Die Elemente der Planimetrie in ihrer organischen Entwickelung: Lehrbuch für jede Schule PDF
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!lit OBltmtn1t btr ,lnnimttrlt in \JOlt Dr. (ffj. tdJhtbln, \lltofeffor am ~oa~mBt~al'fclielt @~mttafium au 18etlin. II. ~tufe: ~it wirklitl]t ®d"t btr Jmfiingt btr ~igurtn. ~ediu. met fag 1.1 0 n S u f i 11 £l ~ 1J tin get. 1883. 2. J6teiCIIlIg: IDic jfumgtucu! bct ~[mfiingc bet .:lFigunn. I. ~a~ ~teiecf. @Stile 1. ~in $Iheied. § 59. IDie lBHbung einet! IDreiedt! . . . . 1 [ 73 § 60. mie mreiede.®tihfe. . . . . . . 2 [ 74 § 61. mie 'f)omoIl)gen mreiede,®tude. . . 2 [ 74 § 62. mle lBe3le'f)ungen ber mrelede,®tiide . 3 [ 75 § 63. mle ®citen . . . . . . 3 [75 § 64. mlc m5lnfeI . . . . . . 3 [ 75 § 65. mle ®eitcn unb m5lnfe1 . . 5 [ 77 § 66. SUlci gIcic'f)e mreied£l,®tfide . 5 [ 77 § 67. SUlci ungleic'f)e mreieda,®tfide 6 [ 78 mic ,ltonftruHion dnes mrdeds aua mreieda,@:)tiiden. § 68. IDie geometrifc'f)e llrnaIl)fe . . . . . . . . . .. 7 [79 § 69. mie @runb,llrufgaben beg mreled(l. . . . . . .. 8 80 § 70. maG IDreied unb bie ~inien bet ~bene . . . . .. 16 88 2. IDat! IDreied unb feitlC :!rant!tlCtfalen. § 71. IDle ®l)mmetmlen . . 16 ~ § 72. IDie m5infeI'f)aIbierenben 17 8898 § 73. IDie .j)o'f)en. . . . . 17 89 3. IDaG IDreied unb ber ,ltrei£l. § 74. IDaG ®e'f)nen,IDreied 18 f 90 § 75. maG :!angenten,mreied 20 92 IDie >Sergldc'f)ung ber IDreiede. § 76. IDie >Sergleic'f)ung im aUgemeinen . . . 22 [ 94 §77. IDie ,ltOngruen3'®1i~e . . . . . . . 22 [ 94 § 78. IDreiede mit 3Ulei ~Mren gIeic'f)er ®tude 26 f 98 § 79. IDreiede mit einem ~Mr gleic'f)er ®tfide . 27 ~l9 IDie IDreieds,llrrfen. § 80. ~inleitung . 28 [100 IV @ieite 1. IDas g leid)f d)enflig e IDreielf. § 81. IDie IDreielfs,<5tUcl'e . 1"" § 82. IDie <5eiten 29 101 § 83. IDie IDSinfel 2289 101 § 84. IDie ®runb,&ufgaben 30 102 IDie %ransl.lerfalen bes gleid)fd)enUigen IDreielfs. § 85. IDie <5l)mmetmlen . . 30 § 86. IDie IDSinfeIl)albierenben 31 f110023 § 87. IDie ~iil)en. . . . . 31 [103 § 88. IDie <5d)lI)erlinien . . 32 [104 IDie mergI ei d)ung ber gleid)f d)enfligen IDre ielfe. § 89. IDie Sb)ltgrueu3,<5ii~e . . . . . . . . . . . . 33 [105 § 90. ®leid)fd)enflige IDreielfe mit einem ~aar gIeid)er <5tihfe 33 [105 2. IDas gIeid)feitige IDreielf. § 91. IDie IDreielfs.<5tUcl'e . 34 § 92. IDie %mnsl.lerja(en 35 f110076 II. ~a~ ~imlf. § 93. IDie milbung bes mimlfa 36 f108 § 94. IDie mierelfa,<5tiilfe. . . 37 109 § 95. IDie l)omologen mierelfa,®tfrlfe 38 [110 § 96. IDie IDSinfel 38 110 § 97. IDie IDiagonalen. . . 38 f[1I1ll0 § 98. IDas <5el)nen,mierelf . 39 § 99. IDas %angenten,mieretf 40 112 IDall %ralJe3. § 100. IDie IDSinfel 42 [114 § 101. IDie IDiagonalen. . 