Die elastischen Platten: Die Grundlagen und Verfahren zur Berechnung ihrer Formänderungen und Spannungen, sowie die Anwendungen der Theorie der ebenen zweidimensionalen elastichen Systeme auf praktische Aufgaben

336 Pages·1925·14.15 MB·German

by  Dr.-Ing. A. Nádai (auth.)

Die elastischen Platten
Die Grundlagen und Verfahren zur Berechnung ihrer Form
anderungen und Spannungen, sowie dieAnwendungen der
Theorie der ebenen zvveidimensionalen elastischen
Systeme auf praktische Aufgaben
Von
Dr.-Ing. A. Na dai
Privatdozent der Universitiit G5ttingen
Mit 187 Abbildungen im Text
und 8 Zahlentafeln
Berlin
Verlag von Julius Springer
1925
ISBN-13: 978-3-642-98358-0 e-ISBN-13: 978-3-642-99170-7
DOl: 10.1007/978-3-642-99170-7
AIle Rechte, insbesondere das der Wiedergabe von Abbildungen
und der Dbersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1925 by Julius Springer in Berlin.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1925
Vorwort.
Die Aufgaben des Ingenieurs haben schon oft die Mechanik um
bedeutende Probleme bereichert. U nter den zweidimensionalen
elastischen System en bieten die ebenen Platten und die nach Um
drehungsfHichen gekrummten elastischen Schalen zwei charakteristische
Aufgabengruppen der Statik, die in hohem MaEe der mathematischen
Behandlung zuganglich sind. Die Platten und Schalen sind Ele
mente der Konstruktionen, die dem Ingenieur in einer Fulle der
verschiedenartigsten FaIle hinsichtlich ihrer Form, ihrer Belastung und
ihrer Randbefestigung in den Anwendungen entgegentreten.
Wahrend die Theorie der Biegung der elastischen Platten auf ein
Jahrhundert ihres Bestehens zuruckblicken kann und in ihren Grund
gedanken bereits durch die bedeutendsten Bearbeiter der mathema
tischen Elastizitatslehre entwickelt worden ist, verdankt die Theorie
der Biegung der gewalbten Schalen zwei lebenden Forschern ihre
Ausbildung, namlich den bahnbrechenden Arbeiten von E. MeiEner
in Zurich und H. ReiEner in Charlottenburg.
Das vorliegende Buch ist aus dem Wunsch hervorgegangen,
die wichtl;gsten Mittel fur den Ingenieur bereitzustellen, deren er zur
Bestimmung der Formanderungen der ebenen Platten und zur Be
rechnung der in ihrem Innern wirkenden Spannungen bedarf. Die
entwickelten Berechnungsverfahren diirfen iiber die FaIle der Platten
biegung hinaus das Interesse des Ingenieurs und des angewandten
Mathematikers beanspruchen, in denen sie sich als nutzlich erwiesen
haben, weil sie das Handwerkzeug zur Bestimmung aller ebenen
Spannungs- und Verze.mmgszustande elastischer Karper bilden diirften.
Den Maschineningenieur haben die ebenen und gewalbten Wan
dungen der unter Druck stehenden Maschinengehause und Kessel
zu einer genaueren Untermchung der Formanderungen und der
Festigkeit der Platten und Schalen angeregt. Hier waren es be
sonders die Forderungen des Dampfturbinenbaues, die zu einer sorg
faltigen und eingehenden Beschaftigung mit einigen von diesen schwie
rigen Aufgaben der Festigkeitslehre angeregt haben.
Unter der Vielgestaltigkeit der Ausfuhrungsformen der Eisenbeton
bauweise sind andererseits Bauwerke entstanden, die in ihrer organi
schen Verbindung von stab£6rmigen Tragwerken mit flachenhaft aus
gebildeten Teilen den Ingenieur oft vor neuartige statische Aufgaben
stellen. Zu ihrer Bewaltigung erweist sich mehr und mehr die Not
wendigkeit, die Theorie der zweidimensionalen elastischen Karper heran
zuziehen. Die Formanderungsgesetze eines unvollkommen elastischen
IV Vorwort.
