Die Differentialgleichungen des Ingenieurs: Darstellung der für Ingenieure und Physiker wichtigsten gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen einschließlich der Näherungsverfahren und mechanischen Hilfsmittel Mit besonderen Abschnitten über Vari PDF
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Die Differentialgleichungen des Ingenieurs Darstellung der fiir Ingenieure und Physiker wichtigsten gewohn lichen und partiellen Differentialgleichungen einschlieBlich der Naherungsverfahren und mechanischen Hilfsmittel Mit besonderen Abschnitten iiber Variations- rechnung und Integralgleichungen von Prof. Dr. Wilhelm Hort Oberingenieur der A E G Turbinenfabrik l'rivatdozent an der Technischen Hochschule zu Berlin Zweite umgearbei tete und vermehrte A uflage unter Mitwirkung von Dr. phil W. Birnbaum und Dr.-Ing. K. Lachmann Mit 308 Abbildungen im Text und auf 2 Tafeln Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1925 Aile Rechte, insbesondere das der .ubersetzung in fremde Sprachen, Yorbehalten. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1925 Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Berlin 1925 Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1925 Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com ISBN 978-3-662-40944-2 ISBN 978-3-662-41428-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-41428-6 Vo rwort zur ersten Auflage. In den Lehrbiichern der Differential- und Integralrechnung, die fiir die Zwecke der Ingenieure gedacht sind, finden auch die Differentialgleichungen Beriicksichtigung. Zumeist gehen jedoch diese Lehrbiicher iiber eine Anfangseinfiihrung in die Theorie der Differentialgleichungen nicht hinaus, so daB der Lernende nur einen fliichtigen Vberblick iiber das Gebiet erhalt. Ferner werden die numerischen, graphischen und mechani schen Verfahren zur Losung von Differentialgleichungen in der vorhandenen Lehrbuchliteratur fast gar nicht beriicksichtigt. Hiervon ausgehend habe ich versucht, die Lehre von den Differentialgleichungen, soweit sie fiir den Ingenieur von Be deutung ist, im Zusammenhang an wichtigen technischen und physikalischen Beispielen darzustellen. Urspriinglich hatte ich die Absicht, die Differential- und Integralrechnung iiberall in dem Werke als bekannt voraus zusetzen. Bald zeigte es sich jedoch als zweckmaBig, eine kurze Darlegung zur V erstandigung vorauszuschicken, die als Ab schnitt I erscheint. Hier habe ich den Versuch gemacht, zuerst den Integralbegriff zu erortern und dann erst zum Differential quotienten iiberzugehen, da mich die Ankniipfung an den Flachen inhalt und an den Summenbegriff anschaulicher diinkt als die Ankniipfung an die Kurventangente, iiber deren inneren Zweck der Lernende zuniichst im unklaren bleibt. Abgesehen von den so gewonnenen Grundtatsachen der Differential- und Integralrechnung werden im Verlaufe des Buches eine Reihe von Formeln benutzt, deren Ableitung mit Riicksicht auf den verfiigbaren Raum nicht gegeben werden konnte. Diese der Differential-undintegralrechnung entnommenen Ansatze habe ich als rechnerisches jedem zur Verfiigung stehendes Handwerkszeug betrachtet, zu welchem Standpunkt ich mich berechtigt glaube, da es sich fast ausschlieBlich urn Tatsachen handelt, die im Tascheubuch Hiitte nachgeschlagen werdcn konnen. In den Anmerkungen habe ich die betreffenden Stellen * IV Vorwort zur ersten Auflage. der Hiitte zitiert. Ich mochte bier nicht verfehlen, die mathe matischeFormelsammlung der Hiitte als nach meinen Erfahrungen recht geschickt ausgewahlt zu bezeichnen. Ansatze, die die Hiitte nicht gibt, sind ebenfalls in den Anmerkungen nach ihren Quellen namhaft gemacht. Bei der Behandlung des eigentlichen Themas des Buches habe ich mich zunachst der iiblichen Einteilung der Differential gleichungen in gewohnliche und partielle angeschlossen. Inner halb dieser Einteilung werden die exakten Transformations- und Substitutionsmethoden dargelegt und auf zahlreiche Beispiele der Technik und Physik angewendet. Da ich moglichst aile fiir Aufgaben des Ingenieurwesens wichtige Methoden bringen wollte, babe ich mich veranlaBt gesehen, die Reihenentwicklungen nach Frob eni us nebst der damit in Zusammenhang stehenden Ermittlung der logarithmen behafteten Integrale linearer Differentialgleichungen