Die elastischen Platten: Die Grundlagen und Verfahren zur Berechnung ihrer Formänderungen und Spannungen, sowie die Anwendungen der Theorie der ebenen zweidimensionalen elastischen Systeme auf praktische Aufgaben

335 Pages·1925·12.64 MB·German

by  Dr.-Ing. A. Nádai (auth.)

A. Nadai
Die elastischen
Platten
Die Grundlagen und Verfahren zur
Berechnung ihrer Fromänderungen
und Spannungen, sowie die
Anwendungen der Theorie der
ebenenzweidimensionalen elastischen
Systeme auf praktische Aufgaben
Die elastischen Platten
Die Grundlagen und V erfahren zur Berechnung ihrer Form
änderungen und Spannungen, sowie dieAnwendungender
Theorie der ebenen zweidimensionalen elastischen
Systeme auf praktische Aufgaben
Von
A. N adai
Dr.-Ing.
Privatdozent der Universität Göttingen
Mit 187 Abbildungen im Text
und 8 Zahlentafeln
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1925
Alle Rechte, insbesondere das der Wiedergabe von Abbildungen
und der Dbersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1925 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Urspriinglich erschienen bei J ulius Springer in Berlin 1925
ISBN 978-3-662-11488-9 ISBN 978-3-662-11487-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-11487-2
Vorwort.
Die Aufgaben des Ingenieurs haben schon oft die Mechanik um
bedeutende Probleme bereichert. Unter den zweidimensionalen
elastischen Systemen bieten die ebenen Platten und die nach Um
drehungsflächen gekrümmten elastischen Schalen zwei charakteristische
Aufgabengruppen der Statik, die in hohem Maße der mathematischen
Behandlung zugänglich sind. Die Platten und Schalen sind Ele
mente der Konstruktionen, die dem Ingenieur in einer Fülle der
verschiedenartigsten Fälle hinsichtlich ihrer Form, ihrer Belastung und
ihrer Randbefestigung ·in den Anwendungen entgegentreten.
Während die Theorie der Biegung der elastischen Platten auf ein
Jahrhundert ihres Besteheus zurückblicken kann und in ihren Grund
gedanken bereits durch die bedeutendsten Bearbeiter der mathema
tischen Elastizitätslehre entwickelt worden ist, verdankt die Theorie
der Biegung der gewölbten Schalen zwei lebenden Forschern ihre
Ausbildung, nämlich den bahnbrechenden Arbeiten von E. Meißner
in Zürich und H. Reißner in Charlottenburg.
Das vorliegende Buch ist aus dem Wunsch hervorgegangen,
die wichtigsten Mittel für den Ingenieur bereitzustellen, deren er zur
Bestimmung der Formänderungen der ebenen Platten und zur Be
rechnung der in ihrem Innern wirkenden Spannungen bedarf. Die
entwickelten Berechnungsverfahren dürfen über die Fälle der Platten
biegung hinaus das Interesse des Ingenieurs und des augewandten
Mathematikers beanspruchen, in denen sie sich als nützlich erwiesen
haben, weil sie das Handwerkzeug zur Bestimmung aller ebenen
Spannungs- und Verzerrungszustände elastischer Körper bilden dürften.
Den Maschineningenieur haben die ebenen und gewölbten Wan
dungen der unter Druck stehenden Maschinengehäuse und Kessel
zu einer genaueren Untertmchung der Formänderungen und der
Festigkeit der Platten und Schalen angeregt. Hier waren es be
sonders die Forderungen des Dampfturbinenbaues, die zu einer sorg
fältigen und eingehenden Beschäftigung mit einigen von diesen schwie
rigen Aufgaben der Festigkeitslehre angeregt haben.
Unter der Vielgestaltigkeit der Ausführungsformen der Eisenbeton
hauweise sind andererseits Bauwerke entstanden, die in ihrer organi
schen Verbindung von stabförmigen Tragwerken mit flächenhaft aus
gebildeten Teilen den Ingenieur oft vor neuartige statische Aufgaben
stellen. Zu ihrer Bewältigung erweist sich mehr und mehr die Not
wendigkeit, die Theorie der zweidimensionalen elastischen Körper heran
zuziehen. Die Formänderungsgesetze eines unvollkommen elastischen
IV Vorwort.