Baustoffes wie des Betons bediirfen zwar unter einer zweiseitigen
Biegungsbeanspruchung noch ihrer genaueren Untersuchung, wie auch
die Gesetze, nach denen sich die in ihrem Innern durch Eisenein
lagen erst tragfahig gemachten Betonplatten verbiegen. Trotzdem
diirfte die genaue Beschreibung der Spannungszustande einer elastisch
isotropen Platte unter den in den Anwendungen am haufigsten vor
kommenden Belastungsfallen sehr niitzIich sein. Die Gesichtspunkte,
nach denen die Eiseneinlagen in den ebenen Wandungen der groBen
Fliissigkeits- und Stiickgutbehalter aus Beton und in den, in einem
Gitter von regelmaBig angeordneten Punkten belasteten oder unter
stiitzten Betonplatten am sparsamsten zu verteilen sind, welche als
durchlaufende Decken, als Briickenfahrbahnen oder als Fundament
platten von Ge bauden viel Verwendung gefunden haben, werden an
Hand der Theorie der biegungsfesten elastisch-isotropen Platten sich
fiir die Zwecke der Anwendungen hinreichend genau feststellen lassen.
Diese Theorie diirfte zur Zeit das vollkommenste Mittel bilden, das
die Mechanik dem Ingenieur zur Verfiigung stellen kann, der sich ein
genaueres Bild iiber die Art der Verteilung der Spannungen in
diesen Konstruktionen verschaffen will. Sie gewabrt ibm einen weit
befriedigenderen Einblick in diese letztere, als die an ihrer Statt
gelegentlicb herangezogenen, mecbaniscb unzulanglich begriindeten
Rechnungsverfahren.
Den Ingenieuren, die sich mit dies en Aufgaben beschiiftigt haben,
werden die vorhandenen Liicken in den experiment ellen Grundlagen
der Lehre von der Biegung der vollkommen und besonders der un
vollkommen-elastischen Platten kaum entgangen sein, el-ensowenig
auch die Schwierigkeitcn, welche einige Belastungsfalle selbst bei
den elastisch-isotropen Platten einer mathematischen Behandlung be
reitet haben oder noch bereiten, die eine Bedeutung fiir die An
wendungen haben. Der Umstand, daB es ein universelles Rechnungs
verfahren bisher nicht gibt, das in allen Fallen der Belastungen und
der Grenzbedingungen von elastisClhen Platten mit einem geringen
MaB von Rechenarbeit die Spannungen zu ermitteln gestattet, hat
nicht zu verhindern vermocht, daB man die strengen Losangen fiir
eine groBe Zahl von praktisch wichtigen Belastungsfallen aufgefunden
hat. Diese Losungen und die mit ihrer Hilfe ermittelten Spannungs
verteilungen in elastischenPlatten enthalten viele wert volle Ergeb
nisse der Rechnung fiir die Anwendungen. Diese Erfolge der seit
einem J ahrhundert in den Arbeiten der Forderer der Elastizitats
lehre weit ausgebauten Theorie der Biegung der elastischen Platten
werden den weiterstrebenden Ingenieur und angewandten Mathe
matiker anspornen, den zur Losung derartiger Aufgaben der Festig
keitslehre ihnen zu Gebote stehenden sinnreichen Verfahren ihre
Aufmerksamkeit zu widmen und die Versuche fortzusetzen, urn die
nocb vorhandenen Lucken in den experimentellen Grundlagen der
Berechnungsverfabren zu beseitigen und diese letzteren we iter zu ver
voIlkommnen und zu vereinfachen.
v
Vorwort.
Die Grundlagen del' technischen Elastizitatslehre werden, soweit
sie fiir das ins Auge gefa13te Sondergebiet erforderlich sind, entwickelt.
