Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger PDF
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HerbertGoering,Hans-GörgRoos undLutzTobiska DieFinite-Elemente-Methode fürAnfänger BeachtenSiebitteauch weitereinteressanteTitel zudiesemThema Silverberg,L. UnifiedFieldTheoryforthe Engineerand theAppliedScientist 2009 ISBN978-3-527-40788-0 Reichwein,J.,Hochheimer,G.,Simic,D. Messen,Regelnund Steuern GrundoperationenderProzessleittechnik 2007 ISBN978-3-527-31658-8 Adam,S. MATLAB und Mathematikkompetenteinsetzen EineEinführungfürIngenieureundNaturwissenschaftler 2006 ISBN978-3-527-40618-0 Kusse,B.,Westwig,E.A. Mathematical Physics AppliedMathematicsforScientistsandEngineers 2006 ISBN978-3-527-40672-2 Kuypers,F. Physik fürIngenieureund Naturwissenschaftler Band2:Elektrizität,OptikundWellen 2003 ISBN978-3-527-40394-3 Herbert Goering, Hans-Görg Roos und Lutz Tobiska Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger Vierte, überarbeitete und erweiterte Auflage WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA Autoren 4.wesentlichüberarb.u.erw.Auflage2010 AlleBüchervonWiley-VCHwerdensorgfältig Prof.Dr.HerbertGoering erarbeitet.DennochübernehmenAutoren, Otto-von-Guericke-Universität HerausgeberundVerlaginkeinemFall, InstitutfürAnalysisundNumerik einschließlichdesvorliegendenWerkes,fürdie PF4120,39016Magdeburg RichtigkeitvonAngaben,Hinweisenund Prof.Dr.Hans-GörgRoos RatschlägensowiefüreventuelleDruckfehler TUDresden irgendeineHaftung InstitutfürNumerischeMathematik BibliografischeInformation 01062Dresden derDeutschenNationalbibliothek [email protected] DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnet diesePublikationinderDeutschen Prof.Dr.LutzTobiska Nationalbibliografie;detailliertebibliografische Otto-von-Guericke-Universität DatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.de InstitutfürAnalysisundNumerik abrufbar. PF4120,39016Magdeburg [email protected] ©2010WILEY-VCHVerlagGmbH&Co.KGaA, Weinheim AlleRechte,insbesonderediederÜbersetzung inandereSprachen,vorbehalten.KeinTeil diesesBuchesdarfohneschriftliche GenehmigungdesVerlagesinirgendeiner Form–durchPhotokopie,Mikroverfilmung oderirgendeinanderesVerfahren–reproduziert oderineinevonMaschinen,insbesonderevon Datenverarbeitungsmaschinen,verwendbare Spracheübertragenoderübersetztwerden.Die WiedergabevonWarenbezeichnungen, HandelsnamenodersonstigenKennzeichenin diesemBuchberechtigtnichtzuderAnnahme, dassdiesevonjedermannfreibenutztwerden dürfen.Vielmehrkannessichauchdannum eingetrageneWarenzeichenodersonstige gesetzlichgeschützteKennzeichenhandeln, wennsienichteigensalssolchemarkiertsind. Satz le-texpublishingservicesGmbH,Leipzig DruckundBindung betz-druckGmbH, Darmstadt Umschlaggestaltung Adam-Design,Weinheim PrintedintheFederalRepublicofGermany GedrucktaufsäurefreiemPapier ISBN 978-3-527-40964-8 V Inhaltsverzeichnis Vorwort IX 1 Einführung 1 1.1 AllgemeineszurMethodederfinitenElemente 1 1.2 WieüberführtmaneinRandwertproblemineineVariationsgleichung? 