Differenzierte Beurteilung mathematischer Kompetenzen durch Analyse von Schüleraktivitäten

403 Pages·2008·3.02 MB·German

by  Jana Risse

Differenzierte Beurteilung mathematischer Kompetenzen
durch Analyse von Schüleraktivitäten
beim Lösen mathematischer Aufgaben –
Entwicklung und Erprobung eines Konzeptes
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades Dr. rer. nat.
im Fach Didaktik der Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
der Humboldt-Universität zu Berlin
von
Jana Risse, geb. Wetzel
geb. am 03.12.1974 in Löbau
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin
Prof. Dr. Dr. h. c. Ch. Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Prof. Dr. W. Coy
Gutachter/Gutachterinnen:
1. Prof. Dr. R. Bruder
2. Prof. Dr. S. Blömeke
3. Prof. Dr. W. Schulz
Tag der Verteidigung: 20.02.2008

Zusammenfassung
Mit der vorliegenden Arbeit wurde ein Konzept zur differenzierten Beurteilung und Rück-
meldung mathematischer Kompetenzen entwickelt und exemplarisch erprobt. Damit liegt
ein Beurteilungskonzept vor, dass fachdidaktischen Anforderungen an einen kompe-
tenzorientierten Mathematikunterricht genügt aber auch alltagstauglich ist. Es erlaubt dem
Lehrer seinen Schülern ihre Stärken und Schwächen bei der Bearbeitung mathematischer
Aufgaben differenziert und konkret aufzuzeigen und Hinweise zum selbständigen Lernen
zu geben.
Die Differenzierung in die vier Kompetenzbereiche darstellend-interpretativ, heuristisch-
experimentell, formal-operativ und kritisch-argumentativ spiegelt fachdidaktische Zielset-
zungen an den Mathematikunterricht wider. Das mathematische Grundwissen bildet als
Grundlage der Ausprägung von Kompetenzen die fünfte Beurteilungskomponente.
Für den spezifischen Zweck der differenzierten Beurteilung wurde ein Aufgabenanalysein-
strument entwickelt. Dieses vereint Kriterien an Aufgaben zum Leisten, allgemeine Krite-
rien der Aufgabenqualität und Kriterien verbunden mit der Anregung vielseitiger
mathematischer Kompetenzen. Darüber hinaus werden kompetenzspezifische
Anforderungen beschrieben.
Die Beurteilung der bei der Aufgabenbearbeitung dargelegten Kompetenzen erfolgt durch
kompetenz- und aufgabenspezifische Beurteilungskriterien. Individuelle Rückmeldungs-
bögen enthalten für die erfassten Kompetenzen kriterienorientierte Beurteilungen und
lernfördernde Hinweise.
Bei der exemplarischen Erprobung des Konzeptes in drei mathematisch profilierten Klas-
sen zeigten sich unterschiedliche Leistungsverteilungen für die einzelnen Kompetenzberei-
che. Es wurden zum einen Stärken und Schwächen der Schüler deutlich. Zum anderen
zeigten aufgabenabhängige Unterschiede innerhalb der Kompetenzbereiche, dass die
Kompetenzdarlegungen von der Art der Aufgabe oder vom speziellen angesprochenen
Inhalt abhängen.
In einer weiteren Untersuchung wurden die mit einer Aufgabe intendierten Aktivitäten den
tatsächlich ausgeführten gegenübergestellt und aus der Umsetzung verschiedener Aufga-
ben Hinweise zur Aufgabengestaltung für die differenzierte Beurteilung im Mathematikun-
terricht abgeleitet.

Danksagung
Bei der Erstellung dieser Arbeit wurde ich von vielen Menschen unterstützt, denen ich an
dieser Stelle herzlich danke.
Mein besonderer Dank gilt meinem Betreuer Herrn Prof. Dr. Schulz für das in mich gesetz-
te Vertrauen bei der selbständigen Forschung auf einem stark diskutierten Gebiet, für die
beständige Unterstützung und auch für das persönliche Verständnis. Frau Prof. Dr. Bruder
danke ich für die vielen wertvollen Hinweise, die sie mir als Expertin auf dem Gebiet der
Förderung und Beurteilung mathematischer Kompetenzen geben konnte. Frau Prof. Blö-
meke danke ich für ihre nichtmathematikdidaktische Sicht auf meine Arbeit, die so manche
Selbstverständlichkeit in Frage stellte und damit zur Ausschärfung meiner Gedanken und
deren Darstellung beitrug. Viele Anregungen und Hinweise beider Gutachterinnen hoffe
ich bei meiner weiteren Arbeit auf dem Gebiet der differenzierten Beurteilung mathemati-
scher Kompetenzen umsetzen zu können.
Für Anregungen und konstruktive Kritik danke ich allen Mitarbeitern der Arbeitsgruppe
Mathematik und ihre Didaktik am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu
Berlin. Aus den Gesprächen mit meinen Kollegen konnte ich viel lernen, insbesondere
auch durch die praxisorientierte Perspektive der abgeordneten Lehrer.
Ich danke ebenso allen beteiligten Schülern und Lehrern, ohne die die schulpraktische
Erprobung des entwickelten Konzeptes nicht möglich gewesen wäre.
Mein besonderer Dank gilt meiner Familie für ihr Verständnis in der nicht ganz einfachen
Zeit während der Erstellung dieser Arbeit und vor allem meinem Mann für seine nicht
nachlassende Unterstützung und seinen aufmunternden Beistand.

Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
1 Schüleraktivitäten als Indikatoren mathematischer Kompetenzen 5
1.1 Lerntheoretische Bedeutung von Schüleraktivitäten 8
1.1.1 (Mathematik-)Lernen als aktive Wissenskonstruktion 8
1.1.2 Schüleraktivitäten im Beziehungsnetz des Unterrichts 10
1.2 Anforderungen an das Spektrum mathematischer Aktivitäten aus fachlicher,
fachdidaktischer und gesellschaftlicher Perspektive 15
1.2.1 Fachlich und fachdidaktisch bedeutsame Schüleraktivitäten 15
1.2.2 Gesellschaftlich und individuell bedeutsame Schüleraktivitäten 18
1.2.3 Schüleraktivitäten als Beiträge zu allgemeinen Lernzielen und zur Umsetzung
von Bildungsstandards 19
1.3 Systematisierung mathematischer Aktivitäten 21
1.3.1 Systematisierung nach Qualitäten mathematischen Arbeitens 21
1.3.2 Vergleich der gewählten Systematisierung mit Bereichen allgemeiner Lernziele
und den Kompetenzbereichen der Bildungsstandards 23
1.4 Aufgaben – Elemente der Organisation und Steuerung von Schüleraktivitäten 27
1.5 Analyse von Schüleraktivitäten als Grundlage der Beurteilung mathematischer
Kompetenzen 30
1.5.1 Grundlegende Aspekte von Leistungsbeurteilung 31
1.5.2 Anforderungen an die Weiterentwicklung von Leistungsbeurteilung 35
1.5.3 Alternative Beurteilungsformen 39
1.5.4 Leistungsbewertung und Aufgaben 44
1.6 Konzepte der differenzierten Beurteilung mathematischer Kompetenzen 53
1.6.1 Konzepte, Studien und Unterrichtserfahrungen zur kompetenzorientierten
Leistungsbeurteilung 53
1.6.2 Konzepte und Studien zur kompetenzorientierten Diagnose 57
1.6.3 Differenzierte Beurteilung mathematischer Kompetenzen im „Balanced
Assessment Program“ 59
2 Analyse und Konstruktion von Aufgaben zur differenzierten Beurteilung
mathematischer Aktivitäten 63
2.1 Objektive, realisierte und subjektive Anforderungen von Aufgaben 64
2.2 Ein System zur Analyse von Aufgaben für die differenzierte Beurteilung
mathematischer Kompetenzen 69
2.2.1 Bedingungen an Aufgaben zur differenzierten Beurteilung mathematischer
Kompetenzen 69
2.2.2 Komplexitätsbeschreibende Merkmale von Aufgaben zur differenzierten
Beurteilung mathematischer Kompetenzen 84
2.2.3 Überblick über das entwickelte Modell der Analyse und Beschreibung von
Aufgaben zur differenzierten Beurteilung mathematischer Kompetenzen 105
2.3 Entwicklung von Aufgaben zur differenzierten Beurteilung mathematischer
Kompetenzen 106
2.3.1 Angebot an Aufgaben 106
2.3.2 Exemplarische Analyse und Modifikation einer Lehrbuchaufgabe 109
2.3.3 Exemplarische kriteriengeleitete Entwicklung einer Aufgabe 115
3 Ein Konzept zur differenzierten Beurteilung und Rückmeldung mathematischer
Kompetenzen 119
3.1 Abgrenzung des Beurteilungsgegenstandes 119
3.1.1 Abgrenzung des Kompetenzbereiches 120
3.1.2 Begrenzung auf Individualleistungen 121
3.1.3 Erfassen aufgabenspezifischer Leistungen 124
3.1.4 Begrenzung auf schriftliche Bearbeitungen 125
3.2 Leistungserfassung anhand kompetenz- und aufgabenspezifischer
Beurteilungskriterien 127
3.2.1 Aktivitätenbezogene Analyse der Schülerarbeiten 128
3.2.2 Kompetenz- und aufgabenspezifische Beurteilungskriterien 129
3.3 Rückmeldung anhand differenzierter Rückmeldungsbögen 142
3.4 Dokumentation der Leistungsentwicklung 146
3.5 Reflexion des erstellten Konzeptes anhand der Kriterien einer kompetenzorientierten
Leistungsbeurteilung 149
4 Exemplarische Erprobung des Konzeptes der differenzierten Beurteilung