An mathematischen Hilfsmitteln werden die Anfangsgriinde der
Theorie der linearen Differentialgleichungen vorausgesetzt, wie sie im
Studiengang der Bau· oder der Maschineningenieur-Abteilungen der
Technischen Hochschulen entwickelt zu werden pftegen. In einigen
Anwendungen der Rechnung habe ich auf ihre vollstandige Wieder
gabe verzichtet und mich begniigt, die hauptsachlichsten Schritte an
zudeuten und ihre Ergebnisse anzufiihren. Bei der Behandlung der
Plattenaufgaben haben die vom Altmeister del' Elastizitatslehre
A. E. H. Love eingefiihrten Spannungsmittelkrafte und Spannungs
momente sich als sehr zweckmaBig erwiesen. Von der von Michell
und von Love weit ausgebauten Theorie der Biegung beliebig dicker
ebener Platten habe ich keinen Gebrauch gemacht, weil fiir die prak
tisch en Anwendungen die Beschrankung der Untersuchung auf diinne
Platten im Sinne del' Anna-hmen, die den von Gustav Kirchhoff
abgeleiteten Gleichungen zugrunde liegen, in den meisten Fallen wohl
ausreichen diirfte. Die wiederholten Anregungen meines verehrten
Lehrers, A. Stodola in Ziirich, und die schone Auswahl von Aufgaben
der Festigkeitslehre, die den lnhalt del' vor einigen Jahren erschie
nenen beiden Bande von "Drang und Zwang" von A. und L. Fop pI
bildet, haben mich darin bestarkt, den Verfahren und den Haupt
anwendungen del' Plattenlehre eine eingehendere Darstellung zu widmen.
lch gedenke sehr dankbar des regen Gedankenaustausches mit
Herrn L. Prandtl, mit dem ich seit fiinf Jahren so oft Gelegenheit
hatte iiber viele der im folgenden beriihrten Fragen der Elastizitat
und der l\:Iechanik der bildsamen Formanderungen zu sprechen und
dem ich meinen herzlichsten Dank auch fiir die Moglichkeit aus
sprechen mochte, den Gegenstand durch verschiedene Versuchsreihen
iiber die mich interessierenden Fragen im Institut fur angewandte
Mechanik der Universitat Gottingen erganzt zu haben. Die zu ihrer
Vornahme erforderlichen Mittel wurden mir von der Jubilaums
stiftung der deutschen Industrie in dankenswerter Weise zur
Verfiigung gestellt.
Der Gutehoffnungshiitte in Oberhausen und der Beton
und Eisenbetonbauunternehmung von Wayss & Freytag in N eu
stadt a. d. Haardt habe ich fiir die liebenswiirdige Dberlassung
einer Anzahl von Lichtbildern ihrer Plattenkonstruktionen fur den
Druck besonders zu danken. SchlieBlich mochte ich nicht verfehlen,
del' Verlagsbuchhandlung fur ihre Bereitwilligkeit, mit del' sic auf
meine Wunsche bei der Drucklegung eingegangen ist, und fUr die
sorgfaltige Herstellung des Satzes und der Ab bildungen memen
besten Dank auszusprechen.
Gottingen, im April 1925.
A. Nadai.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
I. Die Grnndlagen der Lehre von der Plattenbiegung,
1. Elastizitiit, Bildsamkeit, Festigkeit • 1
2. Der Formiinderungszustand . 2
3. Der Spannungszustand . • . 4
4. Der ebene Spannungszustand 6
5. Das Elastizitatsgesetz. . . 8
6. Die Grundgleichungen • . 11
7. Steigung und Kliimmung • 12
8. Platten und Schalen . • . 14
9. Die Spannungsmomente einer Platte. Der Momenlenkreis • 16
10. Die DifferentialgleichulJg der elastischen Flache einer Platte. . • 18
Die Differentialausdriicke fiir die Biegung,momente, flir das Scherungs
moment und fiir die Scherkrafte.
11. Die Anstrengung der Platte. • • • . . . • . . . . . . . • • . • . 22
Die zulaosige Eeampruchung. Verschiebungs- und 'l'rennungsbruch.
