Die nomographische Darstellung von Funktionen einer komplexen Veränderlichen und damit in Zusammenhang stehende Fragen der praktischen Mathematik

147 Pages·1960·3.9 MB·German

by  Prof. Dr. rer. techn. Fritz Reutter (auth.)

FORSCHUNGSBERICHTE
DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Herausgegeben durch das Kultusministerium
Nr. 912
Prof. Dr. rer. techno Fritz Reutter
Mathematisches Institut an der Technischen Hochschule Aachen
Die nomographische Darstellung von Funktionen einer
komplexen Veränderlichen und damit in Zusammenhang
stehende Fragen der praktischen Mathematik
Als Manuskript gedruckt
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
ISBN 978-3-663-06112-0 ISBN 978-3-663-07025-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07025-2
G 1 i e d e r u n g
. .
Einleitung · · · · · · · · · · · · · · · · · s. 5
I. Die allgemeine Darstellung einer analytischen Funktion
durch ein Nomogramm mit zwei Gleitkurvenscharen S. 7
1 . Gleitkurvennomogramme für eine Funktion von zwei
reellen Veränderlichen · · · · · · · · · · · · · s.
7
2. Gleitkurvennomogramme von Funktionen einer komplexen
Veränderlichen · · · · S.
8
3. Beispiele zu 2 · · · · S. 12
I!. Anamorphosierbare analytische Funktionen · · · · · · s. 19
1 . DarsteIlbarkeit einer analytischen Funktion
durch Fluchtliniennomogramme mit vier i.a. krumm-
linigen PunktskaIen als Ausartungsfälle von Gleit-
kurvennomogrammen · · · · · · · · · · · s. 19
2. Die geometrische Gestalt der Skalenträger und die
Ermi ttlung der Skalengleichungen · · · · · · · · S. 22
3. Allgemeines über die DarsteIlbarkeit elementarer
Funktionen · · · · · · · · · · · · · · · · · · · s. 25
4· Allgemeines über die DarsteIlbarkeit elliptischer
Funktionen und Integrale · · · · · · · · · s. 26
II!. Nomogramme elementarer Funktionen · · · · S. 32
1. Algebraische Funktionen · · · · · · S. 32
2. Transzendente Funktionen · · · · · · · · · S. 41
IV. Nomogramme Jacobischer elliptischer Funktionen · · · · · · s. 45
1 • Die Skalengleichungen · · · · · · · · · · · · · · S. 45
2. Allgemeines über die geometrische Struktur der
Nomogramme · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · S. 51
3. Nomogramme für die Funktionen (2,32) - (2,35) und
ihre besonderen Eigenschaften · · · · · · S. 53
4. Die zweckmäßige Formgebung der Nomogramme im
Hinblick auf die Ablesemöglichkeiten · · · · · · · s. 59
. . . .
V. Nomogramme für die Weiers traß' sche 't -Funktion S . 62
. . . . . . .
1 • Die Skalengleichungen · · S • 62
2. Die geometrische Struktur der Nomogramme S. 64
. . . . .
3. Beispiele · · · · · · · · · · s. 66
Sei te 3
. . . . . . . .
VI. Abschließende Bemerkungen · s. 67
. . .
1- Die Mehrdeutigkeit der Ablesungen · · · · s. 67
. .
2. Ablesebeispiele und Genauigkeitsfragen · · · s. 67
3· Erweiterungsmöglichkeiten und Ausblick · · · · s. 70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s.
ZusamLlenfassung • . . 71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s.
Literaturverzeichnis 73
Seite 4
Einleitung
Die großen Fortschritte der technischen Entwicklung zwingen immer mehr
dazu, bisher verwendete technische Berechnungsmethoden durch genauere
mathematische Verfahren zu ersetzen. Das führt dazu, daß Funktionen,
die bisher im wesentlichen von rein mathematischem Interesse waren, sehr
an praktischer Bedeutung gewinnen. So sind z.B. in den letzten Jahren
an der Technischen Hochschule in Aachen eine Reihe von Arbeiten über
Einflußflächen von Platten polygonaler Berandung [1J entstanden, bei
denen konforme Abbildungen mit Hilfe Jacobischer elliptischer Funktionen
hergestellt werden mußten. Dieselben Funktionen treten u.a. auch auf
bei der Berechnung elektrischer Filter und bei zahlreichen zweidimen
sionalen Problemen der Elektrotechnik, der Strömungslehre und der Ela
stizitätstheorie, die mit Hilfe der konformen Abbildung eines polygona
len Bereiches auf die Halbebene oder den Einheitskreis behandelt werden.
