Die Theorie der Beobachtungsfehler und die Methode der kleinsten Quadrate mit ihrer Anwendung auf die Geodäsie und die Wassermessungen

364 Pages·1901·22.15 MB·German

by  Otto Koll (auth.)

Die
Theorie der Beobachtungsfehler
und die
Methode der kleinsten Quadrate
mit ihrer
Anwendung auf die Geodllsie und die Wassermessungen.
Die
Theorie der Beobaehtungsfehler
und die
Methode der kleinsten Quadrate
mit ihrer
Anwendung auf die Geodasie und die Wassermessungen.
Von
Otto Koll,
Professor, Geheimer Finanzrath und vortragender Rath
im Kg\. Preuss. FinauzministeriuDl.
Mit in den Text gedruckten Figuren.
Zweite Auflage.
Berlin.
V e rIa g von J u 1 ius S p r i n g e r,
1901.
ISBN -13:978-3-642-89963-8 e-ISBN -13: 978-3-642-91820-9
DOl: 10.1007/978-3-642-91820-9
Aile Rechte, insbesondere das
der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1901
Vorwort zur ersten Auflage.
Das vorliegende Werk ist verfafst worden zur Benutzung beim
Studium und in der Praxis. Es solI den Studirenden die theoretischen
Entwickelungen. in klarer iibersichtlicher Fassung iibermitteln und ihnen
an zahlreichen Beispielen zeigen, wie das durch die theoretischen Ent
wickelungen gewonnene praktisch anzuwenden ist und zwar in grOfserem
U mfange, als dies allein durch Vorlesungen geschehen kann. Es solI
aber auch als Fiihrer in der Praxis dienen, und deshalb ist das Ver
fahren, wo es nur moglich und niitzlich war, bis zur Aufstellung mecha
nischer Rechenregeln und einfacher Formulare entwickelt. Die Fassung des
Werkes ist so einfach gehalten, dafs es jedem Fachmanne ohne weitere
Anleitung gelingen dtirfte, daraus das fUr ihn brauchbare zu gewinnen.
Das Werk enthalt, neben manchem anderen, die theoretischen
Grundlagen der weit verbreiteten Preufsischen Anweisung IX yom
25. Oktober 188 I fUr die trigonometrischen und polygonometrischen
Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bucher des Grundsteuer
kat asters und ahnlicher Anweisungen, sowie der bei Landestriangulationen
und Landes-Nivellements vorkommenden wichtigsten Ausgleichungsrech
nungen. Es sind deshalb auch in den Formeln Bezeichnungen gewahlt,
die sich an die in der Anweisung IX und in den Veroffentlichungen
iiber Landesaufnahmen vorkommenden anschliefsen, soweit es bei einer
einheitlichen DurchfUhrung der Bezeichnungen in dem ganzen Werke
moglich war.
Die Entwickelung des Verfahrens bis zur Aufstellung mechanischer
Regeln und einfacher Formulare und die dadurch in vielen Fallen erzielte
VI Vorwort.
bedeutende Vereinfachung der gesamten Rechnungen wird es ermog
lichen, auch oft nach der Methode der kleinsten Quadrate zu rechnen,
wo dies bisher nicht geschah. Es wird dadurch die Anwendung von
Naherungsverfahren weiter beschrankt werden konnen, die meistens
ebenso viel Rechenarbeit erfordert, wie das zweckmafsig geordnete Ver
fahren nach der Methode der kleinsten Quadrate und wobei iiberdies
nur dann unter allen Umstanden brauchbare Ergebnisse gewonnen
werden, wenn der Rechner welt mehr Erfahrung und Geschick hat, als
die Amyendung der Methode der kleinsten Quadrate erfordert.
Dafs durch die Aufstellung mechanischer Regeln und von For
mularen das verstandnislose Arbeiten auch bei solchen befordert werde,
bei denen die Kenntnis des theoretischen Zusammenhanges des Verfahrens
erwartet werden mufs, ist nicht zu befUrchten; denn man kann in der
Praxis sehr oft die Erfahrung machen, dafs gerade die, die zunachst nur
die mechanische Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate kennen
lernen, nachher das regste Interesse zeigen, sie eingehend zu studiren.