12. Einfachste Anwendungen der Plattengleichung . . . . . . • . • . • 26
Biegung nach einer Zylinderflache, Potenzausdriicke. Reine Biegung.
Die eingel'pannte elliptische Platte. Sinusformige Belastung einer recht
eckigen Platte.
13. Die Grenzbedingungen elastischer Platten . . . . . . . . . . . • • 33
Elastisch gleichwertige Randverteilungen. Die Ersatzscherkrafte einer
Platte. Auflagerkraite. Die Einzelkraft in einer Ecke. Eingespannte,
freie und frei aufgestiitzte Rander. D:e Navierschen Grenzbedingungen.
14. Biegungsversuche mit quadratischen Platten aus FluBeisen ...• . 39
15. Ebene Verzerrungszustiinde von dicken Platten. . . . . . . • • • • 45
a) Der ebene Verzerrungszustand. b) Die gleichformige Biegung einer
dicken Platte. c) Die gleichformig zunehmende Biegnng. d) Biegung
unter einem gleichformigen Druck.
II. Die Formiinderungen und die Spannungen
der biegsamen Platten.
16. Biegung einer kre:sfOrmigen Platte nach einer Umdrehungsflache 52
17. Die eingespannte und die freiaufliegende, gleichmiiBig belastete kreis-
fOrmige Platte . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . • . . 56
18. Die durch eine Einzelkraft in der Mitte belastete kreisfOrmige Platte 58
a) Mit frei aufliegendem, b) mit eingespanntem Rand.
19. Die Biegungsbeanspruchung von Platten durch Einzelkrafte 62
20. Der Plattenstreifen und der Halbstreifen. • • . • • • . • 67
21. Der gleichmaBig belast ete Plattenstreifen. . . . • . . . . • • •. 70
Entwickelung seiner elastischen Fliiche in eine Fouriersche Reihe.
22. Der gleichmiiBig belastete Halbstreifen. . . . . • • _ . . . . . . . 72
a) Auf der kurzen Seite sind die Navierschen Grenzbedingungen er
fiiIlt. b) Die kurze Seite ist eingespannt. c) Die kurze Seite ist frei.
23. Der Plattenstreifen mit einer auf einer geraden stetig oder auch un
stetig verteilten Last. . . . . . • • . . '. . • • • . • • • . . . 78
24. RcgelmiiBige Lastenziige aus Einzelkriiften. 1hre analytischen Ausdriicke 82
25. Der durch eine Einzelkraft belaslete, freiaufliegende Plattenstreifen 85
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
26. Die mittlere Kriimmung (die Flache 'P) des Plattenstreifens . 87
27. Darstellung der FIache 'P aus winkeltreuen Abbildungen . . 89
28. Die Spannungsmomente des freiaufliegenden Plattenstreifens, der durch
eine Einzelkraft belastet ist • . . . . . . . . . • . . . . . . •. 96
29. Ermittelung der Schichtenlinien der Flache 'P auf zeichnerischem Wege 99
30. Zusammenfassung der Amatze zu einer Analyse des Spannungszustandes
cines durch eine Einzelkraft belasteten, freiaufliegenden Plattenstreifens 107
31. Die geradlinig frei gestiitzte rechteckige Platte mit einer sinusfarmigen
Belastung. Verhindcrtes Abheben der Ecken . . . . . . . . . . . 109
32. Ein Naherungsverfahren zur Berechnung der Spannungen von Platten 112
33. Die Lasungen von ~avier fUr die rechteckige Platte . . . . . . . . 114
34. Die gleichmaBig belastete rechteckigc Platte mit in einer Ebene frei
aufgestiitzten Seiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 120
ZerIegung der elastischen Flache in zwei Teile. Berechnung der graB-
ten Durchbiegung und der Momente. Der Verlauf der Auflagerkrafte.
35. Rechteckige Platten mit Aussteifungen. Das engmaschige Rippennetz.
Die vollkommen starren Rippen . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
36. Hydrostatische Druckbelastung. Berechnung del' AbschluBplatte einer
Schleuse. Schleusentore . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . 135
37. Die Formanderungen und die Spannungen von durchlaufepden Platten. 141
Das Einzelkraftgitter, das einer gleichmaBig verteilten Last das
Gleichgewicht halt.
