Differentialgeometrie II

155 Pages·2003·0.97 MB·German

Differentialgeometrie II
Manuskript der Vorlesung
Sommersemester 2001
Oswald Riemenschneider
Hamburg, 2002
Stand: 26. 8. 2002
Adresse des Autors:
Professor Dr. Oswald Riemenschneider
Mathematisches Seminar
Schwerpunkt Analysis und Differentialgeometrie
Bundesstraße 55
D-20149 Hamburg
e-mail: [email protected]
Diese Prosa ist nicht als ein Versuch zu werten, irgendwelche Geschichten zu erz¨ahlen, sondern als ein
notwendiger Versuch, mit sich selbst etwas auszufechten, oder, wie ich vielleicht besser, nachtr¨aglich,
sage, einen Kampf zu fu¨hren, der nur dann einen Sinn haben kann, wenn man ihn verlor.
(Friedrich Du¨rrenmatt: Nachwort zum Sammelband Die Stadt, Zu¨rich 1952).
Vorwort
Es handelt sich bei dem vorliegenden Text um eine mit Erga¨nzungen versehene Ausarbeitung des
zweiten Teils meines zweisemestrigen Kurses u¨ber Differentialgeometrie, den ich in a¨hnlicher Form
schon vom Wintersemester 1995 bis Sommersemester 1996 im Anschluß an meine Lehrveranstaltung
Mathematik fu¨r Physiker I bis IV angeboten hatte. Meiner nachlassenden Spannkraft Tribut zollend,
bin ich diesmal allerdings etwas langsamer vorangekommen und konnte deshalb einige Kapitel aus
dem fru¨heren Durchlauf nicht mehr pr¨asentieren; sie wurden in das Manuskript als Kapitel 13 bis 15
eingefu¨gt.
AlsVoraussetzungensolltendieTeilnehmer/innen(unddamitauchdieLeserinundderLeserdieser
Seiten)mathematischeGrundlagenimUmfangderAnf¨angervorlesungenAnalysis I bisIII undLineare
Algebra und Analytische Geometrie I, II mitbringen. Unter dieser Annahme mu¨ßte das hier pr¨asen-
tierte Material auch ohne Kenntnis des ersten Teiles meines Kurses zu verstehen sein; allerdings diente
meine Vorlesung Differentialgeometrie I (auch) dazu, am konkreten Beispiel von Kurven und Hyper-
fla¨chen im euklidischen Raum En einige zentrale Begriffe der Differentialgeometrie, wie z. B. den der
Kru¨mmung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten, unter Einbeziehung von zahlreichen Abbildungen
anschaulich faßbar einzufu¨hren. Ich bedauere, daß ich aus Zeitgru¨nden bisher nicht dazu gekommen
bin,eineAusarbeitungdeserstenTeilesderVorlesungvorzulegen.OhneKenntnisdiesesMaterialswird
der hier dargebotene Stoff auf jeden Fall ¨außerst abstrakt anmuten; der große Grad von Abstraktion
spiegeltsichinsbesonderewiderimweitestgehendenFehlenvonIllustrationen.Dennochsolltediesalles
fu¨rerfahreneStudierendederMathematikund/oderPhysikkeinechtesHinderniszueinererfolgreichen
Rezeptionsein,zumalsiesichz.B.mitdenBu¨chern[4]und[15](siehedieLiteraturlisteaufdenSeiten
iii und iv) im Prinzip die erforderlichen Grundkenntnisse auch anderweitig aneignen k¨onnen.