4 1.2.1 Beispiel1 4 1.2.2 Beispiel2 5 2 Grundkonzept 7 2.1 StetigesunddiskretesProblem.BeispielevonfinitenElementen 7 2.1.1 DieGrundzügederMethode 7 2.1.2 EinerstesBeispielundeinetheoretischeSchwierigkeit 10 2.1.3 DieLösung:Sobolev-Räume 12 2.1.4 DasersteBeispiel(Fortsetzung) 17 2.1.5 PräzisierungderGrundzügederMethode 18 2.1.6 BeispielevonfinitenElementen 26 2.2 DerAufbaudesGleichungssystems 36 2.2.1 Elementmatrizen 36 2.2.2 DieElementmatrixfüreinespezielleBilinearformundDreieckelemente vomTyp1 37 2.2.3 DieElementmatrixfürDreieckelementevomTyp2 43 2.2.4 DieElementmatrixfürRechteckelementevomTyp1 bzw.bilineareViereckelemente 45 2.2.5 DieElementmatrixfürdenLaplace-OperatormitTetraederelementen 47 2.2.6 ElementmatrixfürdenLaplace-Operator mittrilinearenQuaderelementen 48 3 VerfahrenzurLösungvonlinearenGleichungssystemen 51 3.1 DirekteoderiterativeVerfahren? 51 3.2 DirekteVerfahren 53 3.2.1 DerGaußscheAlgorithmus 53 3.2.2 SymmetrischeMatrizen.DasCholesky-Verfahren 58 3.2.3 WeiteredirekteVerfahren 60 3.3 IterativeVerfahren 65 DieFinite-Elemente-MethodefürAnfänger.HerbertGoering,Hans-GörgRoosundLutzTobiska Copyright©2010WILEY-VCHVerlagGmbH&Co.KGaA,Weinheim ISBN:978-3-527-40964-8 VI Inhaltsverzeichnis 3.3.1 AllgemeineBemerkungen 65 3.3.2 DasJacobi-Verfahren,dasGauß-Seidel-Verfahren unddasVerfahrendersukzessivenÜberrelaxation(SOR) 67 3.3.3 DasVerfahrenderkonjugiertenGradienten(CG) 71 3.3.4 VorkonditionierteCG-Verfahren(PCG) 75 3.3.5 Mehrgitterverfahren 80 4 Konvergenzaussagen 85 4.1 AllgemeineBemerkungenzurKonvergenzproblematik 85 4.2 EinBeweiseinerFehlerabschätzungfürDreieckselementevomTyp1 86 4.2.1 ZurückführungdesKonvergenzproblems aufeinApproximationsproblem 86 4.2.2 DieApproximationdurchstückweiselineareFunktionen 87 4.2.3 FehlerabschätzungfürDreieckelementevomTyp1 97 4.3 ZusammenfassungderResultate 99 5 NumerischeIntegration 107 5.1 AllgemeineBemerkungen 107 5.2 DerQuadraturfehlerfürlineareElemente 108 5.3 EineÜbersicht:passendeIntegrationsformeln 112 6 Randapproximation.IsoparametrischeElemente 121 6.1 ApproximationdesGebietes Ω durcheinPolygon 121 6.2 IsoparametrischeElemente 124 6.3 Randapproximation mit Hilfe isoparametrischer quadratischer Elemente 128 7 GemischteVerfahren 131 7.1 EinStrömungsproblem(Stokes-Problem) 131 7.2 Laplace-Gleichung 135 7.3 BiharmonischeGleichung 140 7.3.1 StetigesunddiskretesProblem 140 7.3.2 FormulierungalsgemischtesProblem 142 7.4 LösungderentstehendenGleichungssysteme 146 8 NichtkonformeFEM 151 8.1 Laplace-Gleichung 151 8.1.1 DiskretesProblem 151 8.1.2 Konvergenzproblem 156 8.1.3 BeispielenichtkonformerfiniterDreieck-undRechteckelemente 158 8.2 BiharmonischeGleichung 164 8.2.1 StetigesunddiskretesProblem 164 8.2.2 BeispielenichtkonformerfiniterDreieck-undRechteckelemente 166 8.3 Stokes-Problem 172 9 Nichtstationäre(parabolische)Aufgaben 177 9.1 Dasstetige,dassemidiskreteunddasdiskreteProblem 177 9.2 NumerischeIntegrationvonAnfangswertaufgaben:eineÜbersicht 179 Inhaltsverzeichnis VII 9.3 DieDiskretisierungdessemidiskretenProblemsmitdemθ-Schema 187 9.4 EineGesamtfehlerabschätzungfürdasθ-Schema 189 10 GittergenerierungundGittersteuerung 