1
est in(cid:28)ni) et les singularités de sont
ontenues dans . Au voisinage de tout
z ∈/ A g d
point , l'appli
ation est don
une
olle
tion de appli
ations holomorphes
g ,...,g
1 d
et on pose :
kdg(z)k := max kdg (z)k , d2g(z) := max d2g (z) .
i i
i∈{1,...,d} i∈{1,...,d}
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
4
A ⊂ X B ⊂ X g(A) := π (π−1(A)∩Γ) g−1(B) := π (π−1(B)∩Γ)
1 2 2 1 1 2
Pour et ,posons et .
Nous utiliserons le résultat suivant :
g : X → X g A
1 2 i
Lτe>m0mep2.∈1NS∗oient , xet∈ X
o\mAme
i-dessus. Il existe des
onstantes
1
et telles que pour tout , on a
kdg(x)k+ d2g(x) ≤ τ dist(x,A)−p
(cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13)
et
dist(g (x),g(A)) ≤ τ dist(x,A)1/p.
i
Γ
Démonstration : Véri(cid:28)ons que l'on peut supposer que est lisse. Posons à
A′ := π−1(A)

et e(cid:27)et 1 . D'après le théorème de désingularisation d'Hironaka [H℄,
Z Γ Z
il existe une variété
omplexe
ompa
te , une sous-variété lisse de et une
π : Z → Z π
appli
ation holomorphe telles qeue soit d'une part uneebije
tieon entre
Z \ π−1(A′) Z \ A′ Γ \ π−1(A′) Γ \ A′
et et d'eautre part une bije
tion entre et .
π ◦π : Γ → X g : X → Γ
Peuisque l'appli
ation 1 1 est holomorphe,son inveerse 1 est une
g g
appli
ationméromorphe muletivaluée. Ainsi, est la
omposée dee par l'apepli
ation
π ◦ π
2
holomorphe dont la di(cid:27)érentielle est uniformément bornéee. Don
, quitte à
g g Γ
rempla
er par , on peut supposer que est lisse.
(a,b) ∈ Γ M,N X ,X a b
1 2
Soient e et des
artes de
ontenant respe
tivement et .
(x ,...,x ) (y ,...,y ) a = 0 b = 0
1 k 1 l
On les munit de
oordonnées et telles que et .
U ⋐ M ×N (0,0) (x,y) ∈ Γ∩U B ⊂ M \A
Soit un voisinage de . Fixons et notons
x Γ π−1(B)∩Γ
la boule
entrée en de rayon maximal telle que la
omposante (x,y) de 1
(x,y) M × N g∗

ontenant soit in
luse dans . Soit l'appli
ation univalente dé(cid:28)nie
B Γ
(x,y)
sur de graphe .
g∗ x
Montrons la première inégalité. Nous allons estimer les dérivées de en en
g∗ N
utilisantlaformuledeCau
hy. Puisque estbornée(elleprendses valeursdans ),
B x τ′′dist(x,A)q
il suτ(cid:30)′′ t>d0e moqn∈treNr∗que
ontient une boule
entrée en Γ∩etMde×raNyon k,
où et . Observons que sur la variété lisse de dimension ,
dy
j
les formes holomorphes s'é
rivent de façon unique
omme
ombinaisons linéaires
dx
i
des formes à
oe(cid:30)
ients méromorphes. Ces
oe(cid:30)
ients sont en fait holomorphes
A′ Γ
Mhors dNe
arkdgy∗e(zst)klo≤
alτe′mdiesntt(zu,nAe)u−nqion de grapzhe∈s.BAinsiτ,′q>uit0te àqre∈stNre∗indre
et , on a pour tout , où et . On
en déduit, d'après l'inégalité des a

roissements (cid:28)nis, qu'il existe une boule
entrée
x τ′′dist(x,A)q B Γ∩M×N
en et de rayon
ontenue dans . On utilise i
i le fait que
M ×N π : Γ\A′ → X \A
1 1
est une sous-variété de et le fait que est un revêtement
non rami(cid:28)é. La première inégalité en dé
oule.
