Die Fourier–Transformation und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik

152 Pages·2008·4.92 MB·German

A FT I AnwendungenderFourier-Transformation
Die Fourier–Transformation
und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik
DieFourier–TransformationunddamitderZusammenhangzwischenZeit–undFrequenzbereichistderIn-
haltdiesesKapitels,dassichin6Teilegliedert.EswerdendarinnichtnurdieFormelnderF–Transforma-
tion besprochen, sondern anhand von Beispielen und Anwendungen deren Umsetzung in praktische Pro-
blemstellungen der Signal– und Systemtheorie gezeigt und geu¨bt. Dabei werden die Grundlagen fu¨r viele
technischeAnwendungenherausgearbeitet.NebenderDarstellungderGrundlagenwerdenQuerverbindun-
genzwischenundGemeinsamkeitenderAnwendungenaufgezeigt.
Insgesamt gesehen stellt das gesamte Kapitel u¨ber die F–Transformation und ihre Anwendungen das
Handwerkszeug bereit, das einIngenieur inder Praxis (mindestens)beno¨tigt um anschließend dieSpezial-
gebietedertechnischenAnwendungenrichtigverstehenundbeherrschenzuko¨nnen.
Die Darstellung beschra¨nkt sich nicht auf Formeln und Gleichungen, wenngleich man nicht ohne diese
auskommt.DieFormelnwerdenauchinterpretiertundbewertet.Die graphischeMethode“,diezurInterpre-
”
tationderGleichungendient,stellteineMo¨glichkeitdar,miteinemMinimumanFormelneinMaximuman
korrektenErgebnissenzuerzielen.GleichzeitigistdieseMethodesehrgeignetumZusammenha¨ngedurch-
schaubar zu machen. Sie dient zusa¨tzlich der Kontrolle der mittels Simulationsprogrammen auf dem PC
gewonnenenErgebnisse.
Teil 1
F-TransformationalsGrenzu¨bergangausderF-Reihe
•
GraphischeInterpretation
•
Derδ(t)Impuls
•
PhysikalischeInterpretation:Spekrtum-Analyzer
•
Teil 2
Sa¨tzederF-Transformation
•
Linearita¨t
•
SymmetrienvonZeitfunktionundSpektraldichte
•
Vertauschung
•
Zeit–Bandbreiten–Gesetz
•
PulsverrundungundRoll-Off
•
Zeitverschiebung
•
Kamm-FilterundTransversalesFilter
•
Teil 3
Frequenzverschiebung
•
Modulation
•
Differentiation
•
Integration
•
A¨quivalenteTiefpaß–Signale
•
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A FT II AnwendungenderFourier-Transformation
Teil 4
FaltungimZeitbereich
•
Faltungmitderδ–Funktion
•
DievereinfachteFaltung
•
FaltungimFrequenzbereich
•
KomplexeFaltung
•
Parseval’schesTheorem
•
AsymptotischesVerhalten
•
Gauß–Impuls
•
Teil 5
Energie–undLeistungs–Signale
•
HarmonischeFunktionen
•
EingeschalteteCos–undSin–Schwingung
•
PeriodischeFunktionen
•
δ–Kamm
•
AbgetasteteZeitfunktion
•
DimensionierungvonFIR–Filtern
•
FFT
•
Teil 6
Zufalls–Signale
•
VerteilungenundDichten
•
Gauß–Verteilung
•
Rayleigh–Verteilung
•
Korrelations–Koeffizient
•
Korrelations–Funktion
•
CharakteristischeFunktion
•
SpektraleLeistungsdichte
•
SpektrenDigitalerSignale
•
ImpulsantwortundKreuzkorrelation
•
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A FT III AnwendungenderFourier-Transformation
Inhaltsverzeichnis
1 Grenzu¨bergang,δ–Impuls,Zentralordinate
PhysikalischeundGraphischeInterpretation 1
1.1 DieDefinitionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 HerleitungderF–TransformationausderkomplexenF–Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 SpektraldichteundihreDimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 MessungderSpektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 BeispielzurVeranschaulichungdesGrenzu¨berganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 EinzelnerRechteckimpulsderBreite2T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 BerechnungderSpektraldichtemitdemFourier–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 DasgraphischeVerfahrenzurGewinnungeinerTransformierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Derδ–ImpulsundseineSpektralverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.1 AnwendungdesGraphischenVerfahrensaufdenδ–Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.2 AnwendungdesgraphischenVerfahrenszurGewinnungderSpektralverteilungdesδ–
Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.3 Einheitdesδ–Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.4 Derδ–Impulstechnischgesehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.5 MultiplikationmiteinemDirac–Impulsδ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.6 DieAusblend–Eigenschaftderδ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.7 BestimmungderSpektraldichtederδ–FunktionmitderAusblend–Eigenschaft. . . . . . 8
1.7 PhysikalischeInterpretationderF–Transformation:Spektrumanalyzer . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7.1 Tiefpa¨ssealsIntegratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7.2 DieSchwa¨chendiesesAnalysator–Konzeptes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Blockschaltungfu¨reinetechnischeRealisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8.1 MehrfachumsetzungbeitechnischenAnalyzern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.2 AnzeigenegativerFrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.3 WahlderAblenkgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 GraphischeInterpretationderFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9.1 UngeraderIntegrandbeisymmetrischenGrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9.2 GraphischeInterpretationderF–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9.3 Zentralordinaten–SatzderF–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Linearita¨t,Symmetrie,Vertauschung,A¨hnlichkeit,
