Die nichtzentrale t-Verteilung: Grundlagen und Anwendungen mit Beispielen

112 Pages·1970·4.02 MB·German

by  M. Kühlmeyer (auth.)

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lungen der mathematischen Qkonometrie und Unternehmensforschung berichten, wobei
insbesondere auch Berichte und Darstellungen der fur die praktische Anwendung inter
essanten Methoden erwunscht sind. Zur Veroffentlichung kommen:
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2. Spezielle Vorlesungen uber ein neues Gebiet oder ein klassisches Gebiet"in neuer Betrach-
tungsweise.
3. Seminarausarbeitungen.
4. Vortrage von Tagungen.
Ferner kommen auch altere vergriffene spezielle Vorlesungen, Seminare und Berichte in
Frage, wenn nach ihnen eine anhaltende Nachfrage besteht.
Die Beitrage durfen im Interesse einer groEeren Aktualitat durchaus den Charakter des Un
fertigen und Vorlaufigen haben. Sie brauchen Beweise unter Umstanden nur zu skizzieren
und durfen auch Ergebnisse enthalten, die in ahnlicher Form schon erschienen sind oder
spater erscheinen sollen.
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Lectu re Notes in
Operations Research and
Mathematical Systems
Economics, Computer Science, Information and Control
Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. Kunzi, Zurich
31
M.KUhlmeyer
Betriebsforschungsinstitut des Vereins
Deutscher Eisenhuttenleute, Dusseldorf
Die nichtzentrale t-Verteilung
Grundlagen und Anwendungen mit Beispielen
Springer-Verlag
Berl in· Heidel berg . New York 1970
Advisory Board
H. Albach A. V. Balakrishnan F. Ferschl
W. Krelle . N. Wirth
Meinen Eltern
ISBN-13: 978-3-540-04954-8 e-ISBN-13: 978-3-642-48219-9
DOl: 10.1007/978-3-642-48219-9
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© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1970.
Title No. 3780
Vorbemerkung
Bei statistischen Auswertungen sind in der Reget weder die Mittet
werte noch die Streuungen von normatverteitten Grundgesamtheiten be
kannt und mUssen deshatb aus Stichproben geschatzt werden. Dabei ver
tangen die ktassischen Methoden der Schatz- und PrUfverfahren - wie
sie in den meisten LehrbUchern der Mathematischen Statistik zu finden
sind - in gewissen Anwendungsfatten haufig einen zu hohen Stichproben
aufwand im Verhattnis zur Aussagegenauigkeit.
In diesem Buch, das aus den BedUrfnissen der Praxis heraus entstanden
ist, wird eine Reihe wichtiger und haufig auftretender Probteme aufge
zeigt, die sich mit der nichtzentraten t-Verteitung - Ubrigens einer
echten Verattgemeinerung der Student'schen t-Verteitung - zweckmaSig
und vor attem mathematisch richtig behandetn tassen. Stichworte fUr
die haufigsten Anwendungen sind aus dem Inhattsverzeichnis zu ent
nehmen.
DaS die nichtzentrate t-Verteitung und die daraus abteitbaren Techniken
in der Industrie- und Iaborpraxis heute trotz ihrer augenscheintichen
VorzUge noch verhattnismaSig wenig Anwendung finden und man sich mit
Behetfsmethoden aushitft, mag woht daran tiegen, daS die wesenttichen
Arbeiten darUber in fUr den Praktiker schtecht erreichbaren Fachzeit
schriften schtummern. Dem abzuhetfen, sott die vortiegende Veroffent
tichung dienen.
Um diese Arbeit fUr den Statistiker in der Industrie und fUr den
Hochschutstudenten mogtichst teicht verwertbar zu machen, wurde nach
jedem Anwendungsfatt - soweit es sinnvott erschien - eine kurze Formet
zusammenfassung angefUgt. Vott durchgerechnete Beispiete sotten hetfen,
das Verstandnis zu vertiefen und die Anwendung zu erteichtern.
Die Tafetn und Diagramme im Anhang sind ebenfatts so berechnet bzw.
ausgewahtt, daS die vortiegende Arbeit fUr sich attein gut verwendet
werden kann, ohne fUr die Anwendung ein ausgedehntes Literaturstudium
zu vertangen.
Inhaltsverzeichnis
I Einfuhrung und AbriE der ktassischen Schatz- 3
theorie der Normatverteitung
1.1 Mittetwert und Streuung 3
1.2 Fraktite der Normatverteitung 6
1.3 Ein haufig vorkommender Fatt, der mit Hitfe der X2_ 7
und t-Verteitung nicht mehr gut zu tosen ist.
