Die Berechnung von Steifrahmen nebst anderen statisch unbestimmten Systemen

239 Pages·1909·6.776 MB·German

by  Ejnar Björnstad (auth.)

Die
Berechnung von Steif'rahmen
nebst anderen
statisch unbestimmten Systemen.
Von
Ejnar Bjornstad,
Ingenieur der Briickenbauanstalt Beuchelt & Co.
in Griinberg i. Srhles.
Mit 127 Figuren im Text, 19 Tabellen
und einer graphischen Anlage.
Berlin.
Verlag von Julius Springer.
1909.
Aile Rechte,
insbesondere das der Dbersetzung in fremde Sprachen,
vorbehalten.
ISBN-13: 978-3-642-89547-0 e-ISBN-13: 978-3-642-91403-4
DOT: 10.1007/978-3-642-91403-4
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1909
Vorwort.
Das vorliegende Buch solI in erster Linie ein Hilfsbuch fUr die Be
rechnung der eisernen Bruckenrahmen sein.
Die Berechnung dieser mehrfach statisch unbestimmten System",
ist von hervorragenden Fachmannern, besonders Muller - Breslau
(Neuere Methoden der Festigkeitslehre), teilweise eingehend behandelt
worden. Das genannte Werk bietet auch demjenigen, der genugende
Kenntnisse in der Elastizitatstheorie und der hoheren Mathematik be
sitzt, eine ausreichende Grundlage fUr die Berechnung der Brucken·
rahmen, vorausgesetzt, daB er Zeit hat, sich mit der grundlegenden
Theorie vertraut zu machen.
Nach Verfassers Ansicht gibt .eine Formel, deren Entstehen und
Entwicklung man nicht genau kennt und versteht, leicht zu Irrtumern
AnlaB, wenn nicht deren Verwendung durch Zahlenbeispiele eingehend
erlautert wird. Dem konstruierenden Ingenieur bleibt abel' oft keine Zeit
zum eingehenden Studium der Theorie ubrig, so daB er auf den Ge
brauch von fertigen Formeln angewiesen ist.
Von diesem Gedanken ausgehend, werden in moglichst einfacher
'Veise, zu deren Auffassung auch elementare Kenntnisse in der Statik
genugen, Formeln fUr die am haufigsten vorkommenden Systeme und
Belastungsfalle entwickelt und deren Gebrauch durch zahlreiche Zahlen
beispiele klargelegt. Dm die ganze Grundlage der Entwicklung gleich
an der Hand zu haben, sind im Abschnitt II die bereits bekannten
Formeln fiir die Durchbiegung einfacher Balken mit Hilfe des Mohr
schen Satzes von den zweiten Momenten entwickelt worden, ,yodurch
das Buch auch dem Anfiinger oder dem Studierenden eine wert volle
Hilfe zur EinfUhrung in diese sehr wichtige und leichtfaBliche Berech
nungsmethode leisten kann. Bei Entwicklung der Formeln fiir die
Rahmenberechnungen ist schrittweise vorgegangen und wiederholt vor
kommende Ausdrucke, hauptsachlich solche, die von der Belastung un
abhiingig sind, durch einfache groBe Buchstaben (Konstanten) ersetzt
worden, damit die SchluBformeln moglichst einfache und ubersichtliche
Gestalt annehmen. Diese Konstanten sind des leichteren Auffindens
wegen am Anfange des Buches zusammengestellt worden. Zur sclmellen
*
IV Vorwort.
Bestimmung dieser Konstanten, besonders bei iiberschHiglichen Berech
nungen, dienen die Tabellen I bis XVI, deren Gebrauch auch durch
Zahlenbeispiele erlautert ist. Ganz besonders wird auf die graphische
Ermittlung der zusammengesetzten Konstanten hingewiesen. Mit Hilfe
dieses Verfahrens kann man sehr schnell und sicher die dreifach statisch
unbestimmten Systeme berechnen, und die Arbeitsersparnis, welche sich
dadurch erzielen laBt, ist ganz bedeutend. Ohne erst die fUr den Beweis
notigen Erlauterungen genau durchzulesen, kann man aus den Figuren
selbst den Vorgang sehen und braucht nur die neue Figur mit den ge
gebenen Abmessungen aufzutragen. Einige der graphischen Figuren
mogen ja im ersten Augenblick kompliziert erscheinen, weil mehrere
Belastungsfalle in derselben Figur behandelt worden sind. In der Wirk
lichkeit kommen aber aile die behandelten Belastungsfiille selten gleich
zeitig vor, so daB die Figur bedeutend einfachere Gestalt annimmt.
