Die Gesetze der Grossen Zahlen

176 Pages·1968·6.139 MB·German

by  Pál Révész (auth.)

PAL REVESZ
DIE GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 35
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS Dlnl GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
P.AL REVESZ
DIE GESETZE
DER
GROSSEN ZAHLEN
SPRINGER BASEL AG 1968
Titel der Originalausgabe:
The Laws of Large Numbers
Akademiai Kiad6, Budapest 1967
"Übersetzt von Frau Eva Vas
ISBN 978-3-0348-6941-6 ISBN 978-3-0348-6940-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6940-9
© 1968 Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag, Basel und Akadémiai Kiadó, Budapest 1968
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1968
INHALTSVERZI<JICHNIS
EINLEITUNG 7
Kapitel 0
DER MATHEMATISCHE HINTERGRUND ll
0.1. Maßtheorie ll
0.2. ·wa hrscheinlichkeitstheorie 15
o.:{. Stochastische Prozesse 20
0.4. Hilbert- und Banachräume 23
0.5. Ergodentheorie 26
O.!i. OrthogonalreihPn 29
Kapitel l
DEFINITIONEN UND ALLGEMEINE ZUSAMMENHÄNGE :H
l.l. Die verschiedenen Arten <lPr GesPtze der großen
Zahlen 31
1.2. Allgemeine Sätze 34
Kapitel 2
UNABHÄNGIG-E ZU.FALLR\TERÄNDERLICHE 39
2.1. Ungleichungen 39
2.2. Der Dreireihensat" 41
' 2.3. \Velche sind die möglichen Grenzworte? 45
s~
s 2.4. Konvergenz im Mittel 45
2.5. Schwache Gesetze 46
~ 2.6. Schätzung der Geschwindigkeit der Konvergenz 53
§ 2.7. Starke Gesetze 59
§ 2.8. Das Gesetz vom iterierten Logarithmus 67
s§ 2.9. Zufallsveränderliche mit dersdben Verteilung 7l
2.10. Gewogenes Mittel 74
§ 2.11. Konvnrgenz gegen + = 79
Kapitol :{
ORTHOGONALE ZU.FALLSVERÄNDEHLICHE 82
s
:u. Ungleichungen 82
~- :L2. Konvergenz von HeihPn und ein starkes GesPtz
der großen Zahlen 85
§ 3.:{. Multiplikative Systeme 87
§ a.4. Spezielle Orthogonalfolgen 95
6 INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 4
~TATIONÄRE FOLGEN 97
§ 4.1. Stationäre Folgen im strengen Sinn 97
§ 4.2. Starke und schwache Gesetze für stationäre Folgen
im schwachen Sinn 100
§ 4.3. Schätzung der Kovarianzfunktion 101
Kapitel 5
TEILFOLr+EN AU8 FOLGENVON ZUFALLSVERÄNDERLICHEN 103
§ 5.1. Eine Vermutung von Steinhaus 103
§ 5.2. Teilfolgen von stationären Folgen 112
§ 5.3. Teilfolgen spezieller Orthogonalfolgen 113
Kapitel 6
t-IYMMETRISCH ABHÄNGIGE ZUFALLSVERÄNDERLICHE
UND IHRE: VERALLGEMEINERUNGEN 118
§ 6.1. Symmetrisch abhängige Zufallsveränderliche 118
§ 6.2. Quasiunabhängige Ereignisse 123
§ 6.3. Quasimultiplikative Systeme 126
Kapitel 7
MARKOFFSORE KETTEN 129
§ 7.1. Homogene Markoffsehe Ketten 130
s
7.2. Inhomogene Markoffsehe Ketten 131
§ 7 .3. Das Gesetz vom iterierten Logarithmus 136
Kapitel S
SCHWACH ABHÄNGIGE ZUFALLSVERÄNDERLICHE 137
§ 8.1. Ein allgemeiner Satz über zentrierte Zufalls-
veränderliche 137
§ 8.2. Mischung 140
Kapitel 9
UNABHÄNGIGE ZUFALLSVERÄNDERLICHE MIT
WERTEN AUS EINEM ABSTRAKTEN RAUM 144
§ 9.1. Unabhängige Zufallsveränderliche mit Werten aus
einem Hilbertraum 145
§ 9.2. Unabhängige Zufallsveränderliche mit Werten aus
einem Banachraum 146
Kapitel10
SUMME EINER ZUFÄLLIGEN ANZAHL
VON ZUFALLSVERÄNDERLICHEN 149
Kapitell I
ANWFJNDUNGEN 152
§ 11.1. Anwendungen in der Zahlentheorie 152
§ 11.2. Anwendungen in der Statistik 158
§ 11.3. Anwendungen in der Informationstheorie 168
BIBLIOGRAPHIE 169
AUTORENVERZEICHNIS 175
EINLEITUNG
Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wird zumeist mit dem der relativen
Häufigkeit verbunden. Deshalb erschien es naheliegend, zu versuchen, eine
mathematische Theorie der Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Begriffes der
relativen Häufigkeit aufzubauen. Dieser Weg wurde auch tatsächlich
beschritten (z. B. durch MrsES [1], [2] in den ersten Jahrzehnten unseres
Jahrhunderts), da dies aber leider nicht zu genügend tiefen Resultaten
geführt hatten, war es nötig, eine andere Möglichkeit zu suchen. Diese
hat KOLMOGOROFF in der axiomatischen Behandlung der Wahrscheinlich
keit gefunden. \Vill man sich jedoch davon überzeugen, daß diese Theorie
mit den natürlichen Vorstellungen über die Wahrscheinlichkeit in Einklang
Rteht, so muß man die Beziehungen zwischen der axiomatischen Definition
der Wahrscheinlichkeit und der relativen Häufigkeit untersuchen. Die
l<~rgebnis.~e dieser Untersuchungen sind die sogenannten Gesetze der großen
Zahlen. Ahnlieherweise lassen sich auch Zusammenhänge zwischen anderen
theoretischen und praktischen Begriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie
- wie z. B. Erwartungswert und Mittelwert, theoretische und empirische
Varianz - mit Hilfe der Gesetze der großen Zahlen untersuchen.