II Die nichtzentrate t-Verteitung 10
11.1 Definition der nichtzentraten t-Verteitung 10
11.2 Zusammenhang zwischen zentrater (= Student'scher) 10
und nichtzentrater t-Verteitung
III Mathematische Eigenschaften der nichtzentraten 14
t-Verteitung
IV Der Variationskoeffizient einer Stichprobe 19
V Einseitige Toteranzgrenzen fur Normatverteitungen 26
VI Vertrauensbereiche fur einseitige Fraktite 33
VII Einseitige Stichprobenptane fur messende Prufung 37
VII.1 Annahmewahrscheintichkeit und AusschuEprozentsatz 37
VII.2 Vorgabe zweier Punkte der Operationscharakteristik 40
VIII Einseitige Vertrauensgrenzen fur die tineare 44
Regression
IX Die Teststarke des Student'schen t-Tests und zweck- 50
maBige Waht von PrUfgenauigkeit und Probenumfang
IX.1 Der Fatt einer Stichprobe 50
IX.2 Der Fatt zweier Stichproben 53
X Benutzung der Tafetn zur nichtzentraten 60
t-Verteitung
X.1 Bestimmung des Nichtzentratitatsparameters 6 60
X.2 Bestimmung der Integratgrenzen to 64
XI Approximationen der Verteitungsfunktion fUr die 66
nichtzentrate t-Verteitung
XI.1 Approximation nach Hatperin 66
XI.2 Approximation durch Normatverteitung 67
XI.3 Approximationen fUr speziette Integratgrenzen 70
Anhang: Tafetn und Diagramme 74
Los u n g e n 94
Literaturverzeichnis 103
- 3 -
I EinfUhrung und AbriB der ktassischen Schatztheorie
der Normatverteitung
Eine Normatverteitung mit Mittetwert ~ und Standardabweichung a
(bzw. Streuung = Varianz = a2) wotten wir mit N(~,a2) bezeichnen.
Die Dichte dieser Verteitung hat die Form
2
(1. 1 ) cp(xl~,a2) = _1_ exp (_ (x - IJ.) ) mit (a > 0)
a/2ri 2 a2
und die Wahrscheintichkeit, daB eine zufattige Variabte X , die nach
N(~,u2) verteitt ist, kteiner ats S ist, wird durch
S S
2
(1. 2) W(X ~ s) = J cp(xlIJ.,U2) dx = J exp (_ (x - IJ.) ) dx
00 a/2ri -'" 2 a2
gegeben. Damit ist die Normatverteitung N(IJ.,a2) an sich charakteri
siert.
In der Praxis weiB bzw. postutiert man meist, daB eine zufattige
Variabte normatverteitt sei und bestimmt aufgrund einer Stichprobe
einen Schatzwert fUr Mittetwert und Streuung dieser Normatverteitung.
Seien die Werte
die MeBwerte (= Reatisierungen der zufattigen normatverteitten Variabten
X) der betrachteten Stichprobe, dann ist das arithmetische Mittet
1
(1. 3) x
iT
ein Schatzwert fUr den Mittetwert (Erwartungswert) IJ. und
(1.4 )
ein Schatzwert fUr die Standardabweichung a der Verteitung N(IJ.,a2).
- 4 -
Praktische Aufgaben erfordern meist RUckschtUsse von der Stichprobe
auf die Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe stammt, atso von den
MeBwerten x1' •••• , xN auf N(~,a2) . Sotche RUckschtUsse konnen nun
von der Art sein, daE man gewisse Vermutungen (Hypothesen) Uber die
Verteitung N(~,a2) auf ihre Richtigkeit testet oder Vertrauensinter
vatte fUr Fraktite bestimmt, wobei wir hier das Fraktit oder die Sicher
heitsgrenze S zu einer bestimmten Wahrscheintichkeit p durch
S
J
(1.5) P = ~(xl~,a2) dx
definiert wird. Der Mittetwert ist damit ein speziettes Fraktit,
~
namtich das 50 %-Fraktit, da
(1.6) 0,5
ist.
Hat man die Stichprobe xi' i=1, •••• N und daraus Mittetwert x und
Standardabweichung s berechnet, so ist x eine Schatzung des Mittet
werts (Erwartungswertes) ~ der Grundgesamtheit und man kann ein Inter
vatt angeben, in dem ~ mit einer gewissen Aussagesicherheit a tiegt.
Dieses Intervatt heiEt Vertrauensintervatt oder Mutungsintervatt fUr
~ zur Aussagesicherheit a • Man kann es bekannttich teicht in der
Form
(1.7) x - t(N-1, 1-a) • s < ~ < x + t(N-1, 1-a) s
IN
~
schreiben. Dabei sind die Faktoren t(N-1, 1-a) die Integratgrenzen
der bekannten Student'schen t-Verteitung mit dem Freiheitsgrad
f = N-1 und der beidseitigen Irrtumwahrscheintichkeit a •
Bitd 1 t-Verteitung fUr f =
- 5 -
Der der Grundgesamtheit tiegt.mit der Wahr
wirk~iche Mitte~wert ~
scheintichkeit 1-U in dem Intervatt, das durch (1.7) gegeben wird.