Die Auswahl des Stoffes fu¨r das vorliegende Manuskript ist selbstverst¨andlich nicht kanonisch - der
eine oder andere Leser wird in einigen Teilen der Vorlesung sogar keine echte Differentialgeometrie er-
kennen (und wu¨rde darin auch meine Zustimmung finden). Ein besserer Titel w¨are vielleicht Analysis
undTensorkalku¨laufdifferenzierbarenMannigfaltigkeiten.DieeinzigeRechtfertigungfu¨rdenInhaltder
vorliegenden Noten ist, neben meiner nur ,,selektiven“ Kompetenz auf diesem Gebiet, der mir anver-
traute inhomogene Zuh¨orerkreis von (wenigen) Mathematikern und (vorwiegend) Physikern, weshalb
ichmichimZweifelsfallefu¨rdieStudierendender(Mathematischen) Physik,genauer:fu¨rderenBedu¨rf-
nisse entschieden habe. Es sei dem Leser u¨berlassen zu entscheiden, ob ich dieser Intention mit dem
vorliegenden Text gerecht werde.
Ich danke meinen Ho¨rern1 fu¨r ihre konstruktive Kritik an Vorlesung und Text und das sorgf¨altige
,,Korrekturlesen“,wodurchsinnentstellendeDruckfehlerunddiegravierendstenUnstimmigkeiten(oder
sagen wir pr¨aziser und ehrlicher: die gr¨obsten Schnitzer) eliminiert werden konnten. Die verbleibenden
Unzul¨anglichkeiten gehen ausnahmslos auf mein eigenes Konto.
Hamburg, den 20. 02. 2002 Oswald Riemenschneider
1Es waren nur selten H¨orerinnen zugegen - dies mag erkla¨ren, warum ich zumeist die m¨annliche Form der Anrede
benutze,auchwennichmirfu¨rdievorliegendeAusarbeitunggernvieleLeserinnenwu¨nschenwu¨rde.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort i
Inhaltsverzeichnis ii
Literatur iii
0 Topologie, topologische Mannigfaltigkeiten 1
1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 5
2 Differenzierbare Abbildungen 7
3 Untermannigfaltigkeiten und Einbettungen 11
4 Das Tangentialbu¨ndel 14
5 Vektorraum- und Faserbu¨ndel 19
Anhang: U¨berlagerungstheorie 26
6 Schnitte in Bu¨ndeln und algebraische Konstruktion von Vektorraumbu¨ndeln 31
Anhang: Derivationen und das Lemma von Hadamard 41
7 Das Tensorprodukt von Vektorr¨aumen und Vektorbu¨ndeln 43
8 Untervektorraumbu¨ndel, Quotientenbu¨ndel und exakte Sequenzen 54
9 Symmetrische und alternierende Tensoren und der Differentialformenkalku¨l 62
10 Riemannsche, symplektische und K¨ahler - Mannigfaltigkeiten 75
Anhang 1: Analytische Mechanik 95
Anhang 2: Pseudometriken 102
11 Zusammenh¨ange auf Vektorraumbu¨ndeln und Parallelismus 103
12 Der Levi - Civit`a Zusammenhang und der Riemannsche Kru¨mmungstensor 108
Anhang 1: Riemannsche Mannigfaltigkeiten konstanter Kru¨mmung 114
Anhang 2: Bemerkungen zur Gravitationstheorie von Einstein 116
13 Liegruppen und Liealgebren 118
Anhang: Klassifikation von einfachen Liealgebren 127
14 Operationen von Liegruppen auf Mannigfaltigkeiten 129
Anhang: Gruppenaktionen 133
15 Homogene R¨aume 138
Index 143
Literatur
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Springer: Wien–New York 1977.
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Berlin–Heidelberg 1983.
0 Topologie, topologische Mannigfaltigkeiten
Das Ziel dieses vorbereitenden Kapitels ist es, einige allgemeine topologische Aussagen zusammenzu-
stellen. Als begleitende Literatur hierzu kommen insbesondere die bekannten Bu¨cher von Bodo von
Querenburg [32], Bro¨cker - Ja¨nich [10], Dieudonne´ [14] etc. in Frage.