zu be handeln. Bekanntlich werden diese V erfahren in der Behalter theorie gebraucht. Daneben werden einige Fragen, die mit der Technik nicht in unmittelbarem Zusammenhang stehen, wie z. B. die Integration der Differentialgleichungen der Planeten bewegung, ihres allgemeinen Interesses halber erortert. Einen ausgedehnten Raum nimmt die Besprechung der Instrumente zur Ausfiihrung von Integrationen sowie die Er orterung graphischer und rechnerischer Annaherungsverfahren ein. Es ist wohl das erste Mal, daB diese Stoffe in einem Lehrbuch der Differentialgleichungen umfangreichere Behandlung finden. Im Interesse der Anwendungen sind aueh die Differenzen gleichungen wenigstens in einem kurzen AbriB aufgenommen worden. Die partiellen Differentialgleichungen lmbe ich von einem etwas anderen Gesichtspunkt aus behandelt. Einerseits gibt es hier noch verhaltnismaBig wenig Annaherungsverfahren, anderer seits beriihrt die eigentliche Theorie der partiellen Differential gleichungen den Ingenieur fast gar nicht. Es handelt sich stets urn das Stoffgebiet der Differentialgleichungen der mathematisehen Physik. Der zweite Teil des Buehes hat infolgedessen ein etwas mehr theoretisches Geprage als der erst e. I ch hoffe aber, daB eine Darstellung der mannigfachen Operationen. die man mit den partiellen Differentialgleichungen dcr Phy;;ik vornehmen kann, auch Ingenieuren willkommen sein wird. Die Gleiehungen der Elastizitat, Hydrodynamik und Elektrodynamik sind ja neuerdings zur Bewaltigung verwiekelter praktischer Aufgaben unentbehrlich geworden. Ieh erinnere nur an die Lorenzsehe Vorwort zur zweiten Auflage. v Turbinentheorie und an die Ausgleichsvorgange auf elektrischen Leitungen. Sach- und N amenregister, Anmerkungen und Angaben der benutzten und weiterer Literatur nebst Formelverzeichnis werden, wie ich glaube, den Gebrauch des Buches erleichtern. Beim AbschluB des Druckes ersehe ich aus Nr. 20 der Zeit schrift des Ve reines deutscher Ingenieure, daB der deutsche AusschuB fiir technisches Schulwesen in seinem fiinften Bericht den gleichen Anschauungen Ausdruck gibt, die mir den AnstoB zur Abfassung dieses Buches gegeben haben, weshalb ich zu hoffen wage, daB mein W erk als erster Versuch, die Lehre von den Differentialgleichungen in engeren Zusammenhang mit den An wendungen zu bringen, wenigstens dem Grunde nach die Billigung der Fachgenossen findet. Ich gestatte mir auch an dieser Stelle, Herrn Dr. L. Lichten stein fiir Beratung zu § 44 sowie Herrn Dr. K. W. Wagner fiir Namhaftmachung von Literatur zu § 97 bestens zu danken. Herr Dipl.-Ing. B. Feise, hat mich in dankenswerter Weise bei der Revision unterstiitzt. Die Bildstocke fiir die besehriebenen mathematischen In strumente hat die Firma G. Coradi-Ziirich zur Verfiigung ge stellt. Und sehlieBlich gebiihrt dem Herrn Verleger fiir die sorg faltige Herstellung der Figuren und die Ausstattung des Buches besondere Anerkennung. Berlin-Siemensstadt, im September 1914. V orwort znr zweiten Anflage. Die durchweg zustimmenden Bespreehungen und der rasche Absatz der ersten Auflage haben gezeigt, daB mein Buch seiner Aufgabe, eine fiihlbare Liicke in der Literatur der technischen Mathematik auszufiillen, gerecht geworden ist. Ich habe da her die zweite Auflage hauptsachlich im Sinne einer Vervoll standigung der naherungsweisen Behandlung gewohnlicher Diffe rentialgleichungen und durch Hinzufiigung von zwei Abschnitten iiber Variationsrechnung und Integralgleichungen bearbeitet. Fiir diese Erweiterungen habe ich die Herren Dr. K. Lachmann (§ 56-66) und Dr. W. Birnbaum (§ 120-129) als Mitver fasser gewonnen. VI Vorwort zur zweiten Auflage. Als richtunggebend fiir meine Auffassung vom W esen der technischen Mathematik darf ich auf den Aufsatz von H. Burk hardt (dem bekannten Mathematiker der Universitat Zurich), ,Mathematisches und naturwissenschaftliches Denken" (Jahres ber. d. D. Math. Ver. Bd. 2, S. 49. 