Zeitverschiebung,Kammfilter,FIRFilter 15
2.1 Sa¨tzederFourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Linearita¨tssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 U¨bungsbeispielezumLinearita¨ts–Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Linearita¨tbeiU¨bertragungssystemen, BlackBox“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
”
2.2.3 Na¨herungsweiseLinearita¨tinderPraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 SymmetrienvonZeitfunktionundSpektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 KomplexeZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 SymmetrienzurKontrollevonErgebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 KonjugiertkomplexeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.4 ReelleZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.5 Imagina¨reZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.6 KomplexeZeitfunktionenbeiBasisband–Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.7 DieSpektraldichteinpolarerDarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.8 SymmetrienvonBetragundPhasederSpektraldichtenreellerZeitfunktionen . . . . . . 20
2.3.9 SpektraldichteundU¨bertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 VertauschungvonZeitfunktionundSpektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Vertauschungssatzfu¨rgeradeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 VertauschungmitGraphischemVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 TechnischeInterpretation:IdealerTiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4 Vertauschungssatzfu¨rungeradeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.5 TechnischeInterpretation1: BIPHASE–Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.6 TechnischeInterpretation2:Hilbertfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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A FT IV AnwendungenderFourier-Transformation
2.5 A¨hnlichkeitundZeit–Bandbreiten–Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 A¨hnlichkeitmitgraphischerMethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 DasZeit–Bandbreiten–GesetzderNachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.3 AnwendungaufverrundeteDatenimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.4 DasBandbreiten–DilemmabeipraktischenU¨bertragungsproblemen . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 ZeitverschiebungbewirkteinelinearePhasendrehungimSpektrum . . . . . . . . . . . . 30
2.6.2 Signal–LaufzeitaufeinerLeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.3 Signal–LaufzeitbeiSystemenmitnichtlinearerPhase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.4 LineareundnichtlineareSignalverzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.5 ZurDarstellungderSpektralverteilungzeitverschobenerSignale . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.6 Realanteilbzw.Imagina¨ranteilalsBetragundPhase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.7 AdditionbeiderPhasen–Anteile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.8 U¨bungsbeispielzurZeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.9 TechnischeAnwendung:Kammfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6.10 AnwendungvonKammfilternbeimFarbfernsehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.11 KammfilteralsPrototypdesterrestrischenFunkkanals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.12 TransversalesFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Frequenzverschiebung,Modulation,Differentiation,
Integration,A¨quivalentesTiefpaßsignal 41
3.1 Frequenzverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 AnalytischesSignal:NurpositiveFrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Modulationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Doppelseitenband–Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Amplituden–Modulation(AM)derRundfunksenderaufLW,MW,KW . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 DigitaleI/QModulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.4 Beispiel1:Schaltmodulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.5 Beispiel2:Burst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.6 Beispiel3:cos–KuppeimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.7 Beispiel4:cos2–Kuppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.8 Beispiel5:Hilbert–Filter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 DifferentiationundIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 DifferentiationimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 ZusammenhangmitderkomplexenWechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.3 DifferentialgleichungauskomplexerRechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.4 HerleitungvonKorrespondenzenmitHilfedesZeitdifferentiationssatzes . . . . . . . . . 51
AbleitungeinesRechteckimpulses (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
T
⊓
