dificultades de aprendizaje del lenguaje algebraico

465 Pages·2008·3.85 MB·Spanish

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE EDUCACIÓN
Departamento de Didáctica y Organización Escolar

DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DEL LENGUAJE
ALGEBRAICO: DEL SÍMBOLO A LA FORMALIZACIÓN
ALGEBRAICA: APLICACIÓN A LA PRÁCTICA
DOCENTE

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR
PRESENTADA POR

Ana María Esquinas Sancho

Bajo la dirección del doctor
Félix E. González Jiménez

Madrid, 2009

• ISBN: 978-84-692-1068-0 ©Ana María Esquinas Sancho, 2008
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA Y ORGANIZACIÓN ESCOLAR
DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DEL LENGUAJE
ALGEBRAICO: DEL SÍMBOLO A LA FORMALIZACIÓN
ALGEBRAICA. APLICACIÓN A LA PRÁCTICA
DOCENTE.
MEMORIA DE TESIS DOCTORAL
Director: Félix E. González Jiménez
Ana Mª Esquinas Sancho
Junio de 2008

El presente trabajo de investigación ha sido el fruto de la labor de varios años de
práctica docente y de la observación de los comportamientos de los alumnos ante
ciertas situaciones educativas. Pero sobre todo es el resultado de una antigua ne-
cesidad de reflexión profunda acerca del álgebra y su didáctica. Por ello no puedo
másqueagradecer:
Al profesor Félix E. González, por su sabiduría y su enorme paciencia, sin cuyos
consejosestetrabajonohabríasiquieracomenzadoymuchomenosllegadoabuen
término.
Atodosaquellosqueconsusideasyaportacioneshancontribuidoalaelaboración
deestatesis,especialmenteaDemetrioEsquinas,SergioFernández,RafaelRopero,
Mª Ángeles Díez, Belén Delabat y Mercedes Fernández, su ayuda ha sido crucial
tantoenlosiniciosdelainvestigacióncomoenlacorreccióndelamisma.
AmiscompañerosyalumnosdelColegioPurezadeMaría,donderealizomilabor
educativa. Ellos han proporcionado la inspiración necesaria para este trabajo, así
comoelmaterialparalainvestigación.Graciasalasreligiosas,quemedierontodas
lasfacilidadesparaqueeltrabajodecamposellevaseacabo.
A mi familia y amigos, por sus continuos ánimos y su apoyo incondicional a lo
largo del tiempo que se ha extendido este trabajo. A Sergio, que ha padecido mi
ausenciaentantosmomentos.
Finalmente, a todos mis profesores de matemáticas, especialmente a mi padre, que
hicierondemíunaapasionadadeladidácticadeestaciencia.

A Sergio, por su paciencia y su
enorme cariño.
A mis padres y a Jav, mi
familia.

Índice general
I. Dificultades de aprendizaje del lenguaje algebraico 1
1. Justificación 3
2. La comunicación en la educación matemática 5
2.1. Unaaproximaciónalconceptodeconocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Ladidácticacomoprocesodecomunicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Importanciadelamatemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1. Evolucióndelpensamientomatemáticoalolargodelahistoria . . . . . 14
2.3.2. Lamatemáticaenlasociedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Ladidácticadelasmatemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1. Situacióngeneral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2. Investigacionesrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
a)EvaluacióndelaEducaciónSecundariaObligatoria(2000) . . . . . 35
b)EvaluacióndelaEducaciónPrimaria(2003) . . . . . . . . . . . . . 39
c)EstudioPISA2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.3. Didáctica en educación matemática: Las dificultades del conocimiento
matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.4. Lacomunicaciónentreelprofesoryelalumnoenlaeducaciónmatemática 65
3. Aprendizaje del lenguaje algebraico 79
3.1. ¿Quéeselálgebra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.1. Evoluciónhistóricadelálgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.2. Pensamientoaritméticoyalgebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.3. Abstracciónygeneralización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
I
Índicegeneral
3.2. Ellenguajealgebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.1. Signoysímbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.2. Elsímboloalgebraico:semánticaysintaxisenellenguajealgebraico . 111
3.2.3. Elvalordelasletras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.3. Aprendizajedelálgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.1. Elniñoantesdelálgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3.2. Procesodelapsicogénesisdelálgebra:pasodelaaritméticaalálgebra . 137
3.3.3. Laconstruccióndelsímboloalgebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.4. Dificultadesdelaenseñanza-aprendizajedellenguajealgebraico . . . . . . . . 147
3.4.1. Dificultadesdeaprendizajedellenguajealgebraico . . . . . . . . . . . 148
3.4.2. Algunoserroresconcretosenlamanipulacióndesímbolosalgebraicos . 153
3.4.3. Ladidácticadelálgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
II. Del símbolo a la formalización algebraica: una experiencia 167
4. Situación de la investigación 169
5. Planificación del trabajo de campo 173
5.1. Objetivosdeltrabajodecampo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2. Elaboracióndelcuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.1. Validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.2. Evaluacióndelosobjetivosatravésdelcuestionario . . . . . . . . . . 177
5.2.3. Análisisdelcuestionarioporpreguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6. Metodología de trabajo y análisis de resultados 203
6.1. Análisisdelosresultadosobtenidosencadapregunta . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2. Análisisglobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.2.1. Análisisdelacorrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.2.2. Análisisdelaformalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.2.3. Análisisconjuntodelacorrecciónylaformalización . . . . . . . . . . 304
a)Comparacióndelacorrecciónylaformalización . . . . . . . . . . . 304
b)Estudioestadísticodelarelaciónentrelacorrecciónylaformalización308
II
Índicegeneral
c)Pruebasdeindependenciayhomogeneidaddelacorrecciónylafor-
malización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.2.4. Comparaciónconlosresultadosacadémicos . . . . . . . . . . . . . . . 320
a)Comparacióndelosresultadosacadémicosconlacorrección . . . . 323
b) Pruebas de independencia y homogeneidad de la calificación y la
corrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
c)Comparacióndelosresultadosacadémicosconlaformalización . . . 333
d) Pruebas de independencia y homogeneidad de la calificación y la
formalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.2.5. Comparaciónconeltipodeenunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
a)Estudiodelarelaciónentreeltipodeenunciadoylacorrección . . . 343
b)Estudiodelarelaciónentreeltipodeenunciadoylaformalización . 349
7. Conclusiones 355
7.1. Conclusionesdelanálisisdelosresultadosobtenidosencadapregunta . . . . . 355
7.1.1. Porpreguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
7.1.2. Porobjetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.2. Conclusionesdelanálisisglobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.2.1. Conclusionesdelanálisisdelacorrecciónylaformalización . . . . . . 361
7.2.2. Conclusionesdelanálisiscomparativoconlosresultadosacadémicos . 362
7.2.3. Conclusionesdelanálisiscomparativoconeltipodeenunciado . . . . 363
7.2.4. Conclusionesdelanálisisglobalporobjetivos . . . . . . . . . . . . . . 364
7.3. Conclusionesgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
III. Aplicación a la práctica docente 371
8. Propuestas para la aplicación al proceso de comunicación didáctica: la
didáctica del lenguaje algebraico 373
Bibliografía 381
Anexos 401
III