1£!01) verweisen. Hier wird iiber das Studium der (technischen) Mathematik gesagt, daB man sie am besten ahnlich wie cine N aturwissenschaft betreibe, die feineren Untersuchungen aber beiseite lasse und i:larauf ver traue, daB vor etwa entspringenden graben Fehlern der natur wissenschaftliche oder technische Takt bewahre oder schlimm stenfalls das Experiment cines besseren belehre. Diese Auf fassung nebst der Zustimmung zahlreicher Leser und der meisten Rezensenten der ersten Auflage haben mich auch veranlaBt, das Einleitungskapitel beizubehalten. Demnach findet man in meinem Buch zahlreiche technische und physikalische Beispiele zur Anwendung der vorgefiihrten Integrationsmethoden, aber wenig Existenz- und Konvergenz betrachtungen. Dberall tritt das Operieren mit den natur wiichsigen analytischen Gebilden (vgl. A. Kneser im Vorwort zur 6. Auflage von Schlomilchs Kompendium der hoheren Analysis, Bd. 1) in den Vordergrund. Das Streben nach weiter gehender Allgemeinheit und die Ve rtiefung der Begriffsformu lierung bleibe den Lehrbiichern der reinen Mathematik vorbe halten, die zur Hand zu nehmen den Jiingern der Technik und Physik ausdriicklich empfohlen sein soiL Ich schlieBe mit besonderem Dank an die Verlagsbuchhand lung, die das Buch mit gewohnter Sorgfalt ausgestattet hat, unbeirrt durch die mancherlei Verzogerungen, die die Berufs stellung des Autors bei der Drucklegung verursauhte. Charlottenburg, Neujahr 1926. Prof. Dr. W. Hort. lnhaltsverzeichnis. Erster Teil. Gewohnlicbe Differentialgleichungen. I. Einleitung. Seite § 1. Allgemeine Festsetzungen iiber Koordinaten und Funktionen 1 § 2. Die graphische Summierung der Geraden y = a 4 § 3. Graphische Summierung der Geraden y =a+ bx 8 § 4. Graphische Summierung einer beliebigen Kurve 9 § 5. Der Begriff des Integrals . . . . 11 § 6. Berechnung eines bestimmten und eines unbestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 § 7. Der Differenzen- und der Differentialquotient . . . . . . . 15 § 8. Der Zusammenhang zwischen den Formeln des unbestimmten Integrals und des Differentialquotienten . • . . . . . . . . 18 § 9. Geometrische Betrachtungen iiber das Wesen des Differential quotienten und Anwendungen . . . . . . . . . • • . . . 18 § 10. Geometrische Betrachtungen iiber das W esen der Integralkurve 23 § 11. Die mechanische Herstellung der Integralkurve mittels des Integraphen von Abdank-Abakanowicz • • . . • . . • . . . 24 § 12. Instrumente zur mechanischen Herstellung spezieller bestimmter Integrale: Fliichen- und Momentenplanimeter . . • . . . . 27 § 13. Allgemeine Regeln fiir die Durchfiihrung von Differentiationen 41 § 14. Bestimmung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen 45 § 15. Zusammenstellung der Grundformeln der Differentialrechnung 49 II. Differentialgleichungen erster Ordnung. § 16. Differentialquotient und Differentialgleichung • . • • . 50 § 17. Anwendungsbeispiel: Die Spiegelkurve eines fiieBenden Ge wassers. Angenaherte Integration einer Differentialgleichung 52 § 18. Integration bei allgemeineren Formen der Differentialgleichung. Trennung der Variablen. Anwendungsbeispiel: Grundwasser- spiegel . • . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 64 § 19. Anwendungsbeispiel: Spiegelkurve des Grundwass.erstromes in der Umgebung eines Brunnens . . . • • . . . . . . . . . 65 § 20. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Bernoullis Substitutionsmethode . • . . . . . . . . . . . . . . 66 § 21. Anwendungsbeispiel: Entstehung eines Wechselstromes . . . 68 VIII Inhaltsverzeichnis. Seite § 22. Das singulare Integral n § 23. Die Methode des integrierenden Faktors 77 III. Die Differentialgleichungen zweiter Ordnung. § 24. Hohere Differentialquotienten. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Verschiedene Formen 81 § 25. Die Differentialgleichung der Seilkurve . . 84 § 26. Differentialgleichung der elastischen Linie . 96 § 27. Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit kon- stanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 100 § 28. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 107 § 29. Die Kettenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 § 30. Genaue Form der Differentialgleichung der elastischen Linie 118 § 31. Eindimensionale Differentialgleichungen. Beispiel: Form- anderuug eines dickwandigen Rohres nach Foppl . . . . . 120 § 32. Einfiihrung der St6rungsfunktion. Biegung kreisfiirmiger Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 IV. Differentialgleichungen hoherer Ordnung. Simultane Diff eren tialg le ich u ngen. § 33. Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . 129 § 34. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 133 § 35. Die Variation der Konstanten . . . . . . . . 137 § 36. Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit kon stanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 § 37. Anwendungsbeispiele. Foppls Differentialgleichung der Form anderung einer Eisenbahnschwelle auf nachgiebiger l'nterlage; Formanderung der Wan dung eines W asserbehalters . . . 142 § 38. Integration durch Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 147 § 39. Anwendung der Integration durch Reihen auf ein Beispiel . 153 § 40. Aufsuchung des Fundamentalsystems, falls die \Vurzeln der determinierenden Gleichung nicht samtlich verschieden sind § 41. Simultane gewi.ihnliche Differentialgleichungen im allgemeinen. Systeme erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 § 42. Ein Beispiel simultaner Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: Dampfmaschine mit Regulator . . . . . . . 169 § 43. Die Zentralbewegung als Beispiel eines Systems nichtlinearer simultaner Differentialgleichungen . . . . . 173 § 44. Die Pendelgleichung. Elliptische Funktionen 183 V. Die Differenzengleichungen. § 45. Definition linearer Differenzengleichungen . . . . . . . . . 202 § 46. Die linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffi- zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 § 4 7. Anwendung der linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten . . · . · . . . · . . . . . . . . . . . . . 205 § 48. Anwendung der Differenzengleichungen auf die Stromverteilung in einem Kettenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Inhaltsverzeichnis. IX Seite VI. Zeichnerische und rechnerischeNiiherungsbehandlung der Differentialgleichungen erster Ordnung. § 49. Differentialgleichung erster Ordnung in graphischer Be- handlung .•. • . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 § 50. Einige technische Anwendungen der Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 § 51. Das Isoklinenverfahren der Differentialgleichungen erster Ordnung • . . . . . . . . . . . . . . . 222 § 52. Zwei Anwendungen des Isoklinenverfahrens . . . . . 225 § 53. Eine Sondergestalt des Isoklinenverfahrens . . . . . 237 § 54. Runges Methode zur angeniiherten Integration von Differential- gleichungen erster Ordnung . . . . • . . • . . . . . . . 240 § 55. Anwendung der Rungeschen Methode auf die Untersuchung des Bewegungsverlaufes einer Einzylinder-Dampfmaschine . 253 § 56. Numerische Integration von Differentialgleichungen erster Ordnung nach G. Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . 266 § 57. Das Verfahren der schrittweisen Verbesserung bei Differential gleichungen erster Ordnung . . . . . .. . . . . . . . . . 270 VII. Naherungsbehandlung der Differentialgleichungen zweiter Ordnung. § 58. Integration von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Hilfe der Kriimmungskreise . . . . . • . . . . 274 § 59. Das Kriimmungskreis-Verfahren von E. MeiBner . . . . . . 282 § 60. Das Verfahren der Seilkurve . . . . . . . . . . • . . . 288 § 61. Methode von C. Runge zur zeichnerischen Liisung gewiihnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . 292 § 62. Das Verfahren von G. Duffing fiir Differentialgleichungen zweiter Ordnung . • . . . . . . . • . • . . . . . . 302 § 63. Abgeandertes Verfahren nach G. Duffiog . . . . . . . 305 § 64. Verfahren der schrittweisen Verbesserung bei Differential- gleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . 309 § 65. Anwendung der schrittweisen Verbesserung bei einer Rand wertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . 313 § 66. Priifung der Verfahren nach L. Giimbel und G. Duffing durch schrittweise Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . 322 VIII. Mechanische Integration von Differential gleichungen. § 67. Integration linearer Differentialgleichungen nach E. Pascal 326 § 68. DEr Apparat von Lord Kelvin . . . . . . . . . . . . . 329 Zweiter Teil. Partielle Differentialgleichungen. I. Einleitung. § 69. Die Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . 332 § 70. Die partiellen Differentialgleichungen im allgemeinen 337 § 71. Die Arten der Integrale partieller Differentialgleichungen im allgerneinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
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