Um der Veranderlichkeit der Stabquerschnitte Rechnung zu tragen
und den EinfluB der Aussteifungsecken bei den Rahmen zu beriicksich
tigen, sind in Abschnitt VII Annaherungsformeln zur Bestimmung des
mittleren Tragheitsmomentes von Staben mit veranderlichem Quer
schnitt entwickelt worden. Wenn auch eingeraumt werden soil, daB
diese angenaherten Formeln auf nicht genau zutreffenden Annahmen
beruhen, so geben sie doch einen guten Anhalt zur Beurteilung des Ein
flusses der Veranderlichkeit des Querschnitts.
AuBer den Rahmen sind auch einige andere statische unbestimmte
Systeme behandelt worden, um zu veranschaulichen, wie man mit Hilfe
der einfachen Grundformeln fill die Biegung einfacher Stabe auch
schwierigere Aufgaben losen kann. Diese Aufgaben eignen sich sehr gut
als Ubungsaufgaben fUr den Studierenden.
Neben den gent-wen Formeln sind noch angeniiherte Formeln fill
diese Systeme entwickelt worden, um durch Vergleich der genauen und
angenaherten Zahlenwerte beurteilen zu konnen, ob die DurchfUhrung
der genauen Berechnung praktisch erforderlich ist.
Indem ich im voraus den werten Kollegen fill gute Ratschlage zur
Verbesserung oder Erweiterung des Inhaltes bestens danke, hoffe ieh,
daB das Buch fiir die Briickenbauingenieure von Nutzen sein wird.
Grii n berg i. Sch1., im September 1909.
Ejnar Bjornstad.
Inhaltsverzeichnis.
I. Einleitung.
Seite
§ 1. Die elast.ische Linie 1
§ 2. GroBe der Verschiebungen 2
II. Ermittlung einiger HilfsgroBen.
§ 3. Biegung einfacher Stabe mit konstantem Tragheitsmoment 3
Aufgabe 1. Frei aufliegender Ba1ken durch einc Einzellast belastet. 3
Aufgabe 2. Frei aufliegender Balken mit Belastung des ausgekragten
Endes . . . . . . . . . . . . .. ....... 6
Aufgabe 3. Frei aufliegender Balken durch ein konstantes Moment
beansprucht . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
Aufgabe 4. Einseitig eingespannter freitragender Balken durch eine
Einzellast belastet .... . . . 8
Aufgabe 5. Einseitig eingespannter freitragender Balken durch ein
konstantes Moment beansprucht . . . . . . . . 9
Aufgabe 6. Frei aufliegender Balken mit gleichmaBig verteilter Be-
lastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Aufgabe 7. Einseitig eingespannter freitragender Balken mit gleich