38. Die Lasung des Pilzdeckenproblems durch Doppelreihen von V. Lewe 156
39. Dureh Einzelkrafte belastete reehteckige und dreieckige Platten. . . 158
a) Halbstreifcn. b) Einzelkraftreihe im Parallelstreifen. c) Recht
eekige Platten. d) und e) Dreieckige Platten mit Einzelkraften.
40. Einzelmomente . . . . . . . • . . . . . _ _ . . . . 162
41. Die Biegungsschwingungen der rechteckigen Platte. . . . . . •. 164
Die Knotenlinien schwingender quadratischer Platten.
42. Uber die Entwickelung gegebener Funktionen nachOrthogonalfunktionen 167
43. Die elastische Flache der durch eine Einzelkraft verbogenen recht
eckigen Platte als Kern der Integralgleichung ihrer Eigenschwinguugs-
form en. . . . . . • . . . _ . . . . . . . . • . . . . . . . . . 173
44. Das rechtwinkelig-gleichschenkclige Dreieck unter einem gleichfarmig
verteilten Druck und unter einer Einzelkraft als Belastung 175
45. Die eingespannte, gleichmaBig belastete rechteckige Platte . . . • . 180
46. Auf einelli nachgiebigen Untergrund aufruhende Platten . . . • • . 185
47. Die Plattengleichungen in Polarkoordinaten. Die Randwertaufgabe der
kreisfarmigen Platte. . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . 190
In einzelnen Randpunkten unterstiitzte kreisfarmige Platte. Der
Kreisausschnitt.
48. Versuche mit kreisfOrmigen Glasplatten 198
49. Die Singularitaten der Plattenbiegung 202
III. Die Behandlung der Aufgaben der Plattenstatik
mitteJs der Differenzenrechnung.
50. Das Rechnen mit kleinen Differenzen. Anwendungen auf das Seileck 205
51. Einige Beispiele aus der Lehre der Stabbiegung . . . . • 211
52. Anwendung der Differenzenrechnung auf Plattenaufgaben. • . . . . 214
IV. Ebene GIeichgewichtszustlinde.
53. Der ebene Verzerrungszustand und der ebene Spannungszustand 222
54. Einige ebene Gleichgewichtszustande elastischer Karper 225
1. Beriicksichtigung der Massenkrafte. 2. Der Halbraum. 3. Der
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
strahlige Spannungszustand. 4. GleichfOrmiger Druck auf einer Halb
ebene 5. Die Begrenzungsebene y = 0 des Halbraumes ist auf einem
Parallelstreifen von der Breite 2 a gleichformig belastet. 6. Das
Rechteck und der Parallelstreifen.
V. Die in einer Ebene gespannten Platten. Die Stabilitiit
nnd das Ausknicken der dunnen Platten.
55. Die Zerlegung des Spannungszustandes einer biegsamen Platte mit ge
spannter MittelfJache in einen ebenen Spannungs-und in einen Biegungs-
zustand ....••..•.......•....•... 231
56. Der ebene Spannungszustand der Platte . . . . . . . • . . 232
57. Die Biegungsgleichung der in ihrer Ebene gespannten Platten 233
58. Das Ausknicken der dunnen Platten . . . . . . . . . . . . 236
59. Knickungsfalle von allseitig gedruokten rechteckigen Platten . 238
60. Knickungsfalle von rechteckigen Platten, die parallel zu einem Seiten-
paar unter Druck stehen. Die Losungen von H. ReiBner. • . . . 239
61. Die Stabilitat des Gleichgewichtes eines auf Scherung beanspruchten
dunnen Plattenstreifens . . . . . . • . . . . . . • • . . • . . . 246
62. Die Stabilitat von kreisformigen Platten . . • . . . . . . . . 249
a) Ausbauchung nach einer Umdrehungsflaohe. fl) Radialer Druck
auf dem Umfang. y) Deegl. mit einem gleichformigen Seitendruck.