Imfolgendenbezeichnet X =(X, T) stetseinentopologischenRaum mitdemSystem T deroffenen
Mengen auf X. Hierbei ist die Topologie T eine Teilmenge der Potenzmenge von X, also eine Menge
von Teilmengen von X, so daß die folgenden Axiome erfu¨llt sind:
0. X, T;
∅∈
1. ist U T fu¨r alle ι in einer beliebigen Indexmenge I, so ist die Vereinigungsmenge U T;
ι ι
∈ ∈
ι I
(cid:91)∈
2. ist U T fu¨r alle j in einer endlichen Indexmenge J, so ist auch der Durchschnitt der U in
j j
∈
T enthalten.
Ist Y X eine Teilmenge eines topologischen Raumes X, so ,,erbt“ Y offensichtlich eine Topologie
⊂
von X, indem man als offene Mengen von Y die Durchschnitte von Y mit offenen Mengen von X
erkl¨art. Man bezeichnet diese Topologie auch als die (von X auf Y induzierte) Relativtopologie und
nennt Y einen topologischen Unterraum von X.
Wir setzen grunds¨atzlichvoraus(wenn nichtsanderes ausdru¨cklich gesagt wird), daß die untersuch-
ten topologischen R¨aume die beiden folgenden Bedingungen erfu¨llen:
1. X ist hausdorffsch, d. h. X erfu¨llt das Trennungsaxiom T : Zu je zwei verschiedenen Punkten
2
x , x X gibt es offene Mengen U , U X mit x U , x U und U U = .
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
∈ ⊂ ∈ ∈ ∩ ∅
2. X erfu¨llt das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom: es existiert eine abz¨ahlbare Teilmenge T T, s. d. fu¨r
0
⊂
alle U T gilt:
∈
U = U .
0
UU0(cid:91)0∈⊂TU0
Standardbeispiele topologischer R¨aume sind der reelle Vektorraum Rn mit der u¨blichen, von der
euklidischenMetrik herru¨hrendenTopologie,undTeilmengenvon Rn mitderRelativtopologie.Hierbei
ist eine Menge U Rn offen, wenn es zu jedem Punkt x U eine Kugel Br(x) mit Mittelpunkt x
⊂ ∈
und Radius r gibt, die ganz in U enthalten ist. Ein abz¨ahlbares System T0 fu¨r Rn wird gegeben
durch alle Kugeln B (x) mit rationalen Radien r und Mittelpunkten x mit rationalen Koordinaten
r
x ,...,x .
1 n
Definition.EintopologischerRaum X heißteinetopologischeMannigfaltigkeit,wennerlokaleuklidisch
ist, d. h. wenn es fu¨r alle x X eine offene Umgebung U =U(x) und einen Hom¨oomorphismus
∈
ψ : U V Rn
−→ ⊂
auf eine offene Teilmenge V Rn, n = n(x), gibt. Das Tripel (U, ψ, V) heißt dann eine (n–
⊂
dimensionale) Karte auf (oder fu¨r) X.
Bemerkung.Ichschreibemeist ϕ fu¨rdenUmkehrhom¨oomorphismus ϕ=ψ 1 : V U unddieKarte
−
→
(U, ψ, V) auch als (V, ϕ, U) (und nenne ϕ dann eine Parametrisierung von U).
Satz 0.1 Es seien (Uj, ψj, Vj), Vj Rnj, zwei Karten auf X mit U1 U2 = . Dann ist n1 =n2.
⊂ ∩ (cid:54) ∅
Beweis. Die induzierte Abbildung
Rn1 V21 := ψ1(U2 U1) ψ2◦ψ1−1 ψ2(U1 U2) =: V12 Rn2
⊃ ∩ −→ ∩ ⊂
2 0 Topologie, topologische Mannigfaltigkeiten
ist ein Hom¨oomorphismus. Der Satz von der Erhaltung der Dimension unter Hom¨oomorphismen impli-
ziert dann n = n . Der Beweis dieses Satzes ist allerdings schwer; eine Skizze haben wir im vorigen
1 2
SemestermitHilfevonrelativerHomologietheorie geliefert.(Imdifferenzierbaren Fall,derunsindiesem
Text vorwiegend besch¨aftigen wird, ist die Aussage aufgrund der Kettenregel v¨ollig banal). (cid:131)
Folgerung 0.2 Die Funktion x n(x) ist eindeutig bestimmt.