ZweifacheAbleitungdesDreieck–Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 IntegrationimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1 DieSprungfunktionσ(t)alsIntegralu¨berdieδ(t)–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.2 DieSignum–Funktionsgn(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.3 ZumAuftretendesδ(ω)inderSpektraldichtederintegriertenZeitfunktion . . . . . . . . 56
3.5 DifferentiationimFrequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.1 ElementarsignaleinesQuantisierungsgera¨usches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Bandpaß–Signaleunda¨quivalenteTiefpaß–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.1 GewinnungderA¨quivalentenTiefpaß–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.2 ErzeugungdesBandpaß–SignalsausdemA¨quivalentenTiefpaß–Signal . . . . . . . . . . 60
3.6.3 DieGewinnungdesA¨quivalentenTPSignalsmitHilfeeinesHilbert–Filters . . . . . . . 60
3.6.4 DasHilbert–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Multiplikation,Faltung,VereinfachteFaltung,Parseval,
asymptotischesVerhalten,Gaußimpuls 63
4.1 FaltungundMultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 FaltungimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 LinearesZeit–invariantesU¨bertragungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Linearita¨t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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A FT V AnwendungenderFourier-Transformation
Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 LTI–SystemimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.3 Ein–undAusgangs–SpannungalsgewichteteSumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.4 ZurMessungderImpulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 EigenschaftenderFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 GraphischeInterpretationderFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 ImpulsantwortdesRC–Tiefpasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.2 EntladekurveeinesKondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.3 KettenschaltungzweierRC-Tiefpa¨sse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.4 TechnischeInterpretation:TransversalesU¨bertragungssystem . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.5 Gla¨ttungseffektderFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Faltungmitderδ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.1 PhysikalischeInterpretationderFaltungmiteinemδ–Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.2 VerzerrungsfreiesSystemundZeitverschiebungs–Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 DievereinfachteFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6.1 SpektraldichtendesPulses unddesSprungsσ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
⊓
4.6.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.3 HerleitungdervereinfachtenFaltungimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.4 U¨bungsbeispiel:FaltungzweierRechteckimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6.5 DieEinheitenundDimensionenbeiderFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.6 IneinerderFunktionensindbereitsδ–Funktionenvorhanden. . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.7 FaltungmitderSprungfunktionσ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.8 FaltungeinerapproximiertenFunktion(Treppen–Kurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.9 SprungantworteinesU¨bertragungssystems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.10 SprungantwortdesidealenTPunddasGibbs’schePha¨nomen . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.11 Rampenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6.12 GewinnungweitererKorrespondenzenmitHilfederFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6.13 U¨bungsaufgabe:Biphase–Signal&Hilbert–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.14 FormungeinesRechteckimpulsesdurcheinenRC–Tiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7 FaltungimFrequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7.1 FormungvonDaten–Symbolen:Roll–Off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8 KomplexeFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9 Energie–Satz,Parseval’schesTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.10 AsymptotischesVerhaltenvonZeitfunktionenundSpektraldichten . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.10.1 AsymptotischesVerhaltenvonImpulsenendlicherDauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.10.2 Asymptotefu¨rdenVerlaufderGro¨ßederNebenmaximaeinesDaten–Symbols . . . . . . 83
4.10.3 DispersiveU¨bertragungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.10.4 Beispielefu¨rFensterfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.10.5 DasBode–Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.10.6 Datenu¨bertragungbeiendlicherBandbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10.7 DerGauß–Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10.8 ZentralerGrenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.10.9 Gauß’scheFehlerfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.10.10DigitaleU¨bertragungmitSto¨rungdurchRauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 PeriodischeSignale,δ–Kamm,Abtasten,FIR–Filter 90
