Die Boltzmann-Gleichung: Modellbildung — Numerik — Anwendungen

200 Pages·1998·3.88 MB·German

by  Professor Dr. rer. nat. Hans Babovsky (auth.)

Hans Babovsky
Die Boltzmann-Gleichung:
Modellbildung-Numerik-Anwendungen
Leitfäden der augewandten
Mathematik und Mechanik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Dr. h. c. mult. G. Hotz, Saarbrücken
Prof. Dr. P. Kall, Zürich
Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München
Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt
Band 75
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Boltzmann-Gleichung:
Modellbildung- Numerik
Anwendungen
Von Professor Dr. rer. nat. Hans Babovsky
Technische Universität Ilmenau
m
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1998
Prof. Dr. rer. nat. Hans Babovsky
Geboren 1955 in Falkenstein/Oberpfalz. Studium der Mathematik und Physik an der
Universität Kaiserslautem (Diplom 1980), 1980/81 Forschungsaufenthalt an der Universite
de Montreal. Promotion 1983 und Habilitation 1989 an der Universität Kaiserslautern. Von
1990 bis 1994 IBM Wissenschaftliches Zentrum Heidelberg, von 1994 bis 1996 W eierstraß
Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin. Seit 1996 Professor fürNumerikund
Informationsverarbeitung an der TU Ilmenau!Thüringen.
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufuahme
Babovsky, Hans:
Die Boltzmann-Gleichung : Modellbildung - Numerik
Anwendungen I von Hans Babovsky.
(Leitfaden der angewandten Mathematik und Mechanik ; Bd. 75)
ISBN 978-3-663-12035-3 ISBN 978-3-663-12034-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-12034-6
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ders fiir Vervielfaltigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in
elektronischen Systemen.
© 1998 SpringerFachmedien Wiesbaden 1998
Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner Stuttgart ·Leipzig 1998
Softcoverreprint ofthe hardcover1st edition 1998
Vorwort
Die Boltzmann-Gleichung ist die grundlegende Gleichung der klassischen kinetischen
Gastheorie. Ursprünglich von S. Boltzmann [24] im Jahr 1872 formuliert zur Beschrei
bung des Flusses dünner Gase, dient sie heute als Basis zur Modeliierung großer Teilchen
systeme in einer Vielzahl von Anwendungen. Aufgrund des Vordringens der High Tech
nology in immer neue Bereiche (Stichworte: Miniaturisierung elektronischer Bauteile,
Hyperschallumströmuiigen in der Luft- und Raumfahrt, Schadstoffanalysen- beispiels
weise in der Umweltforschung, um nur wenige Beispiele zu nennen) gewinnt die Boltz
mann-Gleichung eine immer größere Bedeutung in der angewandten Modellbildung für
Transportprobleme.
Während die Boltzmann-Gleichung als Fundamentalgleichung der kinetischen Gasthe
orie längst anerkannt ist, läßt ihre mathematische Behandlung auch heute noch viele
Fragen offen. Waren Fragen der Herleitbarkeit aus der Dynamik großer Teilchensy
steme und die Existenztheorie (im Jahre 1994 erhielt P. L. Lions [35] nicht zuletzt
für eine grundlegende Arbeit auf diesem Gebiet die Fields-Medaille) große Heraus
forderungen der letzten Dekaden, so gewinnen Fragen derNumerikund der Modeliierung
durch asymptotische Gleichungen heute eine ständig wachsende Bedeutung. Die Kom
plexität der Boltzmann-Gleichung erfordert es häufig, für analytische Studien auszuwei
chen auf einfachere Modellgleichungen (z. B. vom Typ der Drift-Diffusionsgleichungen)
und zur numerischen Simulation abzuweichen von klassischen Diskretisierungsstrategien
und stattdessen stochastische Integrationsmethoden zu verwenden. Ziel des Buches ist
es, nach einer kurzen Vorstellung der klassischen Theorie in diese Problemstellungen
einzuführen. Das Buch wendet sich an Studenten und Wissenschaftler der Mathematik,
der Natur- und der Ingenieurwissenschaften, welche an einer mathematisch fundierten
Einführung in anwendungsbezogene Fragestellungen der Modeliierung und Numerik
kinetischer Gleichungen interessiert sind.
Das erste Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Grundbegriffe und die Prinzipien
2
der kinetischen Gastheorie. Insbesondere wird gezeigt, wie kinetische Gleichungen aus
Erhaltungsprinzipien aus großen Teilchensystemen hergeleitet werden können.
Im zweiten Kapitel werden die wichtigsten Eigenschaften von Lösungen linearer und
nichtlinearer kinetischer Gleichungen beschrieben. Außerdem wird eine erste Verbindung
zu den Gleichungen der Strömungsmechanik geknüpft.
Kapitel 3 befaßt sich mit der Simulation von Lösungen linearer kinetischer Gleichungen
mittels stochastischer Prozesse und ihrer Realisierung auf dem Computer.
Die stochastische Integration der nichtlinearen Boltzmann-Gleichung und damit die