193 10.1 ErzeugungundVerfeinerungvonDreiecksgittern 193 10.2 FehlerschätzungundGittersteuerung 197 10.2.1 ResidualeundzielorientierteFehlerschätzer 198 10.2.2 Schätzer,basierendaufSuperkonvergenzundMittelung 201 AnhangA HinweiseaufSoftwareundeinBeispiel 205 A.1 NotwendigeFilesfürdasMATLAB-Programmfem2d 206 A.2 EinigenumerischeErgebnisse 209 Literaturnachweis 213 Index 217 IX Vorwort DasvorliegendeBuchstellteineEinführungindieMethodederfinitenElemente dar.Dabei wirdversucht,diefür diepraktischeRealisierung desVerfahrens not- wendigen Kenntnisse und theoretischen Grundlagen gleichermaßen zu berück- sichtigen;eszeigt sichsogar,dass füreineeffektiveRealisierungdes Verfahrens gewisseKenntnisseüberdessentheoretischeEigenschaftenunumgänglichsind. DasBuchwendet sichinerster LinieanIngenieure,Naturwissenschaftlerund Studierende entsprechender Fachrichtungen.Demgemäß wird zum Verständnis derStoffderüblichenMathematikausbildungvonIngenieurenvorausgesetzt.Für Fehlerabschätzungen,Konvergenzuntersuchungenu.a.m.werdeneinigeBegriffe der Funktionalanalysisso dargestellt,dass siefürden Anfängertransparent wer- den.Diedabeiz.T.verlorengegangenemathematischePräzision,z.B.beiderEin- führungdesRaumesderquadratischintegrierbarenFunktionenodervonSobolev- Räumen,mögenMathematikstudentenundMathematikerverzeihen. Nur einige grundlegende Tatsachen werden als Satz formuliert, Beweise von grundlegenden Aussagen zur Methode der finiten Elemente werden ausgeführt, z.T.abernurexemplarisch.DermehranderpraktischenRealisierungdesVerfah- rensinteressierteLeserstösstandenentsprechendenStellenaufHinweise,welche AbschnitteerüberspringenkannundwoerzusammenfassendeSchlussfolgerun- genausdentheoretischenUntersuchungenfindet. Es wurde eineden Zielstellungen dieses Buches entsprechende einfache,aber mathematisch fundierteDarstellunggewählt.Natürlicherhebt diegewählteDar- stellungkeinenAnspruchaufVollständigkeit. ImMittelpunktdesBuchesstehenzweidimensionale,elliptischeAufgabenzwei- ter Ordnung, wobei Erweiterungsmöglichkeiten auf dreidimensionale Probleme aufgezeigtwerden.AufdieseAufgabenzugeschnittenwirdimKapitel2erläutert, wiemandiediskretenProblemegewinnt,imKapitel3,wiemandiediskretenPro- blemelöst,imKapitel4,wiemanFehlerabschätzungenherleitetundindenKapi- teln5,6,wiemankrummlinigeRänderberücksichtigtundIntegralezweckmäßig numerischberechnet. IndenKapiteln7,8werdengemischteundnichtkonformeMethodenvorgestellt, insbesondereauchzurBehandlungdesStokes-ProblemsundvonelliptischenAuf- gaben vierter Ordnung.Kapitel 9 ist instationären Aufgaben zweiter Ordung ge- widmet,wobeiverschiedeneKlassenvonZeitdiskretisierungsverfahrenvorgestellt DieFinite-Elemente-MethodefürAnfänger.HerbertGoering,Hans-GörgRoosundLutzTobiska Copyright©2010WILEY-VCHVerlagGmbH&Co.KGaA,Weinheim ISBN:978-3-527-40964-8 X Vorwort werden.ImKapitel10werdenAspektederErzeugungvonGitternundderenVer- feinerung diskutiert, wobei auch adaptive Methoden, basierend auf a posteriori Fehlerabschätzungen,eineRollespielen. In einem kurzen Anhangwird erklärt,wie man auf der