Die Praktische Behandlung von Integral-Gleichungen

133 Pages·1952·6.663 MB·German

by  H. Bückner (auth.)

ERGEBNISSE DER
ANGEWANDTEN MATHEMATIK
UNTER MITWIRKUNG DER SCHRIFTLEITUNG DES
"ZENTRALBLATT FüR MATHEMATIK"
HERAUSGEGEBEN VON F. LOSCH
---------------1---------------
DIE
PRAKTISCHE BEHANDLUNG
VON
INTEGRAL-GLEICHUNGEN
VON
H. BüCKNER
MIT! TEXTABBILDUNG
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
ISBN 978-3-662-01395-3 ISBN 978-3-662-01394-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-01394-6
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER üBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
COPYRIGHT 1952 BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag in Berlin 1952.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1952
Inhaltsverzeichnis.
Einleitung v
I. Abschnitt. Formeln und Sätze aus der Theorie der Fr e d hol m schen
Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§ 1. Fr e d hol m sche Integralgleichungen, Systeme und ge-
mischte Gleichungen, Integraloperatoren . . . . . . .. 1
§ 2. Der reziproke Kern und die Fredholmschen Formeln. 4
§ 3. Orthogonale und biorthogonale Systeme von Funktionen;
die Nullstellen der Fr e d hol m sehen Determinante 5
§ 4. Spezielle Integraloperatoren ............. 8
§ 5. Zusammengesetzte Operatoren. . . . . . . . . . . . . 10
11. Abschnitt. Die Berechnung von Eigenwerten mit Hilfe von Formeln
und Variationsprinzipien. Einschließungssätze . . . . . . . . . 12
§ 6. Berechnung der Eigenwerte aus der Fredholmschen
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 7. Die Potenz summen der reziproken Eigenwerte . . . . . 14
§ 8. Extremaleigenschaften der Eigenwerte eines Her mit e -
sehen Kerns. 1. Einschließungssatz . . . . . . . . . . 17
§ 9. Extremaleigenschaften rational transformierter Eigenwerte
Hermitescher Integraloperatoren und allgemeine Ein
schließungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§ 10. Dreigliedrige Einschließungspolynome. Verträgliche Spektra 28
IH. Abschnitt. Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . 37
§ 11. Asymptotisches Gesetz der klassischen Iteration 37
§ 12. Der Begriff der Beteiligung. . . . . . . . . . 40
§ 13. Anwendung des klassischen Iteration.sverfahrens auf die in-
homogene Integralgleichung. . . . . . . . . . . 42
§ 14. Die Berechnung des 1. Eigenwertes eines beliebigen Kerns
für den Fall lAll< IA 43
21 . • . • • • • • • • • • . • . •
§ 15. Berechnung des 1. Eigenwertes beim Hermiteschen Kern 46
§ 16. Die Berechnung der höheren Eigenwerte aus Iterationsfolgen,
an deren Ausgangsfunktion Al beteiligt ist . . . . 50
§ 17. Die Abspaltung von Eigenwerten . . . . . . . . . . . 56
§ 18, Beispiele zum Abspaltungssatz für Integraloperatoren . . . 59
§ 19. Gemischte Iteration für die inhomogene Integralgleichung e3
§ 20. Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen nach der
gemischten Iteration . . . . . . . . . . 67
§ 21. Ein stets anwendbares Iterationsverfahren 68
§ 22. Gebrochen lineare Iteration. . . . . . . 71
§ 23. Quadratisch konvergente Iteration. . . . 73
IV. Abschnitt. Ersatz des Kernes und der Störfunktion 74
§ 24. Die Abschätzungen von Tricomi. . . . .. . 74
§ 25. Abschätzungen für die Änderungen, die die Eigenwerte
Her mit e scher Kerne erfahren . . . . . . . . . . . . 77
IV Inhaltsverzeichnis.
§ 26. Abschätzung der Änderung von Eigenfunktionen 79
§ 27. Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . 8]
§ 28. Analytische Störungsrechnung für Her mit esche Kerne.
Existenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 84
§ 29. Anwendung der Störungsrechnung. Der ungestörte Eigen-
wert ist einfach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§ 30. Abschätzungen für die Störung beim einfachen Eigenwert 89
§ 31. Störung eines mehrfachen Eigenwerts . . . . . . 92
§ 32. Störungstheorie der inhomogenen Integralgleichung . . . 95
§ 33. Ersatz durch entartete Kerne. . . . . . . . . . . . . 96
§ 34. Das Variationsproblem von E. Sc h m i d t für den entarteten
Ersatzkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§ 35. Die Eigenfunktionen werden durch Linearkombinationen
gegebener Funktionen approximiert . . . . . . . . . . 99
§ 36. Die Lösung der inhomogenen Integralgleichung wird durch
eine Linearkombination gegebener Funktionen approximiert 102
§ 37. K* (s, t) = K (s, t) für ein Punktgitter . . . . . . . . . 104
§ 38. Die Analogiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§ 39. Konvergenzbetrachtungen zu den Analogiemethoden. For-
male Analogie zur Störungsrechnung . 109
§ 40. Anwendung der Konvergenzaussagen . . . . . . . . . . 111
V. Abschnitt. Spezielle Kerne . . . . . . . . . . . . . . .. 115
§ 41. Kerne K (s, t) mit verschiedenen Bildungsgesetzen in den
Bereichen s:::;;: t und s > t ............ 115
§ 42. Die Volterrasche Integralgleichung vom Faltungstyp 117
§ 43. Kerne, die sich physikalisch-technisch realisieren lassen 121
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 123
Berichtigungen.
Seite 20, Zeile 3: Der Nebensatz "p (x) und g (x) = 1 - q (x) teilerfremd"
ist zu streichen.
Seite 22, Zeile 1 und 2 von oben sind zu streichen.
Seite 22, Zeile 7: Vor dem Wort "nichts" ist einzufügen: "bis auf Null
stellen von g (x)".
Einleitung.
Die praktische Behandlung der Integralgleichungen bildet einen ver
hältnismäßig jungen, noch im Wachstum begriffenen Zweig der prak
tischen Mathematik. Immerhin hat die Entwicklung praktischer Me
thoden für die linearen Integralgleichungen 2. Art (auch Fredholmsche
Integralgleichungen genannt) heute einen Stand erreicht, der es recht
fertigt, die bisher bekannt gewordenen Verfahren zu ordnen und ihre
Grundlagen und Zusammenhänge nach Möglichkeit darzulegen. Dies
ist der Gegenstand dieses Berichts.
Es zeigt sich, daß die weitaus größte Zahl der praktischen Verfahren
zu zwei großen Kategorien gehört, nämlich zu den Iterationsverfahren
und zu solchen, die sich auf einen Ersatz des Kerns der Integralgleichung
zurückführen lassen. Da Iterfl,tion und Kernersatz nicht auf Fredholm
sehe Gleichungen beschränkt sind, so ist zu hoffen, daß die Begründung
beider Methoden für Fredholmsche Gleichungen auch von Nutzen für
die praktische Behandlung anderer Integralgleichungstypen sein wird,
insbesondere für die linearen Integralgleichungen 1. Art, die in diesem
Bericht nicht behandelt werden. Obwohl es in vielen Fällen keine
Schwierigkeit bereitet, die in diesem Bericht behandelten Methoden
auf Integralgleichungen 1. Art anzuwenden, so ist doch die Entwick
lung von Verfahren für diesen Typ noch zu sehr im Flusse, um ihre
Zusammenstellung und Ordnung nicht als verfrüht erscheinen zu lassen.
Immerhin sei in diesem Zusammenhang auf einige wichtige Literatur
hingewiesen, nämlich auf die Bücher und Arbeiten [20], [30], [36],
[44], [61], [63], [71], [78], [80] und [83]. Hier wie auch im ganzen
Bericht beziehen sich Zahlen in eckigen Klammern auf das am Ende
befindliche Literaturverzeichnis.
Die Einschließungssätze des H. Abschnitts richten sich zu einem
großen Teil nach Ergebnissen von Herrn H. Wielandt, Tübingen.
Insbesondere versetzten mich seine freundschaftlichen Mitteilungen
über bisher noch unveröffentlichte Ergebnisse zu den Einschließungs
polynomen in die Lage, den Bericht auf den letzten Stand der For
schung zu bringen. Für dieses Entgegenkommen und für die freund
liche Durchsicht auch anderer Teile des Berichts möchte ich Herrn
Wieland t herzlich danken.