y := g∗(x)
Passons à la deuxième inégalité. En posant , il su(cid:30)t de montrer
dist(y,g(A)) . dist(x,A)1/p u v
. Soient et des fon
tions holomorphes ve
torielles
M N A = {u = 0} M g(A) = {v = 0} N
sur et telles que q ∈ Nda∗ns et dans . On dispose
des estimations suivantes, ave
:
dist(x,A)q . ku(x)k . dist(x,A),
(4)
5
dist(y,g(A))q . kv(y)k . dist(y,g(A)).
(5)
Les inégalités de gau
he sont
elles de Lojasiewi
z ([Lo℄, IV.7.2) et
elles de droite
proviennent de l'inégalité des a

roissements (cid:28)nis. Observons que l'ensemble an-
A := {z ∈ Γ ∩ M × N, u ◦ π (z) = 0} A := {z ∈
1 1 2
alytique est
ontenu dans
Γ∩M×N, v◦π (z) = 0} Γ∩M×N
2
. La variété étant lisse, on obtient les inégalités
suivantes de la même manière que (4) et (5) :
kv(y)k = kv ◦π (x,y)k . dist ((x,y),A )
2 Γ 2
≤ dist ((x,y),A ) . ku◦π (x,y)k1/q′ = ku(x)k1/q′.
Γ 1 1
2
Cela termine la démonstration
f : X → X
Dans toute la suite, désigne une appli
ationméromorphe dominante.
Cela signi(cid:28)e que son ja
obien (dé(cid:28)ni plus bas) n'est identiquement nul sur au
un
X f−1 : X → X
ouvert de . Notons que l'appli
ation est méromorphe et multival-
d f C I
t
uée. Soient le degré topologique de , son ensemble
ritique et son ensemble
J′ := f(C ∪I) J := J′ ∪f−1(J′)
d'indétermination. On pose et . Dans la se
tion
g = f g = f−1 A := I J′
3, nous appliquerons le lemme 2.1 à et ave
ou .
l ∈ {1,...,k} f∗ωl
Pour tout , on dé(cid:28)nit la forme
omme l'extension triviale de
(f )∗ωl I Jac(f) X
|X\I
à travers . Ave

ette
onvention, est la fon
tion positive sur
f∗ωk = Jac(f).ωk λ ,...,λ f
1 k
véri(cid:28)ant . Les degrés dynamiques de sont dé(cid:28)nis par
(
f [RS℄, [DS3℄) :
1/n
λ := lim fn∗ωl ∧ωk−l .
l
n→∞(cid:18)Z (cid:19)
X
d > λ µ := 1 fn∗ωk
Sous l'hypothèse t k−1, la suite de mesure n dnt
onverge vers une
µ
mesure de probabilité invariante ergodique véri(cid:28)ant (
f [RS℄, [G℄, [DS2℄) :
α X µ
( ) Les fon
tions quasi-psh sur sont -intégrables.
β µ d A X \ I f
t
( ) est de ja
obien
onstant : pour tout borélien de sur lequel
µ(f(A)) = d .µ(A)
t
est inje
tive, on a .
α log(dist(x,J)) µ
Lapropriété( )montrequelafon
tion est -intégrable. Ene(cid:27)et,
X X
elle est minorée par une fon
tion quasi-psh sur . C'est
lair si est une variété
X
proje
tive. Si est seulement kählérienne,
e
i résulte d'un résultat de Blan
hard
µ(J) = 0 f f−1
(
f[DS2℄, App. A.1). Ils'ensuit . D'après lelemme2.1appliquéà et ,
logkdf(x)±1k log(Jacf(x))
onpeutmajorerles valeursabsolues des fon
tions et par
c −c log(dist(x,J)) c c
1 2 1 2
une fon
tion du type , où et sont des
onstantes positives.
f−1
Par exemple, les deux inégalités dans le lemme 2.1 appliquées à donnent
df(x)−1 ≤ (df−1)(f(x)) . dist(f(x),J′)−p . dist(x,J)−q.