5.1 Leistungs–SignaleundDelta–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.1 Energie–undLeistungs–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Konstantgro¨ßenundδ–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.1 Zentralordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2 Einheitenderδ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 SymmetrieundSkalierungsfaktorderδ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Verschobeneδ–ImpulseundharmonischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.1 SynchroneDemodulationundPhasendrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 EingeschalteteCos–bzw.Sin–Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4.1 EinschaltstromeinesTrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.2 UnterschiedzurLaplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
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(cid:13)
A FT VI AnwendungenderFourier-Transformation
5.5 PeriodischeFunktionenundderZusammenhangmitderFourier–Reihe . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.1 DerBetrag2π C derLinienergibtdieFla¨chederδ–FunktioneninderSpektraldichte . 97
n
| |
5.5.2 ErsetzenderFourierkoeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5.3 VerallgemeinerungderErgebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.6 Parseval’schesTheoremfu¨rperiodischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.7 Derδ–Kamm⊥⊥⊥ Shah“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
”
5.7.1 Endlichvieleδ–LinienimFrequenz–Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
5.7.2 Endlichvieleδ–LinienimZeit–Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
5.7.3 FaltungundMultiplikationmitdemδ–Kamm⊥⊥⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
5.7.4 U¨bungsbeispiel:EndlichlangerRechteck–Impuls–Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
5.7.5 Verschobenerδ–Kamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
5.7.6 Verschobenerδ–KammmittelsdesLinearita¨tssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
5.7.7 Verschiebungdesδ–Kammsum∆t=T/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
6
5.8 AbgetasteteZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
5.8.1 IdealeAbtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
5.8.2 DasAbtast–Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
5.8.3 Spektrums–BegrenzungderabzutastendenFunktion:AntiAliasingFilter . . . . . . . .105
5.8.4 Grenzfrequenzω fu¨rrealisierbareFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
c
5.8.5 Ru¨ckgewinnungderurspru¨nglichenZeitfunktion:Rekonstruktions–Filter . . . . . . . . .105
5.9 RealesAbtasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
5.9.1 DerEinflußdersix–FunktionimFrequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
5.9.2 SpektrumdesD/AgewandeltenSignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
5.10 AnwendungderAbtastung:DimensionierungvonFIRFiltern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
5.10.1 Kausalita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.10.2 Rechteck–Fensterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.10.3 BestimmungderFenster–Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
5.10.4 Fenster–Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
5.10.5 WahlderAbtastfrequenzundZahlderFilterkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.10.6 Ausblick:DiskreteFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
6 Zufalls–Signale,Wahrscheinlichkeit,Ergodizita¨t,
Korrelation,SpektraleLeistungsdichte 116
6.1 Zufalls–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
6.2 MessenvonVerteilungenundDichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
6.2.1 Wahrscheinlichkeits–Verteilungs–FunktionderAmplituden . . . . . . . . . . . . . . . . .116
6.2.2 Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
6.2.3 Amplituden–Dichte–Verteilung(ADV)vonRauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
6.2.4 Crest–Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
6.2.5 DieRayleigh–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
6.2.6 Amplituden–Dichte–VerteilungdeterministischerSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
6.3 KorrelationsfunktionderRandomSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
6.3.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
6.3.2 CharakteristischeFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
6.3.3 Beru¨cksichtigungdeszeitlichenVerlaufsderRandom–Funktion . . . . . . . . . . . . . .124
6.3.4 Stationarita¨tundErgodizita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
6.4 KorrelationundFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
6.4.1 Korrelationfu¨rEnergiesignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
6.4.2 DerKorrelations–Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
6.4.3 Korrelations–Funktionenfu¨rEnergiesignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
6.4.4 PhysikalischeInterpretationderKorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
6.4.5 EigenschaftenvonKorrelationundFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
6.4.6 EigenschaftenderKorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
6.4.7 Beispielefu¨rKorrelationvonEnergie–Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
6.5 KorrelationundSpektraleLeistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
6.5.1 EigenschaftenderSpektralenLeistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
6.5.2 PhysikalischeInterpretationderSpektralenLeistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . .131
6.5.3 MessungderSpektralenLeistungsdichtemitdemSpektrum–Analyser . . . . . . . . . .132
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(cid:13)
A FT VII AnwendungenderFourier-Transformation
6.5.4 KorrelationsfunktionundSpektraleLeistungs–DichtevonLeistungssignalen . . . . . . .132
6.5.5 EigenschaftenderAKFvonLeistungssignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
6.5.6 Kreuz–KorrelationvonLeistungssignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
6.5.7 Beispielefu¨rKorrelationenvonLeistungs–Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
6.5.8 KorrelationsfunktionvonSignalmitRauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
6.5.9 U¨bertragungeinesLeistungssignalsu¨bereinLTISystem . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
6.5.10 SpektrenDigitalerSignale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
6.5.11 DatenmitstatistischerUnabha¨ngigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
6.5.12 WeissesGauß’schesRauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
6.5.13 BestimmungderImpulsantworteinesSystemsmitHilfederKorrelation . . . . . . . . .138
6.5.14 Korrelations–Dauerundeff.BandbreitederSpektralenLeistungsdichte . . . . . . . . . .139
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(cid:13)
A FT VIII AnwendungenderFourier-Transformation
Abbildungsverzeichnis
1.1 Filterbank(ausLC–SchwingkreisenmitDa¨mpfung 0)zurVeranschaulichungderFrequenz . 2
→
1.2 ZurVeranschaulichungderFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Grenzu¨bergang F–Reihe F–Transformation am Beispiel des Rechteckpulses und dessen
→
Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 RechteckimpulsA (t)undseineSpektraldichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
T
·⊓
1.5 ZurHerleitungdesDirac–Impulsesδ(t)undseinerSpektraldichteF (ω) . . . . . . . . . . . . . . 6
δ
1.6 JedergeradeImpulsderFla¨cheA=1gehtimGrenzwertgegeneinenδ(t)–Impuls. . . . . . . . 7
1.7 IdealeAbtastungdurcheinenδ(t)–Impuls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Blockschaltbild eines Spektrumanalyzers, das direkt aus der Formel fu¨r die Fouriertransfor-
mationfolgt. Imagina¨r“ bedeutettechnischeinePhasendrehungvon900. . . . . . . . . . . . . . 9
”
1.9 ZurFormdergemessenenSpektrallinien(Cos-Zweig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10 FormderLinieimSin-Zweig:Doppel-Linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11 BlockschaltbildeinesSpektrumanalyzers(vereinfacht) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12 DarstellungderSpektrallinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.13 GemesseneSpektralverteilungeinesRechteckpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.14 ErsatzschaltbildeinesnichtidealenMischersmitOszillatorDurchspeisung. . . . . . . . . . . . 12
1.15 BeispielederAnzeigeeinesSpektrumanalyzersbeikorrekterAblenkzeitT =20secundbei
SW
zukurzenAblenkzeitenT =0,5 sec; 0,2sec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
SW
1.16 GraphischeDeutungderFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.17 DieZentralordinatederSpektraldichteistgleichderFla¨cheunterderZeitfunktion . . . . . . . 14
2.1 AdditionderZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 SpektrenderAdditionderZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 SubtraktionderZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 SpektrenderSubtraktionderZeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 SymmetrienvonZeitfunktionundSpektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 I/QU¨bertragungdigitalerSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 ZurKoordinatentransformationderkomplexenFunktionF(ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 U¨bertragungu¨bereinlineareszeitinvariantesSystem(LTI–System) . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 SymmetrienvonBetragA(ω)undPhaseφ(ω)= Θ(ω)derU¨bertragungsfunktioneinesTiefpaß–
−
Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10 BetragA(ω)undPhaseφ(ω)= Θ(ω)derU¨bertragungsfunktioneinesRC–Tiefpasses . . . . . . 21
−
2.11 VertauschungbeigeradenFunktionenamBeispiel (t) 2Tsin(ωT) . . . . . . . . . . . . 23
⊓T ◦−−−• ωT
2.12 VertauschungbeiungeradenFunktionen(Zeitfunktionjeweilsreell) . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.13 Beispielfu¨rdenA¨hnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.14 Beispielefu¨rmittlereImpulsdauerundBreitedesHauptmaximumsderSpektralverteilung . . 27
2.15 Beispiel fu¨r einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spek-
trum gema¨ß cos2. Die Zeitfunktion kann als U¨berlagerung von drei sin(x) Kurven dargestellt
x
werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.16 DasVerrundungs–FiltermitCos–Roll–Off(̺=[0, 0.2, 0.5, 1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.17 DieverrundetenDatensymbolemitCos–Roll–Off̺=[0, 0.2, 0.5, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.18 ZurBandbreitederspektralenLeistungsdichtevonrechteckfo¨rmigenDaten–Symbolen . . . . . 29