Die Eigenart der Methoden, über die dieses Heft berichtet, tritt
ungeschmälert hervor, wenn man sich auf Gleichungen mit Kernen von
VI Einleitung.
nur zwei unabhängigen Variablen beschränkt. Es genügt ferner, sich
mit stückweise stetigen Funktionen zu befassen. Wenn daher im fol
genden Funktionen I(s) von einer und F(s, t) von zwei Variablen ge
geben sind, so sollen, wenn nichts anderes bemerkt wird, die Variablen
reell sein und die Funktionen den nachstehenden Beschränkungen
unterliegen:
1. I (s) ist in einem Intervall a ;:;:;:; s :;;; b, F (s, t) in einem Rechteck
a :;;; s ::;:: b, C ::;:: t ;;;:;; d fast überall definiert. Die Funktionswerte
dürfen komplex sein.
2. I/(s)1 und IF(s, t)1 besitzen endliche obere Schranken im Definitions
bereich.
3. Die Stellen der Undefiniertheit und Unstetigkeit bestehen bei I (s)
aus endlich vielen Punkten; bei F (s, t) liegen sie auf endlich vielen
glatten Kurven, deren jede von den Geraden s = const. und t = const.
in höchstens endlich vielen Punkten getroffen wird oder ganz auf
einer dieser Geraden liegt.
Die so eingeschränkten Funktionen werden als zulässig bezeichnet.
Unterscheiden sich zulässige Funktionen nicht in den Stetigkeitsstellen,
so werden sie nicht als wesentlich verschieden angesehen. - An sich
lassen sich die meisten der Ergebnisse, die in diesem Bericht beschrieben
werden, auf quadratisch integrierbare Funktionen im Sinne von Le
besgue ausdehnen. Die praktischen Anwendungen machen dies aber
kaum erforderlich.
Ich habe mich bemüht, ein möglichst vollständiges Bild von den
bisher entwickelten Methoden zu bieten. In einigen Fällen, z. B. bei
den Aufsätzen [3J, [28J und [68J war es mir bisher noch nicht möglich,
die Literatur in die Hand zu bekommen, auf die ich bei der Suche nach
einschlägigen Arbeiten aufmerksam geworden war. In anderen Fällen,
z. B. bei der im Nachtrag erwähnten Literatur, habe ich beim Lesen
der Korrektur Hinweise eingefügt.
Herausgeber und Verlag haben mich bei der Beschaffung schwer
zugänglicher Literatur unterstützt. Nicht nur dafür, sondern auch für
das mir in jeder anderen Richtung bewiesene Entgegenkommen möchte
ich an dieser Stelle herzlich danken. Mein Dank gebührt ferner Herrn
J. Weiss inger, Hamburg, für die Liebenswürdigkeit, die Korrektur
mitgelesen zu haben.
Berlin, Mathematisches Institut der Technischen Universität,
im November 1951.
Hans Bückner.
1. Abschnitt.
Formeln und Sätze aus der Theorie der Fredholmschen
Integralgleichungen.
Ohne Beweis stelle ich hier einen Teil der wichtigsten Ergebnisse
über die Integralgleichungen zusammen. Andere Tatsachen werden
später dort genannt, wo sie unmittelbar zum Verständnis benötigt
werden. Im übrigen sei etwa auf den bekannten Artikel von Hellinger
und T 0 e pli t z in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften
[ROJ oder die Bücher [18, 26, 29, 61J verwiesen.
§ 1. Fredholmsche Integralgleichungen,
Systeme und gemischte Gleichungen, Integraloperatoren.
Es handelt sich um die Gleichung
y(s) = AJ b K(s, t) y(t) dt + I(s), (1)
a
wobei die Funktion 1 und der Kern K (s, t) für a ::;: s, t ;;;;; b definiert und
nach unserer Abrede zulässige Funktionen sind. Unter A ist ein reeller
oder komplexer Parameter zu verstehen. Auf die Gleichung (1) lassen
sich Systeme von Integralgleichungen
y" (s) = A Jb ~11 K"{J (s, t) Y{J (t) dt + I,,(s); IX = 1, 2 ... n (2)
a {J= 1
zurückführen. Setzt man Y (Si) = y" (s), F (Si) = I" (s), K (Si, t') = K"{J (s, t)
für s + (IX - 1) (b - a) = Si < a + IX (b - a), t + (ß - 1) (b - a) = t'
< a + ß (b - a), so ist das System (2) vollkommen gleichbedeutend mit
der Integralgleichung
Jb' + +
Y(S') = A K(S', t') Y(t') dt' F(S/) mit b' = a n(b - a) (3)
a
In vielen Anwendungen kommen sogenannte gemischte Integralglei.
chungen
y(s) = A{J K(s, t) y(t) dt +v~lKv(S) y(Xv)} + /(s) (4)
Eq(ehnisse der angewandten Mathematik. Bückner. 1
2 Formeln und Sätze aus der Theorie der Fredholmschen Integralgleichungen.
vor. Dabei sind xl' X2' ••• , xn vorgegebene Stellen des Intervalls <a, b)
und KI(s), ... , Kn(s) gegebene stetige Funktionen.