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
6
logkdf(x)±1k log(Jacf(x)) µ
Les fon
tions et sont don
-intégrableset les exposants
χ ≤ ··· ≤ χ µ
1 k
de Lyapounov de sont bien dé(cid:28)nis. On dispose de l'égalité :
2Σ := 2(χ +···+χ ) = logJac(f)dµ
1 k
Z
X
2Σ ≥ logd χ
t 1
et de l'inégalité (
f par exemple [DS1℄). Rappelons que les exposants
χ
k
et sont dé(cid:28)nis par :
1 1
−χ = lim log dfN(x)−1 dµ(x) = inf log dfN(x)−1 dµ(x)
1
N→+∞ N ZX (cid:13) (cid:13) N≥1nN ZX (cid:13) (cid:13) o
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
et
1 1
χ = lim log dfN(x) dµ(x) = inf log dfN(x) dµ(x) .
k
N→+∞ N ZX (cid:13) (cid:13) N≥1nN ZX (cid:13) (cid:13) o
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
f
Ces égalités nous permettent de rempla
er par une itérée dans la démonstration
fN dN µ
t
du théorème 1.1. En e(cid:27)et, le degré topologique de est et est aussi la
fN Nχ ,...,Nχ
1 k
mesure d'équilibre de , d'exposants . On peut don
supposer que
0 < ǫ < 1
0
pour (cid:28)xé, on a :
−χ ≤ log df(x)−1 dµ(x) ≤ −χ (1−ǫ )
1 1 0
Z (6)
X (cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13)
et
χ ≤ logkdf(x)kdµ(x) ≤ χ (1+ǫ ).
k k 0
Z (7)
X
2.2 Extension naturelle
(X,f,µ)
Il s'agit i
i de rendre inversible le système dynamique en
onsidérant son
10 4
extension naturelle (
f [CFS℄, Chap. , Ÿ ). Posons :
Z
X := xˆ := (xn)n∈Z, f(xn) = xn+1 ⊂ X
n o
b
π : xˆ 7→ x
0 0
mˆuni de la topologie produit. On note la proˆje
tion (cid:16)au temps zéro(cid:17), et
f X f ◦π = π ◦f
0 0
le dé
alage à gau
he sur de sorte quˆe . L'extension naturelle de
(X,f,µ) (X,f,µˆ) µˆ
est le système dynabmique , où est l'unique mesure de probabil-
X fˆ µˆ(π−1(A)) = µ(A) A X
ité sur , invariante par , véri(cid:28)ant b 0 pour tout borélien de .
µ
Cette mbesure est ergodique
ar est elle-même ergodique.
Observons que l'extension naturelle o(cid:27)re un
adre de travail
ommode pour
f xˆ ∈ X
dé(cid:28)nir les bran
hes inverses des itérés de . Pour tout , on note (lorsqu'elle
f−n fn x f−n(x ) =
existe) xˆ la bran
he inverse de dé(cid:28)nie au voisinage de b0, véri(cid:28)ant xˆ 0
x
−n
. Cependant, l'intérêt de l'extension naturelle ne s'arrête pas à
e formalisme.
µˆ
L'invarian
e de par le dé
alage et son inverse sont
ru
iales. Cela apparaît dans
7
fˆ fˆ−1
la preuve du lemme 2.3 (le théorème de Birkho(cid:27) est utilisé ave
et ) et de
manière
a
hée dans les démonstrations des inégalités du théorème 1.1.
ˆ
f
Nous terminons
ette se
tion en introduisant le borélien -invariant
X∗ := xˆ ∈ X, x ∈/ J , ∀n ∈ Z
n
n o
b b
J µ(J) =
où a été introduit à la se
tion 2.1. Cet ensemble est de mesure totale,
ar
0
. Signalons qu'on lui supprimera par la suite des ensembles de mesure nulle, sans
pour autant
hanger de notation.
