Dimension algebraischer Varietäten und numerische Methoden

225 Pages·2015·1.75 MB·German

by  Czekansky, Johannes

Dimension algebraischer Varietäten
und numerische Methoden
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
„Doktor der Naturwissenschaften“
(Dr. rer. nat.)
am Fachbereich
Mathematik und Informatik, Physik, Geographie
der Justus-Liebig-Universität Gießen
vorgelegt von
Dipl.-Math. Johannes Czekansky
Betreuer: Zweitgutachter:
Prof. Dr. Martin Buhmann Prof. Dr. Tomas Sauer
Lehrstuhl für Numerische Mathematik Lehrstuhl für Mathematik mit
Justus-Liebig-Universität Gießen Schwerpunkt Digitale Bildverarbeitung
Universität Passau
An dieser Stelle möchte ich einigen Personen für Ihre Hilfe in vielen Dingen danken.
Herr Prof. Dr. Tomas Sauer hat mich mit dem Thema approximative H-Basen ver-
traut gemacht und diese Arbeit weitgehend motiviert. Zahlreiche Besuche in Passau
ermöglichten aufschlussreiche Diskussionen und haben viele gute Hinweise geliefert.
Dafür gilt ihm mein besonderer Dank. Herrn Prof. Dr. Martin Buhmann danke ich
für die Betreuung dieser Arbeit und die Aufnahme in seine Arbeitsgruppe. Die ange-
nehme Atmosphäre und die gute Zusammenarbeit mit den Kollegen haben mir stets
optimale Arbeitsbedingungen geboten. Dabei möchte ich meinen Kommilitonen und
Kollegen Frank Lamping hervorheben, dem ich für zahllose wertvolle Diskussionen
danke.
Weiterhin danke ich meiner Familie für die großartige Unterstützung in den letzten
Jahren. Jeder von Euch hat seinen Anteil an dieser Arbeit – sei es unmittelbar durch
Korrekturlesen oder einfach nur als der notwendige Gegenpol zu meiner Arbeit, der
dafür sorgte, dass ich die Motivation nie verloren habe und stets den nötigen Abstand
hatte.
ii
Zusammenfassung
Als algebraische Varietäten bezeichnet man Mengen aller gemeinsamen Nullstellen
einer endlichen Menge von Polynomen. Die Polynome, die an allen Punkten einer
algebraischen Varietät exakt verschwinden, bilden ein Ideal, das sogenannte Ver-
schwindungsideal. Verschwindungsideale zeichnen sich damit durch eine Forderung
aus, die numerisch nicht haltbar ist. Daher wurde u. a. von Sauer eine numerische
Entsprechung, die approximativen Ideale eingeführt und ein Verfahren zur Kon-
struktion approximativer H-Basen angegeben. Diese Arbeit entwickelt den Ansatz
der approximativen H-Basis weiter, wobei Startwertabhängigkeiten sowie die Aus-
wirkung einer schrittweisen Interpolation untersucht werden. Dies führt zu neuen
Verfahren zur Konstruktion approximativer H-Basen, insbesondere bzgl. der ver-
wendeten Norm. Weiterhin werden neue Abschätzungen für Rechenoperationen auf
approximativenIdealenangegeben,dieaufgrundihrerapproximativenDefinitiondie
bekannten Abschlusseigenschaften eines Ideals nicht mehr erfüllen. Es werden Me-
thoden zur Bestimmung dünn besetzter H-Basen konstruiert und das approximative
Ideal-Membership-Problem besprochen. Als Anwendungsmöglichkeit wird die Gelen-
kerkennung in kinematischen Ketten vorgestellt. Zudem werden numerische Verglei-
che mit anderen Methoden, u. a. approximativen Randbasen, durchgeführt.
Abstract
Algebraic varieties are sets of common zeros of a finite set of polynomials. The poly-
nomials vanishing exactly at all points of an algebraic variety form an ideal, denoted
as vanishing ideal. By definition vanishing ideals are based on conditions that do
notholdinnumericalsituations.ThereforeSauerandothersintroducedapproximate
ideals andalsopresentedamethodforconstructingapproximate H-bases.Thisthesis
advances the approach of approximate H-bases and gives an analysis of dependency
ofinitialvaluesandstepwiseinterpolation.Thisyieldsnewmethodsforconstructing
approximate H-bases, especially in terms of the used norm. Moreover new estima-
tes for operations in approximate ideals are given because the closure conditions of
ideals do not hold in the approximate case. We also give methods for calculating
iii
sparse H-bases and discuss the approximate ideal-membership-problem. As an app-
lication we present a method for joint-detection in kinematic chains. Furthermore
we numerically compare approximate H-bases with other methods like approximate
border bases.
iv
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung und Motivation 1
1.1. Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Wichtige Resultate und Thesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Multivariate Polynome 7
2.1. Grundlagen und Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Speicherung von Koeffizientenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Auswertung von multivariaten Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Rechnen mit multivariaten Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1. Addition/Subtraktion von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2. Multiplikation von Polynomen mit Termen . . . . . . . . . . . 27
2.4.3. Multiplikation von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.4. Berechnung von Basen homogener Teilräume . . . . . . . . . . 37
2.4.5. Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Varietäten und Ideale 49
3.1. Ideale und Idealbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Darstellung von Idealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3. Varietäten und der Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4. Endlichkeit vs. Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
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4. Approximative Ideale 75
4.1. Approximative H-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1. Numerische Bestimmung einer approximativen H-Basis . . . . 78
4.1.2. Wahl der Toleranzschwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.3. Wahl des Startpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.4. Interpolation vs. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.5. Alternative Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2. Ringoperationen auf approximativen Idealen . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.1. Addition und Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.2. Multiplikation mit Monomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.3. Multiplikation mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3. Das approximative Ideal-Membership-Problem . . . . . . . . . . . . . 125
4.4. Dünn besetzte H-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5. Analyse von Daten aus kinematischen Systemen 137
5.1. Planare kinematische Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.1.1. Charakterisierende Gelenkbedingungen . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.2. Methoden zur Gelenkerkennung . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2. Kinematische Ketten im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.1. Drehgelenke mit fester Drehebene . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.2. Weitere Gelenktypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6. Weitere Anwendungen und numerische Ergebnisse 165
6.1. Fehlerbehaftete Messdaten aus einfachen geometrischen Strukturen . 166
6.2. H-Basen vs. Randbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3. Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4. Datensätze mit Ausreißern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7. Zusammenfassung und Ausblick 179
A. Funktionsübersicht 183
A.1. Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.2. Polynomoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.3. H-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
A.4. Approximative H-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
vi
A.5. Wichtige Hilfsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.6. Planare kinematische Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Symbolverzeichnis 197
Liste der Algorithmen 202
Abbildungsverzeichnis 203
Literaturverzeichnis 205
Stichwortverzeichnis 213
vii