2.19 DiePhasenverschiebungistproportionalzurFrequenzω,wenndieSignallaufzeitkonstantist.
(Beispiel:verlustloseLeitungmitAnpassung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.20 Eine nichtlineare Phase bewirkt frequenzabha¨ngige Laufzeiten und diese fu¨hren zu (linea-
ren) Signalverzerrungen. Unterschiedliche Laufzeiten bzw. Phasenverschiebungen der Ober-
schwingungangenommen:0(blau),π/2(magenta,gestrichelt),π (schwarz,gepunktet). . . . . . 31
2.21 Einδ–ImpulsalsEingangssignaleinesverzerrungsfreienSystems.AusgangssignalundSpek-
tralverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.22 Beispielfu¨rdiepolareDarstellungeinerreellgeradenSpektralfunktion . . . . . . . . . . . . . . 33
2.23 Auswirkung einer Zeitverschiebung auf die Spektraldichte: dreidimensionale und polare Dar-
stellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.24 AuswirkungeinerZeitverschiebungaufdieSpektraldichteamBeispielderRechteck–Impulse
(t T)und (t+T):Betragjeweilsgleich,Phaseϕ (ω)=φ(ω)+ψ(ω)fu¨rRechtsverschie-
T T 1
⊓ − ⊓
bung,ϕ (ω)= ϕ (ω)fu¨rLinksverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 1
−
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(cid:13)
A FT IX AnwendungenderFourier-Transformation
2.25 DieZeitfunktiondesBildes2.3(Seite17)alszweizeitverschobene (t) . . . . . . . . . . . . . 35
T/4
⊓
2.26 Spektraldichte F(ω) (links); Betrag F(ω) und Phase φ(ω) der Spektraldichte (rechts) fu¨r die
| |
Zeitfunktionf(t)inBild2.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.27 KammfilterausderParallelschaltungzweierverzerrungsfreierU¨bertragungssysteme . . . . . . 36
2.28 Amplituden- und Phasengang eines Kammfilters nach Bild 2.27. Bei der Summierstelle gilt
das+Zeichen:Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.29 Amplitudengang des Kammfilters Bild 2.27, wenn die Ausgangssignale subtrahiert werden.
(—ZeicheninBild2.27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.30 SpektrumdesPALTVundVerschachtelungvonHelligkeits–undFarb–Spektrum . . . . . . . . 38
2.31 Zweiwege–ModelldesFunk–KanalsunddieKanal–Impulsantwortc(t) . . . . . . . . . . . . . . 38
2.32 TransversaleFilterstruktur,FIRFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.33 Beispielfu¨rdieImpulsantworteinesTransversalfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.34 Beispielfu¨rdiegefensterteImpulsantworteinesTransversalfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Beispiel ωc sin(ωct) (ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
π · ωct ◦−−−• ⊓ωc
3.2 AufspaltungdesSpekrumseinesAnalytischenSignalsinseinengeradenundungeradenAnteil 42
3.3 AnalytischesSignal(komplex)imZeitbereich:ModulierterTra¨gerf(t)(reellgerade)unddie
Quadratur–Funktion(imagina¨rungerade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Blockschaltbild eines Doppelseitenband-Modulators (Multiplizierer) und symbolische Spekt-
raldichtenfu¨rdieSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Zeitverla¨ufevonDSBund(gewo¨hnlicher)AMmitm=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Detektor–Schaltungfu¨rAM–EmpfangundHu¨llkurven–Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 BlockschaltbildeinesAmplituden-Modulators(Multiplizierer&Summierstelle)undSpektral-
dichtenfu¨rCos–fo¨rmigesNachrichten–Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8 BlockschaltbildeinesDigitalenI/Q–Modulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9 UmpolfunktionundderenSpektraldichte;Tra¨gerfrequenz:Ω =ω . . . . . . . . . . . . . . . . 46
C 0
3.10 ModulierterRechteckimpuls;FrequenzdesTra¨gersisthoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.11 DieCos–KuppeundihreSpektralverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12 ZurBerechnungderFla¨chederCos–Kuppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.13 Diecos2–KuppeundihreSpektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.14 Hilbert–TiefpaßH (ω)=F(ω)undseineImpulsantworth (t)=f(t) . . . . . . . . . . . . 49