2.3 Fon
tions à variation lente
La preuve du théorème 1.1 repose sur l'existen
e des bran
hes inverses le long
d'orbites négatives typiques. Il sera aussi né
essaire de pouvoir
omparer les familles
f−n p
de bran
hes inverses (cid:16) fˆp(x)(cid:17)n≥0 lorsque devient grand. On s'intéresse en parti-

ulier aux variations du rayon de la boule sur laquelle
elles-
i sont dé(cid:28)nies. Cela
nous amène à introduire la dé(cid:28)nition de fon
tion à variation lente, qui rejoint
elle
de fon
tion tempérée ([KH℄, Chap.S. Ÿ2) :
ǫ > 0 S : X → R∗ ǫ
Dé(cid:28)nition 2.2 Soit . Une fon
tion mesurable + est dite -lente si
S˜ : X → R∗
il existe une fon
tion mesurable 1 + véri(cid:28)ant : b
∀xˆ µˆ , ∀q ≥b1 , S(fˆq(xˆ)) ≥ e−qǫS˜ (xˆ).
1
-p.p.
S ǫ S˜ : X → R∗
est dite -rapide si il existe une fon
tion mesurable 2 + telle que :
∀xˆ µˆ , ∀q ≥ 1 , S(fˆq(xˆ)) ≤ eqǫS˜ b(xˆ).
2
-p.p.
ǫ
Observons quelesupremumetl'in(cid:28)mumd'unefamille(cid:28)niedefon
tions -rapides
ǫ ǫ ǫ
(resp. -lentesS˜) sont en
S˜ore des fon
tions -rapides]0(r,e1s]p. -len[t1e,s+).∞O[n peut aussi
1 2
supposer que (resp. ) prend ses valeurs dans (resp. ). Le lemme
qui suit repose sur le théorème de Birkho(cid:27).
ǫ > 0 u : X → R∗ logu ∈
+
Lemme 2.3 Soient et une fon
tion mesurable telle que
L1(µ) χ := logudµ
. Posons X .
R
ǫ V : X →]0,1] ǫ V : X →
1 2
(a) Il existe une fon
tion -lente , et une fon
tion -rapide
[1,+∞[
véri(cid:28)ant : b b
n
∀xˆ µˆ , ∀n ≥ 1 , V (xˆ)en(χ−ǫ) ≤ u(x ) ≤ V (xˆ)en(χ+ǫ).
1 −j 2
-p.p.
Yj=1
8
ǫ V : X →]0,1]
(b) Il existe une fon
tion -lente véri(cid:28)ant :
∀xˆ µˆ , ∀n b≥ 0 , u(x ) ≥ V(xˆ)e−nǫ.
−n
-p.p.
V
2
Démonstration : Montrons lapremière partie. Il su(cid:30)t d'établirl'existen
e de ,
V 1/u
1

ar
elle de s'en déduit en
onsidérant la fon
tion . Le théorème de Birkho(cid:27),
(X,fˆ,µˆ) (X,fˆ−1,µˆ) xˆ 7→ logu(x )
0
appliqué aux systèmes , et à la fon
tion , fournit :
b b
n n−1
1 1
∀xˆ µˆ , lim logu(x ) = lim logu(x ) = χ.
−j j
-p.p. n→+∞ n n→+∞ n
Xj=1 Xj=0
p : X → [1,+∞[
Il existe don
une fon
tion mesurable véri(cid:28)ant :
nb
∀xˆ µˆ , ∀n ≥ 1 , u(x ) ≤ p(xˆ)en(χ+ǫ/2),
−j
-p.p.
Yj=1
n
∀xˆ µˆ , ∀n ≥ 0 , p(xˆ)−1en(χ−ǫ/2) ≤ u(x ) ≤ p(xˆ)en(χ+ǫ/2).
j
-p.p. (8)
Yj=0
Posons
n
V′(xˆ) := sup u(x )e−n(χ+ǫ/2) V (xˆ) := max 1,V′(xˆ) .
