Die Approximationseigenschaft lokaler Ringe

207 Pages·1978·3.846 MB·German

by  Herbert Kurke, Gerhard Pfister, Dorin Popescu, Marco Roczen, Tadeusz Mostowski (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold and .B Eckmann
634
trebreH ekruK
drahreG retsifP
niroD ucsepoP
ocraM nezcoR
zsuedaT ikswotsoM
Die tfahcsnegiesnoitamixorppA
relakoI egniR
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New kroY J978
Authors
Herbert Kurke Marco Roczen
Humboldt-UniversitAt zu Berlin Humboldt-Universit~t zu Berlin
Sektion Mathematik Sektion Mathematik
Unter den Linden 6 Unter den Linden 6
108 Berlin/DDR 108 Berlin/DDR
Gerhard Pfister Tadeusz Mostowski
Humboldt-Universit~t zu Berlin Warsaw University
Sektion Mathematik Department of Mathematics
Unter den Linden 6 Warsaw, Powsir~ska 24a/6/Poland
108 Berlin/DDR
Dorin Popescu
Faculty of Mathematics
University of Bucharest
Str. Academiei 41
Bucharest/Rumania
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Main entry unde~ title:
Die Approximationseigensehaft iokaler Ringe.
(Lecture notes in mathematics ; 634)
.i Local rings. 2. Approximation theory.
.3 Ideals (Algebra) .I Xurke, H. II. Series:
Lecture notes in mathematics (Berlin) ; 634.
QA3. L28 no. 634 [QA251.38] 510'.8s [512'.4]
AMS Subject Classifications (1970): 31 H xx
ISBN 3-540-08656-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-387-08656-0 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
work This si tcejbus ot .thgirypoc llA rights era ,devreser rehtehw eht elohw
of or part eht lairetam si ,denrecnoc yllacificeps of those ,noitalsnart -er
,gnitnirp esu-er fo ,snoitartsulli ,gnitsacdaorb noitcudorper yb gniypocotohp
enihcam or ralimis ,snaem dna egarots ni atad .sknab rednU § 45 fo eht
namreG thgirypoC waL erehw copies era edam rof rehto naht etavirp ,esu
a eef si elbayap to eht ,rehsilbup eht tnuoma of eht eef ot eb denimreted yb
tnemeerga with eht .rehsilbup
© yb galreV-regnirpS nilreB grebledieH 8791
detnirP ni ynamreG
gnitnirP dna :gnidnib Beltz ,kcurdtesffO .rtsgreB/hcabsmeH
012345-0413/1412
Inhaltsverzeichnis
Einleitung I
.I Approximationssatze fGr Henselsche Ringe 7
I.I. Definition und Beispiele ~lenselscher Ringe 8
1.2. Der Satz Gber implizite Funktionen und das Newtonsche
Lemma 51
1.3. Einige Eigenschaften von ~-Kategorien 23
1.4. Die Approximationseigenschaft 73
1.5. Beweis des Approximationssatzes 44
1.6. Ein Satz von .R Elkik 25
Anhang: Eine Eliminationstheorie fGr Potenzreihenringe 95
II. Die strenge Approximationseigenschaft lokaler Ringe 08
11.1. Problemstellung 08
II.2. Beweis yon Theorem 1.4. 68
II.3. Die AuflGsung der p-Singularit~ten 11,
III. Ein spezieller Approximationsmatz in Charakteristik 0 831
III. .1 Der Approximationssatz 831
III.2. Die Deformation isolierter Singularitatan Henselscher
Schemata 151
IV. Die ~eiermtraB-Grauertsche Normalform yon Idealhasea 061
IV.O. Vorbemerkun4~ 061
IV.I. Eine allgemeine Diviaionsformel 061
IV.2. Der Vorhereitungssatz f~r PDLA-Ringe 761
IV.3. A~wenduagen ~nd Bemerkungen 271
IV.4. Untermuchungan projektiver Schemata -Der Vorhereitumgl-
• atz fGr homogene Ideale &71
V. Zur Idealtheorie yon Ringen mit Approximation~eigenmchaft 971
VI. Die Approximationseigen~chaft zweidimensionaler lokaler 781
Ringe
Literatur ~n2
VI
Einleitung
Das Ziel dieser Lecture Eote ist es, eine Ubersicht fiber Kon.