Die Berechnung der zur Konstruktion einer solchen konformen Abbildung
benötigten zahlreichen Funktionswerte von elliptischen Funktionen eines
komplexen Arguments führt aber auch bei Verwendung der bekannten Tafeln
[2J der Jacobischen Funktionen eines reellen Arguments zu einem sehr
großen, sich oft über Jahre erstreckenden Rechenaufwand, sofern man sich
nicht eines elektronischen Rechenautomaten bedienen kann.
Da aber die Genauigkeitsansprüche in vielen Fällen oft gar nicht so
groß sind, liegt der Gedanke nahe, die benötigten Funktionswerte mit
Hilfe von Nomogrammen zu bestimmen, sofern diese Funktionen eine solche
Darstellung gestatten. Nomogramme sind ein Hilfsmittel zur Rationali
sierung der Rechenarbeit bei technisch-wissenschaftlichen Aufgaben, und
sie werden dies wohl in einem hierfür geeigneten Anwendungsbereich, in
dem sich der Einsatz von elektronischen Maschinen nicht lohnt, auch
weiterhin bleiben. Insbesondere kann man sich mit ihrer Hilfe in vielen
Fällen den bei technischen Aufgaben so wichtigen Überblick über die
Parameterabhängigkeit gewisser Größen verschaffen, deren genauere Be
rechnung dann nur noch in einem oder wenigen Einzelfällen erforderlich
ist. Zudem ermöglicht es gerade der Einsatz elektronischer Rechenauto
maten, die nomographischen Hilfsmittel in viel größerem Umfange auszu
bauen. So können z.B. mit Hilfe dieser raschen und genauen Berechnungs
methode von ein und derselben Funktion zahlreiche, durch projektive
Transformationen ineinander überführbare Fluchtliniennomogramme herge
stellt werden, von denen jedes in einem anderen Bereich der Veränder
lichen besonders genaue Ablesungen erlaubt und besonders fein graduiert
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ist. Hierzu kommen noch die durch den Einsatz moderner Mittel der Zei
chen- und der Reproduktionstechnik gegebenen Möglichkeiten, so daß sich
insgesamt eine erhebliche Genauigkeitssteigerung für das Arbeiten mit
Nomogrammen ergibt.
Für einzelne Funktionen einer komplexen Veränderlichen, im wesentlichen
für die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen, sind
Fluchtliniennomogramme mit Hilfe elementarer geometrischer Überlegungen
schon vor längerer Zeit angegeben worden [3], [4], [5]. Außerdem ist
ein Sammelwerk mit ~ahlreichen Nomogrammen solcher Funktionen (insbe
sondere Hyperbelfunktionen und Exponentialfunktion eines komplexen Ar
guments) bereits in zweiter Auflage erschienen [6].
Im folgenden soll eine zusammenfassende und abschließende Darstellung
der Ergebnisse von Untersuchungen über die nomographische Darstellung
von Funktionen einer komplexen Veränderlichen gegeben werden. Über
einige dieser Ergebnisse wurde bereits in [7] und insbesondere in [S]
und [9] berichtet. Daher werden diese Ergebnisse in Kapitel 11, IV und
V des vorliegenden Berichtes z.T. in gekürzter Form dargestellt, je
doch so, daß sie auch ohne die Lektüre von [7] und [S] verständlich
sind. Die Untersuchungen in Kapitel IV sind hier unter allgemeineren
Gesichtspunkten als in [S] dargestellt. Darüber hinaus wurden durchweg
neue Abbildungen gewählt. In Kapitel I ist ein allgemeiner Weg zur
Darstellung einer beliebigen Funktion einer komplexen Veränderlichen
angegeben und durch Anwendungsbeispiele sowohl aus dem Bereiche elemen
tarer als auch höherer transzendenter Funktionen belegt. Endlich ist die
in Kapitel 11 dargestellte allgemeine Theorie in Kapitel 111 auf eine
systematische Untersuchung der Nomogramme elementarer Funktionen ange
wandt, wodurch Ergebnisse gewonnen werden, die erheblich über [3], [4],
[5] hinausgehen.