(cid:55)→
Definition. n(x) heißt die Dimension von X in x, in Zeichen: dim X =n(x).
x
Aufgrund der lokalen Struktur topologischer Mannigfaltigkeiten besitzen ihre Punkte (beliebig klei-
ne) offene Umgebungen, die hom¨oomorph zu offenen Kugeln im euklidischen Raum sind. Insbesondere
ergibt sich hieraus:
Folgerung 0.3 Topologische Mannigfaltigkeiten sind lokal wegweise zusammenha¨ngend und semilokal
einfach zusammenh¨angend.
Bemerkung. Die zweite Aussage bedeutet: Zu jedem Punkt x X gibt es eine Umgebung U, in der
∈
sich jeder geschlossene Weg zu einem Punkt zusammenziehen l¨aßt. Topologische R¨aume mit diesen
beiden Eigenschaften besitzen eine gute U¨berlagerungstheorie (siehe z. B. das Buch von Sto¨cker und
Zieschang [41] u¨ber Algebraische Topologie).
Jeder topologische Raum ,,zerf¨allt“ in seine Wegzusammenhangskomponenten
Z = Z(x ) := x X : x l¨aßtsichmit x durcheinenstetigenWegverbinden .
0 0
{ ∈ }
AufgrunddeslokalenwegweisenZusammenhangssindsolcheKomponentenvontopologischenMannig-
faltigkeiten offene Mengen, deren Komplement ebenfalls offen ist. Da sie selbst wegzusammenha¨ngend
und damit zusammenh¨angend im topologischen Sinne sind (d. h. nicht disjunkt zerlegbar in mehrere
nichtleere offene Mengen), kann man sie im vorliegenden Fall einfach als Zusammenhangskomponenten
bezeichnen. – Klar ist aufgrund der ersten Folgerung:
Lemma 0.4 Die Dimensionsfunktion x n(x) ist konstant auf den Zusammenhangskomponen-
(cid:55)→
ten von X. Insbesondere sind Zusammenhangskomponenten topologischer Mannigfaltigkeiten rein–
dimensionale topologische Mannigfaltigkeiten.
Bemerkung. Wir werden i. a. nur rein–dimensionale Mannigfaltigkeiten betrachten, aber nicht notwen-
dig nur zusammenh¨angende.
Die lokal euklidische Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit impliziert aber noch wesentlich
mehr.
Lemma 0.5 Topologische Mannigfaltigkeiten sind lokal kompakt. (D. h.: jeder Punkt besitzt, sogar
beliebig kleine, kompakte Umgebungen).
Diese Eigenschaft kann man noch weiter ausbeuten. Lokal kompakte T –Ra¨ume (nicht notwendig
2
mit 2. Abz¨ahlbarkeits–Axiom) besitzen eine sogenannte Einpunkt–Kompaktifizierung X = X .
(cid:48)
∪{∞}
Es gilt der folgende
Satz 0.6 Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent :
a) X erfu¨llt das zweite Abz¨ahlbarkeits–Axiom ;
b) die Kompaktifizierung X =X von X ist metrisierbar ;
(cid:48)
∪{∞}
∞
c) X ist metrisierbar und abz¨ahlbar im Unendlichen, d. h. X = K mit kompakten Mengen
j
j=0
(cid:91)
K , so daß K K K .
j 0 1 2
⊂ ⊂ ⊂···
0 Topologie, topologische Mannigfaltigkeiten 3
Folgerung 0.7 Topologische Mannigfaltigkeiten X sind metrisierbar und abz¨ahlbar im Unendlichen.
Insbesonderegilt:TopologischeMannigfaltigkeitensindparakompakt;d.h.zujederoffenenU¨berdeckung
von X gibt es eine lokal endliche Verfeinerung und eine untergeordnete stetige Teilung der Eins.2
ParakompakteR¨aumesinderstrecht (vollst¨andig) regul¨ar:zujederabgeschlossenenMenge A X
⊂
und jeden Punkt x X A existiert eine stetige Funktion f (X), s. d. f(x )=1 und f 0.
