Differentiell-algebraische Gleichungen vom Index 1

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Differentiell-algebraische Gleichungen vom Index 1
Beispiel: Das unged¨ampfte mathematische Pendel (der L¨ange 1 und der Masse 1)
wird unter Verwendung des Auslenkwinkels ϕ bekanntlich beschrieben durch die
gew¨ohnliche Differentialgleichung
′′
ϕ = −g sin ϕ.
Verwendet man Euklidische Koordinaten (y , y ) der Endmasse, so liefert das New-
1 2
tonsche Gesetz die Bewegungsgleichungen
′′
y = −zy
1 1
(1)
′′
y = −zy − g
2 2
¾
mit einem Lagrangeschen Parameter z(t). Zus¨atzlich muss die Nebenbedingung
2 2
y + y = 1 (2)
1 2
2
erfu¨llt sein.
DAE vom Index 1 -1-
Bei der Simulation des dynamischen Verhaltens von Mehrk¨orpersystemen
oder elektrischen Schaltkreisen treten h¨aufig Systeme auf, die aus Dif-
ferentialgleichungen und aus algebraischen Gleichungen bestehen. In
diesem Fall spricht man von differentiell-algebraischen Systemen oder
kurz DAE.
Man hat dann das Differentialgleichungssystem auf der Mannigfaltigkeit
zu l¨osen, die durch die algebraischen Gleichungen gegeben it. Klar ist,
dass dies nur m¨oglich ist, wenn der Anfangspunkt auf der Mannigfaltig-
keit liegt. Einen solchen Anfangsvektor nennt man konsistent.
Die Theorie der differentiell-algebraischen Gleichungen ist wesentlich
schwieriger als die der gew¨ohnlichen Differentialgleichungen und ist
Gegenstand aktiver Forschung. Einen Eindruck von der Theorie erh¨alt
man in den Bu¨chern von Ascher, Petzold oder Hairer, Wanner, ei-
ne ausfu¨hrliche Darstellung in Griepentrog, M¨arz oder Hairer, Lubich,
Roche.
DAE vom Index 1 -2-
Die allgemeinste Form eines (autonomen) DAE Systems ist
′ 0
F (u, u ) = . (3)
Dass wir ein von der unabh¨angigen Variable unabh¨angiges System betrachten, bedeutet
wieder keine Einschr¨ankung, denn wir k¨onnen auch hier den allgemeinen Fall durch
′
eine zus¨atzliche Gleichung x = 1 auf den autonomen Fall zuru¨ckfu¨hren.
Ist
∂
′
F (u, u )
′
∂u
eine regul¨are Matrix, so kann man nach dem Satz u¨ber implizite Funktionen die
′ 0 ′
Gleichung F (u, u ) = nach u au߬osen, d.h. es gibt eine Funktion f mit
F (u, u′) = 0 ⇐⇒ u′ = f(u),
und das DAE System ist tats¨achlich ein gew¨ohnliches Differentialgleichungssytem in
impliziter Form.
DAE vom Index 1 -3-
Ist
∂
′
F (u, u )
′
∂u
′
singul¨ar, so ist die Aufl¨osung nach u nicht (notwendig) m¨oglich. H¨aufig kann man
aber durch weiteres Differenzieren des DAE Systems nach der unabh¨angigen Variable
ein gew¨ohnliches Differentialgleichungssystem fu¨r u aufstellen.
Definition
Das differentiell-algebraische System
′ 0
F (u , u) =
besitzt den Index m, wenn m ∈ IN die minimale Zahl von Differentiationen ist, so dass
das System
d dm
′ 0 ′ 0 ′ 0
F (u, u ) = , F (u, u ) = , . . . , F (u, u ) =
dx dxm
aufgel¨ost werden kann in ein Differentialgleichungssystem
′ Φ
u = (u).
DAE vom Index 1 -4-
Beispiel
Ein gew¨ohnliches Differentialgleichungssystem
′
y = f(y)
hat als DAE den Index 0.
DAE vom Index 1 -5-
Beispiel
Fu¨r das semi-explizite System differentiell-algebraischer Gleichungen
′
y = f(y, z)
0
= g(y, z)
setzen wir voraus, dass
∂
g(y, z)
∂z
regul¨ar ist. Wir differenzieren die zweite Gleichung:
∂ ∂
′ ′ 0
g(y, z)y + g(y, z)z = ,
∂y ∂z
und erhalten als Differentialgleichung fu¨r z
∂ ∂
′ −1
z = − g(y, z) g(y, z)f(y, z).
∂z ∂y
Das semi-explizite System hat also den Index 1.
DAE vom Index 1 -6-
Beispiel
Wir betrachten das semi-explizite System
′
y = f(y, z)
0
= g(y)
Die erste Differentiation liefert
∂ ∂
′
0
= g(y)y = g(y)f(y, z).
∂y ∂y
Die L¨osung liegt also nicht nur auf der Mannigfaltigkeit, die durch
0
= g(y) definiert ist, sondern (versteckt) auch auf der durch
∂
0
= g(y)f(y, z)
∂y
definierten.
DAE vom Index 1 -7-
Erneutes Differenzieren liefert
2
∂ g ∂g ∂f ∂g ∂f
′
0
(f, f) + f + z = .
∂y2 ∂y ∂y ∂y ∂z
g f
∂ ∂
Ist die Matrix regul¨ar, so erh¨alt man hieraus
y z
∂ ∂
∂g ∂f −1 ∂2g ∂g ∂f
′
z = − (f, f) + f ,
∂y ∂z ∂y2 ∂y ∂y
³ ´ ³ ´
und das System besitzt den Index 2.
DAE vom Index 1 -8-
Beispiel
Das Pendelproblem in kartesischen Koordinaten besitz den Index 3, denn
als System 1. Ordnung hat es die Gestalt
′
y = y
1 2
′
y = −y y
2 5 1 
′
y = y ;  (4)
3 4 

′ 
y = −y y − g 
4 5 3 
0 = y2 + y2 − 1;
1 3





Differenzieren der letzten Gleichung liefert

′ ′
0 = 2y y + 2y y ,
1 1 3 3
d.h. unter Benutzung der 1. und 3. Gleichung des Systems (4)
0 = y y + y y . (5)
1 2 3 4
DAE vom Index 1 -9-
Durch erneutes Differenzieren erh¨alt man
′ ′ ′ ′ 2 2 2 2
0 = y y + y y + y y + y y = y − y y + y − y y − gy ,
1 2 1 2 3 4 3 4 2 5 1 4 5 3 3
und hieraus folgt mit der dritten Differentiation
′ ′ 2 ′ ′ ′ 2 ′ ′
0 = 2y y − y y − 2y y y + 2y y − y y − 2y y y − gy ,
2 2 5 1 5 1 1 4 4 5 3 5 3 3 3
d.h. unter Benutzung von (4) und (5)
′ 2 2 ′
0 = −y (y + y ) − 4y y y − 4y y y − 3gy = −y − 3gy .
5 1 3 5 1 2 5 3 4 4 5 4
DAE vom Index 1 -10-