Basis eines allgemein verfügbarenMATLAB-Programmessehr schnellselbst erste Testrechnungen zur numerischenLösungelliptischerAufgabenmitderMethodederfinitenElemente realisierenkann. Die erste Version dieses Buches entstand 1983, der Inhaltwurde dann für die dritteAuflage1993einwenigaktualisiert.FürdievorliegendevierteAuflagewur- den alle Abschnitte noch einmal gründlich überarbeitet, insbesondere die Kapi- tel7–10. Für zahlreiche Hinweise und interessante Diskussionen danken wir unseren KollegenA.Felgenhauer,Ch.Großmann,V.John,G.Matthies,U.Risch,F.Schie- weck;fernerS.Rajasekaran,M.SchopfundR.VanselowfürdieTestrechnungen, dasTitelbildunddenVorschlagzurGestaltungdesAnhangs. Magdeburg/Dresden,November2009 HerbertGoering Hans-GörgRoos LutzTobiska 1 Kapitel1 Einführung 1.1 AllgemeineszurMethodederfinitenElemente Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist eines der praktisch wichtigsten Nä- herungsverfahren zur Lösung von Variationsproblemen,Differentialgleichungen und Variationsungleichungen in den Ingenieurwissenschaften und der mathe- matischenPhysik.DieErfolgederFEM,insbesondereinderFestkörpermechanik, führtenzueinerverstärktenNutzunginderThermodynamik,inderStrömungs- mechanik und in anderen Gebieten. Die Leistungsfähigkeit der Methode liegt darin begründet, dass die FEMdie Vorteilebesitzt, systematische Regeln für die Erzeugungstabiler numerischerSchematabereitzustellen,undesrelativeinfach ist,komplizierterezwei-unddreidimensionaleGeometrienzuberücksichtigen. UrsprünglichwurdedieMethodeindenfünfzigerJahrenvonIngenieurenent- wickelt, um große Systeme von Flugzeugbauteilenuntersuchen zu können.Erst späterentdecktemandieengeVerbindungderFEMmitdembekanntenRitzschen VerfahrenundeineArbeitvonCouranthierzuausdemJahre1943.Dieerstenma- thematischfundiertenUntersuchungenstammenvonK.O.Friedrichs(1962)und L.A.Oganesjan(1966),indendarauffolgendenJahrenschufmaneinebreitema- thematischeTheoriederMethode.ZurraschenVerbreitungderFEMtrugwesent- lichdieMonographievonZienkiewicz(1967)bei.HeuteexistierteineVielzahlvon Büchern,diesichdenunterschiedlichenAspektenderFEM–Theorie,Anwendung undImplementierung–widmen,erwähntseiennur[11,13,19,33,57]. Wirnehmenan,dasseingegebenesstationärestechnischesProblemdurchein Variationsprinzip oder ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung be- schriebenwerde.BeiderMethodederfinitenElementewirddasz.B.zweidimen- sionalezugrundeliegendeGebietineinfacheTeilgebietezerlegt,etwainDreiecke, Viereckeusw.DieFEMerzeugtdanneinGleichungssystemfürNäherungswerte derunbekanntenFunktioninausgezeichnetenPunktenderTeilgebiete.Nachdem LösendesGleichungssystemssinddieWertederUnbekanntenindenausgezeich- netenPunktennäherungsweisebekannt. EsgibtnunverschiedeneMöglichkeitenderErzeugungdesGleichungssystems (desdiskretenProblems),ausgehendvoneinemVariationsprinzipodereinemRand- DieFinite-Elemente-MethodefürAnfänger.HerbertGoering,Hans-GörgRoosundLutzTobiska Copyright©2010WILEY-VCHVerlagGmbH&Co.KGaA,Weinheim ISBN:978-3-527-40964-8
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