2 −j et 2 2
n≥1nYj=1 o n o
V
2
Ces fon
tions sont bien (cid:28)nies presque partout. La fon
tion véri(cid:28)e l'inégalité
ǫ xˆ
voulue.pN:=oups(xˆm)oVntr:o=nsVm(xˆa)intτena:=nteχq±uǫ'/e2lle eπst :=-rapinde.u(Fxix)ons générique, et
posons , 2 2 , ± et n j=0 j . La ligne (8) s'é
rit
p−1τn ≤ π ≤ pτn q ≥ 1 Q
alors − n +. Ainsi, pour tout :
π τ−1 π τ1−q
V′(fˆq(xˆ)) ≤ sup q−1 + ,..., q−1 + ,π τ−q,π τ−qV
2 (cid:26) π π q−1 + q−1 + 2(cid:27)
q−2 0
p2τq−2
≤ sup + ,...,p2,pτ−1,pτ−1V
(cid:26) τq−2 + + 2(cid:27)
−
≤ sup p2e(q−2)ǫ,...,p2,pτ−1,pτ−1V
+ + 2
≤ p2eq(cid:8)ǫmax(1,τ−1)V (cid:9)
+ 2
p ≥ 1 V ≥ 1 V ǫ
2 2

ar et . Ce
i entraîne que est -rapide.
ǫ ǫ/2
Lepoint(b)estune
onséquen
e dupoint(a)enremplaçant par : l'inégal2ité
V(xˆ) := min{1,u(x ),eχV /V }
0 1 2
est satisfaite ave
la fon
tion .
9
2.4 Dimensions
Nous rappelons la dé(cid:28)nition de la dimension de Hausdor(cid:27) et
elle de la dimension
d'une mesure. On
onsultera par exemple les livres de Fal
oner ([F℄, Chap.2) et de
Λ X α ≥ 0 δ > 0
Pesin ([P℄, Chap.2). Soit une partie de . Pour tout et , on note :
Λ (Λ) := inf (diam U)α
α,δ
Gδ n X o
U∈Gδ
G Λ
δ
où par
ourt l'ensemble des re
ouvrements de par une famille (cid:28)nie ou dénom-
δ α
brabled'ouvertsdediamètreinférieurà . La -mesuredeHausdor(cid:27) etladimension
Λ
de Hausdor(cid:27) de sont alors dé(cid:28)nies par :
Λ (Λ) := lim ↑ Λ (Λ),
α α,δ
δ→0
dim (Λ) := inf α ≥ 0, Λ (Λ) = 0 = sup α ≥ 0, Λ (Λ) = +∞
H α α
n o n o
µ
et la dimension de est égale à :
dim (µ) := inf dim (Z), Z X, µ(Z) = 1 .
H H
borélien de
n o
µ
Celle-
i nous renseigne sur la manière dont remplit son support. Observons pour
terminer le fait élémentaire suivant. Nous l'utiliserons pour établir la majoration du
théorème 1.1.
Λ µ(Λ) > 0 dim (µ) ≤ dim (Λ)
H H
Lemme 2.4 Pour tout borélien véri(cid:28)ant , on a .
Démonstration : Introduisons l'ensemble
Z := z ∈ X ,∃n ∈ Z , fn(z)∩J =6 ∅
n o
J µ(J) = 0 µ
où a été dé(cid:28)ni à la se
tion 2.1. Puisque , l'invarian
e de entraîne
µ(Z) = 0 ∪n∈Zfn(Λ \ Z) 1 µ
. L'ensemble invariant est don
de mesure ,
ar est
ergodique. On en déduit :
dim (µ) ≤ dim fn(Λ\Z) = sup dim fn(Λ\Z) = dim (Λ\Z) ≤ dim (Λ)
H H H H H
(cid:16)n[∈Z (cid:17) n∈Z
où la première égalité est
lassique, tandis que la deuxième provient du
ara
tè2re
f
méromorphe de .
10