~) Desgl. mit einer Einzelkraft in der Mitte.
63. Knickungsfalle von kreisformigen Platten mit unsymmetrischer Aus
beulung bei festgehaltenem Umfang •.•.••..••••••. 257
64. Biegung einer in ihrer Ebene gespannten kreisfOrmigen Platte . • . 258
65. Ahnliche Biegungszustande. Die Biegungsschwingungen einer in ihrer
Ebene gespannten Platte .•.••.•••.•••••..•. 261
66. Die Warmespannungen in Platten . . . . . • . . . . . . . .. 264
67. Die Formanderungsarbeit einer Platte. Biegungs·, Streckungsarbeit 268
68. Die Variation des Formanderungszustandes . • • 272
69. Das Verfahren von W. Ritz. Beispiel von H. Lorenz. . . . .. 274
70. Die Knickbedingung von Timoschenko. Beispiele .•.••• , 277
VI. Die biegsamen Platten mit Gewolbespannungen.
71. Die Platten mit graBen Ausbiegungen. Ableitung der Differentialgleichungen 284
72. Die kreisformige Platte mit Gewolbespannungen . . • • . • • • 288
73. Die eingespannte kreisfOrmige Platte mit groBer Ausbiegung • . . • 291
74. Die freiaufliegende kreisformige Platte mit Gew61bespannungen . • . 298
75. Versuche mit kreisformigen Stahlblechplatten. Wirkung der Eigen-
spannungen in Platten. . • . . . • . • . . • • • . . . . . • 301
VII. A briB einer Theorie der durch unstetige
Oberfliichenkriifte belasteten dicken Kreisplatte.
76. Die dicke Kreisplatte . . . . . . . . . . . • . . . . • . • . 308
77. Die Oberflachenspannungen in einem durch eine Ebene begrenzten
Korper. . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . • . 312
78. Die durch eine Einzelkraft belastete dicke Kreisplatte . . . . . . . 315
Zusammenhang mit der Kirchhoffschen Plattentheorie. Der Ver-
lauf der Spannungen in der Nahe der Druckflache.
Anhang. Zur Entstehungsgeschichte der Plattentheorie 323
Literatur. . . . 325
Bezeichnungen ..... _ . . . . . . . . . • • . . . . . 326
I. Die Grundlagen der Lehre von der
Plattenbiegung.
1. Elastizitat, Bildsamkeit, Festigkeit.
Die Korper, die wir gewohnt sind als starr anzusehen und als
fest zu bezeichnen, sind es bei naherem Zusehen nicht. In einem
Teil der Mechanik, der sich mit der Beschreibung der Veranderungen
ihrer Gestalt beschaftigt, wird von der Edahrungstatsache Gebrauch
gemacht, daB man solche Veranderungen an den Korpern beobachten
kann, fur die aHein die jeweiligen Werte der Krafte bestimmend
sind, die als ihre Ursachen angesehen werden. Mit diesen, im Ver
gleich zu den Abmessungen der Korper meist sehr kleinen Gestalts
anderungen werden wir uns im folgenden zu beschaftigen haben.
Diese Gestaltsanderungen der Oberfii1che der Korper sind die
Folge der Verschiebungen der kleinsten Massenteilchen, aus denen
sie sich aufbauen. Die Krafte, unter deren Wirkung sie entstehen,
greifen entweder gleichmaBig an den einzelnen Massenpunkten an -
Massenkrafte - oder sie werden an den Stellen ubertragen, wo
die Korper mit angrenzenden Massen in Beriihrung stehen - Ober
flachenkrafte.