42 (114 § 102. ~onftruftion unb ~ongruen3 . 43 f115 § 103. IDas <5el)nen,%rape3 43 115 § 104. IDas %angeuten,%mlJe3 44 (115 IDas ~araIle(ogramm. § 105. IDie <5eiteu 44 [116 § 106. IDie IDSinfe[ 45 r117 § 107. IDie IDiagonaleu. . . . . 46 [118 § 108. ~amUelogramm unb ~reis . 47 [119 § 109. ~araUelogramm unb IDreielf . 47 (119 § 110. ~araUelogramm unb %rape3 . 48 [120 § 111. ~araUelogramm unb mierelf. . 50 f122 § 112. IDie &rten bes ~araUelogmmms 51 123 ID a s iRe d) t eI f. § 113. IDie <5eiten 52 (124 § 114. IDie IDiagonaien . 53 [125 IDer iRl)omoutl. § 115. IDie IDiagonalcn . 54 [126 v ®ieite !Das Quabrat. § 116. !Die !Diagonafen . 55 [127 III. n elf. ~a~ § 117. !Die ~infef . . 55 [127 § 118. ;Die ;Diagonalen . 56 [128 !Daß regufäre nelf. § 119. !Die ~infef . . . . . . 57 [129 § 120. !Das regufäre @)el)nen,nelf 57 [129 § 121. mas regufäre %angenten,n elf 60 [132 § 122. mer .\heiß. . . . . . . 62 [134 ISBN 978-3-642-48508-4 ISBN 978-3-642-48575-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-48575-6 Itfhtitiontn D. § 60. Dn mu~enminfel einee ~teied'e. I § 60. D24 ~teiede'~tude. (ftklii:tuugtn E. § 59. E78 ~teif eit. § 74. E93 Umbef cf)tiebenet ~teie einee E79 Q:d'en. ~teied'e. E80 ~reied'. § 75. E94 me3eicf)nung bee ~n16en § 61. E81 .\jomologe ~teied'e'~tMe. ~reiede,Umfnnge. § 64. E82 ffiecf)tminfliges ~reied. E95 Q:inbefcf)riebener ~teie einee E83 @itum1Jfminfligee ~reied'. ~reiede. E84 @i1Ji~minmgee ~reied. § 87. E96 ~cf)merlinie eines ~reied'e. § 65. E85 ®ldcf);cf)enfligee ~reied'. § 91. E97 ffieguliire ~igur. E86 ®leicf);eitigea ~reied'. § 93. E98 ~nrnllelogrnmm. § 70. E87 ~rnna\)erfnlen. E99 ~rn1Je3· E88 @ie~nen'~reied'. § 94. EIOO ~ingonnlen. E89 ~nngenten'~reied. § 103. E101 ®leicf);cf)enfligee ~tn1Jea. § 72. E90 me3eicf)nung bet ~infel, § 110. E102 SJ.l1itteIlinie einee :trn1Je3ee. ~nlbierenben. E9G• @icf)mer1Junft einea ~reied'a. § 73. E91 .\jiJ~en einee ~reiede. § 112. ElO3 ffiecf)ted. E92 meaeicf)nung ber ~reiedtl, E104 ffi~ombu6. .\jiJ~en. E105 Dunbrat. lit (l)tunllrii:~t G. § 61. G25 .$tongruente ~reiede. (JtomddrrlJt (jrttt O. § 90. 011 ~~mmetrnle fur bie @i1Ji~en gleicf);cf)enfliger ~reiede. 012 ~infel9n(6ierenbe fitr bie SJ.l1ittelpunfte bet ®runblinien gleicf). ;cf)enfliger ~reiede. § 113. 013 ~nrnllele fur ~unfte gleicf)er Q:ntfernung llon einer ®ernben. VII § 69. GA29 I. stonftruftion cinea IDreied'a aua brei ~eiten. GA30 II. stonftruftion cine a IDreied'a aua 3wei ~eiten unb bem bon i~nen eingefdJloffenen .