0 0 A
∈ \ ∈C | ≡
In diesem Zusammenhang ist noch das folgende Ergebnis interessant.
Satz 0.8 (Urysohn) A¨quivalent sind :
a) X ist regul¨ar und erfu¨llt das 2. Abz¨ahlbarkeits–Axiom ;
b) X besitzt eine abz¨ahlbare dichte Teilmenge und ist metrisierbar.
Folgerung 0.9 Topologische Mannigfaltigkeiten besitzen h¨ochstens abz¨ahlbar viele Zusammenhangs-
komponenten.
Wir kommen jetzt noch zu einem zentralen Begriff der Theorie der Mannigfaltigkeiten.
Definition. Ein Atlas A auf der topologischen Mannigfaltigkeit X ist ein System von Karten
(U , ψ , V ) mit
j j j j I
{ } ∈
X = U .
j
j I
(cid:91)∈
Wir nennen den Atlas abz¨ahlbar, wenn die Indexmenge I (h¨ochstens) abz¨ahlbar ist. Er heißt
hinreichend groß, wenn es zu jedem Punkt x X und jeder Umgebung U von x eine Karte
∈
(U , ψ , V ) A gibt mit x U U.
j j j j
∈ ∈ ⊂
Aus dem zweiten Abz¨ahlbarkeits–Axiom folgt unmittelbar:
Lemma 0.10 Jede topologische Mannigfaltigkeit besitzt hinreichend große abz¨ahlbare Atlanten.
Man kann eine topologische Mannigfaltigkeit wieder aus einem ihrer Atlasse durch ,,Zusammenkle-
ben“ oder ,,Verheften“ von Karten rekonstruieren. Dies soll im folgenden n¨aher erl¨autert werden.
Es sei also der Atlas A = (U , ψ , V ) = (V , ϕ , U ) vorgegeben. Wir schreiben dann fu¨r
j j j j j j j I
{ } ∈
zwei Indizes j, k:
V := ψ (U U ).
kj j j k
∩
Manachtehieraufdie Reihenfolge derIndizes,dieimfolgendennochsehrwichtigwird.Mankannsich
die Reihenfolge dadurch merken, daß der zweite Index den Parameterbereich angibt, in dem V liegt:
kj
V V .
kj j
⊂
Entsprechendschreibenwir U =U U ,wennwirdiesenDurchschnittalsTeilmengevon U ansehen
kj k j j
∩
wollen. Wegen U =U soll auch immer V :=V sein. Wir haben dann Hom¨oomorphismen
jj j jj j
ϕkj := ϕ−k1◦ϕj = ψk◦ψj−1 : Vkj −→ Vjk ,
fu¨r die die folgenden Regeln gelten:
1. ϕ = id ;
jj Vj
2. ϕjk = ϕk−j1;
3. ϕ ϕ = ϕ .
(cid:96)k kj (cid:96)j
◦
2Eine genaue Formulierung im differenzierbaren Fall geben wir in Kapitel 2, zumal wir spa¨ter von der Existenz
differenzierbarerTeilungenderEinsmehrfachGebrauchmachenwerden.
4 0 Topologie, topologische Mannigfaltigkeiten
Definition. Wir nennen ein solches System einen abstrakten 1–Cozyklus von Hom¨oomorphismen. Die
sogenannte Cozykel–Bedingung 3. gilt natu¨rlich jeweils nur auf der Menge Vkj ∩ϕ−kj1(V(cid:96)k).