Hi-TP Hi-TP
3.15 DifferentiationimZeitbereichergibtMultiplikationmitjω imFrequenzbereich. . . . . . . . . . 50
3.16 RC–Tiefpaß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.17 Die Ableitung des (t) fu¨hrt auf 2 Delta–Impulse . Die Spektraldichte der δ–Impulse ist
T
⊓ ↑↓
sin–fo¨rmig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.18 ErsteundzweiteAbleitungdesDreiecksimpulsesA (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
· T
3.19 Sprungfunktionσ(t)alsIntegralu¨berdieDeltafunktionδ(t)oderδ(t)alsAbleitungvonσ(t) . . 54
V
3.20 ZerlegungderSprungfunktionσ(t)ineineSignum–Funktionsgn(t)undeinenGleichanteil . . 55
3.21 DieSignum–Funktionsgn(t)undihreSpektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.22 Sprungfunktionσ(t)undihreSpektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.23 Zusammensetzung der Sprungfunktion σ(t) aus Konstant–Funktion und Signum–Funktion
sgn(t)undihreSpektraldichtenindrei–dimensionalerDarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.24 DieKennlinieeinesADCzeigtdieStufungen,diezumQuantisierungs–Gera¨uschfu¨hren . . . . 57
3.25 Quantisierungsgera¨usch(Elementarsignal)mitSpektralverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.26 BildungdesA¨quivalentenTiefpaß–SignalsimSpektrum(U (ω)=U (ω)) . . . . . . . . . . . 59
3.27 BlockschaltbildzurBildungdesA¨quivalentenTiefpaß–SignBaPlsausdeBmPeBandpaß–Signal . . . . 59
3.28 BlockschaltbildzurGewinnungdesBandpaß–SignalsausdemA¨quivalentenTiefpaß–Signal . . 60
3.29 BlockschaltbildzurGewinnungdesA¨quivalentenTiefpaß–SignalsausdemTP–Signal . . . . . 61
3.30 IdealesHilbert–FilterundseineImpulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.31 Hilbert–Tiefpaß–Filter(idealisiert)undseineImpulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1 Beispielfu¨rdieReaktioneinesLTI–Systems:linear&zeitinvariant . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 U¨bertragungu¨bereinlineareszeitinvariantesSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 FaltungalsgewichteteSummederImpulsantworteneinesSystems. . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 GraphischeInterpretationderFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 VeranschaulichungdesDurchschiebensderumgeklapptenFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 RCTiefpaßmitδ(t)oderσ(t)alsEingangsgro¨ße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 ImpulsantwortdesRCTiefpassesundEntladekurveeinesKondensators . . . . . . . . . . . . . 68
c Prof. Dr.–Ing. DietmarRudolph 30.Oktober2008
(cid:13)
A FT X AnwendungenderFourier-Transformation
4.8 EntkoppelteKettenschaltungvon2RCTiefpa¨ssenmitδ(t)alsEingangsgro¨ße . . . . . . . . . . 68
4.9 Faltungzweiere–FunktionenamBeispielderKettenschaltungzweierRC–Tiefpa¨sse(T =T /2) 68
2 1
4.10 Zeit–undPotential–VerlaufderEingangsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.11 TransversaleFilterstruktur,FIRFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.12 Gla¨ttungseffektderFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.13 Faltungmiteinerδ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.14 Ein δ–Impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Systems. Ausgangssignal u (t)
a
h (t)Impulsantwort;U (ω) H (ω)U¨bertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .→. . 71
vf a vf
→
4.15 DieverlustloseLeitungmitAnpassungalsBeispieleinesverzerrungsfreienSystems . . . . . . 71
4.16 Sprungfunktionσ(t)alsIntegralu¨berδ(t)oderδ(t)alsAbleitungvonσ(t) . . . . . . . . . . . . . 72
4.17 ZusammensetzungeinesRechtecks (t)auszweiSprungfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 72
T
⊓
4.18 ApproximationeinesFunktions–Verlaufesf(t)durcheineTreppen–Kurve,gebildetausSprung-
funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.19 BeispielzurDurchfu¨hrungdervereinfachtenFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.20 Faltung mit der Sprungfunktion am Beispiel der Cos–Kuppe als Beispiel fu¨r eine Integration
mitlaufenderobererGrenzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.21 DeridealeTiefpaßH(ω)= (ω)(mitPhase0)undseineImpulsantworth(t)=ω /πsin(ωct) . . 76
⊓ωc c ωct
4.22 DerIntegral–Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.23 SprungantwortdesidealenTiefpaß–Systems(mitPhase00) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.24 Sprung–undRampen–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.25 Dreiecksfunktion mitTransformiertersix2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.26 FormungeinesRechtecksdurcheinenRC-Tiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.27 Gewinnung der U¨Vbertragungs–Funktion eines Symbol–Verrundungs–Filters H (ω) mit Hilfe
v
dervereinfachtenFaltungimFrequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.28 Strukturfu¨reinekomplexeFaltungimBasisband–Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.29 BeispielzurBerechnungderEnergie;DieschraffiertenFla¨chensindgleich. . . . . . . . . . . . . 82
4.30 AsymptotischesVerhaltenderSpektraldichteverschiedenerImpulsformen:DieAnzahlderAb-
leitungen bis δ–Impulse auftreten bestimmt die Ordnung n mit der die Nebenmaxima der
Transformiertenabnehmen.Gestricheltgezeichnet:Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.31 Zur Ableitung einer cos2–Kuppe (in der Spektraldichte): die 3. Ableitung entha¨lt δ–Impulse,
alsonehmendieNebenmaximaderzugeho¨rigenSymbolformproportionalzu t 3 ab,bezogen
−
| |
aufdenZeitpunktdesMaximumsdesSymbols.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.32 Beispiele fu¨r Impulse gleicher Breite und gleicher Fla¨che und deren Spektralverteilung im
Bode–Diagramm;Hanning:cos2–Form,Hamming:( +cos2)–Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
⊓
4.33 Beispiel fu¨r einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spek-
trumgema¨ßcos2,d.h.Roll–Off–Faktorρ=1.Datentakt:T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.34 DieGauß–FunktioninnormierterDarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.35 DieGauß–FunktionundihreTransformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.36 Zentraler Grenzwert–Satz: Mehrfache Faltung fu¨hrt auf Verla¨ufe, die im Grenzfall zu Gauß–
Glockenwerden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.37 Gauß–Glocke(σ =1),ErrorFunctionerf(x),Komplementa¨reErrorFunctionerfc(x),Q–Funk-
t
tionundgespiegelteQ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.38 Gauß–Glocke(σ =1),Q–FunktionundgespiegelteQ–Funktiondazufla¨chengleichesRechteck
t
undTangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.39 DieQ–FunktioninlogarithmischerDarstellungundihreGrenzkurven . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.40 Bit–Fehler–Wahrscheinlichkeiten fu¨r bipolare und unipolare digitale U¨bertragung im Basis-
band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 KonstanteFunktionenhabenδ–fo¨rmigeTransformierte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 ZweiImpulse(symmetrische)imZeitbereich HarmonischeSchwingungimFrequenz-
◦−−−•
bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 HarmonischeZeitfunktion 2δ–ImpulseimSpektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
◦−−−•
5.4 AuswirkungderZeitverschiebungbeieinerharmonischenFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 EingeschalteterCosinusbzw.Sinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 Beispielfu¨rdieSpektraldichteeinerperiodischenFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.7 Derδ–Kamm⊥⊥⊥ (t)undseineTransformierteΩ ⊥⊥⊥ (ω); Ω=2π/T . . . . . . . . . . . . . . .100
T Ω
5.8 Fu¨nfδ–Linien U¨berlagerungvonGleicha·nteilund2Cos-Schwingungen . . . . . . . . .100
•−−−◦
c Prof. Dr.–Ing. DietmarRudolph 30.Oktober2008
(cid:13)