®infeL GA31 III. stonftruftion cinea IDreied'a aua 3lllei ~eiten unb bem @legen, lllinfel ber gril~eren bon i~nen. GA32 IV. stonftruftion cinea IDreied'a aua 3lllci ~eiten unb bem @legen, lllinfel ber flcineren bon i~nen. GA33 V. stonftruftion einei3 IDreied'i3 aua dner ~eite unb ben beiben i~r anHegenben .®infeln. GA34 VI. stonftruftion einea IDreied'a aua ciner ~eite, cinem i~r an' liegenben unb einem i~r gegenitberliegenben .®inleI. § 74. GA35 stonftruftion bea einem IDreied' um'befd)rie'benen streifea. § 75. GA36 stonftruftion bea einem IDreied' ein'befd)rie'benen streifea. § 84. GA37 stonftruftion einet! .®infeli3 gIeid) ber .piiIfte einei3 gegebenen. § 91. GA38 stonftruftion einea ~otea im (il;nblmnfte einer @leraben. § 105. GA39 stonftruftion einer $araUeIen mit Birlel unb mneaL § 107. GA40 lHnbere stonftruftion einer $araUelen mit BirleI unb mneaL § 113. GA41 stonftruftion bea geometrifd)en Drtea fitr $unfte, llleId)e bon MN um a entfernt finb. GA42 IDledJanifd)e stonftruftion bea geometrifd)en Drtea in GA41 • • 2. &bteilung: lit :fbngtntn~ btt :t'lmfiingt btt cfiguftn. 1. ~a~ ~rcicd+ I. ~in ~feied'. § 59. ~ i c ~ it bun 9 11 C {I ~ rc i c du, 3 ®etabe fonnen enhlJeber .paraUeI gegen, ober fic'9 in einem ober 2 ll3unften fc'9neiben. 3m letteren ~aUe gegen 2 ®erabe .paraUeI unb Itlerben bon ber 3 ten ®etaben in 2 ll3unften gefc'9nitten. Sn aUen Mefen ~iiUen entftegen oe. I / fannte msinfe1 unb mlinfe1.ll3aare. ' \ msenn 3 ®etabe fo geric'9tet Y finb, baa fid) immet nut je 2 @e. A .B rabe in einem ll3unfte fc'9neiben, ;0 fc'9neiben fic'9 Mefe10en nac'9 F2 3·2 § 18 in -2-= 31l3unften, lJon e" I benen 3 mal ie 2 ll3unfte in cinet " (S)eraben Hegen. :iDiefe 3 ®eraben fc'9Heflen cine %fuc'ge bon aUen @ieiten cin unb oilben baget ben Umfang cinet %igut. %ig. I. l)(ac'9 § 6 gciflen bie ®Heber cine!3 Umfange!3 @ietten. ~78 :iD t ei f eit geiflt cine lJon 3 ®eraben oegren3te %igut. ~79 ~ Cfe n gciflen Me @ic'9nitt.punfte 31tleier lJerfc'9ieben geric'9teten @ieiten cine!3 Umfang!3. Fl' ~in :iDreifeit gat (nac'9 F2 § 18) 3 ~Cfen. ~80 :iD r ei e Cf gciflt cine %igur, beren Umfang 3 ~Cfen gat. :iDer I)(ame cine!3 :iDrcieCf!3 Itlitb mit 3 gtoflen lateinifc'gen ~uc'9. ftaoen ge f c'9ri e0 en unb in betienigen ~uc'9ftaoenfolge g def en, in 1tle!c'ger ba!3 m-uge Me 9tcigenfolge bet ~Cfen am Umfang Itlagtnimmt. :iDa Mefe 9tci~enforge cine bo.p.peUe, entgegengefette fein fann, fo gat iebe!3 :iDteieCf 31tl ei entg e g e ng ef et te I)( am en. @iteUt man ®~inbier, \jlianimetrie II. 1 2 r. mas mreied'. [74 fie'{) bor, bat innerljalb be£l Umfang£l ein Uljr3eiger befeftigt ift, fo ljeitt berjenige SDreiecr£l,~(ame ,)jOfitib, beffen ~ue'{)ftabcnfoIge ber ,)jo" fitiben SDreljung be£l Uljr3eiger£l entf,)jrie'{)t, ber anbere entgegengefette negatib. ~(ame 3um Unterfe'{)iebe bon einem ~infel"~(amen erljaH ber SDreiecr£l" S)1ame ein borangefteute£l SDreiecr£l"3eie'{)en. S)1ae'{) %ig. I finb 3. ~. ,)jofHib hie ~(amen I':::, ABC, I':::, BCA, I':::, CAB; negatib bie S)1amen I':::, BAC, I':::, ACB, I':::, CBA. § 60. ~ie ~rciedt\i-.