Baustoffes wie des Betons bedürfen zwar unter einer zweiseitigen
Biegungsbeanspruchung noch ihrer genaueren Untersuchung, wie auch
die Gesetze, nach denen sich die in ihrem Innern durch Eisenein
lagen erst tragfähig gemachten Betonplatten verbiegen. Trotzdem
dürfte die genaue Beschreibung der Spannungszustände einer elastisch
isotropen Platte unter den in den Anwendungen am häufigsten vor
kommenden Belastungsfällen sehr nützlich sein. Die Gesichtspunkte,
nach denen die Eiseneinlagen in den ebenen Wandungen der großen
Flüssigkeits- und Stückgutbehälter aus Beton und in den, in einem
Gitter von regelmäßig angeordneten Punkten belasteten oder unter
stützten Betonplatten am sparsamsten zu verteilen sind, welche als
durchlaufende Decken, als Brückenfahrbahnen oder als Fundament
platten von Gebäuden viel Verwendung gefunden haben, werden an
Hand der Theorie der biegungsfesten elastisch-isotropen Platten sich
für die Zwecke der Anwendungen hinreichend genau feststellen lassen.
Diese Theorie dürfte zur Zeit das vollkommenste Mittel bilden, das
die Mechanik dem Ingenieur zur Verfügung stellen kann, der sich ein
genaueres Bild über die Art der Verteilung der Spannungen in
diesen Konstruktionen verschaffen will. Sie gewährt ihm einen weit
befriedigenderen Einblick in diese letztere, als die an ihrer Statt
gelegentlich herangezogenen, mechanisch unzulänglich begründeten
Rechnungsverfahren.
Den Ingenieuren, die sich mit diesen Aufgaben beschäftigt haben,
werden die vorhandenen Lücken in den experimentellen Grundlagen
der Lehre von der Biegung der vollkommen und besonders der un
vollkommen-elastischen Platten kaum entgangen sein, ebensowenig
auch die Schwierigkeiten, welche einige Belastungsfälle selbst bei
den elastisch-isotropen Platten einer mathematischen Behandlung be
reitet haben oder noch bereiten, die eine Bedeutung für die An
wendungen haben. Der Umstand, daß es ein universelles Rechnungs
verfahren bisher nicht gibt, das in allen Fällen der Belastungen und
der Grenzbedingungen von elas~isJhen Platten mit einem geringen
Maß von Rechenarbeit die Spannungen zu ermitteln gestattet, hat
nicht zu verhindern vermocht, daß man die strengen Lösungen für
eine große Zahl von praktisch wichtigen Belastungsfällen aufgefunden
hat. Diese Lösungen und die mit ihrer Hilfe ermittelten Spannungs
verteilungen in elastischen Platten enthalten viele wertvolle Ergeb
nisse der Rechnung für die Anwendungen. Diese Erfolge der seit
einem Jahrhundert in den Arbeiten der Förderer der Elastizitäts
lehre weit ausgebaut::m Theorie der Biegung der elastischen Platten
werden den weiterstrebenden Ingenieur und augewandten Mathe
matiker anspornen, den zur Lösung derartiger Aufgaben der Festig
keitslehre ihnen zu Gebote stehenden sinnreichen Verfahren ihre
Aufmerks<1mkeit zu widmen und die Versuche fortzusetzen, um die
noch vorhandenen Lücken in den experimentellen Grundlagen der
Berechnungsverfahren zu beseitigen und diese letzteren weiter zu ver
vollkommnen und zu vereinfachen.
Vorwort. V
Die Grundlagen der technischen Elastizitätslehre werden, soweit
sie für das ins Auge gefaßte Sondergebiet erforderlich sind, entwickelt.
