Die innere Geometrie der metrischen Räume

535 Pages·1961·17.26 MB·German

by  Dr. Willi Rinow (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· E. HEINZ . F. HIRZEBRUCH . E. HOPF
H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS . F. K. SCHMIDT
K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN
BAND 105
DIE INNERE GEOMETRIE
DER METRISCHEN RAUME
VON
WILLI RINOW
SPRINGER-VERLAG
BERLIN HEIDELBERG GMBH
1961
DIE INNERE GEOMETRIE
DER METRISCHEN RAUME
VON
DR.WILLI RINOW
PROFESSOR
AN DER ERNST MO RITZ ARNDT-UNIVERSITAT
GREIFSWALD
SPRINGER-VERLAG
BERLIN HEIDELBERG GMBH
1961
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRÜCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (PHOTO KOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFÄLTIGEN
© BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1961
URSPRÜNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG_ BERLIN • GÖTTINGEN • HEIDELBERG 1961
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1S T EDITION 1961
ISBN 978-3-662-11500-8 ISBN 978-3-662-11499-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-11499-5
BRÜHLSCHE UNIVERSITÄTSDRUCKEREI GIESSEN
Vorwort
Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen
Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben,
also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von
C. F. GAUSS durch die Entdeckung begründet, daß das Produkt der
Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist.
B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr
dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten
aus. Während man zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten
in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer
quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in
seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all
gemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. RIEMANN
erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD
über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. HILBERT
über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich
die Erkenntnis immer mehr durch, daß ein großer Teil der Methoden,
insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Großen
entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur
der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be
nötigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes
ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits
voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die
Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst
mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen
Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden.
Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. ALEXANDROW[6J,
L. M. BLuMENTHAL [1J und H. BUSEMANN [lOJ zusammengefaßt, von
denen jedes eine eigene Problemstellung verfolgt. Das erste Buch befaßt
sich mit dem Problem der Realisation einer metrischen Fläche nicht
negativer Krümmung durch konvexe Flächen, das zweite behandelt
die Frage nach der isometrischen Einbettbarkeit eines metrischen Rau
mes in den euklidischen, elliptischen und hyperbolischen Raum und das
dritte vorwiegend die Theorie der Geodätischen in metrischen Räumen
nichtpositiver Krümmung sowie damit zusammenhängende Problem
stellungen, die durch die Axiomatik der elementaren und projektiven
Geometrie angeregt worden sind.
VI Vorwort
Das vorliegende Buch war ursprünglich als ein Ergebnisbericht
geplant, und zwar zu einem Zeitpunkt, als die Bücher von L. M. BLu
MENTHAL und H. BusEMANN noch nicht erschienen waren. Das Literatur
studium ergab, daß die einzelnen Autoren je nach den verfolgten Zielen
unterschiedliche Voraussetzungen und stark voneinander abweichende
Definitionen verwendeten, deren Zusammenhänge erst noch geklärt
werden mußten. So erschien es mir zweckmäßiger, statt eines Ergebnis
berichtes, einen systematischen Aufbau der inneren Geometrie der metri
schen Räume zu versuchen.
Die innere Geometrie der metrischen Räume erfordert in einem
hohen Maße topologische Hilfsmittel. Um der Darstellung einen mög
lichst selbständigen Charakter zu geben, habe ich mich entschlossen, die
Topologie der metrischen Räume, soweit sie benötigt wird, ausführlich
zu behandeln. Mit Rücksicht auf den Umfang des Buches konnte jedoch
die Dimensions- und Homologietheorie nicht mit einbezogen werden. Es
ließ sich daher nicht vermeiden, im § 46 den Satz von der Gebiets
invarianz und in den Paragraphen, in denen zweidimensionale Mannig
faltigkeiten behandelt werden, Ergebnisse der Flächentopologie ohne
Beweis zu verwenden. Vorausgesetzt wird ferner die Kenntnis der
Differentialgeometrie. Diese ist allerdings nicht für den systematischen
Aufbau nötig, wohl aber für ein besseres Verständnis der Problem
stellungen und für die Bereitstellung eines genügend umfangreichen Bei
spielmaterials. Weitere Voraussetzungen sind die Grundtatsachen der
analytischen Geometrie, der Gruppentheorie und an einigen Stellen
auch der Theorie der reellen Funktionen.