$tild\C. ~in SDreiecr£l~Umfang Iatt unterfe'{)eiben 3 @;eiten. SDie I))(at~ 3a lj len ber @;eiten eines SDreiecr£l ltJerben mit benjenigen ffetnen Iateinife'{)en ~ue'{)ftaben oe3eie'{)net, ltJeIe'{)e ben groten mUe'{)ftaben iljrer ~egenecren entf,)jre" I .A e'{)en. SDie .2angen~~inljeit 1 ill ltJitb fortgefaffen, ltJeil aUe @;trecren" 3aljlen aI£l c \))Ceter "3aljIen ongegeben ltJerben. mgt %ig. I. ~in SDreiecfs ~ Umfang ~----L~L.::-L-_~a~ __l. :.:;3=-";::"B fatt ferner 3 ~infelunter~ 1IC fe'{)eiben, ltJeIe'{)e innerljaIb me be£l Umfang£l Hegen. SDie at 3a lj Ie n ber inneren eine£l ~infe{ SDreiecr£l luerben bure'{) biejenigen fIeinen griee'{)ife'{)en mUe'{)ftaben be" 3ete'{)net, ltJeIe'{)e ben grot en mUe'{)ftaben iljm @;e'{)eiteI1Junfte entf,)jtee'{)en. SDie ~infeI"~inljeit 10 ltJitb fortge1affen, ltJen aUe ~infcI"3aljIen oI£l ~rab"3aljlen ongegeben ItJcrben. mgt %ig. I. ~in SDreiecrs"Umfang Iatt aue'{) foIe'{)e ~infef unterfe'{)eiben, ltJefe'{)e bie ffUe'{)tung eine£l inneren @;e'{)enfeI£l mit bet entgegengefetten 9lie'{)" tung be£l folgenben birbet. Li. AC1If in %ig. I. ~ u f3Cn" ~ i nl e{ eine£l SDreiecr£l l)eitt berjenige SDtciecr£l"~infe1, ltJeIe'{)en bie 9lie'{)tung cines inneren @;e'{)enfel£l mit ber entgegenge" feb ten 9lie'{)tungbes folgenben bilbet. Fl' Seber ~uten"~infel eine£l SDreiecr£l birbet mit bern an" Hegenben Snnen~~infeI ein ~(ebenltJinfeI~ll5aar. SDreiecr£l~ @;tucre ljeiten bie @;eiten unb ~infeI eine£l SDreiecr£l" Umfang£l. § 61. ~omologe ~reiedt\i-.$tiidte. $tongruente SDreiecre finb gIeie'{). Fl' @Ieie'{)e SDreiecre ljaben gIeie'{)e @;eiten unb gIeie'{)e ~infeI. SDie enif,)jree'{)enb gIeie'{)en @;tucre gIeie'{)er SDreiecre finb baron 75] § 61. ~DmDIDge IDreied'a,@)ti\cfe. - § 64. IDie lffiinfeI eineG IDreied'a. 3 erfennbar, bat hie entftJtec'f)enb g1eic'f)en @leiten entftJrec'f)enb g1eic'f)e @egenttlillM unb entftJrec'f)enb I A gXeic'f)e ~infe1 entftJtcc'f)cnb gleic'f)e @egenfeiten 1)aben. mgL 'iJig. 1. ~81 S) 0 mole 9 e @ltilcre 1)ei" ten in fongruenten SDreieden bie @egenfeiten gfeic'f)er m3inM unb bie @egenttlinfe1 gleic'f)er @leiten. F Sn fongruenten :!lteiecren 2' finb hie gomologen @ltiicre ein" anber gleic'f). § 62. ~ie ~t)ie~lIn9cn bet" ~reicdts-.