1
Einleitung und Motivation
Inhalt
1.1. Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Wichtige Resultate und Thesen . . . . . . . . . . . . . . . 5
Die Untersuchung von algebraischen Varietäten ist ein Problem aus der klassischen
algebraischen Geometrie, vgl. [Grö49]. Dabei definiert der Begriff der Varietät ein
geometrisches Objekt, das sich durch polynomielle Gleichungen beschreiben lässt.
Ein einfaches Beispiel ist ein Kreis um den Ursprung in der Ebene, der durch die
quadratische Gleichung x2 +y2 −r2 = 0 gegeben ist.
In den Anfängen der algebraischen Geometrie wurden vor allem abstrakte Aussa-
gen über die Struktur von Varietäten getroffen. Durch den engen Zusammenhang
von Varietäten und Polynomidealen ermöglichte insbesondere die Entwicklung der
Gröbnerbasen durchBuchbergerimJahr1965(siehe[Buc65])dieKonstruktioneffizi-
enter Verfahren für den Umgang mit Varietäten. Dieser algorithmische Zugang führ-
te zu Begriffen wie Computational Algebraic Geometrie (D. Cox, J. Litte, D. O’Shea,
vgl. [CLO07]) oder Computational Commutative Algebra (M. Kreuzer, L. Robbiano,
vgl. [KR00]).
Gröbnerbasen sind mittlerweile in vielen Computeralgebrasystemen wie Singular
[DGPS14] oder CoCoA [CT14] verfügbar und werden durch die Symbolic Math
1
1. Einleitung und Motivation
Toolbox [TM14b] auch von Matlab [TM14a] unterstützt. Grundlage all dieser Im-
plementierungen ist jedoch eine Umgebung, die symbolisches Rechnen ermöglicht.
Durch die Einschränkung auf numerische Rechnung und endliche Rechengenauigkeit
könnenGröbnerbasenjedochinstabilwerden.DieshabenH.-M.MöllerundT. Sauer
in [MS00c] gezeigt. Eine numerisch stabile Alternative bieten H-Basen, teilweise
auchMacaulay-Basen genannt(vgl.[HKPP09]),diebereits1916vonF. S. Macaulay
in [Mac16] beschrieben wurden. Eine Implementierung von H-Basen sucht man
in den gängigen Computeralgebrasystemen allerdings vergeblich. Selbst die nach
Macaulay benannte Software Macaulay2 [GSE14] unterstützt nur Gröbnerbasen.
Alle Verfahren, die auf Gröbnerbasen oder H-Basen basieren, setzen exakte Daten
voraus,wohingegendienumerischeRechnunginderRegelaufnäherungsweisenbzw.
fehlerbehafteten Daten – bedingt durch Rundungsfehler, Messungenauigkeiten oder
Ähnliches – basiert. Um dies zu berücksichtigen, wurde das Konzept der approxima-
tiven Ideale von T. Sauer in [Sau07] bzw. der Almost Vanishing Ideals von D. Heldt,
M. Kreuzer, S. Pokutta und H. Poulisse in [HKPP09] eingeführt. Da bisher kei-
ne Umsetzung von H-Basen bzw. approximativen H-Basen in numerischer Software
existiert, besteht ein wesentlicher Teil dieser Arbeit in der Implementierung effizien-
ter Verfahren für die frei verfügbare Software GNU Octave [EBH08], deren Syntax
mit Matlab kompatibel ist.
Aus einer approximativen H-Basis des Ideals einer algebraischen Varietät können
dann Rückschlüsse auf deren geometrische Eigenschaften gezogen werden. Mit an-
derenWorten:Manuntersucht,obeineendlicheVarietätineinerUntermannigfaltig-
keit des d-dimensionalen Raumes liegt. Die Forderung der Endlichkeit der Varietät
beruht dabei auf der Endlichkeit des Speichers in Computersystemen. Für gemes-
sene oder abgetastete Werte ist dies ohnehin eine natürliche Bedingung. Allerdings
erfordern endliche Varietäten eine Unterscheidung zwischen trivialen Informationen
in der H-Basis, die lediglich die Endlichkeit der Punktmenge beschreiben, und den
Informationen, die auf geometrische Eigenschaften schließen lassen.
Alle Berechnungen werden dabei auf der algebraischen Seite der Varietät-Ideal Dua-
litätdurchgeführt.DieserforderteinerseitsdieÜbertragungwichtigerMethodenwie
die Lösung des Ideal Membership Problems auf approximative Ideale. Andererseits
muss das Verhalten von approximativen Idealen in numerischer Rechnung unter-
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