Un ter den mechanischen Grundeigenschaften der festen Korper
und im besonderen der Baustoffe des Ingenieurs treten ihre Elasti
zitat, ihre Bildsamkeit und ihre Festigkeit hervor. Es be
diirfte der Au fzahlung einer langen Reihe von Erfahrungstatsachen
und der Beschreibung von Beobachtungen verschiedener Art, um
diesen, dem taglichen Sprachgebrauch entnommenen Begriffen eine
genauer eingeschrankte mechanische Deutung zu geben. 1m Gebrauch,
den wir vom Begriff der Elastizitat in der Festigkeitslehre gewohnt
sind zu machen, begniigen wir uns damit, unter ihr die Eigenschaft
der Korper zu verstehen, in ihre urspriingliche Gestalt zuriickzukehren,
wenn die Krafte ihre anfanglichen Werte wieder angenommen haben.
Neben diesen elastischen Teilen der Formanderungen sind nach einer
Riickkehr zur urspriinglichen Last oft weitere Anderungen der Gestalt
zu beobachten, die man als bleibende Formanderungen bezeichnet,
wenn sie mit der Zeit nicht verschwinden.
N a d ai, Elastische Platten. 1
2 Die Grundlagen der Lehre von der Plattenbiegung.
Man nennt die Korper dehnbar, bildsam (pJastisch), wenn
sie bleibende Formanderungen groBeren Betrages ertragen konnen,
ohne daB dabei ihr Zusammenhang in ihren kleinen Teilchen merk
lich gelockert wird. Diese Fahigkeit wird durch den Grad der Ver
schiebbarkeit einzelner Atomschichten im Kristallkorn, sowi e durch
die Zusammenhangsverhaltnisse der Kristallkorner einheitlicher Be
schaffenheit bestimmt, aus denen sich die festen Korper, wie die
Metalle und die Gesteine, aufbauen. Sie hangt aber auch wesent
lich von der Temperatur und von der Art ihrer Beanspruchung abo
Ein Material kann sprode oder bildsam sein, je nachdem unter welchen
Bedingungen es belastet wird. Marmor oder Sandsteinzylinder, die in
einer Festigkeitsmaschine auf Druck belastet werden, verhalten sich
wie sprode Korper, sie zeigen bis zum Bruch keine nennenswerte
Anderung ihrer Gestalt. Wenn die Zylinder in der achsialen Rich
tung belastet und auf ihrem Mantel einem hohen Fliissigkeitsdruck
ausgesetzt werden, lassen sie sich, wie von Karman1) zeigen konnte,
plastisch deformieren. Die reinen Metalle sind bereits unter einer
Zugspannung sehr starker bildsamer Formanderungen fahig. Die
Plastizitat beruht bei. den verschiedenen Korpern auf Vorgangen ver
schiedener Art (Verschiebbarkeit der Korner in einem feuchten Ton,
Bildung der Gleitfiachen in den Kornern der Metalle). Soweit die
Entstehung bildsamer Formanderungen bei den Metallen (das "FlieBen"
der Metalle) in Betracht kommt, haben die Grenzbelastungen (die
FlieBgrenze) fiir deri Ingenieur eine Bedeutung, unter denen diese
Materialien sich in starkerem MaBe plastisch zu deformieren beginnen.
Wenn das Gleichgewicht der Krafte, die an einem Konstruktions
teil angreifen, aufhort sicher zu sein, tritt die Gefahr seiner Zer
storung in den Vordergrund. Mit einer Labilitat des Gleichgewichtes
der Krafte, die an kleinen Teilen des Korpers, Z. B. an seinen
Gefiigebestandteilen angreifen, beginnt die Auflockerung des Korper
zusammenhanges, die Bildung von Rissen, der Gleit- oder der Bruch
fiachen, die der Festigkeit der Korper eine Grenze setzen.
2. Der Formanderungszustand.
Wenn man die Anderung der Gestalt eines Korpers zu be
schreiben hat, wird man von einer willkiirlichen Anfangslage seiner
materiellen Punkte auszugehen und mit ihr die Lage der Punkte
im Endzustand zu vergleichen haben. Wir beziehen die Lage der
Punkte im Anfangszustand auf ein feststehendes Koordinatensystem,
beispielsweise auf ein rechtshandiges, rechtwinkeliges Achsensystem
1) Festigkeitsversuche unter allseitigem Druck. Mitt. lib. Forsch.-Arb.
Heft 118.