maBig verteilter Belastung. . . . . . . . . . . . . 11
Aufgabe 8. Offener Rahmen durch zwei HorizontalkriLfte belastet. ] 3
Aufgabe 9. Offener Rahmen durch ein konstantes Moment beansprucht 15
III. Berechnung der Steifrahmen.
§ 4. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 5. Dreifach statisch unbestimmter geschlossener Rahmen 17
Aufgahe 10. Wirkung der Horizontalkrafte H 17
Aufgabe 11. Wirkung der Querkrafte Q . . . . . . 18
Aufgabe 12. Wirkung der Momente Me . . . . . . 19
Aufgabe 13. Belastung des Quertl1igers durch Einzellasten. 20
Aufgabe 14. Belastung des Quertragers dureh gleichmaBig verteilte Be-
lastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Aufgabe 15. Belastung des konsolartig verlangerten Quertragers . . 24
Aufgabe 16. Belastung der Vertikale durch Einzellasten. . . . . . 27
Aufgabe 17. Belastung der Vertikale durch gleiehmaBig verteilte Be-
lastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Aufgabe 18. EinfluB der Temperaturanderung . . . . . . . . . . 39
§ 6. Dreifach statisch unbestimmter an den Auflagern eingespannter Rahmen 40
Aufgabe 19. Belastung des Qucrtragers und dessen konsolartiger Ver
langerung sowie der Vertikalen durch Einzellasten und
gleichmaBig verteiIte Belastung, EinfluB der Tempera
turanderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
VI Inhaltsverzeichnis,
Seite
§ 7. Zweifach statisch nnbestimmter Rahmen mit Gelenk in der Mitte des
Riegels .................. . 47
Aufgabe 20. Quertrager unten, Belastungen wie in Aufgabe 19 47
Aufgabe 21. Quertrager oben, Belastung wie VOl'. 50
Aufgabe 22. EinfluB der Langenanderungen del' Stabe 54
§ 8. Einfach statisch 1mbestimmter Rahmen mit gelenkartig angeschlossenem
Riegel oder Auflagergelenken . . . . . . . . . . . . 54
Belastungen wie in Aufgabe 19.
Au'fgabe 23. Bestimmung del' Durchbiegungen durch Belastung der
Vertikalcn ........ . 56
Aufgabe 24. Bestimmung del' Durchbiegungen durch Einzellasten am
Quertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Aufgabe 25. Bestimmung der Durchbiegungen durch gleichmaBig ver-
teilte Belastung des Quertragers 60
§ fl. Zahlenbeispiele zn den Aufgaben 13 bis 25 61
Beispiel 1. Zu Aufgabc 13 bis 18 61
Beispiel 2. Zu Aufgabe 19 . . . . 65
Beispiel 3. Zu Aufgabe 23 .... 68
Beispiel 4. Einfach statisch unbestimmter Rahmen mit .\uflager-
gelenkcn . . . . . . . . . . . . .. . .... 70
§ 10. Zweifach statisch unbestimmter einseitig eingespannter Rahmen . . 72
Aufgabe 26. Belastung des QuC'rtragers mit Einzellasten; hicrzu Bei-
spiel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Aufgabe 27. Bplastung des Quertragers mit gleichmaBig verteilter Last;
hierzu Beispiel 6 ............ . 76
Aufgabe 28 und 29. Bphtstung des konsolartig YerIangerten Quer
triigC'rs; hierzu Beispiel 7. . . . . . . . . . . . . 77
Aufgabc 30. Belastung del' Vertikalen clurch Einzellasten; hierzu Bei-
spiel 8 .................... . 78
Aufgabp 31. Belastnng cler Vertikalen durch gleichmaBig verteilte Last;
hierzu Beispiel \) .............. . 82
Anfgabe 32. EinfluB del' Temperaturanclerung; hierzu Beispiel 10 86
§11. DrC'ifach statisch unbestimmter Rahmen aus 2 Staben . . . . . 87
Aufgabe 33. Belastnng cles Quertriigers mit Rinzellasten 91
Aufgabe 34. Belastung des Quel'tl'agers mit gleichmiiBig vcrtcilter Last 93
Aufgabe 3.'5. Belastung cler konsolarti!,C'n Verlanllerung des Quer-
tragcl's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Aufgabc 36. Belastung cler Vertika\C' clurch Einzellast ...... . 95
Aufgabc :37. Belastung dpr Vertikale durch gleichma!3ig Yerteilte Last 96
Aufgabe 38. EinfluB cler Temperaturanclerung 97
Beispiel 11. Zu Aufgaben 33 bis 38 .............. . 98
§ 12. Zweifach statisch unbestimmter Rahmen aus 2 Stiiben ..... . 100
Aufgabe 39. Belastungen wie in Aufgaben 33 bis 38; hierzu Beispiel 12 104
§ 13. Einfach statisch unbestimmter Rahmen aus 2 Staben 105
Aufgabe 40. Belastungcn wie in Aufgaben 33 bis 38 . . . . . . . . 107
Hierzll Beispiel 13 ............... . 111
§ 14. Zweifach statisch unbestimmter Rahmen mit gekrcuzten Diagonalen. 113
Anfgabe 41. Belastungen wie VOl'. 113
Hierzu Beispiel 14 . . . 121
IV. Berechnung einiger anderen biegungsfesten Systcme.
§ 15. Einfach statisch unbestimmter Dachbincler . . . . . . . . .. 123
Aufga be 42. Belastung durch Einzellasten uncl gleichmaBig verteilte Last 123
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
Temperaturanderung . . . . . . 129
HierZll Tabellen hinter Seite 132.