mathematischer Kompetenzen 153
4.1 Kontinuierliches differenziertes Erfassen mathematischer Kompetenzen 154
4.1.1 Rahmenbedingungen 155
4.1.2 Erfassen und Rückmelden der mathematischen Kompetenzen 157
4.1.3 Schülerleistungen in unterschiedlichen Kompetenzbereichen 160
4.1.4 Exemplarische Darstellung einer Leistungsentwicklung 166
4.1.5 Unterschiede in Kompetenzprofilen 168
4.1.6 Akzeptanz der differenzierten Leistungsbeurteilung durch die Schüler 169
4.1.7 Ergebnisse zur Unterrichtsqualität 173
4.1.8 Methodische Erfahrungen sowie Vor- und Nachteile der kontinuierlichen
differenzierten Dokumentation der Kompetenzentwicklung von Schülern 176
4.2 Differenzierte Beurteilung mathematischer Kompetenzen anhand exemplarischer
Aufgaben 178
4.2.1 Rahmenbedingungen 178
4.2.2 Erfassen mathematischer Kompetenzen durch exemplarische Aufgaben 180
4.2.3 Exemplarische Beurteilung von Schülerarbeiten zur Aufgabe Parabelschar 185
4.2.4 Schülerleistungen in unterschiedlichen Kompetenzbereichen 196
4.2.5 Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Kompetenzprofilen 198
4.2.6 Rückmeldungen der Schüler zur aufgabenbezogenen differenzierten
Leistungsbeurteilung 200
4.2.7 Vor- und Nachteile der aufgabenbezogenen differenzierten Beurteilung
mathematischer Kompetenzen 203
4.2.8 Übertragung der differenzierten aufgabenbezogenen Beurteilung
mathematischer Kompetenzen in die Klassenstufe 12 204
5. Objektive Anforderungen und individuelle Umsetzung mathematischer Aufgaben
207
5.1 Qualitative, aktivitätenbezogene Analyse von Schülerarbeiten 208
5.1.1 Begründung der Einbeziehung qualitativer Forschungsmethoden 209
5.1.2 Erschließen der ausgeführten Aktivitäten durch offenes Codieren 212
5.1.3 Analyse der aufgedeckten Schüleraktivitäten 213
5.1.4 Aufdecken typischer Lösungswege 215
5.2 Rahmenbedingungen der Fallstudie 215
5.3 Analyse der Aufgabe Extrema einer Funktion mit Parameter 216
5.3.1 Analyse der Aufgabe nach den Kriterien an Aufgaben zur differenzierten
Beurteilung mathematischer Kompetenzen 217
5.3.2 Analyse der umgesetzten Schüleraktivitäten 221
5.3.3 Ausgeführte Schüleraktivitäten und objektive Aufgabenparameter 222
5.4 Analyse der Aufgabe Beweis zum Thema Kurvendiskussion 224
5.4.1 Analyse der Aufgabe nach den Kriterien an Aufgaben zur differenzierten
Beurteilung mathematischer Kompetenzen 225
5.4.2 Intendierte Schüleraktivitäten 229
5.4.3 Vergleich unterschiedlicher Lösungswege 230
5.4.4 Ausgeführte Schüleraktivitäten und objektive Aufgabenparameter 237
5.5 Zusammenfassung der Ergebnisse aus den Analysen der Schülerarbeiten 240
5.5.1 Verhältnis zwischen ausgeführten und intendierten Schüleraktivitäten 241
5.5.2 Umsetzung unterschiedlicher Aktivitätsbereiche und Zusammenhang zu
Aufgabenmerkmalen 243
6 Zusammenfassung, Reflexion und Ausblick 251
6.1 Reflexion des Systems zur Analyse und Beschreibung von Aufgaben zur
differenzierten Beurteilung mathematischer Kompetenzen 252
6.2 Reflexion des Konzeptes der differenzierten Beurteilung und Rückmeldung
mathematischer Kompetenzen 259
6.3 Anregungen zur Umsetzung im Unterricht 264
Literaturverzeichnis 267
Anhang 1 Ergänzende Materialien zu den in Kapitel 4 beschriebenen
schulpraktischen Untersuchungen 285
Anhang 1.1 Kompetenzniveaus in Abhängigkeit vom Stoffgebiet und vom
Kompetenzbereich (zu Abschnitt 4.1.3) 285
Anhang 1.2 Vergleich individueller Kompetenzniveaus (zu Abschnitt 4.1.4) 287