struktionstechniken zu geben, die den Ubergang yon der formalen
zur analytischen oder algebraischen Geometrie betreffen. Diese
Noten haben sich aus Diskusslonen von H.Kurke, G.Pfister und
M.Roczen im Anschlu~ an die Thesis von H.Kurke CBerlin, Humboldt-
Universit~t 1969) und das Erscheinen des Buches ~8] mit verschie-
clench Kollege~ ergeben, wobei insbesondere T.Mostowski und
D.Popescu zu nen~en sind, die wesentliche Ideen beigesteuert
haben und an der vorl~ufigen Fassung des Manuskripts beteiligt
wares.
Der Inhalt dieser Lecture Eote und Bezieh~ugen zu anderen Arbeiten
sollen im folgenden kurz geschildert werden.
Im Jahre 1964 bewies M.Greenberg [14] f~r den Fall eines exzellenten
diskreten Bewertungsringes R, und im Jahre 1969 M.Artln [~f~r
den Fall eines Polynomringes R = k[X , I o..,Xn~ ~ber einem K~rper
k folgendes Theorem: Zu jedem Glelchungssystem
)Y'(F = (FI(Y),...,Fm(Y)) = 0 , Y = [YI,...,YN)
gibt es eine Funktion ~(~ ) mit der Eigenschaft : Wenn ~ y ~ R u~
F(~) ~0 m rood ~(~) (m bezeichne sala Maximalldeal yon R bzw. das
yon X I,...,X n erzeugte Ideal), so hat das Gleichungssystem auch
eine 7~sung y E (R J) N , so da~ m rood y ~ ~--~ R J (wobei
RJ die Henselsche AbschlieBung yon R in m bezeichnet). Bei
Greenberg ist ~(i~) yon der Form ~ c + d , und bei Artin wird
gezeigt, daS die Funktlon ~(~) durch n, N und d = ~i deg(Fi)
hestimmt ist. Wir wollen im folgenden eine solche Funktion ~(~<)
eine s~e~e App~ationsfunktion f~r das Gleichungssystem F = 0
b~v. f~r das yon den i F erzeugte Ideal nennen.
~. Artin bewies auBerdem 1968 bzw. 1969 ( [6] bzw. [7 ]), dab es
zu formalen L~s~gen ~(z) sines analytischen bzw. Polynom-
glaich~ssystems ~ber dem Ring C~zl,...,z i der konvergenten
Potenzreihe~ .v~zb R[zl,...,Zn] der Polynome ~ber einem Hsnsel-
schen exzellenten diskreten Bewertungsring R stets L~su~gen
dutch konvergente bzw. algebraische Potenzreihen (d.h.im zweiten
Fall durck~=~tionen, die auf einer Etalumgebung yon 0 in
Spec(R[zl,...,Zn]) definiert sind) y(z) gibt, die bis zu einer
beliebighohen Ordnung mit den formalen L~sungen Gbereinstimmen.
(Approximationseigenschaft).
In den ersten beiden Kapiteln werden diese Theorems bzw. dazu
analoge Theoreme fGr andere Typen yon Gleichungen bewiesen.
Genauer wird die ganze Problematik unter einem einheitlichen,
axiomatischen Gesichtspunkt aufgebaut, so da~ sich ein Beweis
f~r verschiedene Typen yon Ringen und Gleichungen ergibt. Der
Grundbegriff ist der einer Weierstra~-Kategorie yon Ringen bzw.
Paaren (im nicht-lokalen Fall), der in Kap. ,I § 2 eingef~hrt wird.