Sind auch I (s) und K (s, t) stetig, so verlangt das Problem (4) die
Ermittlung einer zumindest an den Stellen Xl' .. " xn stetigen Funktion
y(s), welche außer (4) den daraus folgenden Bedingungen
Al!
+ '~lK.(X,J +
y(x,J = K(x", t) y(t) dt y(xv)j I(x,..) (5)
genügt. Setzen wir der Einfachheit halber a = 0, b = 1 und definieren
wir f°cr: :n;;:e r gewisse konstante Funktionen Iv (x) = I (x.); Y. (x) = Y (x.)
für x ;:;:: 1, v = ],2, .. " n, so kann man für (4) und (5) auch
schreiben I
!
y(S) = A I K(s, t) y(t) dt +J .I-:n:~ Kv(s) Yvlt) dt ] + I(s)
! 1 (6)
1 I"
Y/J(S)=A [ K(X/J,t)y(t)dt+J:~lK.(x/J)y.(t)dt +/f'(s),
Dieses System hat die Gestalt (2). Sieht man in (6) alle Funktionen
y, Yl>' .. , y" als frei an, so folgt aus (6), daß die Funktionen YI' ... , y"
konstant sein und die Bedeutung y~ = y (x.) haben müssen, so daß um
gekehrt auch (4) aus (6) folgt. Auch Systeme von gemischten Gleichungen
lassen sich also auf die Gleichung (1) zurücklühren. Es scheint, daß
H. Wielandt dies als erster erkannt hat (vgI. [82J, S.121-123).
In der bis auf endlich viele s definierten Integraltransformation
b
f
u(s) = K(s, t) v~t) dt (7)
a
ist u(s) eine zulässige Funktion, wenn K und v es sind. Ist nämlich s'
eine Stelle, für die nur endlich viele Unstetigkeitsstellen (s', t) von K (s, t)
existieren, so muß u (s) stetig für S = s' sein. Es gilt nämlich
lu(s) - u(s')1 s:. Cfb IK(s', t) - K(s, t)l· dt, ( 8)
a
wobei C eine obere Schranke für I v (s)1 bildet. Mit Ausnahme von
höchstens endlich vielen Werten t ist aber
lim {K(s', t) - K(s, t)} = 0, (9)
I~.'
so daß in (8) die Reihenfolge von Integration und Grenzübergang s s'
-)0
nach dem bekannten Satz von Osgood, Arzela und Lebesgue ver
tauscht werden kann. Es ergibt sich dann u(s) -)ou (s') mit s -)os'. Da es
nur endlich viele Ausnahmestellen gibt, die nicht die Voraussetzung für
s' erfüllen, so ist u (s) eine an höchstens endlich vielen Stellen unstetige
§ 1. Integralgleichungen, Systeme und gemischte Gleichungen. 3
Funktion. Daß sie gleichmäßig beschränkt ist, folgt aus einer zu (8)
ähnlichen Abschätzung. Demnach ist u (s) eine zulässige Funktion wie
behauptet.
Durch die Integraltransformation (7) wird die Menge der zulässigen
Funktionen v (s) linear auf sich abgebildet. Wir bezeichnen diese Ab
bildung mit Sl' und schreiben u = Sl' v als anderen Ausdruck für (7).
Man bezeichnet Sl' als Integraloperator. Neben der Abbildung durch
Integraloperatoren sind im folgenden auch Abbildungen der zulässigen
Funktionen durch Operatoren der Form c + c' Sl' mit Sl' als Integral
operator und c und c' als komplexen Zahlen zu betrachten; sie sind
+ +
definiert durch (c c' Sl') v = c v c' (Sl' v). Beispielsweise läßt sich (1)
in der Form
(1 - ;. Sl') Y = f (1')
zum Ausdruck bringen; das heißt, es soll diejenige Funktion y gefunden
werden, die durch die in der Klammer stehende Abbildung nach t ge
worfen wird. Zwei Abbildungen 91 = c + c' Sl', '13 = d + d' .2 mit Sl'
<a,
und .2 als auf die Funktionen des Intervalls b) anwendbaren
Integraloperatoren sind dann und nur dann identisch, wenn c = d und
c' K (s, t) = d' L (s, t) mit Bezug auf die zugehörigen Kerne gilt.
