Differentialgleichungen und ihre Anwendungen

608 Pages·1991·30.335 MB·German

by  Martin Braun (auth.)

Springer-Lehrbuch
Martin Braun
Differentialg leich un gen
und ihre
Anwendungen
Obersetzt aus dem Englischen
von T. Tremmel
Zweite Auflage
Mit 65 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Budapest
Martin Braun
Department of Mathematics, Queens College
Flushing, N.Y. 11367/USA
2. Auflage
Die erste Auflage erschien in der Hochschultext-Reihe
AMS Subject Classification (1970): 98A20, 98A35, 34-01
Titel der englischsprachigen Originalausgabe:
Differential Equations and Their Applications, 3rd edition
1983 [Applied Mathematical Sciences, Vol. 15]. New York,
Heidelberg, Berlin: Springer. ISBN-13: 978-3-540-54199-8
ISBN-13: 978-3-540-54199-8 e-ISBN-13: 978-3-642-97341-3
001: 10.1007/978-3-642-97341-3
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Braun, Martin:
Differentialgleichungen und ihre Anwendungen 1 Martin
Braun. Obers. aus dem Engl. von T. Tremmel. - 2. Aufl.
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo;
Hong Kong; Barcelona; Budapest: Springer, 1991
(Springer-Lehrbuch)
Engl. Ausg. u.d.T.: Braun, Martin: Differential equations and their
applications
ISBN-13: 978-3-540-54199-8
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Vier sehr lieben Menschen gewidmet:
Zelda Lee
Adeena Rachelle, I. Nasanayl und Shulamit
Vorwort
Das vorliegende Buch behandelt die Theorie der gew6hnlichen Differen
tialgleichungen und ihre vielfaltigen Anwendungen auf probleme aus
den unterschiedlichsten Bereichen des menschlichen Lebens. Folgende
Anwendungen werden ausfuhrlich behandelt:
1. Der Nachweis, daB es sich bei dem von der belgischen Rembrandtge
sellschaft fur $170 000,- gekauften Gemalde "Christus und die Junger
in Emmaus" urn eine moderne Falschung handelt.
2. Modelle fur Populationswachstum, wobei das wirkliche Wachstum der
verschiedenen Spezies mit den theoretischen Werten des Modells ver
glichen wird.
3. Der UbernahmeprozeB von technologischen Innovationen in Landwirt
schaft und Industrie mit konkreten Werten aus verschiedenen Indu
striezweigen.
4. Das Lagern von Atommull auf dem Meeresboden und die damit verbun
denen (sehr erheblichen) Risiken.
5. Ein Modell fur das Blutzuckerregulationssystem, aus dem sich ein
Kriterium fUr die Diagnose von Diabetes ergibt.
6. Kriegstheorien und Stabilitatsprobleme im Rustungswettlauf. Kon
krete Anwendung auf die Schlacht von Iwo Jima im zweiten Weltkrieg.
7. Der ungew6hnliche populationszuwachs von Raubfischen im Mittelmeer
wahrend des ersten Weltkriegs und die daraus folgenden Ergebnisse fur
die Verwendung von Insektiziden.
8. Das Ausleseprinzip in der Biologie.
9. Der Schwellensatz in der Epidemiologie.
10. Die Ausbreitungsgesetze fur Gonorrhoe.
Neben diesen vielfaltigen Anwendungsbeispielen gibt das Buch eine
solide, theoretisch fundierte Einfuhrung in die Theorie der gew6hn
lichen Differentialgleichungen, die sich nicht nur an Hathematiker,
VIII
sondern auch an Studierende der Anwendungsgebiete wendet. Einen be
sonderen Platz nehmen dabei numerische Uberlegupgen ein, die bereits
im ersten Kapitel angestellt werden und besonders wichtig in Fallen
sind, die eine explizite Losung nicht zulassen. Zahlreiche Computer
programme (mit Erlauterungen) unterstreichen die Wichtigkeit dieser
Seite der Theorie.
New York City
Juli 1976 Martin Braun
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Differentialgleichungen erster Ordnung
1 .1 Einfiihrung ............................................ .
1.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ......... 2
1.3 Die Kunstf~lschungen des Van Meegeren .................. 12
1.4 Differentialgleichungen mit getrennten Veranderlichen .. 25
1 .5 Populationsmodelle ..................................... 33
1.6 Die Ausbreitung technologischer Innovationen ........... 45
1.7 Ein Problem der Atommiillbesei tigung .................... 53
1.8 Die Dynamik des Tumorwachstums; Mischungsprobleme und
orthogonale Trajektorien ............................... 61
1.9 Exakte Differentialgleichungen; der Grund der Unlos-
barkeit vieler Gleichungen ............................. 67
1.10 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz; Picard-Iteration. 77
1.11 Iterationsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.11.1 Die Newtonsche Methode ................................. 99
1. 12 Differenzengleichungen; Kredit und Zins ................ 104
1. 13 Numerische Approximationen; die Eulersche Methode .... ... 109
1. 13.1 Fehlerabsch~tzung fUr die Eulersche Hethode ............ 114
1 .14 Die drei-Term-Taylorreihen-Methode ..................... 122
1. 15 Eine verbesserte Euler-Methode ......................... 125
1.16 Das Verfahren von Runge-Kutta .......................... 129
1.17 Einige Bemerkungen iiber die praktische Berechnung von
N~herungslosungen ...................................... 132