In diesem Rahmen gelten viele der bekannten Approximationss~tze
[siehe I.,2.4., 2.4.1., 2.4.2., 2.7.(Newtonsches Lemma), 2.7.1.,
2.7.2., 6.1. (Satz von Elkik) und 6.3.). Um mSglichst weitgehend
auch den nicht-lokalenFall mit einzubeziehen, haben wir uns nicht
yon vornherein auf den Fall lokaler Ringe bes¢hr~nkt, obwohl
dadurch einige Betrachtungen technisch komplizierter ausgefallen
sind. Der Leser, dernur den lokalen Fall im Auge hat, kann sicher
ohne M~he Gber die sich aus dem nicht-lokalen Fall ergebenden
technischen Einzelheiten hinwegsehen. Leider ist es uns nicht
gelungen, die Approximationseigenschaft in nicht-lokalen Situa-
tionen zu beweisen. Im lokalen Fall ist eine WeierstraS-Kategorie
eine volle Unterkategorie der Kategorie der lokalen Noetherschen
Algebren ~ber einem KSrper oder diskreten Bewertungsring R (aus
beweistechnischen Gr~nden werden sp~ter auch nicht notwendig
Noethersche Algebren betrachtet, Gber Einzelheiten sei auf I.,§ 2
verwiesen), die folgende Axioms erfGllen:
(W O) R ~ H
(W ) I ("Weierstra~scher Vorbereitungssatz") Wenn (A ~ B) ~
quasiendlich ist (d.h. wenn dim k B/_mAB ~ ~ ) ist, so ist B end-
liche A-Algebra ,
(W 2) Es gibt freie Algebren in ~ , genauer: Ist AE H und sind
TI,...,T n Unbestimmte ~ber A, so ist der ~tor auf
B I ~ HomR,lokal(AKTS(2A,T) , B) darstellbar in ~ dutch eine
A-Algebra T ~ ~ A und eine Einbettung A[T]CA T , und es gilt auger-
dem fur alle ok0 A[T]/(T)CA[T] = AT/(T)OAT .
(W 3) Wenn B eine endliche lokale A-Algebra mit m_/B B = A/mA ist
und AE ~, so ist BE ~ •
Als wichtigste Beispiele m~ge die Kategorie der analytischen A1-
gebren, die Kategorie der kompletten lokalen Algebren oder die
Kategorie der lokalen Henselschen Algebren yon endlichem Typ
(im Henselschen Sinne) ~ber k oder R dienen.
Als Gleichungen Gber ~ A ~ betrachten wit dann Elemente F(T) T ~ A
(T =(TI,...,T N) ,) und es wird gezeigt:
Wenn alle Ringe aus ~ exzelle~t sind (das bedeutet hier, dag der
Morphismus Spec(~) ~ Spec(A) geometrisch regular ist), so hat
jeder Ring A aus H die Approximationseigenschaft, d.h. formale
L~sungen (L~sungen aus ~) eines Gleichungssystems F(T) aus T A
lassen sich bis zu beliebig hoher 0rdnung durch L~sungen aus A
approximieren. Es gilt etwas genauer: Es gibt eine "Familie von
L~sungen~' aus einer freien A-Algebra Z , Z A = (Zl,...,Zq> gewisse
Parameter, so dad fur spezielle Werte ~ 6~AAq der Parameter Z
die Familie zu der vorgegebenen formalen L~sung spezialisiert.
Es werden einige einfache und unmittelbare Anwendungen der
verschiedenen Approximationss~tze gegeben. Der Anhang geht im
wesentlichen auf T.Mostowski zur~ck.
Kapitel II enth~lt den Beweis des Resultats, dab f~r einen lokalen
Ring A mit Approximationseigenschaft zu jedem Gleichungssystem
sins strenge Approximationsfunktion geh~rt, das in voller
Allgemeinheit srstmals yon G.Pfisterund D.Popescu ~25~ bewissen
wurde und under jeweils etwas einschr~nkenden Voraussetzungen
unabh~ngig davon yon M.van der Put und yon J. Wavrik ~48~.
Offen ist hier noch das Problem, genauer zu analysieren, durch
welche Daten sine solche Approximationsfunktion bestimmt ist
(in Analogie zu Artins Satz, wo sis durch N, n und d bestimmt ist).