Man definiert die Summe der Operatoren 91 und 58 durch
(m: + 58) v =c ~{ V + 58 v. Es ist m: + ~ = (c + d) + c' Sl' + d' 2. Zu
dem hierin enthaltenen Integraloperator gehört die Kombination
c' K (s, t) + d' L (s, t) als neuer Kern. Ein Produkt m: ~ von m: und ~
wird erklärt durch 9{ ~ v = ~1 (58 v). Im allgemeinen sind ~ \8 und
\8 m: voneinander verschieden. Die Multiplikation ist distributiv.
Das Produkt Sl' 2 ist ein reiner Integraloperator mit dem Kern
a
J K (s, x) L (x, t) dx. Wird die Abbildung m: n-mal hintereinander aus
b
geführt, so schreiben wir m:n dafür. Die Kerne, die zu den Potenzen
eines reinen Integraloperators gehören, werden als die Iterierten von
K (s, t) bezeichnet und oft durch die Schreibweise K(n) (s, t) gekenn
zeichnet. Die Schlußweise zu (7) bis (9) läßt erkennen, daß die
Produkt bildung nicht aus der Klasse zulässiger Kerne herausführt.
Insbesondere liegen die Unstetigkeitsstellen der iterierten Kerne auf
denjenigen Kurven, die die Unstetigkeitsstellen von K (s, t) enthalten.
Wo im folgenden unendliche Reihen aus Integraloperatoren vor
kommen, sollen sie den Integraloperator kennzeichnen, der zur unend
lichen Reihe der entsprechenden Kerne gehört.
Es lassen sich aus Sl' gewisse Integraloperatoren ableiten, die in der
Theorie der Integralgleichungen eine wichtige Rolle spielen; es handelt
sich um die Operatoren
1*
4 Formeln und Siitze aus der Theorie der Frerlholmschen Integralgleichungen.
St' mit dem transponierten Kern K(t, s), 5t mit dem zu K(s, t) konjugiert
komplexen Kern K (s, t) und St' mit dem Kern K (t, s). Mit Bezug auf
die allgemeineren Operatoren c + d St = 9{ führen wir die Operatoren
9(' = c + d S"t', 9-1 = c + d- -sr und 2-f' = c + d- S-1' ein.
Die Operatorschreibweise macht viele Formeln der Theorie der In
tegralgleichungen einfacher und durchsichtiger. Wo immer zweckmäßig,
wird sie im folgenden angewendet werden.
§ 2. Der reziproke Kern und die }' red hol m schen Formeln.
Wir setzen
K (SI' tl), K (SI' 12), ... K (SI' tn)
K (S2' t1), K (S2' t2), ... K (S2' tn)
sn)
K (SI' ... = (1)
tl, ... tn
und
(s,
D" (S, t) = J" ... Jb K sI' ... Sn) dsl · .. dSn (2)
a Il t,SV··· S"
J. .. J J
D" = K (SI . .. s,,) dSI ... ds" = D" _ J (S, S) ds. (ß)
a a SI ... Sn a
Die Reihen
D(s, t; A, ) = ~~ Dk (S , t) (~- W ,Ak, (D 0 (s , t) = K (s , t )) (4)
k=u .
D(A) = ~{', D"(---kl,)-k Ak, (Do = 1) (i) )
k=U .
konvergieren für alle Vierte von A. Die Reihe D (s, t; A) besitzt eine von
3 und t unabhängige, in der ganzen A-Ebene konvergente Majorante.
D (s, t; A) ist eine zulässige Funktion in sund t. Ihr entspricht ein Inte
graloperator ~(A). Die Nullstellen von D(A), der sogenannten Fred
holmschen Determinante, können sich im Endlichen nicht häufen. Von
Wichtigkeit sind der sogenannte lösende oder reziproke Kern
F( t·') = D(s, t; j,) (6)
S, ,A D(l.) ,
der eine meromorphe Funktion in }, darstellt, und der zugehörige, für
D (A) =F 0 definierte Integraloperator F(A) = D (A)-1 ~ (A). Übrigens gilt
F(O) = S1'.
Für D(A) =F 0 besitzt (§ 1, 1') genau eine Lösung, und zwar
y = t + AF(A) f. (7)