$tiidte. :iDie @ltiicre eine!3 :!lreiecf!3 befte1)en in @leiten unb m3infe1n. :!lie gegenfeitigen ~e3ie1)ungen bet :!lreiecr!3"@ltucre fonnen ba1)er bteifac'f) betfc'f)ieben fein. 1. @egenfeitige ~e3ie1)ungen ber @le He n. 2." " " m3infeI, 3." " ,,@leHen un b m3in fe!' § 63. ~ie .$eitcn bes ~reiedts. H. @egeben 6,. ABC mit ben @litecren feinet @leiten BC = a, CA = b, AB = c. 'iJig. I. B. ~ac'f) G6 § 10 ift b + c > a, A I c+a> b, a+b> c. :!la fernet b + c > a, fo f01gt, c \1.1enn man aUf beiben @leiten b abi}ie1)t, c > a - b ober a - b < c. ~benfo ift a + b > c. 'iJ01gHc'f) C '------'<--::-0- -- B boubrec'tf ) c@ -lubat ra<ft iobn; bofon1 gUac:'f ) bb u>rc 'f) c @-luba" itaftion bon b: a> c - b obet c - b < a. Th. c + b > a c - b < a, c + a > b unb c - a < b, a + b > c a - b < c. Sn einem :!lreiecf ift bie @lu mm e bon 2 @leiten ftet!3 gtotet al!3 bie brUte @leite, unb hie :!lifferena bon 2 @leiten ftet;3 Heiner a1;3 bie brUte @leite. § 64. ~ie ~inkel tines ~rticdt&. H. @egeben 6,. ABC mit feinen msinfe1n A BAC = A lX, A ABC = A fJ, A ACB = A y. 'iJig.1. 1* 4 1. ~ai3 ~reiecf. [76 B. Um bie S)teied!3~m3infef mit oefannten m3inM45aaten tJet~ gfei~en au fiinnen, fonfttuiete man but~ A bie ®etabe JlrfN II BC. lDann ift A JlrfAC = A ACB = A y af!3 m3e~fehtJinfef, A NAB = A ABC = A f1 af!3 m3e~fehtJinfeL ~orgfi~ A a + A fJ + A Y = + + I A JlrfAC A a A BAN= 2R. -M-------------iAy) ;7iij""N---------- Th. A a + A fJ + A Y = 2R. lDie @)umme bet btei inueten m3 in f ef eine!3 lDteied!3 ift ftet!3 grei~ 2 lRe~ten. Fl' m3enn in einem lDteiede 2 L..::--------1!!A3~B m3infef oefannt finb, fo ift bet btitte m3infe! bUt~ fie oeftimmt. H. ®egeoen 6. ABC mit feinen 3 inneten lDteied!3~m3inMn unb einem ~utenltJinfe1 A ABM. ~ig. II. B. Um ben ~utemlJinfe{ A ABM mit ben imteten lDteied!3~ m3infefn but~ befannte m3infeI45aate in meaieljung au btingen, fonfttuiete man but~ B hie ®etabe B P II CA. lDann ift A ABP = A BAC = A a a{!3 m3e~fehtJinfef, A P BM = A ACB = A Y a{!3 fonef1Jonbente m3infef. + ~oIgfi~ A ABM= A ABP+ A PB1V!= A a A y. ~o{gfi~ AABM- A a = A y. Th. A ABM = A a + A Y unb A ARM - A a =Ay· S)(un flnb A a unb A Y biejenigen Snnen~m3infet bc!3 lDteied!3, ttJef~e bem ~uten~ J[ ttJinfef A A B M A ni~t a{!3 S)(eoen~ ttJinfe1 anfiegen, ttJie A fJi fobann ift bet mettJei!3 filt ieben anbeten ~utenttJin~ fer betfefbe. lDet ~uten~ B ttJinfe! eine!3 lDtei~ ed!3 ift ftet!3 grei~ bet @)umme bet oeiben i~m ni~t anHegenben Sunen~m3infefi unb bet Untetf~ieb eine!3 ~utenttJinfeI!3 unb eine!3 iljm ni~t anIiegenben Snnen~m3infef!3 ift ftet!3 grei~ bem anbeten iljm ni~t anfiegenben Snnen~m3inM. Fl' lDet ~utenttJinfeI etne!3 lDteied!3 ift ftet!3 gtiitet af!3 ein iljm ni~t anfiegenbet Snnen~m3infeL
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