An mathematischen Hilfsmitteln werden die Anfangsgründe der
Theorie der linearen Differentialgleichungen vorausgesetzt, wie sie im
Studiengang der Bau· oder der Maschineningenieur-Abteilungen der
Technischen Hochschulen entwickelt zu werden pflegen. In einigen
Anwendungen der Rechnung habe ich auf ihre vollständige Wieder
gabe verzichtet und mich begnügt, die hauptsächlichsten Schritte an
zudeuten und ihre Ergebnisse anzuführen. Bei der Behandlung der
Plattenaufgaben haben die vom Altmeister der Elastizitätslehre
A. E. H. Love eingeführten Spannungsmittelkräfte und Spannungs
momente sich als sehr zweckmäßig erwiesen. Von der von Micheil
und von Love weit ausgebauten Theorie der Biegung beliebig dicker
ebener Platten habe ich keinen Gebrauch gemacht, weil für die prak
tischen Anwendungen die Beschränkung der Untersuchung auf dünne
Platten im Sinne der Annahmen, die den von Gustav Kirchhoff
abgeleiteten Gleichungen zugrunde liegen, in den m'listen Fällen wohl
ausreichen dürfte. Die wiederholten Anregungen meines verehrten
Lehrers, A. Stodola in Zürich, und die schöne Auswahl von Aufgaben
der Festigkeitslehre, die den Inhalt der vor einigen Jahren erschie
nenen beiden Bände von "Drang und Zwang" von A. und L. Föp pl
bildet, haben mich darin bestärkt, den Verfahren und den Haupt
anwendungen der Plattenlehre eine eingehendere Darstellung zu widmen.
Ich gedenke sehr dankbar des regen Gedankenaustausches mit
Herrn L. Prandtl, mit dem ich seit fünf Jahren so oft Gelegenheit
hatte über viele der im folgenden berührten Fragen der Elastizität
und der Mechanik der bildsamen Formänderungen zu sprechen und
dem ich meinen herzlichsten Dank auch für die Möglichkeit aus
sprechen möchte, den Gegenstand durch verschiedene Versuchsreihen
über die mich interessierenden Fragen im Institut für augewandte
Mechanik der Universität Göttingen ergänzt zu haben. Die zu ihrer
Vornahme erforderlichen Mittel wurden mir von der Jubiläums
stiftung der deutschen Industrie in dankenswerter Weise zur
Verfügung gestellt.
Der Gutehoffnungshütte in Oberhausen und der Beton
und Eisenbetonbauunternehmung von Wayss & Freytag in Neu
stadt a. d. Haardt habe ich für die liebenswürdige Überlassung
einer Anzahl von Lichtbildern ihrer Plattenkonstruktionen für den
Druck besonders zu danken. Schließlich möchte ich nicht verfehlen,
der Verlagsbuchhandlung für ihre Bereitwilligkeit, mit der sie auf
meine Wünsche bei der Drucklegung eingegangen ist, und für die
sorgfältige Herstellung de3 Satzes und der Abbildungen meinen
besten Dank auszusprechen.
Göttingen, im April 1925.
A. Nadai.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
I. Die Grundlagen der Lehre von der Plattenbiegung.
1. Elastizität, Bildsamkeit, Festigkeit • 1
2. Der Formänderungszustand . 2
3. Der Spannungszustand • • . 4
4. Der ebene Spannungszustand 6
5. Das Elastizitätsgesetz • • . 8
6. Die Grundgleichungen • • 11
7. Steigung und Krümmung • 12
8. Platten und Schalen . • . 14
9. Die Spannungsmomente einer Platte. Der Momentenkreis 16
10. Die Differentialgleichung der elastischen Fläche einer Platte . . . • 18
Die Differentialausdrücke für die Biegungsmomente, für das Scherungs
moment und für die Scherkräfte.
11. Die Anstrengung der Platte . . • . . . . • . . . . . . . . • . . . 22
Die zulässige Beanspruchung. Verschiebungs- und 'l'rennungsbruch.
12. Einfachste Anwendungen der Plattengleichung . . . . • . • . • . • 26
Biegung nach einer Zylinderfläche, Potenzausdrücke. Reine Biegung.
Die eingespannte elliptische Platte. Sinusförmige Belastung einer recht
eckigen Platte.