Auch wird es nur vortheilhaft sein, dafs der in der Praxis stehende
Geodat nach den mechanischen Regeln und Formularen in vereinzelt
vorkommenden Fallen arbeiten kann, ohne erst alle zu benutzenden
Formeln zu entwickeln, und dafs er bei umfangreichen Arbeiten leicht
Gehiilfen nach dem angegebenen Verfahren zur mechanischen AusfUhrung
mancher Rechnungen ausbilden kann.
Fiir die Wassermessungen ist in den Beispielen des 1. Teiles eine
Berechnung der mittleren Fehler durchgefUhrt, um zu zeigen, wie bei diesen
Messungen ein Anhalt fUr die Genauigkeit der Ergebnisse gewonnen werden
kann. Wenn in der Praxis haufiger die mittleren Fehler der einzelnen
Messungen festgestellt und danach die mittleren Fehler der Endergeb
nisse berechnet wiirden, wiirde sehr oft ein ganz anderes Urteil tiber
die Zuverlassigkeit der berechneten Geschwindigkeiten und Wassermengen
erlangt werden, als es jetzt geschieht. Die im iibrigen bei den Wasser
messungen vorkommenden und zur Behandlung nach der Methode der
kleinsten Quadrate geeigneten Rechnungen werden nach ahnlichen im
II. Teile behandelten Beispielen ohne weiteres durchgefiihrt werden
konnen.
Fiir das Studium der geschichtlichen Entwickelung der Theorie der
Beobachtungsfehler und der Methode der kleinsten Quadrate, sowie der
vielen zu ihrer tiefergehenden Begriindung gemachten Versuche, die
nicht aufgenommen werden konnten, sei auf die Theorie der Beobach-
Vorwort. VII
tungsfehler von Emanuel Czuber und die in dies em 'vVerke nachgewiesene
umfangreiche Original-Litteratur verwiesen.
Die Hauptformeln sind in den Druckbogen a und b ubersichtlich
zusammengestellt. Beim Binden des Werkes werden diese beiden Bogen
zweckmafsig fUr sich geheftet.
Bonn, Februar I893.
Otto Koll.
Vorwort zur zweiten Au flage.
Nachdem die I. Auflage dieses Werkes in 7 Jahren vergriffen ist,
kann die 2. Auflage im wesentlichen unverandert erscheinen, da sich
die I. Auflage beim praktischen Gebrauch gut bewahrt hat. Die
Beispiele zum I. Teil (§ II) sind den gemachten Erfahrungen ent
sprechend erheblich vermehrt worden. Bei den direkten Beobachtungen
(§ I6 und § I 7) ist nicht, wie in der 1. Auflage, yom arithmetischen
Mittel als gegebenen Satz ausgegangen, sondern die Formeln sind nach
der Methode der kleinsten Quadrate wie in allen anderen Fallen ent
wickelt. Die Richtungsbestimmungen aus Winkelbeobachtungen (§ 32)
und die Berechnung von Liniennetzen (§ 58) *) sind wesentlich vereinfacht.
Endlich ist in den geeigneten Fallen (bei dem Beispiel im I. Kapitel und
in den §§ 3I, 36 bis 38 des IV. Abschnittes) das Rechnungsverfahren flir
die Anwendung der Rechenmaschinen eingerichtet, da das Rechnen mit
Logarithmen auch bei den geodatischen Rechnungen zweifellos in grofsem
Umfange durch das Maschinenrechnen verdrangt werden wird. Hierbei
wird ganz erheblich an Zeitaufwand gespart, und namentlich die am
meisten vorkommenden Rechnungen konnen einfacher und eleganter
gestaltet werden. Die Verfolgung der Rechnungen ist durch die Ein
stellung der fUr das Maschinenrechnen geeigneten Formeln nicht wesent-
*) N ach Gau[s, Die trig. und polyg. Rechnungen in der Feldme[skunst. 2. Aufl.
I. Teil. S. 538 u. f,
VlII Vorwort.
lich erschwert, da nach diesen Formeln auch sehr gut logarithmisch
gerechnet werden kann und in den gegebenen Rechnungen noch manche
Zwischenzahlen aufgeschrieben sind, die bei der praktischen Durchfiihrung
der Rechnungen weggelassen werden konnen.
Auf die Korrektur des Satzes ist alle mogliche Sorgfalt verwendet
worden, wobei mein KoUege Hill mer mir wertvolle Hiilfe geleistet hat.
Ich danke ihm auch hier dafiir und danke ferner der Druckerei fiir die
aufserordentlich sorgfliltige Ausfiihrung des schwierigen Satzes, wodurch
die Korrektur sehr erleichtert worden ist.