Hierzu Beispiel 15 . . . . . . . 130
§ 16. Einfach statisch unbestimmter armierter Balken mit einer Vertikale. 132
Aufgabe 43. Belastung durch Einzellasten und gleichmaBig verteilte
Last . . . . . . . . . . . . . 132
Hierzu Beispiel 16 holzemer Balken. . . . 136
Hierzu Beispiel 17 eisemer Balken J 37
§ 17. Einfach statisch unbestimmter armierter Balken mit zwei Vertikalen 138
Aufgabe 44. Belastung wie vor.. . . . . . . . 138
Hierzu Beispiel 18 holzemer Balken 144
Hicrzu Beispiel III eisemer Balken 145
§ 18. Einfach statisch unbestimmte eingespannte Stutze 147
Aufgabe 45. Belastung durch wagerechte Einzellasten und gleichmaBig
vertcilte Belastung sowie durch konstantes :Moment 147
§ 19. Zweifach statisch uubestimmte eingespann te Stiitze 150
Aufgabe 46. Belastung wie vor.. . . . . . . . . . . . . .. 11\0
V. Graphische lUethoden zur Ermittlung der Konstanten
fUr die Berechnung der Rahmen.
§ 20. Einfache Konstanten . . . . . . . . . . . . lfi7
§ 21. Zusammengesetzte Kon8tanten zu Aufgaben 20 bis 25 . 159
§ 22. Zusammengesetzte Konstanten zu Anfgaben 13 bis 18 . 162
§ 23. Zusammengesetzte Konstanten zu Aufgabe 19. 166
§ 24. Zusammengesetzte Konstantcn zu Aufgaben 26 bis 30 . 170
VI. Bestimmung der Konstanten mit Hilfe der Tabellen.
§ 25. Bestimmung der Tabellenwerte 173
Tabellen 212
VII. Bestimmung des mittleren Tragheitsmoments von 8taben
mit veranderlichem Querschnitt.
§ 26. Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Aufgabe 47. Frei aufliegender Stab mit geknickter J-Linie. belastet
durch Einzellast, gleichmaBig verteilte Last und kon-
stantes ;\foment . . . . . . . . . . . . . 178
Aufgabe 48. Frei aufliegender Stab mit parabelfiirmigcr J-Linie;
J in der Mitte. Belastung wie vor. . . 184
max
Aufgabe 49. Desgleichen mit J min in der .Jlitte . . 187
Aufgabe 1i0. Freitragender eingespannter Balken mit geknickter
J-Linie; Belastung wie vor. . . . . . .... 191
Aufgabe 51. Freitragender eingespannter Balken mit parabeJformiger
J-Linie; Belastung wie vor. ............ 195
§ 27. Anleitung zur Bestimmung des mittleren Tragheitsmoments mit Hilfe
der Tabellen flir n( und niX . ...... 199
Hierzu Beispiel 20 ... . . .. ...... 200
§ 28. Bestimmung der mittleren Tragheitsmomente der Steifrahmen 201
Tabellen der Werte nf und niX 202
Beispiel 21. Endrahmen ciner Eisenbahnbri.ieke 204
Beispiel 22. Endrahmen mit Auflagergelenken 209
Beispiel 23. Eingespannter Rahmen 2JO
Graphische Ermittlung zn Beispiel 1 und 2.
Zusammenstellung der Konstanten zur Berechnung
der Steifrahmen.
a) Konstanten, die nul' von den Abmessungen und der Gestalt des Systems
abhangig sind.
Gl. (53)
J
GJ. (56) G=l+h-J ,
I'
J
GJ. (62) L = 1 + 2h J,. '
Gl. (66) a = I + 6 h -J- + 1 -J - ,
JI' Jr
Gl. (68) R = l + 2 It -JJ + I -J- ,
,. Jr
J
GJ. (110) T=1+3hJ;'
b) Kon8tanten, die aueh von del' Lage del' Belastung abhangig sind.