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I. Die allgemeine Darstellung einer analystischen Funktion
durch ein Nomogramm mit zwei Gleitkurvenscharen
1. Gleitkurvennomogramme für eine Funktion von zwei reellen
Veränderlichen
Eine Funktion u=u(x,y) läßt sich stets durch ein Netztafelnomogramm
mit zwei (kartesischen) Geradenscharen
~ = x, 11 y
und einer i.a. krummen Kurvenschar
u = u(~ ,11) ,
der Schar der Höhenlinien der Fläche u=u(x,y), darstellen (Abb. 1).
h
i
I
-i--
I
-1----
I I
-'+-'-'-+'-'1'-'-'-'-'-7 '(
'-'-'-'-'-'-'-'-'-'-'
._.~
. I I ~-----c-----~
I
I I
I
A b b i I dun g 1 A b b i I dun g 2
Netztafelnomogramm Gleitkurvennomogramm
(schematisch) (schematisch)
Durch eine Korrelation (duale Abbildung) entsteht hieraus ein Nomogramm
mit zwei geradlinigen PunktskaIen (die aus den bei den kartesischen
Geradenscharen hervorgehen) und einer Kurvenschar. Eine jede Kurve die
ser Schar ist das Hüllgebilde der 1 Geraden, die das duale Abbild der
00
1 Punkte je einer Kurve der Schar u=u(~,11) darstellen, d.h. jedem fe
00
sten Wert von u entspricht auch im dualen Bild je eine Kurve. Je drei
durch die funktionale Beziehung u=u(x,y) verknüpfte Werte u,x,y liegen
auf einer Ablesegeraden, welche die Tangente an die zugehörige u-Kurve
1
ist. Jede u-Kurve ist die Einhüllende der je 00 Verbindungsgeraden aller
Wertepaare x,y, die denselben Wert u=u(x,y) liefern. Daher heißen die
7
Seite
u-Kurven auch Gleitkurven, das zugehörige Nomogramm auch Gleitkurven
nomogramm (vgl. Abb. 2).
Der Begriff eines Gleitkurvennomogramms ist bereits theoretisch von
SCHWERDT in [4J eingeführt, hat aber offenbar nie eine Anwendung gefun
den. Jede beliebige Funktion von zwei reellen Veränderlichen, sofern
sie nur gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften besitzt, läßt sich
durch ein Gleitkurvennomogramm mit zwei geraden Skalen und einer Gleit
kurvenschar darstellen. Eine Verallgemeinerung besteht darin, an Stelle
der geradlinigen Skalen für x und y zwei beliebige Kurven als Träger
der Skalen für x und für y anzunehmen.
Bilden die je 001 Geraden für alle u-Werte je ein Strahlenbüschel, so
tritt an die Stelle der Gleitkurvenschar eine (i.a. krummlinige) Skala,
die u-Skala, und die Funktion läßt sich durch ein Fluchtliniennomogramm
darstellen. Die dazu duale Netztafel besteht jetzt aus zwei kartesischen
und einer allgemeinen Geradenschar. Die heißt anamorphosierbar.
~~nktion
.
r: Gleitkurvennomogramme von Funktionen einer komElexen
'-
Veränderlichen
Gegeben sei die analytische Funktion
w = w(z)
mit
w = u + iv, z = x + iy, ( 1 , 1 )
ihre Umkehrung sei mit z = z(w) bezeichnet. Die Funktionen
u = u(x,y) ( 1 ,2a) v = v(x,y) ( 1 , 2b )
genügen den CAUCHY-R1EMANNschen Differentialgleichungen
u v u - v
x y y x
Dann läßt sich nach 1,1 für u = u(x,y) und v = v(x,y) je ein Nomogramm
mit zwei geradlinigen Leitern für die unabhängigen Veränderlichen x und
y und je einer Gleitkurvenschar für die abhängigen Veränderlichen u
bzw. v angeben. Die Leitern können ohne Einschränkung der Allgemeinheit
parallel angenommen werden, und zwar so, daß sie beiden Nomogrammen
gemeinsam angehören. Je zwei Wertepaare x,y und u,v, die durch (1,1)
verknüpft sind, liegen auf einer Ablesegeraden, die je eine u- und eine
v-Kurve berührt und die Skalenpunkte x und y verbindet.
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Haben die Skalen für x und y die Darstellung
~ = 0, ~ = c,
so gilt für das in Abbildung 3 angegebene Koordinatensystem ~, 1) folgen
de Gleichung der Ablesegeraden:
g2-g1 ° .
F(~,1) ,x,y) == 1) - -- ( 1 ,5)
c
-
- ~
A b b i 1 dun g 3 A b b i 1 dun g 4
Zur Gleichung der Ablesegeraden Gleitkurvennomogramm eines
Funktionensystems
Hieraus erhält man für die Gleichung ihrer Hüllkurven
u = const bzw. v = const
und damit für die Parameterdarstellung der beiden Gleitkurvenscharen
unter Berüc,k sichtigung von (1,3):
g1 uy
g
= C --:,---71--
g1Uy+g2ux
(u-Schar) , ( 1 ,6)
, ,
g1g2Uy+g1g2Ux
, ,
11 =
g1Uy + g2ux
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