Diese Bemerkungen weisen schon auf die große theoretische Bedeutung
des Problemkreises dieses Buches hin. Seine praktische Bedeutung ist
jedoch auch nicht geringer. Will man nämlich die unbekannte Wahrschein
lichkeit eines zufälligen Ereignisses oder den unbekannten Erwartungswert
einer Zufallsveränderlichen schätzen, so muß man nachweisen können,
daß die relative Häufigkeit und der Mittelwert einer Stichprobe zu der
entsprechenden Wahrscheinlichkeit bzw. zum Erwartungswert konver
gieren.
Diese statistische Anwendung der Gesetze der großen Zahlen wirft
weitere Probleme auf: erstens die Frage nach der Geschwindigkeit der
Konvergenz der relativen Häufigkeit bzw. des Stichprobenmittelwertes,
zweitens die des Verhaltens des Stichprobenmittelwertes, wenn die Stich
probenelemente nicht notwendigerweise unabhängige Zufallsveränderliche
mit derselben Verteilung sind. Arbeitet man in der Praxis mit einer Klasse
::! Neuerlich wurde wieder der Versuch einer Annäherung aus dieser Richtung
unternommen, vor allem durch KoLMOGOROFF [3] und MARTIN·LÖF [1]. Ihre Ergeh·
nisse sind auf sehr tiefe mathematische Methoden aufgebaut, und sie vermögen,
in gewissem Sinne, das Problem von MISES zu lösen.
8 EINJ,EITUNG
stochastischer Prozesse, so ist es wichtig zu wissen, wie die Parameter
des Prozesses geschätzt werden können, oder - mit anderen Worten -
es ist wichtig, das entsprechende Gesetz der großen Zahlen zu kennen.
Die genaue Abgrenzung des Bereichs, den die Gesetze der großen Zahlen
umfassen, scheint sehr schwierig zu sein. Um eine Definition zu erhalten,
kann man versuchsweise sagen, daß jedes Gesetz der großen Zahlen - in
einem gewissen Sinne - die Konvergenz des Mittelwertes
+ + · · · +
~1 ~2 ~n
1] n-- n
der Zufallsveränderlichen ~v ;2, • • • gegen eine Zufallsveränderliche 'Yi
sichert. Tatsächlich gehören diesem Typ von Sätzen jedoch viele solche
Sätze an, die nichts mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit zu tun haben
(wie z. B. die klassischen Sätze von FEJER über die Cesaro-Summierbarkeit
der Fouriersehen Reihen). Deshalb wollen wir sagen, daß die Gesetze der
großen Zahlen solche Sätze sind, die die Konvergenz von 17" aussagen und
hinsichtlich der Wahrscheinlichkeitstheorie von Interesse sind. Offensicht
lich läßt es sich sehr schwer genau sagen, welche Sätze für die \Vahrschein
lichkeitstheorie interessant Rind. So kann es vorkommen, daß in diesem
Buch manche Probleme untersucht werden, die uns persönlich besonders
interessieren, obwohl sie nicht sehr enge Beziehungen zur Wahrscheinlich
keitstheorie haben, andere Probleme hingegen, die vielleicht näher mit
ihr verwandt sind, unberücksichtigt bleiben.
Untersucht man die Konvergenz von 1Jn, u. zw. die verschiedenen Arten
der Konvergenz, so erhält man demgemäß drei verschiedene Typen von
Gesetzen der großen Zahlen, die den folgenden drei Konvergenzbegriffen
entsprechentt:
1°. Stochastische Konvergenz: P(lrlm - rJ I > s) --+ 0 (Konvergenz dem
Maße nach, Konvergenz in \Vahrscheinlichkeit).
2°. Konvergenz im (quadratischen) Mittel: E[(nn - 1'})2] 0.
--+
3°. Fast sichere Konvergenz: P(rJn--+ rJ) = 1 (Konvergenz mit \Vahr
scheinlichkeit 1, Konvergenz fast überall).