13. Die Grenzbedingungen elastischer Platten . . . . . . . . . . . • • 33
Elastisch gleichwertige Randverteilungen. Die Ersatzscherkräfte einer
Platte. Auflagerkräite. Die Einzelkraft in einer Ecke. Eingespannte,
freie und frei aufgestützte Ränder. Die Nav iersehen Grenzbedingungen.
14. Biegungsversuche mit quadratischen Platten aus Flußeisen . . . • . 39
15. Ebene Verzerrungszustände von dicken Platten . . . . . . . . . . . 45
a) Der ebene Verzerrungszusta.nd. b) Die gleichförmige Biegung einer
dicken Platte. c) Die gleichförmig zunehmende Biegung. d) Biegung
unter einem gleichförmigen Druck.
II. Die Formänderungen und die Spannungen
der biegsamen Platten.
16. Biegung einer kreisförmigen Platte nach einer Umdrehungsfläche 52
17. Die eingespannte und die freiaufliegende, gleichmäßig belastete kreis
förmige Platte . . . • . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . 56
18. Die durch eine Einzelkraft in der Mitte belastete kreisförmige Platte 58
a) Mit frei aufliegendem, b) mit eingespanntem Rand.
19. Die Biegungsbeanspruchung von Platten durch Einzelkräfte 62
20. Der Plattenstreifen und der Halbstreifen . • • • • • • . • 67
21. Der gleichmäßig belastete Plattenstreifen • . • . . . . . . • • . . 70
Entwickelung seiner elastischen Fläche in eine Fouriersehe Reihe.
22. Der gleichmäßig belastete Halbstreifen • . • . . • • • • . • • . . • 72
a) Auf der kurzen Seite sind die Navierschen Grenzbedingungen er
füllt. b) Die kurze Seite ist eingespannt. c) Die kurze Seite ist frei.
23. Der Plattenstreifen mit einer auf einer geraden stetig oder auch un
stetig verteilten Last • . • . . . • . . . · . . • • • • • . . . . . 78
24. Regelmäßige Lastenzüge aus Einzelkräften. Ihre analytischen Ausdrücke 82
25. Der durch eine Einzelkraft belastete, freiaufliegende Plattenstreifen 85
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
26. Die mittlere Krümmung (die Fläche rp) des Plattenstreifens. 87
27. Darstellung der Fläche rp aus winkeltreuen Abbildungen • . 89
28. Die Spannungsmomente des freiaufliegenden PJattenstreifens, der durch
eine Einzelkraft belastet ist . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
29. Ermittelung der Schichtenlinien der Fläche cp auf zeichnerischem Wegp. 99
30. Zusammenfassung der Ansätze zu einer Analyse des Spannungszustandes
eines durch eine Einzelkraft belasteten, freiaufliegenden Plattenstreifens 107
31. Die geradlinig frei gestützte rechteckige Platte mit einer sinusförmigen
Belastung. Verhindertes Abheben der Ecken . . . . . . . . . . . 109
32. Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Spannungen von Platten 112
33. Die Lösungen von Navier für die rechteckige Platte . . . . . . 114
34. Die gleichmäßig belastete rechteckige Platte mit in einer Ebene frei
aufgestützten Seiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Zerlegung der elastischen Fläche in zwei Teile. Berechnung der größ.
ten Durchbiegung und der Momente. Der Verlauf der Auflagerkräfte.
35. Rechteckige Platten mit Aussteifungen. Das engmaschige Rippennetz.
Die vollkommen starren Rippen . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
36. Hydrostatische Druckbelastung. Berechnung der Abschlußplatte einer
Schleuse. Schleusentore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • 135
37. Die Formänderungen und die Spannungen von durchlaufenden Platten. 141
Das Einzelkraftgitter, das einer gleichmäßig verteilten Last das
Gleichgewicht hält.
38. Die Lösung des Pilzdeckenproblems durch Doppelreihen von V. Lewe 156
39. Durch Einzelkräfte belastete rechteckige und dreieckige Platten . . . 158
a) Halbstreifen. b) Einzelkraftreihe im Parallelstreifen. c) Recht
eckige Platten. d) und e) Dreieckige Platten mit Einzelkräften.