Die tinke bzw. rechte Ungteichung von (1.7) gitt dann fUr die ein
seitige Irrtumswahrscheintichkeit a/2 , da die t-Verteitung symme
trisch ist. Tafet 1 tiefert fUr verschiedene StichprobengroBen und
Aussagesicherheiten 1-U die Faktoren t(N-1, 1-U)/1N. Man braucht
fUr die Berechnung der Genauigkeit des nur diese Ta
a~so Mitte~werts
fet zu benutzen, ohne der t-Verteitung aufsuchen und umstand
Tabet~en
tich rechnen zu mUssen.
Auf die Standardabweichung kann man von der Standardabweichung s
0
der Stichprobe schtieBen. Mit Hitfe der Pearson'schen x2-Vertei~ung
kann man das Mutungsintervat~ fUr 0 angeben:
(1.8)
wobei X2(N-1, B) dasjenige Fraktit, unterhatb dessen der Anteit B
einer x2-Verteitung mit f=N-1 Freiheitsgraden ~iegt. X2(N-1, 1-B)
ist ana tog definiert.
qJ~~---~---------~------~---------,-------~---------_
r
~2r-~~--T-------~-------+------~------~~----~
20 21,
Bitd 2: x2-Verteitung
In dem Mutungsintervatt (1.8) tiegt mit der Wahrscheintichkeit
0
1 - 2B • Die tinke bzw. rechte Ungteichung gitt mit der Wahrscheintich
keit 1-B.
Tafet 2 zeigt die Faktoren, mit denen s muttiptiziert werden muB, um
die Vertrauensgrenzen fUr 0 zu erha~ten.
Weiterhin kann man nattirtich auch die t- bzw. die x2-Verteitung ver-
- 6 -
wenden, um z.B. zu testen, ob ein Mittetwert x statistisch von einem
vorgegebenen Wert ~ verschieden ist, bzw., ob s und ein Wert a
statistisch libereinstimmen konnen oder nicht.
Wir werden im weiteren Vertauf unserer tibertegungen noch after auf die
Fraktite der Normatverteitung zu sprechen kommen. Aus diesem Grund
seien hier einige Beispiete eingeflihrt.
Wie aus Bi td 3 ersichttich, kann man den Abstand S-I-l durch ein Viet
faches von a ausdrlicken, namtich
(1. 9)
Bitd 3
Diese Zahten Kp haben in der Theorie der Normatverteitung eine grund
tegende Bedeutung. Es ist namtich
. I-l+K a
I ~(xll-l,a2) =
(1.10) p p
o
una bhangig von a • Es tiegt atso . tinks von Fraktn ~+K p a der Anteit
p der Normatverteitung N(~,a2)
K _ S-I-l
Nun ist p - a nach N(O,1) verteitt und man erhatt Kp aus
Tafetn der Normatverteitung N(0,1) fUr einen bestimmten p-Wert und
- 7 -
umgekehrt. Z.B. ist fur Kp =-1,96 der Anteit tinks von Kp bei
N(0,1)-Verteitung p = 0,025.
1.3 Ein haufig vorkommender Fatt, der mit Hitfe der X2_ und
_____________ _
~=Y~~!~!!~Eg_E!£~!_~~~~_g~!_~~_!£~~E_!~!~
Ein Produkt, z.B. eine Lieferung von Stabstaht sei auf seine MaShattig
keit im Hinbtick auf seinen Durchmesser D zu prufen. Der Mindest
durchmesser sei Dm. Es ist somit der (AusschuS-)Anteit p der ats
Grundgesamtheit betrachteten Lieferung aufgrund einer Stichprobe abzu
schatzen.
Setzt man wie gewohntich voraus, daS die Durchmesser im vorgetegten
Los normatverteitt nach N(~,a2) seien, dann ist der AusschuSanteit
p des Loses gerade der Bruchteit der Gesamtheit, der Durchmesser
D < D aufweist, wobei
m
- D
(1.11) = ~ m
den zu K' gehorigen AusschuSanteit p tiefert. (K~ = - K )
P P
Bitd 4
Da jedoch ~ in der Reget nicht bekannt ist, sondern durch x aus
einer Stichprobe geschatzt werden muS, muS man praktisch in (1.11)
das Mutungsintervatt gemaS (1.7) fur ~ einsetzen und man erhatt von
(1.7) aus der rechten Ungteichung