Endlich danke ich auch dem Herm Verleger dafiir, dafs er die
2. Auflage ebenso wie die I. Auflage vorzuglich ausgestattet hat.
B e rl in, Ju ni 1901.
Otto Koll.
Inhalts -Verzeiehnis.
I. TEl L.
Theorie der Beobachtungsfehler.
Seite
§ 1. Einleitung . • . . . . . . . . . . 1- 2
'.
§ 2. Verschiedene Arten der Beobachtungsfehler 2- 3
§ 3. Wahrscheinlichkeit zufiilliger Ereignisse . • 3- 5
§ 4. Hauptsatze der W ahrscheinlic hkeitsrechnung 5- 7
§ 5. Beziehung zwischen der Gr5fse der Beobachtungsfehler und der Wahrschein·
lichkeit ihres Vorkommens . • . . . . . • . 7-12
§ 6. Der durchschnittliche, mittlere und wahrscheinliche Fehler 12-19
§ 7. Untersuchung von Fehlerreihen . . • 19-21
§ 8. Fehlergrenzen . • . . • . . . . . 21-23
§ 9. Fortpflanzung der Beobachtungsfehler. . 23-28
§ 10. Gewichte und Forlpflanzung der Gewichte 28-34
§ 11. Beispiele zum 1. Teil. . • . . . • • 34-47
II. TEl L.
Methode der kleinsten Quadrate.
I. Abschnitt. Einleitung.
§ 12. Die zu IOsenden Aufgaben . . • . . 48-49
§ 13. Grundsatze fUr die LOsung der ersten Aufgabe 49-53
§ 14. Grundsatz fUr die LOsung der zweiten Aufgabe 53-54
§ 15. Aufstellung besonderer Rechnungsverfahren fnr besondere Falle der zu losenden
Aufgabe. • . . . . . . . • . . • • . . • . • . • • 54-55
x
Inhalts·Verzeichnis.
Seits
II. Absehnitt. Direkte Beobaehtungen.
§ 16. Direkte g lei c h g e n au e Beobachtungen . 56-60
§ 17. Direkte un g lei c h g e n au e Beobachtungen 60-67
§ 18. Berechnung des mittleren Fehlers aus Beobachtungsdifferenzen 67-76
III. Absehnitt. Direkte Beobaehtungen mehrerer Grofsen, deren
Summe einen bestimmten Sollbetrag erfiillen mufs.
§ 19. Direkte gleich genaue Beobachtungen mehrerer Grilfsen, deren Summe
einen bestimmten Sollbetrag erftlllen mufs . 76-79
§ 20. Direkte un g lei c h g e n a u e Beobachtungen mehrerer Grilfsen, deren
Summe einen bestimmten Sollbetrag erfnllen mufs 79-84
§ 21. Beispiel zum II. und III. Abschnitt . • 84-91
IV. Absehnitt. Vermittelnde Beobaehtungen.
1. Kapitel. Allgemeine Entwickelung des Verfahrens.
§ 22. Gleichungen ftlr die Beziehungen zwischen den wahren Werten der beob·
achteten und der zu bestimmenden Grilfsen 91- 93
§ 23. Fehlergleichungen. . 93- 94
§ 24. Naherungswerte 94- 97
§ 25. Umgeformte Fehlergleichungen 97- 99
§ 26. Endgleichungen. • . . . 99-102
§ 27. AuflOsung der Endgleichungen und Berechnung der wahrscheinlichsten
Werte der zu bestimmenden Grilfsen. . . 102 -106
§ 28. Berechnung der wahrscheinlichsten Werte der Beobachtungsfehler sowie
der mittleren Fehler der Gewichtseinheit und der Beobachtungs.