Gl. (99) G' = l + k :~ ,
GJ. (102) E = 3l h + k(3 h - k) JJv '
, J
Gl. (106) T = 1 + 3 k ./,. .
Es bedeuten:
J das Tragheitsmomf'llt des Quertragel's,
J,. das Tragheitsmoment der Vertikalen,
./r das Tragheitsmoment des unbelastetBn Riegels.
Einleitung.
I~
§ 1. Die elastische Linie.
vVird ein elastischer Stab durch Biegungsmomente beansprucht,
so tritt eine Formiinderung ein, indem die einzelnen Punkte des Stabes
sich gegenseitig verschieben. Es sollen hier nur solche Versehiebungen
in Betracht gezogen werden, welche die Anderung del' Gestalt del' Stab
achse bestimmen. Diese neue Form der Stabachse nennt man die
elastische Linie oder auch Biegungslinie.
Da die gegenseitige Verschiebung zweier benachbarten Punkte der
Stabachse sehr klein ist, so darf das Bogendifferential ds mit dx ver
tauscht werden, und man erhiilt anniihernd, aber genugend genau,
die Gleiehung der Biegungslinie durch zweimalige Integration des
folgenden Ausdruckes:
d2y
111= EJ·--- (1)
dx2 '
wo M das Bicgungsmoment, Eden Elastizitiitsmodul, y die Ordinate
und x die Abszisse der Biegungslinie und J das Trkigheitsmoment des
Stabquerschnittes bedeuten.
Die Gleichung wird hierbei auf ein reehtwinkliges Achsenkreuz
bezogen, des sen X-Achse bei geraden Staben mit der ursprunglichen
Stabaehse zusammenfiillt.
y
Fig. 1.
Y stellt dann die Durchbiegung des Stabes im Abstande x von der
Y-Achse dar (Fig. 1).
Bei gleichem Materiale und Querschnitte eines Stabes ist EJ
konstant, was bei den hier in Frage kommenden Aufgaben Immer
vorausgesetzt werden solI.
Bj ornstad, Steifrahmcn.
2 Einleitung.
Die Gleichung der Biegungslinie lautet dann:
f .
y = E1J ( dx JM dx + 01 X + O2), • • • • • (2)
\VO 01 und 02 die Integrationskonstanten bedeuten. Fur das Moment M
ist die Funktion von x, dureh welche die Momentenlinie bestimmt wird,
in die Gleichung einzusetzen.
Den Winkel LX, \relehen die Tangente zur Biegungslinie mit der
X-Aehse bildet, findet man dureh einmalige Integration der Gl. (1).
Die Gleiehung des Winkels lautet dann:
f
dy 1 +
tangLX = dx = EJ ( M dx 01), .••.. (3)
Dieser Winkel solI fur die Folge kurz Biegungswinkel genannt
werden.
Die Biegungslinie kann naeh Mohr auch als Momentenkurve eines
an den Enden frei aufliegenden Balkens betraehtet werden, dessen
Belastung die MomentenWiche ist (Fig. 2).
A~--X~
Fig. 2.
Bedeutet 9Jl die Ordinate del' Momentenkurve diesel' Bclastung,
so ist die Durehbiegung des Balkens oder die Ordinate del' Biegungs
linie an der Stelle x:
9)1 1
Y =.- - = --((x) . (4)
EJ EJ
9)( nennt man aueh das zweite Moment des Balkens. \Vird 9]( als
Funktion von x eingesetzt, so erhiilt man die obige Gleiehung del'
Biegungslinie.
Den Biegungswinkel findet man dureh Differentiation dieser
Gleichung und Bildung des ersten Differentialquotienten.
tangLX = ~~ =E~ ['(x) . (5)
§ 2. Grolle del' Verschiebungen.
\Vird ein Stab A B , an seinem Endpunkte A gelenkartig befestigt,
urn den Winkel LX gedreht, so versehiebt sich del' andere Endpunkt B
eine Streeke x parallel A B und y senkreeht dazu.