Diesen Begriffen entsprechend ergeben sich drei verschiedene Typen der
Gesetze der großen Zahlen. In Zusammenhang mit einem jeden dieser
Typen werden wir die Geschwindigkeit der Konvergenz untersuchen. In
den ersten beiden Fällen ist die Bedeutung des Begriffes )>Geschwindigkeit
der Konvergenz<< klar. Im dritten Fall definiert man die Geschwindigkeit
der Konvergenz mit Hilfe der •>größten<< Funktion f(n), für welche
P(/(n) I nn- r1 I-+ 0) = 1; genauer gesagt, man untersucht die Klasse jener
Funktionen f(n), für welche dieser letzte Zusammenhang erfüllt ist. Dem
zufolge wird in diesem Buch auch der Satz vom iterierten Logarithmus
besprochen.
Obwohl in dem oben festgelegten Sinne die Behauptung der Konvergenz
einer Reihe der Form 2~ ck ~k (wobei {;k} eine Folge von Zufallsver
k=t
änderlichen und {cd eine reelle Zahlenfolge bezeichnen) nicht als ein
::t Die genauen Definitionen werden in § l.l gegeben.
EINLEITUNG 9
Gesetz der großen Zahlen betrachtet werden kann, werden wir manchmal
auch Sätze von diesem Typ prüfen, da aus der Konvergenz einer Reihe
von dieser Form auf Grund von Satz 1.2.2 sich sogleich ein Gesetz der
großen Zahlen ergibt.
Nun wollen wir einige Typen von Sätzen erwähnen, die zwar als Gesetze
der großen Zahlen aufgefaßt werden könnten, mit denen wir uns jedoch
in diesem Buch nicht beschäftigen werden.
Zunächst erwähnen wir, daß die Theorie der großen Abweichungen
nicht berücksichtigt wird, obwohl man anführen könnte, daß die hierzu
gehörenden Sätze gleichfalls ergebnisse über die Geschwindigkeit der Kon
vergenz für Fall I o ergeben. Im allgarneinen waren wir bestrebt, die Gesetze
der großen Zahlen von den Grenzwertsätzen abzugrenzen. Selbstverständ
lich läßt sich dies nicht in jedem Fall streng durchführen.
Eine andere Klasse von Sätzen, die wir hier ebenfalls nicht behandeln
wollen, sind die Gesetze der großen Zahlen für stochastische Prozesse mit
einem stetigen Parameter.
Die Probleme der Doppelfolgen werden auch nicht untersucht, es sei
aber an dieser Stelle erwähnt, daß sich in letzter Zeit mehrere Arbeiten
mit dieser Frage beschäftigten (siehe z. B. GNEDENKO-KOLMOGOROFF [1]
und ÜHOW (1 ]).
Unsere Zielsetzung ist, eine allgemeine Übersicht über die Ergebnisse
und wichtigsten Beweismethoden dieses Gebietes zu geben. Benötigt der
Beweis eines Satzes allzu spezielle Methoden, so wird dieser Beweis manch
mal weggelassen. Beispielsweise lassen sich einige Gesetze der großen
Zahlen für eine gewisse Klasse stochastischer Prozesse mit den allgemeinen
Beweismethoden dieses Gebietes beweisen; aber manchmal ist zum Beweis
eines solchen Satzes die Anwendung tiefer spezieller Eigenschaften eines
bestimmten stochastischen Prozesses nötig. In solchen Fällen geben wir
keinen Beweis an, denn in diesem Buch wollen wir uns mit den speziellen
Methoden der stochastischen Prozesse nicht beschäftigen. Beispielsweise
wird die Theorie der Martingale, die als Beweismethode zum Erhalten von
Gesetzen der großen Zahlen dienen kann, nicht besprochen.
In Kapitel 0 sind die wichtigsten Definitionen und Sätze zusammen
gefaßt, von denen in diesem Buch Gebrauch gemacht wird. Es muß jedoch
betont werden, daß wir in diesem Kapitel nicht beabsichtigen, eine syste
matische Behandlung zu geben. Dem Leser sollten die grundlegendsten
Resultate und Begriffe der Wahrscheinlichkeit (Frsz [1], GNEDENKO [1],
Lo:EvE [1], R:ENYI [IJ)1:t, der stochastischen Prozesse (DooB [1]), der Maß
theorie (HALMOS [1]), der Ergodentheorie (HALMOS [2], JACOBS [1]), der
Funktionentheorie (RrEsz-Sz. NAGY [1], YosHIDA [1]) usw. bekannt sein.
Ausschließliches Ziel von Kapitel 0 ist, durch die Zusammenfassung der
nötigen Vorkenntnisse dem Leser eine kleine Hilfe zu bieten.
Kapitel 1 behandelt die speziellen Begriffe und die allgemeinen Formen
der Gesetze der großen Zahlen. Die darauf folgenden Kapitel (bis zu Kapi-
j:): Die in Klammern stehenden Zahlen weisen auf einige Bücher hin, die die
notwendigen Vorkenntnisse enthalten. (Siehe das Literaturverzeichnis am Ende des
Ruches.)