40. Einzelmomente . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 162
41. Die Biegungsschwingungen der rechteckigen Platte . . . . . • . . 164
Die Knotenlinien schwingender quadratischer Platten.
42. Über die Entwickelung gegebener Funktionen nach Orthogonalfunktionen 167
43. Die elastische Fläche der durch eine Einzelkraft verbogenen recht
eckigen Platte als Kern der Integralgleichung ihrer Eigenschwingungs-
formen ............................. 173
44. Das rechtwinkelig-gleichschenkelige Dreieck unter einem gleichförmig
verteilten Druck und unter einer Einzelkraft als Belastung 17 5
45. Die eingespannte, gleichmäßig belastete rechteckige Platte . . . • . 180
46. Auf einem nachgiebigen Untergrund aufruhende Platten . . . . . . 185
47. Die Plattengleichungen in Polarkoordinaten. Die Randwertaufgabe der
kreisförmigen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
In einzelnen Randpunkten unterstützte kreisförmige Platte. Der
Kreisausschnitt.
48. Versuche mit kreisförmigen Glasplatten 198
49. Die Singularitäten der Plattenbiegung 202
111. Die Behandlung der Aufgaben der Plattenstatik
mittels der Differenzenrechnung.
50. Das Rechnen mit kleinen Differenzen. Anwendungen auf das Seileck 205
51. Einige Beispiele aus der Lehre der Stabbiegung . . . . . 211
52. Anwendung der Differenzenrechnung auf Plattenaufgaben . • . . • . 214
IV. Ebene Gleichgewichtszustände.
53. Der ebene Verzerrungszustand und der ebene Spannungszustand 222
54. Einige ebene Gleichgewichtszustände elastischer Körper 225
1. Berücksichtigung der Massenkräfte. 2. Der Halbraum. 3. Der
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
strahlige Spannungszustand. 4. Gleichförmiger Druck auf einer Halb
ebene .~. Die Begrenzungsebene y = 0 des Halbraumes ist auf einem
Parallelstreifen von der Breite 2 a gleichförmig belastet. 6. Das
Rechteck und der Parallelstreifen.
V. Die in einer Ebene gespannten Platten. Die Stabilität
und das Ansknicken der dünnen Platten.
55. Die Zerlegung des Spannungszustandes einer biegsamen Platte mit ge
spannter Mittelfläche in einen ebenen Spannungs-und in einen Biegungs-
zustand . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . 231
56. Der ebene Spannungszustand der Platte . . . . . . . . . . 232
57. Die Biegungsgleichung der in ihrer Ebene gespannten Platten 233
58. Das Ausknicken der dünnen Platten . . . . • . . . . . . . 236
59. Knickungsfälle von allseitig gedrückten rechteckigen Platten . 238
60. Knickungsfälle von rechteckigen Platten, die parallel zu einem Seiten-
paar unter Druck stehen. Die Lösungen von H. Reißner . • . . . 239
61. Die Stabilität des Gleichgewichtes eines auf Scherung beanspruchten
dünnen Plattenstreifens . . . . . . • . . . . . . • . . . • . . . 246
62. Die Stabilität von kreisförmigen Platten . . . . . . . . . . . 249
cx) Ausbauchung nach einer Umdrehungsfläche. ß) Radialer Druck
auf dem Umfang. y) De~gl. mit einem gleichförmigen Seitendruck.
b) Desgl. mit einer Einzelkraft in der Mitte.