ergebnisse 106-109
§ 29. Rechenproben . • 110-118
§ 30. Bildung der reduzirten Endgleichungen aus reduzirten Fehlergleichungen 118-127
2. Kapitel. Beispiele zu dem im 1. Kapitel entwickelten Verfahren.
§ 31. Bogenschnitt gemessener Langen 127-131
§ 32. Richtungsbestimmungen aus Winkelbeobachtungen . 131-135
§ 33. Richtungsbestimmungen aus Richtungssatzen. 1. Verfahren 136-148
§ 34. Richtungsbestimmungen aus Richtungssatzen. 2. Verfahren 148-156
§ 35. Bestimmung der Hauptpunkte eines Polygonnetzes. 156-168
§ 36. Rtlckwartseinschneiden 168-174
§ 37. Vorwartseinschneiden. 174-179
§ 38. Kombinirtes Vorwarts. und Rtlckwiirtseinschneiden 180-185
§ 39. Bestimmung einer geraden Grenzstrecke . . • 185-188
§ 40. Bestimmung der Multiplikationskonstanten eines Distanzmessers 189-192
§ 41. Bestimmung einer Distanzteilung ftlr den Okularauszug eines Fernrohrs 192-198
V. Absehnitt. Bedingte Beobaehtungen.
1. Kapitel. Allgemeine Entwickelung des Verfahrens.
§ 42. Einleitung 199
§ 43. Anzahl der zu erftlllenden Bedingungen 200
§ 44. Aufsuchung der zu erftlllenden Bedingungen 200-202
§ 45. Aufstellung der Bedingungsgleichungen . 202-204
§ 46. Widersprnche zwischen den Sollbetragen und den Beobachtungsergebnissen 204-205
§ 47. Umformung der Bedingungsgleichungen . • • . 205-207
InhaIts· V erzeichnis. XI
Seite
§ 48. Korrelatengleichungen und Endgleichungen 207-210
§ 49. Aufl6sung der Endgleichungen, Rechenproben und mittlere Fehler der
Gewichtseinheit und der Bcobachtungsergebnisse . 210-216
§ 50. Bildung del' reduzirten Endgleichungen aus reduzirten Bedingungs. und
Korrelatengleichungen 216-227
§ 51. Systematische Anordnung der Rechnungen • 227-233
2. Kapitel. Anwendung des Verfahrens auf die Bestimmung von Knoten·
punkten in Polygonnetzen.
§ 52. Spezielle Regeln fiir die F eststellung der zu erfiillenden Bedingungen 233-236
§ 53. Aufstellung der Bedingungsgleichungen und weitere Durchfiihrung der
Rechnungen 236-241
3. Kapitel. Anwendung des Verfahrens auf die Berechnung von
Dreiecksnetzen.
§ 54. Spezielle Regeln fUr die F eststellung der Gesamtanzahl der zu erfiillenden
Bedingungen 241-245
§ 55. Einteilung der Bedingungen in Klassen und spezielle Regeln fiir die Fest.
stellung der Anzahl der zu erfiillenden Bedingungen einer jeden
Klasse 246-249
§ 56. Aufsuchung der zu erfiillenden Bcdingungen . 249-253
§ 57. Aufstellung der Beding"ungsgleichungen und weitere Durchfiihrung der
Rechnungen . 253-261
4. Kapitel. Anwendung des Verfahrens auf die Berechnung von
Liniennetzen.
§ 58. Entwickelung der Formeln und Durchfiihrung der Rechnungen 262-267
VI. Absehnitt. Bedingte vermittelnde Beobaehtungen.
§ 59. Aufstellung der allgemeinen F ormeln 268-269
§ 60. Getrcnnte Bestimmung der wahrscheinlichsten Werte der zu bestimmenden
Gr6fsen nach dem Verfahren fiir vermittelnde Beobachtungen und
der diesen Wert en noch beizufiigenden Verbesserungen nach dem
Verfahren fiir bedingte Beobachtungen 270-276
§ 61. Anwendung des Verfahrens auf die Berechnung von Dreiecksnetzen 276-285
VII. Absehnitt. Gewiehte und mittlere Fehler der wahrseheinlichsten
Werte der zu bestimmenden Grafsen und von Funktionen derselben.
1. Kapitel. Fur vermittelnde Beobachtungen.
§ 62. Gewichte und mittlere Fehler der wahrscheinlichsten Werte der zu be·
stimmenden Gr6fsen . 285-290
§ 63. Gewicht und mittlerer Fehler einer Funktion der wahrscheinlichsten Werte
der zu bestimmenden Grofsen 290-29%
§ 64. Bcispielc zu dem in den §§ 62 und 63 entwickelten Verfahren 293-306
2. Kapitel. Fur bedingte Beobachtungen.
§ 65. Gewicht und mittlerer Fehler einer Funktion der wahrscheinlichsten Werte
der beobachteten Grofsen . 306-311
§ 66, Beispiele Zll d",m im § 65 entwickelten Verfahren , 311-31G