Kapitel 2. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
2.1 Algebraische Eigenschaften von Losungen ................ 144
2.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffi-
zienten 157
2.2.1 Komplexe Wurzeln ....................................... 160
2.2.2 Doppelwurzeln; Reduktion der Ordnung ................... 166
x
2.3 Die inhomogene Gleichung 172
2.4 Variation der Konstanten 175
2.5 Die Methode des gezielten Abschatzens ................... 180
2.6 Mechanische Schwingungen ................................ 189
2.6.1 Das Brlickenungllick von Tacoma ........................... 199
2.6.2 Elektrische Netzwerke ................................... 203
2.7 Ein Modell zur Erkennung von Diabetes ................... 206
2.8 Reihenlosungen .......................................... 216
2.8.1 Singulare Punkte; die Methode von Frobenius ............. 231
2.9 Die Laplacetransformation .............................•. 240
2.10 Einige nlitzliche Eigenschaften der Laplacetransformation 250
2.11 Differentialgleichungen mit Unstetigkeitsstellen auf
der rechten Seite ...........•..•........................ 256
2.12 Die Diracsche Deltafunktion ............................. 262
2.13 Das Faltungsintegral .............••..................... 272
2.14 Die Eliminationsmethode flir Systeme ....•................ 278
2.15 Einige Bemerkungen tiber Differentialgleichungen hoherer
Ordnung .................•............................... 281
Kapitel 3. Systeme von Differentialgleichungen
3. 1 Algebraische Eigenschaften von Losungen linearer Systeme 287
3.2 Vektorraume ............................................. 297
3.3 Dimension eines Vektorraurns ...................•.•....... 304
3.4 Anwendung der linearen Algebra auf Differential-
gleichungen ............................................. 315
3.5 Determinantentheorie ........•........................... 322
3.6 Losungen von linearen Gleichungssystemen ................ 336
3.7 Lineare Abbildungen ......•.............................. 347
3.8 Bestirnrnung von Losungen mit Hilfe von Eigenwerten und
Eigenvektoren ........................................... 360
3.9 Komplexe Wurzeln ........................................ 368
3.10 Mehrfache Wurzeln ...•................................... 372
3. 11 Fundamentale Matrixlosungen; eAt ........................ 382
3.12 Die inhomogene Gleichung; Variation der Konstanten 387
3.13 Losung von Differentialgleichungssystemen mittels
Laplacetr::msformation ................................... 395
XI
Kapitel 4. Qualitative Theorie der Differentialgleichungen
4.1 Ein!':uhrung .............................................. 398
4.2 Stab~litat von linearen Systemen ........................ 404
4.3 Stabil~tat von Gleichgewichtslosungen ................... 412
4 . 4 Die Phas€:~ebene ......................................... 421
4.5 Mathematisc!<e Kriegstheorien ........................... 426
4.5.1 Die Konfliktth~orie von L.F. Richardson ................. 426
4.5.2 Die Schlachtmodel~e von F.W. Lanchester; die Schlacht
von Iwo Jima ........ . .................................. 434
4.6 Qualitative Eigenschaften von Bahnen .................... 445
4.7 Phasenportraits linearer Systeme ........................ 451
4.8 Langzeitverhalten von Losungen; der Satz von Poincare-
Bendixson ............................................... 462
4.9 Rauber-Opfer-Probleme; warum es wahrend des ersten Welt
kriegs prozentual zu einem dramatischen Anstieg des Hai-
fischfangs im Mittelmeer kam ............................ 473
4.10 Das prinzip der Auslese durch Wettbewerb in der Popula-
tionsbiologie ........................................... 483
4.11 Der Schwellensatz der Epidemiologie ..................... 492
4.12 Ein Modell fur die Ausbreitung der Gonorrhoe ............ 500
Kapitel 5. Separation der Variablen und Fourierreihen
5.1 Zwei-Punkt-Randwertprobleme ............................. 513
5.2 Einfuhrung in die Theorie der partie lIen Differential-
gleichungen ............................................. 518
5.3 Die Warmegleichung; Separation der Variablen ............ 521
5.4 Fourierreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 526
5.5 Gerade und ungerade Funktionen .......................... 533
5.6 Die Warmegleichung (Fortsetzung) ........................ 539
5.7 Die Wellengleichung ..................................... 545
5.8 Die Laplacesche Gleichung ............................... 551
Anhang A
Einfache Definitionen und Satze aus der Theorie der Funktionen
mehrerer Veranderlicher ........................................ 557
Anhang B
Folgen und Reihen .............................................. 559
XII
Anhang C
Einfiihrung in APL .•.•••••.•.•..•.•..••......•....•.•..•••...•.• 561
~6sungen zu ungeradzahligen Aufgaben •.•....•..•.••...•.....•... 572
Namen- und Sachverzeichnis ...•...••.•.•..•.•..........•..•.•••• 592