Eine Vollständigkeit in der Darstellung der Ergebnisse der inneren
Geometrie wird nicht angestrebt. Die getroffene Auswahl ist aus dem
Inhaltsverzeichnis ersichtlich und mehr oder weniger durch die persön
liche Vorliebe bedingt. Die Methoden der direkten Variationsrechnung
von M. MORSE, die ja auch in den hier behandelten Problemkreis hinein
gehören, müssen leider wegbleiben, da ihre Abhandlung ohne ein aus
führliches Eingehen auf die Homologietheorie unmöglich ist. Ebenso er
fordert das Helmholtz-Lie-Riemannsche Raumproblem sehr tiefgehende
Kenntnisse aus der Theorie der topologischen Gruppen, wenn man die
neuesten Ergebnisse berücksichtigen will. Außerdem sind die älteren
Ergebnisse bereits in dem Buch von H. BusEMANN dargestellt. Für eine
Theorie des Flächeninhaltes und der Minimalflächen liegen noch zu wenig
abgeschlossene Resultate vor. Das Mengersche Einbettungsproblem und
das Realisationsproblem von A. D. ALEXANDROW werden nicht abge
handelt, da sie durch die eingangs genannten Bücher bequem zugänglich
sind. Dagegen ist die Alexandrowsche Theorie der Krümmung und ein
großer Teil der Busemannschen Untersuchungen mit aufgenommen, da
sie für die innere Geometrie von grundsätzlicher Bedeutung sind.
Vorwort VII
Das vorliegende Buch ist auf Anregung von Herrn Professor Dr. F.
K. SCHMIDT geschrieben worden. Für sein Interesse, das er an dem Fort
gang meiner Arbeit genommen hat und für seinen Vorschlag, dieses
Buch in die Sammlung der Grundlehren der mathematischen Wissen
schaften aufzunehmen, spreche ich ihm meinen besten Dank aus. Für
die Unterstützung meiner Arbeit danke ich vor allem Herrn H. E. LAH
MANN. Er hat mit unermüdlichem Interesse sowohl das Manuskript,
als auch die Korrekturen durchgesehen und auch die Herstellung eines
Namen- und Sachregisters übernommen. Ihm und Herrn H. POPPE, der
die Korrekturen mitgelesen hat, verdanke ich viele Verbesserungs
vorschläge. Ich danke schließlich dem Verlag für die Bereitwilligkeit,
mit der er auf meine Wünsche eingegangen ist sowie für die sorgfältige
und schöne Ausstattung dieses Buches.
Greifswald, im November 1960 W. RINOW
Inhaltsverzeichnis
Erstes Kapitel: Metrische Geometrie und Topologie
§ 1. Grundbegriffe der metrischen Geometrie
Begriff des metrischen Raumes
Teilräume ..... .
Isometrie ..... . 2
Der euklidische Raum 3
Der sphärische Raum 4
Der hyperbolische Raum 5
Lineare metrische Räume 8
Das metrische Produkt . 9
§ 2. Die Topologie des metrischen Raumes
Umgebungen .............. . 11
Die topologische Struktur eines metrischen Raumes. 11
Topologisch äquivalente Metriken 12
Topologie in Teilräumen. . . . . 14
Das Innere und die Begrenzung . 15
Der allgemeine Umgebungsbegriff 16
§ 3. Abgeschlossene Mengen
Die abgeschlossene Hülle 17
Abgeschlossene Mengen. 18
Dichte Mengen 19
Die Abweichung zweier Mengen 19
Normalität . . . . . . . 21
§ 4. Vollständige Räume
Konvergenz . . . . . . . 22
Konvergenz in Produkträumen 23
Cauchysche Folgen. . . . . . 24
Vollständige Räume ..... 25
Vervollständigung eines Raumes 27
§ 5. Kompakte und finit kompakte Räume
Häufungspunkte . 30
Kompakte Mengen 31
Totalbeschränkte Mengen 33
Separable Räume 35
überdeckungssätze . . . 37
Finit kompakte Räume . 39