In Kapitel III wird ein Satz bewiesen, der im einfachsten Fall
besagt: ~enn A eine Henselsche k-Algebra yon endlichem Typist,
B = A~x~ = A~Xl, .... Xr~ eine freis Henselsehe Algebra ~ber A
und F(Y,Z) = 0 ein Polynomgleichungssystem ~ber B in Unbestimmten
Y = (YI,...,Yn), Z = (Z I .... ,Zm) , so da2 (~, ~) ~ ~n+m eine
formale L~sung ist und ~ ~ ~ , so l~Bt sich diese LSsung ent-
sprechend dem Approximationssatz dutch eine L~sung (y, z) approxi-
mieren mit der zus~tzlichen Eigenschaft, dab y ebenfalls nicht yon
den x abh~ngt (Problem yon ~.Artin).
Dieser Satz konnte allerdings nur unter den einschr~nkenden
Voraussetzungen bewiesen werden, dab k ein algebraisch abgeschlos-
sener K~rper der Charakteristik 0 ist. Der Beweis entstand aus
Diskussionen yon T.Mostowski mit G.Pfister und H.Kurke. Die N~tz-
lichkeit dieses Satzss wird am Beispiel der Algebraisierung von
semiuniverssllen Deformationen isolierter Singularit~ten und in
Anwendungen in Kapitel IV demonstriert, wo eine Verallgemeinerung
des Weierstra~schen Vorbereitungssatzes angegeben wird (inspiriert
durch die Arbeit ~3] yon Grauert .)
4
ImKapi%el V wird allgemein die Ideal%heorie der Ringe mi%
Approximationseigenschaft untersucht. Es zeigt sich~ da~ sie
im Prinzip dieselbe Ideal~leorie haben wie ihre nomplettierung.
Lokale Ringe mlt Approximationseigen~chaft sind universell
japanisch, universell eatenaire~ ihr singul~rer Oft ist abge-
schlossen und sie sind in vielen F~llen exzellent.
ImKapitel VI werden z~eidimensionale regul~re lokale Ringe
betrachtet. Es wird ein allgemeiner Approximationssatz be-
wiesen.
Kapitel I
A_£oproximationss~tze fur Henselsche Ringe
Nachdem wir im I. Abschnitt die wichtlgsten elementaren Eigen-
schaften Henselscher Ringe zusammengestellt haben, bringen wir
im 2. den Satz Hber implizite ~unktionen (2.4. und 2.4.1.) und
das Newtonsche Lemma ( 2.7. ,) beides in elmer Form, die sowohl
r~if den algebraischen als auch ~ fU~ den analytischen Fall ( ar-
chimedisch oder nichtarchimedisch ) angewendet werden kann, in-
dem wir dutch wenige Axiome Klassen yon He~selschen Ringen und
yon Typen yon Gleichungen ( polynomial, analytisch,,.. ) aus-
sondern, fi~r welche diese S~tze gelten.
Diese Thematik nehmen wir im 6. Abschnitt wieder auf, wo wir
Elkik's Satz bringen, hier nut fiir Polynomgleichungen; eine
Ubertragung dieses Satzes fHr die in 2. eingefHhrten W--Katego-
rien ist jedoch ohne weiteres m~glich und sei dem Leser Gberlas-
sen.
In 4. und 5. wird aus den Axiomen yon 2. ein Beweis der Approxi-
mationseigenschaft lokaler Hens~Ischer Ringe hergeleitet, die
fi~r die wichti~sten Klassen ( Polynomgieichungen ~ber lokalen
Henselscben Algebren i~ber einem K~rper, analytische Gleichungen
Uber komplex-analytischen Algebren )von ~. Artin erstmalig be-
wiesen worden Ss%. Die wicl~tigste Forderung fNr die Gdltigkelt
der Approximationseigenschaft ist, dab die betrachteten lokalen
Ringe exzellent sind. Zusammen mit den Axiomen aus 2. l~t sich
damn ein einheitlicher Beweis der Approximationseigenschaft fttr
sehr viele Klassen yon lokalen Henselschen Ringen und entspre-
chende Typen yon Gleichungen harle~tem,