Einführung in die für praktische Anwendungen höchst relevanten Monte Carlo-Verfahren
ist Inhalt von Kapitel4. Es wird motiviert, warum stochastische Verfahren zur Numerik
klassischen Diskretisierungsverfahren überlegen sind. Algorithmen zur Umsetzung der
Verfahren auf dem Computer werden skizziert.
Die nächsten beiden Kapitel befassen sich mit der Modellierung linearer (Kapitel 5) und
nichtlinearer (Kapitel 6) kinetischer Gleichungen durch makroskopische Gleichungen.
Zur Herleitung der linearen Drift-Diffusionsgleichungen werden sowohl ein stochastis
cher als auch ein funktionalanalytischer Zugang skizziert. Der Zugang zu den nicht
linearen Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen beruht dagegen auf den klassischen for
malen Zugängen von Hilbert und Chapman-Enskog.
In Kapitel 7 schließlich werden die vorher beschriebenen Ergebnisse angewandt zur
Modellierung und Numerikeiner Reihe von Fragestellungen in den augewandten Wis
senschaften.
An dieser Stelle möchte ich mich bedanken bei Herrn D. Görsch für die Durchsicht des
Manuskripts, bei meiner Tochter Carolin für die Erstellung eines großen Teils der Ab
bildungen, bei meiner Frau für das Korrekturlesen und bei meiner ganzen Familie für
die große Geduld, die sie während der Erstellung des Buches aufgebracht hat.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
1 Grundbegriffe der kinetischen Gastheorie 7
1.1 Einführung . . . . 7
1.2 Die Liouville-Gleichung 8
1.3 Randbedingungen . 14
1.4 Teilchenstösse ... 18
1.4.1 Ortsfeste Streuteilchen 18
1.4.2 Stösse zweier gleicher Teilchen . 21
1.5 Kinetische Gleichungen . . . . . . . . 23
1.5.1 Der Boltzmann-Grad-Limes . 24
1.5.2 Die lineare Lorentzgas-Gleichung 25
1.5.3 Die Boltzmann-Gleichung . . 28
1.5.4 Kinetische Modellgleichungen 31
2 Lösungen kinetischer Gleichungen 35
2.1 Lineare kinetische Gleichungen ....... . 35
2.1.1 Lösungen des Anfangswertproblems . 35
2.1.2 Erhaltungsgrößen . . ....... . 36
2.1.3 Milde Lösungen des Anfangswertproblems 39
2.1.4 Gleichgewichtslösungen . 44
2.2 Die Boltzmann-Gleichung 46
2.2.1 Kollisionsinvarianten 46
4 INHALTSVERZEICHNIS
2.2.2 Gleichgewichtslösungen . . . . . . . . . . . 51
2.2.3 Momentengleichungen und Abschlußrelationen . 53
3 Lineare stochastische Modelle 59
3.1 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen 59
3.1.1 Ein numerisches Experiment . . . . . 59
3.1.2 Exponentialverteilte ZVa und Poisson-Prozesse. 62
3.1.3 Lineare Differentialgleichungssysteme 66
3.2 Diskrete kinetische Modelle ..... 72
3.2.1 Kinetische Modellgleichungen 72
3.2.2 Beispiel: Die Telegraphengleichung 75
3.3 Kinetische Gleichungen . . . . . . . . . 77
3.3.1 Ein stochastischer Algorithmus 77
3.3.2 Numerische Erzeugung von ZVa . 79
4 Stochastische Teilchensysteme 85
4.1 Stochastische Integrationsverfahren 86
0 • 0 • 0 ••••
4.1.1 Stochastische Integration und Komplexität . 86
4.1.2 Stochastische Integration von Produktmaßen . 88
4.1.3 N-Punkt-Approximationen von Produktmaßen . 90
4.2 Stochastische Lösung der homogenen Gleichung 93
4.2.1 VHS-Modelle ..... 93
4.2.2 Euler-Diskretisierung . 94
4.2.3 Ein stochastischer Algorithmus 97
4.3 Stochastische Lösung der vollen Gleichung 101
4.3.1 Operator-Splitting und Glättung 101
4.3.2 Ein stochastischer Algorithmus 103
4.4 Zelluläre Automaten ......... 105
5 Diffusionslimes linearer Gleichungen 111
5.1 Ein stochastischer Zugang ..... . . 112
INHALTSVERZEICHNIS 5
5.1.1 Limites kinetischer Gleichungen ....... . 112
5.1.2 Beispiel: Asymptotik der Telegrafengleichung 120
5.2 Ein funktionalanalytischer Zugang ....... . 124
5.2.1 Diffusionslimes als Konsistenzbedingung 124
5.2.2 Die Diffusionskoeffizienten 127
6 Strömungsdynamische Limites 131
6.1 Die Euler-Gleichungen .... 131
6.2 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen 136
6.3 Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen 142
6.3.1 Einige charakteristische Größen .. 142
6.3.2 Herleitung aus der Boltzmann-Gleichung 144
6.4 Gasflüsse bei kleinen Knudsenzahlen . . . . . . 145
6.4.1 Der Übergang Gaskinetik-Strömungsdynamik 145
6.4.2 Die numerische Kopplung Boltzmann-Gleichung - Euler- bzw.
Na vier-Stokes-Gleichungen . 146
7 Anwendungsprobleme 149
7.1 Probleme der Luft- und Raumfahrt 149
7.1.1 Wiedereintritt von Raumfähren in die Erdatmosphäre . 149
7.1.2 Modeliierung kinetischer Randschichten . 151
7.2 Flüsse in dünnen Schichten . 159
7.3 Aerosoldynamik ... 163
7.4 Verkehrsflussmodelle 166
7.4.1 Ein Modell . 166
7.4.2 Gleichmäßiger Verkehrsfluß 169
7.4.3 Verkehrsleitplanung . 171
7.5 Weitere Anwendungen . . . 173
7.5.1 Ladungstransport in Halbleitern . 173
7.5.2 Hochenergiephysik . . . . . . . . 174