Lokal kompakte Räume 41
§ 6. Zusammenhang
Zusammenhängende Mengen 43
Beispiele zusammenhängender Räume. . . . . . . 46
Inhaltsverzeichnis IX
Komponentenzerlegung. . . . . 47
Lokal zusammenhängende Räume 48
§ 7. Der abgeschlossene Limes
Unterer und oberer abgeschlossener Limes 50
Grundeigenschaften der abgeschlossenen Konvergenz 50
Die Busemannsche Metrik 53
Die Hausdorffsche Metrik . . . . . . . . . . . . 56
Zweites Kapitel: Stetige Abbildungen
§ 8. Grundeigenschaften der stetigen Abbildungen
Definition . . 58
Allgemeine Sätze über stetige Abbildungen 59
Stetige Abbildungen kompakter Räume 61
Stetige Abbildungen zusammenhängender Räume 63
Stetige Abbildungen von Produkträumen 63
§ 9. Stetige und gleichmäßige Konvergenz
Konvergenz von Abbildungsfolgen 63
Stetige Konvergenz . . . . . 64
Gleichmäßige Konvergenz 65
Lokal gleichmäßige Konvergenz 68
Konvergenz der Graphen . . . 69
Eine Ummetrisierung lokal kompakter Räume 74
Separabilitätsbedingungen . . . . . . . . 76
§ 10. G1eichgradig stetige Familien
Begriff der gleichgradigen Stetigkeit 78
Der Satz von Ascoli . . . . . . . 79
Gleichmäßig beschränkte Familien . 81
Dehnungsbeschränkte Abbildungen 82
§ 11. T- und F-Räume
Topologische Äquivalenz von Abbildungen 82
Die Frechetsche Äquivalenz . . . . . 83
Metrisierung des Räumes der F-Räume .. 84
Mehrfache Punkte . . . . . . . . . . . 87
Stetige Abbildungen von T- und F-Räumen 87
§ 12. Kurven
Die Kurventypen . . . . . . . 88
Die Endpunkte . . . . . . . 88
Nichtausgeartete Parameterdarstellungen 89
Geschlossene Kurven . . . . . . . . . 94
Orientierung ........... . 95
Zerlegungen und Zusammensetzungen von Kurven 98
Drittes Kapitel: Die innere Metrik
§ 13. Die Länge einer Kurve
Vorbereitende Betrachtungen 99
Die Kurvenlänge 100
Die Länge als Parameter . . 103
x Inhaltsverzeichnis
Differenzierbarkeitseigenschaften. . . . . . . 106
Parameterfreie Kennzeichnung der Kurvenlänge 109
Die Länge geschlossener Kurven ..... . 111
§ 14. Der Raum der rektifizierbaren Kurven
Kompaktheitskriterien 112
Die Längenkonvergenz . . 114
§ 15. Die innere Metrik
Finit bogenverknüpfte Räume 116
Die innere Metrik 118
Räume mit innerer Metrik 121
Die innere Geometrie. . . 122
§ 16. Finslersche Räume
Erzeugung von inneren Metriken. . . . . . . . . 123
Topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten 127
Finslersche Mannigfaltigkeiten. . . . . 129
Die Metrik in einem Finslerschen Raum 130
Viertes Kapitel: Theorie der Kürzesten
§ 17. Kürzeste
Definition und allgemeine Eigenschaften. 140
Existenzsätze . . . . . . 141
Konvergenz von Kürzesten 142
Polygone ....... . 143
Anwendungen und Beispiele 145
§ 18. Konvexität
Die Zwischenbeziehung 146
Konvexitätsbegriffe 147
Konvexe Teilmengen . 151
Einfach konvexe Räume 152
Fastkonvexe Räume . . 154
Sphärische Umgebungen in fastkonvexen Räumen 157
§ 19. Metrische Singularitäten
Durchgangs-und Fluchtpunkte. 160
Verzweigungspunkte . . . . 162
§ 20. Geodätische
Geodätische Kurven 164
Geodätische Strahlen 165
Geodätische. . . . 167
§ 21. Absolute konjugierte Punkte
Geraden und Kreise 168
Existenz gerader Strahlen. . 169
Absolute konjugierte Punkte 172
Die Schale eines Punktes . . 173
Eindeutigkeit der Kürzesten im Kleinen 174