Man beachte, daß die Bedingungen 1. und 2. aus der dritten folgen. Wa¨hlt man n¨amlich j =k =(cid:96),
so erh¨alt man aus 3. auf V =V :
j jj
ϕ ϕ = ϕ .
jj jj jj
◦
Dadie ϕ invertierbarsind, impliziert dies ϕ =id. Die Bedingung 2. folgt hieraus und aus 3., wenn
jj jj
man dort (cid:96)=j setzt:
ϕ ϕ = ϕ = id .
jk kj jj
◦
Wir geben uns nun umgekehrt einen solchen 1–Cozyklus vor; also ein System V von offenen
j j I
Teilmengen Vj Rn, zu jedem Paar j, k I eine (eventuell leere) offene Teilme{nge}Vk∈j Vj, wobei
⊂ ∈ ⊂
stets V =V geltensoll,undeinenHomo¨omorphismus ϕ : V V ,sodaßdieCozykelbedingung
jj j kj kj jk
→
erfu¨lltist,undfragenuns,obeseinetopologischeMannigfaltigkeitgibt,diezudiesemCozyklusgeh¨ort.
Waswirzutunhaben,istimPrinzipklar:wirhabenfu¨ralle j und k dieMenge V mit V entlang
j k
V und V zu ,,verheften“. Mathematisch exakt geht dies folgendermaßen. Es sei X := V die
kj jk j
(cid:116)
disjunkte mengentheoretischeVereinigungderMengen Vj,diemanalsTeilmengevon Rn I auffassen
×
kann.Versiehtman I mitderdiskreten Topologieund Rn I mitderProdukttopologie,s(cid:101)oerbt X eine
×
kanonische Topologie: U X ist genau dann offen, wenn alle Durchschnitte U V offen sind (man
j
⊂ ∩
kann ja V als Teilmenge von X auffassen). Auf X erkl¨aren wir nun eine ,,Verheftungsvorschri(cid:101)ft“:
j
(cid:101)
xj (cid:101)xk xj Vkj, x(cid:101)k Vjk, xk =ϕkj(xj).
∼ ⇐⇒ ∈ ∈
Dies ist genau deshalb eine A¨quivalenzrelation, weil die Cozykelbedingungen erfu¨llt sein sollen. Wir
bilden nun
X := X/
∼
und versehen diesen Raum mit der von der kanonischen Projektion π : X X/ = X herstam-
(cid:101) → ∼
menden Quotiententopologie. Per definitionem ist diese so beschaffen, daß U X genau dann offen
⊂
ist, wenn dies fu¨r π−1(U) ⊂ X zutrifft. Wegen π−1(π(Vj)) = k IVkj is(cid:101)t Uj (cid:101):= π(Vj) eine offene
Teilmenge von X, und ϕ := π : V U ist ein Hom¨oomo∈rphismus. Somit wird X von den
|Vj j → j (cid:83)
Karten (Uj, ψj := ϕ−1, Vj) u¨(cid:101)berdeckt, und es ist sofort einzusehen, daß dieser Atlas genau zu dem
vorgegebenen 1–Cozyklus zuru¨ckfu¨hrt. Was jetzt aber noch nachgepru¨ft werden muß, sind unsere
Standardvoraussetzungen hausdorffsch und 2. Abz¨ahlbarkeits–Axiom. Beide sind nicht automatisch
erfu¨llt. Die zweite ist auf jeden Fall gegeben, wenn der vorgegebene Cozyklus abz¨ahlbar ist, was
wir ja ohnehin annehmen ko¨nnen. Fu¨r das 2. Trennungsaxiom kann man aber i. A. keine einfach
nachpru¨fbaren Kriterien angeben. Startet man jedoch mit einer topologischen Mannigfaltigkeit X,
gewinnt aus dieser einen 1–Cozyklus und konstruiert wie eben den Raum X/ , so ist dieser auf
∼
kanonische Weise hom¨oomorph zu dem urspru¨nglichen Raum X.
(cid:101)
Beispiel. Wa¨hlt man V1 = V2 = R und V21 = V12 = R∗, und verheftet man diese beiden Mengen
verm¨oge der Identit¨at ϕ = ϕ = id , so ist der entstehende Raum zwar lokal eine topologische
21 12 R∗
Mannigfaltigkeit, aber nicht hausdorffsch.