63. Knickungsfälle von kreisförmigen Platten mit unsymmetrischer Aus
heuJung bei festgehaltenem Umfang . . . . . • . . . • . . . • . 257
64. Biegung einer in ihrer Ebene gespannten kreisförmigen Platte 258
65. Ähnliche Biegungszustände. Die Biegungsschwingungen einer in ihrer
Ebene gespannten Platte . . . . • . . . • . • • . . . . . • . 261
66. Die Wärmespannungen in Platten . . . . . • . . . . . . . . . 264
67. Die Formänderungsarbeit einer Platte. Biegungs-, Streckungsarbeit 268
68. Die Variation des Formänderungszustandes . . . 272
69. Das Verfahren von W. Ritz. Beispiel von H. Lorenz. . . . . . 274
70. Die Knickbedingung von Timoschenko. Beispiele . . . . . . . 277
VI. Die biegsamen Platten mit Gewölbespannnngen.
71. Die Platten mit großen Ausbiegungen. Ableitung der Differentialgleichungen 284
72. Die kreisförmige Platte mit Gewölbespannungen . . . • . . • 288
73. Die eingespannte kreisförmige Platte mit großer Ausbiegung 291
74. Die freiaufliegende kreisförmige Platte mit Gewölbespannungen . . . 298
75. Versuche mit kreisförmigen Stahlblechplatten. Wirkung der Eigen-
spannungen in Platten . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
VII. Abriß einer Theorie der durch unstetige
Oberflächenkräfte belasteten dicken Kreisplatte.
76. Die dicke Kreisplatte . . . . . . • . . . . . . . . . . 308
77. Die Oberflächenspannungen in einem durch eine Ebene begrenzten
Körper .....•.................•...•. 312
78. Die durch eine Einzelkraft belastete dicke Kreisplatte . . . . . . . 315
Zusammenhang mit der Kirchhofischen Plattentheorie. Der Ver-
lauf der Spannungen in der Nähe der Druckfläche.
Anhang. Zur Entstehungsgeschichte der Plattentheorie 323
Literatur. . . . 325
Bezeichnungen 326
I. Die Grundlagen der Lehre von der
Plattenbiegung.
1. Elastizität, Bildsamkeit, Festigkeit.
Die Körper, die wir gewohnt sind als starr anzusehen und als
fest zu bezeichnen, sind es bei näherem Zusehen nicht. In einem
Teil der Mechanik, der sich mit der Beschreibung der Veränderungen
ihrer Gestalt beschäftigt, wird von der Erfahrungstatsache Gebrauch
gemacht, daß man solche Veränderungen an den Körpern beobachten
kann, für die allein die jeweiligen Werte der Kräfte bestimmend
sind, die als ihre Ursachen angesehen werden. Mit diesen, im Ver
gleich zu den Abmessungen der Körper meist sehr kleinen Gestalts
änderungen werden wir uns im folgenden zu beschäftigen haben.
Diese Gestaltsänderungen der Oberfläche der Körper sind die
Folge der Verschiebungen der kleinsten Massenteilchen, aus denen
sie sich aufbauen. Die Kräfte, unter deren Wirkung sie entstehen,
greifen entweder gleichmäßig an den einzelnen Massenpunkten an -
Massenkräfte - oder sie werden an den Stellen übertragen, wo
die Körper mit angrenzenden Massen in Berührung stehen - Ober
ß.ächenkräfte.
Unter den mechanischen Grundeigenschaften der festen Körper
und im besonderen der Baustoffe des Ingenieurs treten ihre Elasti
zität, ihre Bildsamkeit und ihre Festigkeit hervor. Es be
dürfte der Aufzählung einer langen Reihe von Erfahrungstatsachen
und der Beschreibung von Beobachtungen verschiedener Art, um
diesen, dem täglichen Sprachgebrauch entnommenen Begriffen eine
genauer eingeschränkte mechanische Deutung zu geben. Im Gebrauch,
den wir vom Begriff der Elastizität in der Festigkeitslehre gewohnt
sind zu machen, begnügen wir uns damit, unter ihr die Eigenschaft
der Körper zu verstehen, in ihre ursprüngliche Gestalt zurückzukehren,
wenn die Kräfte ihre anfänglichen Werte wieder angenommen haben.
Neben diesen elastischen Teilen der Formänderungen sind nach einer
Rückkehr zur ursprünglichen Last oft weitere Änderungen der Gestalt
zu beobachten, die man als bleibende Formänderungen bezeichnet,
wenn sie mit der Zeit nicht verschwinden.
Na da i, Elastische Platten. 1